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四川省成都市青白江区2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
1．（2024八下·青白江期末）计算的结果等于(　　)
A． B． C． D．
2．（2024八下·青白江期末）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·青白江期末）下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·青白江期末）约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024八下·青白江期末）如图，等边的边长为，于点，则的长为(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·青白江期末）已知，下列四个不等式中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
7．（2024八下·青白江期末）如图，四边形是平行四边形，是延长线上一点，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
8．（2024八下·青白江期末）“与的差大于”用不等式表示为　 　．
9．（2024八下·青白江期末）一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为 　 　．
10．（2024八下·青白江期末）分式有意义的条件是　 　．
11．（2024八下·青白江期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件　 　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
12．（2024八下·青白江期末）如图所示，在中，，，，以A 为圆心，的长为半径作弧交于点 D，连接；再分别以点B 和点 D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，射线交于点E，则的长是　 　．
三、解答题（本大题共5个小题，共52分）
13．（2024八下·青白江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
14．（2024八下·青白江期末）解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
15．（2024八下·青白江期末）（1）解方程：；
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
16．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向下平移个单位长度得到；请画出；
（2）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）求的面积．
17．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为．
（1）当为何值时，是等边三角形？
（2）当为何值时，是直角三角形？
（3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
18．（2024八下·青白江期末）若 ，且 ，则 =　 　．
19．（2024八下·青白江期末）若分式的值为，实数、应满足的条件是　 　．
20．（2024八下·青白江期末）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　 　．
21．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在直线：上，点的坐标是，，，，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点恰好落在直线上，则的值是　 　．
22．（2024八下·青白江期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
23．（2024八下·青白江期末）【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
（1）分解因式：；
（2）的三边，，满足，判断的形状．
24．（2024八下·青白江期末）“龙年到，行大运”，新学期伊始，某班级欲购买一些龙年元素的贴纸装饰教室，经过挑选，选定了“龙行大吉”和“龙腾虎跃”两款贴纸经过了解，“龙腾虎跃”贴纸比“龙行大吉”贴纸单价贵元，花费元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．
（1）“龙腾虎跃”与“龙行大吉”两种贴纸的单价分别为多少元？
（2）该班级计划花费不超过元，购买两种贴纸共个，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的倍，问该班级有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
25．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】=-(15-7)=-8
答案：B.
【分析】直接由有理数的加法规则计算即可.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故A、B、C三个选项都不符合题意；
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由完全平方式的特点知“首”与“尾”符号相同，即可排除A选项；同时中间项为"首"和"尾“乘积的2倍，可排除B、D，只有C是符合的，即=(2a-1)2.
故答案为：C.
【分析】直接根据完全平方式的特点进行判断和排除即可.
4．【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，AD⊥BC，故CD=AC=3，
由勾股定理得AD=
答案：D.
【分析】结合等边三角形和勾股定理即可求出AD的长.
6．【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、2-a>2-b，故A错误；
B、两边同时乘以3，得3a<3b，故B正确；
C、两边同时乘以-3，得-3a>-3b，故C正确；
D、两边同时加3，得a+3故答案为：A
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可求解。
7．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
8．【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】由题意得x-y>4
答案：
【分析】直接由题意表示出不等式即可.
9．【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则，
解得：．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式求出即可.
10．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-2≠0得x≠2
答案：
【分析】直接由分母不为零即可得x的范围.
11．【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
12．【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5
∴BD=2ED，AE⊥BC．
∴∠AEC=90°，
在中，
在中，
∴．
故答案为：6．
【分析】由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5，根据垂直平分线的定义得BD=2ED，∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根据含30°角直角三角形的性质得出AE=4，进而根据勾股定理算出DE=3，最后再在Rt△ADE中利用那个勾股定理算出DE，从而即可得出BD的长.
13．【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．【答案】（1）x＞-2
（2）x≤-1
（3）解：根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）-2＜x≤-1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）
x＞-2.
