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浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·镇海区期末）下列调查中，适合用抽样调查方式的是（　　）
A．旅客登飞机前的安检
B．了解全校同学每周的体育锻炼时间
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
2．（2024七下·镇海区期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立
C． 比 D．曲
3．（2024七下·镇海区期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
4．（2024七下·镇海区期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
5．（2024七下·镇海区期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
6．（2024七下·镇海区期末）下列各式：①；②；③；④中，因式分解正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024七下·镇海区期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
8．（2024七下·镇海区期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，，则∠CGD＝（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
9．（2024七下·镇海区期末）一个天平配有重量分别为1，5，25，125，625克的砝码各5个，则为了准确称出重量为2024克的某物品（砝码只能放一侧），所需砝码数量的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
10．（2024七下·镇海区期末）如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（　　）
A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④
11．（2024七下·镇海区期末）截至2023年底，宁波市常住人口为9690000人，其中9690000用科学记数法可以表示为　 　．
12．（2024七下·镇海区期末）已知方程，用关于的式子表示，则　 　．
13．（2024七下·镇海区期末）如图，若，则、、之间的关系为　 　.
14．（2024七下·镇海区期末）已知，则的值为　 　．
15．（2024七下·镇海区期末）如图，张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足的数量关系为　 　．
16．（2024七下·镇海区期末）如图，在△ABC与△DBE中，∠BAC=∠BDE=100°，AB=AC，DB=DE，则∠ABD+∠DEC的度数为　 　．
17．（2024七下·镇海区期末）因式分解：
（1）；
（2）．
18．（2024七下·镇海区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
19．（2024七下·镇海区期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）先化简：，再从，，0这5个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
20．（2024七下·镇海区期末）如图，在中．
（1）利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长．
21．（2024七下·镇海区期末）某校为了预防“校园欺凌”，对本校所有学生进行校园安全教育，并对学生进行了安全教育测试（满分100分），将成绩得分用x表示，根据得分将成绩分为五个类别：A（），B（），C（），D（），E（）．现随机抽取部分学生的成绩进行调查研究，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
（1）在本次调查中共抽取了______名学生；请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是______度；
（3）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生校园安全教育测试在80分以上．
22．（2024七下·镇海区期末）如图，已知△ABC中，∠C=50°，将AB沿射线BC方向平移至DE，使E为BC的中点，连接AD，记DE与AC的交点为O．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
23．（2024七下·镇海区期末）请同学们根据以下素材，完成任务．
设计粽子采购方案
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本．
素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元．
素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元．
素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．
任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？
任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？
任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______．
24．（2024七下·镇海区期末）如图，在四边形中，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、旅客登飞机前的安检，事关重大，适合普查，不符合题意；
B、了解全校同学每周的体育锻炼时间，此调查适合普查，不符合题意；
C、调查某批汽车的抗撞击能力，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，符合题意；
D、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，由于工作量不大且普查收集的数据更加准确，此调查适合全面调查，不适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可得，A下面部分是对称的，故不能通过平移得到，不符合题意；
B和D可以近似看作轴对称图形，不能通过平移得到，故不不会题意；
C可以看做是利用图形的平移得到．
故答案为：C．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．平移前后对应点连线平行且相等.
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+7=10，∴长度为3、7、10的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵6+8＜16，∴长度为6、8、16的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵13+11＞20，∴长度为13、11、20的三根小木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
D、∵6+6=12，∴长度为6、6、12的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”即可逐一判断得出结论.
4．【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
B、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
C、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
D、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例可以为：，.
故答案为：D．
【分析】把已知数据代入各个选项计算即可判断求解．
5．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
故且．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不能为零，列出不等式，求解即可.
6．【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③正确；
④，故④正确，
综上因式分解正确的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
7．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，
根据等量关系即可得到，
故答案为：B．
【分析】设原计划每天植树x棵，则种植完400棵后实际每天植树x(1+25％)棵，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及实际用时比原计划提前4天，列出方程即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∵，
∴∠FDA=∠F=45°，
∴∠CGD=∠A+∠FDA=45°+30°=75°．
故答案为：C．
【分析】由直角三角形的两锐角互余得出∠A=30°，由二直线平行，内错角相等得出∠FDA=∠F=45°，再由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和即可求出∠CGD的度数．
9．【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴625克的砝码需要3个；
∴，
∵，
∴125克的砝码需要1个；
∴，
∵25＞24，
∴25克的砝码需要0个，
∵，
∴5克的砝码需要4个，1克的砝码需要4个；
∴所需砝码数量的值为（个）.
故答案为：B.
【分析】根据砝码的重量，结合要称出的物品重量，按照从大到小的顺序逐步确定砝码的数量，最后再求和即可.
10．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠AEB=67.5°，∠DBE=45°，
∴∠ADC=∠BDE=∠BEA，
∴BD=BE，
又点M是DE的中点，
∴垂直平分，∠DBM=∠EBM=22.5°，故②正确，
∴∠MAG=∠CBG=22.5°，
在△ADC与△BGC中，
∵∠MAG=∠CBG，AC=BC，∠ACD=∠BCG=90°，
∴△ADC≌△BGC（ASA），故①正确；
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
∵，∠GBE=22.5°，
∴，故④错误；
若，则，
∴，
∴，
∴BC＞AC，与已知AC=BC矛盾，
∴与不垂直，故③错误，
综上，正确的有①②⑤.
故答案为：A．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠ABC=45°，由角平分线的定义得∠BAE=∠DAC=22.5°，由直角三角形的两锐角互余得∠ADC=∠AEB=67.5°，结合对顶角相等得∠BDE=∠BEA，由等角对等边得BD=BE，由等腰三角形三线合一得BG垂直平分DE，∠DBM=∠EBM=22.5°，据此可判断②；用ASA证△ADC≌△BGC，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等得CD=CG，然后根据线段和差及等量代换可得AC=BE+CG，据此可判断⑤；根据∠G与∠GBE的度数可判断④；利用反证法，假设BE⊥CE，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AB∥CE，由平行线性质及角平分线定义推出∠CEA=∠BAF=∠CAF=22.5°，由等角对等边得AC=CE，从而可得BC＞AC，与已知AC=BC矛盾，从而假设不成立，据此可判断③.
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项，得4y=6-x，
方程两边同时除以4，将未知数y的系数化为1，得
∴，
故答案为：．
【分析】首先移项，将含y的项放在方程的左边，其它所有的项都移到方程的右边，再在方程两边同时除以除以4，将未知数y的系数化为1即可.
13．【答案】
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
∴∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为：∠α+∠β ∠γ=180°.
【分析】由平行线公理“平行于同一直线的两直线互相平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”得∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF，根据整式性质将两式相加得∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，再将∠AEF+∠CEF=∠β整体代入变形即可得出结论.
14．【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：16．
【分析】由已知方程可得2x-5y=4，然后将待求式子中除式逆用幂的乘方的性质先写成以2为底的幂的形式，再使用同底数幂的除法法则计算，最后把已知条件代入计算即可．
15．【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵张长为，宽为长方形纸片，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】从图形可知空白部分的面积=中间边长为的正方形面积+上下两个直角边长分别为和的直角三角形的面积+左右两个直角边为和的直角三角形面积，阴影部分的面积=边长为(a+b)的大正方形面积-空白部分面积，据此根据正方形、三角形面积计算公式，分别列出式子，再根据整式混合运算的运算顺序计算，最后根据建立等式，再根据完全平方公式分解因式后，开平方可得结论.
16．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，延长AC到F，使CF＝AD，连接EF.
、
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
【分析】
延长AC到F，使CF＝AD，连接EF，则利用已知可得FD＝AB、再利用三角形外角的性质结合已知 ∠BAC=∠BDE可证，再利用已知 DB=DE可证，由全等的性质可得 △FCE是等腰三角形，且顶角 ∠F=100° ，则底角恰好等于所求的两个角的和等于40 ° ．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由于多形式首项符号是负号，故先利用添括号法则把多项式放到一个带负号的括号内，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）由于多项式各项具有相同的因式xy，故先提公因式xy，再利用平方差公式把商式继续分解因式即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
18．【答案】（1）解：，
整理得：，
①+②，得y=2，
将代入②，得2x-6=1，
解得，
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
经检验是方程的根，
．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先将方程组整理成一般形式，发现方程组的两个方程中未知数x的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单，从而利用方程①+②消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，即可得到原方程组的解；
（2）首先将方程中第一个分式的分母利用完全平方公式法分解因式，然后方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-1)2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
（1）解：，
整理得：，
把②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
经检验是方程的根，
．
19．【答案】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
∵，且，
∴时，；或时，．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）按乘方的意义、零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的运算法则“”分别计算，再计算有理数的加法即可；
（2）先算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可；
（3）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
20．【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵AP平分，，，
∴，，=90°
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由于角平分线上的点到角两边的距离相等，故要满足到AC、AB距离相等的点就在AB、AC所形成夹角的角平分线上，利用尺规作角平分线的方法作∠BAC的角平分线，该线与BC相交于点P，该点就是所求的点；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PC=PD，然后用AAS判断出△CAP≌△DAP，由全等三角形的对应边相等得AD=AC=5，进而根据线段和差即可算出BD的长.