故答案为：x＞-2；
（2）
x≤-1，
故答案为：x≤-1；
（4）根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：-2＜x≤-1.
故答案为：-2＜x≤-1.
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项的步骤可得不等式①的解集；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式②的解集；
（2）根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将不等式①②的解集表示在数轴上；
（4）找出两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.
15．【答案】（1）解：去分母，得，
去括号．得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得，
径检验，原方程的解为
（2）解：原式
，
且且，
而是满足条件的合适的非负整数，
，
当时，原式．
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)去分母转化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；
(2)计算出括号内的加法同时因式分解即可化简，再代入符合条件的整数即可得结果.
16．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
的坐标为；
（3）面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)分别将点A、B、C向下平移5个单位，再连接各顶点即可；
(2)先求出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接各顶点即可；
(3)由割补法直接计算面积即可.
17．【答案】（1）解：在中，，
，
当时，，
，
，
是等边三角形．
当时，是等边三角形；
（2）解：若，如图，
，
，
，
，
；
若，则如图，
，
，
综上所述，当时，是直角三角形．
（3）证明：设，则，
，，
，
根据点，的运动速度可得， ，，
，
，
又，
．
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)由∠A=60°，当AP=AF时，列出方程即可得t的值；
(2)分别讨论点F、P为直角顶点时，利用特殊有∠A=60°的边角关系可得对应的t的值；
(3)设BF=x，再分别求出PD和AF的长度，即可说明AFDP为平行四边形.
18．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2
【分析】根据平方差公式，将（m-n）的值代入即可求出（m+n）的值。
19．【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知a-b=0且a-2≠0得
故答案为：
【分析】直接由分式的值为零的条件即可得a、b满足的条件.
20．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，
∴A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C，由等腰直角三角形的性质及角的和差得∠CA'B'=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出B'C=2，在Rt△A'B'C中，利用勾股定理求得，最后利用AB'=AC-B'C解答即可．
21．【答案】6
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：易知点A(6，7)，代入一次函数得6k+1=7，得k=1，得一次函数表达式为y=x+1；点B(9，2)向左平移2个单位，再向上平移m个单位得(7，2+m)，代入一次函数得2+m=7+1，得m=6
答案：6.
【分析】将点A的坐标代入一次函数表达式即可得k的值，将平移后的坐标代入一次函数，即可得m的值.
22．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
23．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
，，是的三边，
，，即，
是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
24．【答案】（1）解：设“龙腾虎跃”贴纸的单价为元，则“龙行大吉”贴纸的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：“龙腾虎跃”贴纸的单价为元，“龙行大吉”贴纸的单价为元；
（2）解：设购买“龙腾虎跃”贴纸个，则购买“龙行大吉”贴纸个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，，
该班级有种购买方案：
购买“龙腾虎跃”贴纸个，“龙行大吉”贴纸个；
购买“龙腾虎跃”贴纸个，“龙行大吉”贴纸个．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设龙腾虎跃的价格为x，则可得龙行大吉的价格，由题意列出分式方程即可；
(2)由题意列出不等式组求出m的范围，即可得购买方案.
25．【答案】（1）解：如图，
，，
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即：．
（2）解：证明：如图，
，
，
，
而，
四边形、都为平行四边形．
证明：四边形、都为平行四边形，
，，，
与中一样可得，
，
，
即：．
（3）解：解：结论：．
理由：作交的延长线于点，如图，
，，
四边形、都为平行四边形，
，，
与中一样可得，
，
即．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，，，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定结合线段的运算即可求解；
(2)①根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
②先根据平行四边形的性质得到，，，与中一样可得，再根据线段的运算即可求解；
(3)作交的延长线于点，根据平行四边形的判定与性质得到，，与中一样可得，再进行线段的运算即可求解。
1 / 1四川省成都市青白江区2023-2024学年八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共7小题，每小题4分，共28分。）
1．（2024八下·青白江期末）计算的结果等于(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】=-(15-7)=-8
答案：B.