（1）图形如图所示：
（2）∵AP平分，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：本次调查抽取的总人数为：（人）；
则B等级的人数有（人）；
D等级的学生人数：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）32；
（3）解：该校共有800名学生，
∴；
∴估计该校有352名学生校园安全教育测试在80分以上.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵，∴；
则D等级所对应扇形圆心角的度数为；
故答案为：32；57.6°；
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的提供的相关数据，用A等级人数除以其所占百分比可求出本次调查抽取的总人数；用 本次调查抽取的总人数乘以B等级人数所占比例即可得到B等级人数，根据各个等级的人数之和等于本次调查抽取的总人数可求出D等级人数，从而补全条形统计图；
（2）利用C等级的学生人数除以本次调查抽取的学生总人数即可得m的值，再由D等级人数所占比例乘以360°即可得到D等级所对应扇形圆心角的度数；
（3）该校学生总人数乘以样本中安全教育测试在80分以上的人数占比即可估计该校学生校园安全教育测试成绩在80分以上的人数.
（1）解：由条形统计图与扇形统计图中A等级数据可得（人）；
则B等级的人数有（人）；
D等级的学生人数：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：∵，
∴；
则D等级所对应扇形圆心角的度数为；
（3）解：该校共有800名学生，
∴；
∴估计该校有352名学生校园安全教育测试在80分以上；
22．【答案】（1）证明：由平移得，，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平移的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由平移性质得，，，由二直线平行，内错角相等得到，再由线段中点的定义得到，从而即可用AAS判断出△AOD≌△COE；
（2）由二直线平行，内错角相等得到，再由角平分线的定义得到，最后再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
（1）证明：由平移得，，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
23．【答案】解：任务一，设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元．
则由题意可得，
解得．
答：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元．
任务二，设采购A型套装a箱，B型套装b箱．
则由题意可得：，
化简得，
则回收成本为（元），
答：超市回收所有礼品盒所需成本为600元．
（3）640
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：任务三，设采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱．
则由题意可得：
①②得：④，
得：⑤，
∴，，
由题意，，得，解得，
又∵p，q，z都是正整数，且m是偶数，
∴．
故答案为：640.
【分析】任务一，设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元 ”列出方程组，求解即可；
任务二，设分别购买A，B型礼盒套装a，b箱，根据“支出9000元购买礼盒套装”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，根据“每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元”，再用a，b表示出回收费用，整体代入即可求出；
任务三，设分别采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱，根据“三种礼盒套装共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和m个腊肉棕 ”列出方程组，用含m的式子分别表示出p、q，并结合p＜44，q＜49列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，进而再根据“p，q，z都是正整数，且m是偶数”可得答案.
24．【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图所示：
，
由（1）得，，
，
，
；
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，等量代换得∠A+∠D=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明结论；
（2）过P作PQ∥AB，由二直线平行，同旁内角互补得∠AEP+∠EPQ=180°，由平行于同一直线的两条直线平行得PQ∥CD，得到由二直线平行，同旁内角互补得∠QPF+∠DFP=180°，然后将两个等式相加并结合∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=90°，即可解答；
（3）过点N作NT∥AD，过点F作FS∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AD∥NT∥FS∥BC，由角平分线的定义可得∠NPF=∠CPF，∠MAB=∠NAB，设，，，根据平行的性质得到，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图1所示：
，
由（1）得，，
，
，
，
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
1 / 1浙江省宁波市镇海区仁爱中学2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·镇海区期末）下列调查中，适合用抽样调查方式的是（　　）
A．旅客登飞机前的安检
B．了解全校同学每周的体育锻炼时间
C．调查某批汽车的抗撞击能力
D．学校招聘教师，对应聘人员面试
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、旅客登飞机前的安检，事关重大，适合普查，不符合题意；
B、了解全校同学每周的体育锻炼时间，此调查适合普查，不符合题意；
C、调查某批汽车的抗撞击能力，由于调查具有破坏性，此调查适合抽样调查，符合题意；
D、学校招聘教师，对应聘人员进行面试，由于工作量不大且普查收集的数据更加准确，此调查适合全面调查，不适合抽样调查，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】调查方式的选择，需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析；普查结果准确，所以在要求结果精确、难度相对不大，实验没有破坏性的前提下选择普查方式；当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查所需经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查，结合各选项即可判断求解.
2．（2024七下·镇海区期末）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立
C． 比 D．曲
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：观察可得，A下面部分是对称的，故不能通过平移得到，不符合题意；
B和D可以近似看作轴对称图形，不能通过平移得到，故不不会题意；
C可以看做是利用图形的平移得到．
故答案为：C．
【分析】根据图形平移的性质解答即可．平移前后对应点连线平行且相等.
3．（2024七下·镇海区期末）下列每组数分别是三根小木棍的长度，用它们能摆成三角形的是（　　）
A．3，7，10 B．6，8，16 C．13，11，20 D．6，6，12
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A、∵3+7=10，∴长度为3、7、10的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
B、∵6+8＜16，∴长度为6、8、16的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意；
C、∵13+11＞20，∴长度为13、11、20的三根小木棍能摆成三角形，故此选项符合题意；
D、∵6+6=12，∴长度为6、6、12的三根小木棍不能摆成三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”即可逐一判断得出结论.
4．（2024七下·镇海区期末）能说明命题“若，则”是假命题的反例是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】真命题与假命题；举反例判断命题真假
【解析】【解答】解：A、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
B、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
C、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例不可以为：，；
D、∵当，时，
，，
∴“若，则”是假命题的反例可以为：，.
故答案为：D．
【分析】把已知数据代入各个选项计算即可判断求解．
5．（2024七下·镇海区期末）要使分式有意义，x的取值应满足（　　）
A． B． C．或 D．且
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：依题意得：，
故且．
故答案为：D．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不能为零，列出不等式，求解即可.
6．（2024七下·镇海区期末）下列各式：①；②；③；④中，因式分解正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：①，故①错误；
②，故②错误；
③，故③正确；
④，故④正确，
综上因式分解正确的个数是2个.
故答案为：B.
【分析】将一个多项式化为几个整式的乘积形式的恒等变形就是因式分解，据此判断因式分解是否正确，需要从以下几个方面来判断：①变形后的式子是否是整式的乘积形式，②分解后的乘积形式展开后是否与原式一致，③是否每一个因式都不能再继续分解，④是否运用公式正确，据此逐一判断得出答案.
7．（2024七下·镇海区期末）“绿水青山就是金山银山”．某地为美化环境，计划种植树木1200棵．在种植完400棵后，由于志愿者的加入，实际每天种植的棵树比原计划增加了，结果比原计划提前4天完成任务．设原计划每天植树x棵，则所列方程正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原计划每天植树x棵，
根据等量关系即可得到，
故答案为：B．
【分析】设原计划每天植树x棵，则种植完400棵后实际每天植树x(1+25％)棵，根据工作总量除以工作效率等于工作时间及实际用时比原计划提前4天，列出方程即可.
8．（2024七下·镇海区期末）将一副直角三角板如图放置，已知∠B＝60°，∠F＝45°，，则∠CGD＝（　　）
A．45° B．60° C．75° D．105°
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；两直线平行，内错角相等；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠B=60°，∠ACB=90°，
∴∠A=90°-∠B=30°，
∵，
∴∠FDA=∠F=45°，
∴∠CGD=∠A+∠FDA=45°+30°=75°．
故答案为：C．
【分析】由直角三角形的两锐角互余得出∠A=30°，由二直线平行，内错角相等得出∠FDA=∠F=45°，再由三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和即可求出∠CGD的度数．
9．（2024七下·镇海区期末）一个天平配有重量分别为1，5，25，125，625克的砝码各5个，则为了准确称出重量为2024克的某物品（砝码只能放一侧），所需砝码数量的值为（　　）
A．11 B．12 C．13 D．14
【答案】B
【知识点】有理数混合运算的实际应用
【解析】【解答】解：∵，
∴625克的砝码需要3个；
∴，
∵，
∴125克的砝码需要1个；
∴，
∵25＞24，
∴25克的砝码需要0个，
∵，
∴5克的砝码需要4个，1克的砝码需要4个；
∴所需砝码数量的值为（个）.