【分析】直接由有理数的加法规则计算即可.
2．（2024八下·青白江期末）剪纸是我国具有独特艺术风格的民间艺术，反映了劳动人民对现实生活的深刻感悟．下列剪纸图形中，不是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、B、C均能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以是中心对称图形，故A、B、C三个选项都不符合题意；
选项D不能找到这样的一个点，使图形绕该点旋转180°后与原来的图形完全重合，所以不是中心对称图形，故D选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
3．（2024八下·青白江期末）下列多项式中，能用完全平方公式因式分解的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：由完全平方式的特点知“首”与“尾”符号相同，即可排除A选项；同时中间项为"首"和"尾“乘积的2倍，可排除B、D，只有C是符合的，即=(2a-1)2.
故答案为：C.
【分析】直接根据完全平方式的特点进行判断和排除即可.
4．（2024八下·青白江期末）约分的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】
故答案为：B．
【分析】利用分式的性质计算求解即可。
5．（2024八下·青白江期末）如图，等边的边长为，于点，则的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：△ABC为等边三角形，AD⊥BC，故CD=AC=3，
由勾股定理得AD=
答案：D.
【分析】结合等边三角形和勾股定理即可求出AD的长.
6．（2024八下·青白江期末）已知，下列四个不等式中不正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A、2-a>2-b，故A错误；
B、两边同时乘以3，得3a<3b，故B正确；
C、两边同时乘以-3，得-3a>-3b，故C正确；
D、两边同时加3，得a+3故答案为：A
【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可求解。
7．（2024八下·青白江期末）如图，四边形是平行四边形，是延长线上一点，若，则的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；邻补角
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
8．（2024八下·青白江期末）“与的差大于”用不等式表示为　 　．
【答案】
【知识点】列不等式
【解析】【解答】由题意得x-y>4
答案：
【分析】直接由题意表示出不等式即可.
9．（2024八下·青白江期末）一个多边形的内角和为1800度，则这个多边形的边数为 　 　．
【答案】12
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，则，
解得：．
故答案为：12．
【分析】根据多边形的内角和公式求出即可.
10．（2024八下·青白江期末）分式有意义的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】x-2≠0得x≠2
答案：
【分析】直接由分母不为零即可得x的范围.
11．（2024八下·青白江期末）如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，AO=CO，请添加一个条件　 　（只添一个即可），使四边形ABCD是平行四边形
【答案】BO=DO
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】∵AO=CO，BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形．
故答案为：BO=DO．
【分析】根据题目条件结合平行四边形的判定方法：对角线互相平分的四边形是平行四边形分别进行分析即可．
12．（2024八下·青白江期末）如图所示，在中，，，，以A 为圆心，的长为半径作弧交于点 D，连接；再分别以点B 和点 D 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 P，射线交于点E，则的长是　 　．
【答案】6
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5
∴BD=2ED，AE⊥BC．
∴∠AEC=90°，
在中，
在中，
∴．
故答案为：6．
【分析】由作法得AE垂直平分BD，AB=AD=5，根据垂直平分线的定义得BD=2ED，∠AEC=90°，在Rt△AEC中，根据含30°角直角三角形的性质得出AE=4，进而根据勾股定理算出DE=3，最后再在Rt△ADE中利用那个勾股定理算出DE，从而即可得出BD的长.
三、解答题（本大题共5个小题，共52分）
13．（2024八下·青白江期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
（2）解：原式
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
14．（2024八下·青白江期末）解不等式：．请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得　 　；
（2）解不等式②，得　 　；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（4）原不等式组的解集为　 　．
【答案】（1）x＞-2
（2）x≤-1
（3）解：根据（1）和（2）结果，作图如下，
（4）-2＜x≤-1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1）
x＞-2.
故答案为：x＞-2；
（2）
x≤-1，
故答案为：x≤-1；
（4）根据（3）中的图形，可知不等式组的解集为：-2＜x≤-1.
故答案为：-2＜x≤-1.
【分析】（1）根据去括号、移项、合并同类项的步骤可得不等式①的解集；
（2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤可得不等式②的解集；
（2）根据解集的表示方法：大向右，小向左，实心等于，空心不等，将不等式①②的解集表示在数轴上；
（4）找出两个不等式解集的公共部分即为不等式组的解集.
15．（2024八下·青白江期末）（1）解方程：；
（2）先化简，后计算：，其中是满足条件的合适的非负整数．
【答案】（1）解：去分母，得，
去括号．得，
移项，得，
合并，得，
系数化为，得，
径检验，原方程的解为
（2）解：原式
，
且且，
而是满足条件的合适的非负整数，
，
当时，原式．
【知识点】解分式方程；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】(1)去分母转化为一元一次方程，再解一元一次方程即可；
(2)计算出括号内的加法同时因式分解即可化简，再代入符合条件的整数即可得结果.
16．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
（1）将向下平移个单位长度得到；请画出；
（2）画出关于轴对称的，并写出的坐标；
（3）求的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：如图所示，即为所求；
的坐标为；
（3）面积．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣中心对称
【解析】【分析】(1)分别将点A、B、C向下平移5个单位，再连接各顶点即可；
(2)先求出点A、B、C关于y轴的对称点，再连接各顶点即可；
(3)由割补法直接计算面积即可.
17．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，，，动点从点开始以的速度向点运动，动点从点开始以的速度向点运动，两点同时运动，同时停止，运动时间为．
（1）当为何值时，是等边三角形？
（2）当为何值时，是直角三角形？
（3）过点作交于点，连接，求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）解：在中，，
，
当时，，
，
，
是等边三角形．
当时，是等边三角形；
（2）解：若，如图，
，
，
，
，
；
若，则如图，
，
，
综上所述，当时，是直角三角形．
（3）证明：设，则，
，，
，
根据点，的运动速度可得， ，，
，
，
又，
．
，
四边形是平行四边形一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形-动点问题
【解析】【分析】(1)由∠A=60°，当AP=AF时，列出方程即可得t的值；
(2)分别讨论点F、P为直角顶点时，利用特殊有∠A=60°的边角关系可得对应的t的值；
(3)设BF=x，再分别求出PD和AF的长度，即可说明AFDP为平行四边形.
18．（2024八下·青白江期末）若 ，且 ，则 =　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：∵m2-n2=（m+n）（m-n）=6，且m-n=3，
∴m+n=2
【分析】根据平方差公式，将（m-n）的值代入即可求出（m+n）的值。
19．（2024八下·青白江期末）若分式的值为，实数、应满足的条件是　 　．
【答案】
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意知a-b=0且a-2≠0得
故答案为：
【分析】直接由分式的值为零的条件即可得a、b满足的条件.
20．（2024八下·青白江期末）如图，将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，若，，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将绕直角顶点C顺时针旋转，得到，连接，
∴A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由旋转的性质可得A'B'=AB=4，∠ACA'=90°，AC=A'C，由等腰直角三角形的性质及角的和差得∠CA'B'=30°，根据含30°角直角三角形的性质得出B'C=2，在Rt△A'B'C中，利用勾股定理求得，最后利用AB'=AC-B'C解答即可．
21．（2024八下·青白江期末）如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，点在直线：上，点的坐标是，，，，将先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，此时点恰好落在直线上，则的值是　 　．
【答案】6
【知识点】一次函数图象与几何变换
【解析】【解答】解：易知点A(6，7)，代入一次函数得6k+1=7，得k=1，得一次函数表达式为y=x+1；点B(9，2)向左平移2个单位，再向上平移m个单位得(7，2+m)，代入一次函数得2+m=7+1，得m=6
答案：6.
【分析】将点A的坐标代入一次函数表达式即可得k的值，将平移后的坐标代入一次函数，即可得m的值.