故答案为：B.
【分析】根据砝码的重量，结合要称出的物品重量，按照从大到小的顺序逐步确定砝码的数量，最后再求和即可.
10．（2024七下·镇海区期末）如图，在中，，，射线是的角平分线，交于点D，过点B作的垂线与射线交于点E，连接，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点G．则下列结论中：①；②垂直平分；③；④；⑤．正确的有（　　）
A．①②⑤ B．①③④ C．②③⑤ D．②③④
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=∠ACB=90°，
∴∠ADC=∠AEB=67.5°，∠DBE=45°，
∴∠ADC=∠BDE=∠BEA，
∴BD=BE，
又点M是DE的中点，
∴垂直平分，∠DBM=∠EBM=22.5°，故②正确，
∴∠MAG=∠CBG=22.5°，
在△ADC与△BGC中，
∵∠MAG=∠CBG，AC=BC，∠ACD=∠BCG=90°，
∴△ADC≌△BGC（ASA），故①正确；
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
∵，∠GBE=22.5°，
∴，故④错误；
若，则，
∴，
∴，
∴BC＞AC，与已知AC=BC矛盾，
∴与不垂直，故③错误，
综上，正确的有①②⑤.
故答案为：A．
【分析】由等腰直角三角形的性质得∠BAC=∠ABC=45°，由角平分线的定义得∠BAE=∠DAC=22.5°，由直角三角形的两锐角互余得∠ADC=∠AEB=67.5°，结合对顶角相等得∠BDE=∠BEA，由等角对等边得BD=BE，由等腰三角形三线合一得BG垂直平分DE，∠DBM=∠EBM=22.5°，据此可判断②；用ASA证△ADC≌△BGC，据此可判断①；由全等三角形的对应边相等得CD=CG，然后根据线段和差及等量代换可得AC=BE+CG，据此可判断⑤；根据∠G与∠GBE的度数可判断④；利用反证法，假设BE⊥CE，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得AB∥CE，由平行线性质及角平分线定义推出∠CEA=∠BAF=∠CAF=22.5°，由等角对等边得AC=CE，从而可得BC＞AC，与已知AC=BC矛盾，从而假设不成立，据此可判断③.
11．（2024七下·镇海区期末）截至2023年底，宁波市常住人口为9690000人，其中9690000用科学记数法可以表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此求解即可.
12．（2024七下·镇海区期末）已知方程，用关于的式子表示，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：方程，
移项，得4y=6-x，
方程两边同时除以4，将未知数y的系数化为1，得
∴，
故答案为：．
【分析】首先移项，将含y的项放在方程的左边，其它所有的项都移到方程的右边，再在方程两边同时除以除以4，将未知数y的系数化为1即可.
13．（2024七下·镇海区期末）如图，若，则、、之间的关系为　 　.
【答案】
【知识点】平行公理的推论；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，如图所示．
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD∥AB，
∴∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF.
∴∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，
又∵∠AEF+∠CEF=∠β，
∴∠α+∠β ∠γ=180°.
故答案为：∠α+∠β ∠γ=180°.
【分析】由平行线公理“平行于同一直线的两直线互相平行”可得出EF∥CD∥AB，再根据“两直线平行，内错角相等（同旁内角互补）”得∠α+∠AEF=180°，∠γ=∠CEF，根据整式性质将两式相加得∠α+∠AEF+∠CEF=180°+∠γ，再将∠AEF+∠CEF=∠β整体代入变形即可得出结论.