22．（2024八下·青白江期末）如图，在平行四边形中，，，是边延长线上一点，连接，以为边作等边三角形，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；直角三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，在上截取，连接并延长，作，
四边形是平行四边形，，，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
当点是边延长线上时，点在的延长线上 ，
，，
，
的最小值是，
故答案为：.
【分析】利用瓜豆原理可知点F的运动轨迹是一条直线，故勾手拉手全等三角形模型是本题的解题关键.利用等边三角形的性质通过SAS判定得到，再通过直角三角形的性质求得CM的长度即FC的最小值.
23．（2024八下·青白江期末）【阅读理解】
以上分解因式的方法称为分组分解法，分组的方式可以任意两项组合成一组，也可以是其中若干项分成一组．
【问题解决】
（1）分解因式：；
（2）的三边，，满足，判断的形状．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：，
，
，
，，是的三边，
，，即，
是等腰三角形．
【知识点】因式分解-分组分解法；等腰三角形的概念
24．（2024八下·青白江期末）“龙年到，行大运”，新学期伊始，某班级欲购买一些龙年元素的贴纸装饰教室，经过挑选，选定了“龙行大吉”和“龙腾虎跃”两款贴纸经过了解，“龙腾虎跃”贴纸比“龙行大吉”贴纸单价贵元，花费元购买的“龙腾虎跃”贴纸与花费元购买的“龙行大吉”贴纸数量相同．
（1）“龙腾虎跃”与“龙行大吉”两种贴纸的单价分别为多少元？
（2）该班级计划花费不超过元，购买两种贴纸共个，且“龙行大吉”贴纸数量不超过“龙腾虎跃”贴纸数量的倍，问该班级有哪几种购买方案？请将购买方案列举出来．
【答案】（1）解：设“龙腾虎跃”贴纸的单价为元，则“龙行大吉”贴纸的单价为元，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
，
答：“龙腾虎跃”贴纸的单价为元，“龙行大吉”贴纸的单价为元；
（2）解：设购买“龙腾虎跃”贴纸个，则购买“龙行大吉”贴纸个，
由题意得：，
解得：，
为正整数，
，，
该班级有种购买方案：
购买“龙腾虎跃”贴纸个，“龙行大吉”贴纸个；
购买“龙腾虎跃”贴纸个，“龙行大吉”贴纸个．
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】(1)设龙腾虎跃的价格为x，则可得龙行大吉的价格，由题意列出分式方程即可；
(2)由题意列出不等式组求出m的范围，即可得购买方案.
25．（2024八下·青白江期末）如图，在中，，点是所在平面内的一点，过点作交于点，交于点，交于点．
（1）当点在边上时，如图所示，此时点与点重合，则线段与线段、有何关系，说明理由；
（2）当点在内部时，如图所示，作交于，求证：
四边形、四边形都是平行四边形；
．
（3）当点在外部时，如图所示，、、、这四条线段之间又有着怎样的数量关系？请写出你的猜想，并说明理由．
【答案】（1）解：如图，
，，
四边形为平行四边形，，
，
，
，
，
，
，
即：．
（2）解：证明：如图，
，
，
，
而，
四边形、都为平行四边形．
证明：四边形、都为平行四边形，
，，，
与中一样可得，
，
，
即：．
（3）解：解：结论：．
理由：作交的延长线于点，如图，
，，
四边形、都为平行四边形，
，，
与中一样可得，
，
即．
【知识点】等边三角形的性质；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的判定与性质得到四边形为平行四边形，，，进而根据等腰三角形的性质（等边对等角）得到，等量代换得到，根据等腰三角形的判定结合线段的运算即可求解；
(2)①根据平行公理及其推论结合题意即可得到，，进而根据平行四边形的判定即可求解；
②先根据平行四边形的性质得到，，，与中一样可得，再根据线段的运算即可求解；
(3)作交的延长线于点，根据平行四边形的判定与性质得到，，与中一样可得，再进行线段的运算即可求解。
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