14．（2024七下·镇海区期末）已知，则的值为　 　．
【答案】16
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴
；
故答案为：16．
【分析】由已知方程可得2x-5y=4，然后将待求式子中除式逆用幂的乘方的性质先写成以2为底的幂的形式，再使用同底数幂的除法法则计算，最后把已知条件代入计算即可．
15．（2024七下·镇海区期末）如图，张如图1的长为，宽为长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则，满足的数量关系为　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵张长为，宽为长方形纸片，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】从图形可知空白部分的面积=中间边长为的正方形面积+上下两个直角边长分别为和的直角三角形的面积+左右两个直角边为和的直角三角形面积，阴影部分的面积=边长为(a+b)的大正方形面积-空白部分面积，据此根据正方形、三角形面积计算公式，分别列出式子，再根据整式混合运算的运算顺序计算，最后根据建立等式，再根据完全平方公式分解因式后，开平方可得结论.
16．（2024七下·镇海区期末）如图，在△ABC与△DBE中，∠BAC=∠BDE=100°，AB=AC，DB=DE，则∠ABD+∠DEC的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系；全等三角形中对应角的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图所示，延长AC到F，使CF＝AD，连接EF.
、
，
，
；
，
，
；
故答案为：．
【分析】
延长AC到F，使CF＝AD，连接EF，则利用已知可得FD＝AB、再利用三角形外角的性质结合已知 ∠BAC=∠BDE可证，再利用已知 DB=DE可证，由全等的性质可得 △FCE是等腰三角形，且顶角 ∠F=100° ，则底角恰好等于所求的两个角的和等于40 ° ．
17．（2024七下·镇海区期末）因式分解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
.
【知识点】因式分解﹣公式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】（1）由于多形式首项符号是负号，故先利用添括号法则把多项式放到一个带负号的括号内，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）由于多项式各项具有相同的因式xy，故先提公因式xy，再利用平方差公式把商式继续分解因式即可.
（1）解：
；
（2）解：
；
18．（2024七下·镇海区期末）解方程（组）：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
整理得：，
①+②，得y=2，
将代入②，得2x-6=1，
解得，
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
经检验是方程的根，
．
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）首先将方程组整理成一般形式，发现方程组的两个方程中未知数x的系数互为相反数，故利用加减消元法求解较为简单，从而利用方程①+②消去x求出y的值，再将y的值代入②方程求出x的值，即可得到原方程组的解；
（2）首先将方程中第一个分式的分母利用完全平方公式法分解因式，然后方程两边同时乘以各个分母的最简公分母(x-1)2约去分母，将分式方程转化为整式方程，解整式方程求出x的值，再检验即可得出原方程解的情况.
（1）解：，
整理得：，
把②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
经检验是方程的根，
．
19．（2024七下·镇海区期末）（1）计算：；
（2）计算：；
（3）先化简：，再从，，0这5个数中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式；
（3）原式；
∵，且，
∴时，；或时，．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）按乘方的意义、零指数幂性质“a0=1(a≠0)”、负整数指数幂的运算法则“”分别计算，再计算有理数的加法即可；
（2）先算单项式乘多项式，再计算多项式除以单项式即可；
（3）根据分式的混合运算的法则和步骤，先把括号内的部分通分计算，然后把除法化为乘法，因式分解后约分即可化简，再代入使原分式有意义的x的值计算即可.
20．（2024七下·镇海区期末）如图，在中．
（1）利用尺规作图，在边上找到一点P，使得点P到、的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，过点P作，垂足为D，若，，求的长．
【答案】（1）解：图形如图所示：
（2）解：∵AP平分，，，
∴，，=90°
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）由于角平分线上的点到角两边的距离相等，故要满足到AC、AB距离相等的点就在AB、AC所形成夹角的角平分线上，利用尺规作角平分线的方法作∠BAC的角平分线，该线与BC相交于点P，该点就是所求的点；
（2）根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到PC=PD，然后用AAS判断出△CAP≌△DAP，由全等三角形的对应边相等得AD=AC=5，进而根据线段和差即可算出BD的长.
（1）图形如图所示：
（2）∵AP平分，，，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴．
21．（2024七下·镇海区期末）某校为了预防“校园欺凌”，对本校所有学生进行校园安全教育，并对学生进行了安全教育测试（满分100分），将成绩得分用x表示，根据得分将成绩分为五个类别：A（），B（），C（），D（），E（）．现随机抽取部分学生的成绩进行调查研究，并将调查结果制成如下两幅不完整的统计图：
（1）在本次调查中共抽取了______名学生；请把条形统计图补充完整；
（2）扇形统计图中______，类别D所对应的扇形圆心角的度数是______度；
（3）若该校有800名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校有多少名学生校园安全教育测试在80分以上．
【答案】（1）解：本次调查抽取的总人数为：（人）；
则B等级的人数有（人）；
D等级的学生人数：（人），
补全条形统计图如下：
故答案为：50；
（2）32；
（3）解：该校共有800名学生，
∴；
∴估计该校有352名学生校园安全教育测试在80分以上.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（2）解：∵，∴；
则D等级所对应扇形圆心角的度数为；
故答案为：32；57.6°；
【分析】（1）由条形统计图与扇形统计图的提供的相关数据，用A等级人数除以其所占百分比可求出本次调查抽取的总人数；用 本次调查抽取的总人数乘以B等级人数所占比例即可得到B等级人数，根据各个等级的人数之和等于本次调查抽取的总人数可求出D等级人数，从而补全条形统计图；
（2）利用C等级的学生人数除以本次调查抽取的学生总人数即可得m的值，再由D等级人数所占比例乘以360°即可得到D等级所对应扇形圆心角的度数；
（3）该校学生总人数乘以样本中安全教育测试在80分以上的人数占比即可估计该校学生校园安全教育测试成绩在80分以上的人数.
（1）解：由条形统计图与扇形统计图中A等级数据可得（人）；
则B等级的人数有（人）；
D等级的学生人数：（人），
补全条形统计图如下：
（2）解：∵，
∴；
则D等级所对应扇形圆心角的度数为；
（3）解：该校共有800名学生，
∴；
∴估计该校有352名学生校园安全教育测试在80分以上；
22．（2024七下·镇海区期末）如图，已知△ABC中，∠C=50°，将AB沿射线BC方向平移至DE，使E为BC的中点，连接AD，记DE与AC的交点为O．
（1）求证：；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）证明：由平移得，，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平移的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【分析】（1）由平移性质得，，，由二直线平行，内错角相等得到，再由线段中点的定义得到，从而即可用AAS判断出△AOD≌△COE；
（2）由二直线平行，内错角相等得到，再由角平分线的定义得到，最后再由二直线平行，同旁内角互补可求出∠B的度数.
（1）证明：由平移得，，，
∴，
∵E为中点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）得，，
∴
∵平分，
∴，
∵，
∴．
23．（2024七下·镇海区期末）请同学们根据以下素材，完成任务．
设计粽子采购方案
“端午节”是我国的传统佳节，民间历来有吃粽子的习俗．某超市提前采购粽子礼盒套装进行售卖，现需考虑采购粽子礼盒的方案及采购成本．
素材一 已知采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元．
素材二 （1）已知A，B，C三类礼品盒的数量都为正整数；（2）为了响应环保节约的倡议，该超市向顾客推出回收礼品盒活动，每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元．
素材三 某粽子生产商提供信息如下：（1）A套装包含：4个豆沙粽，4个火腿粽和6个腊肉粽；（2）B套装包含：3个豆沙粽，5个火腿粽和6个腊肉粽；（3）即将推出的新品C套装包含：6个豆沙粽，4个火腿粽和4个腊肉粽．
任务一 求A、B型礼盒套装每箱各多少元？
任务二 若该超市准备支出9000元（全部用完）来采购A、B型套装粽子，假设全部售完并且回收完，则超市回收礼品盒空盒的成本为多少？
任务三 若同时采购A、B、C三种礼盒套装，并且要求共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和若干个腊肉棕，其中A类礼品盒套装少于44盒，B类礼品盒套装少于49盒．如果所有礼品盒里的腊肉粽的总个数为m，则m的值为______．
【答案】解：任务一，设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元．
则由题意可得，
解得．
答：A型套装每箱120元，B型套装每箱150元．
任务二，设采购A型套装a箱，B型套装b箱．
则由题意可得：，
化简得，
则回收成本为（元），
答：超市回收所有礼品盒所需成本为600元．
（3）640
【知识点】一元一次不等式组的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；三元一次方程组的应用
【解析】【解答】解：任务三，设采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱．
则由题意可得：
①②得：④，
得：⑤，
∴，，
由题意，，得，解得，
又∵p，q，z都是正整数，且m是偶数，
∴．
故答案为：640.
【分析】任务一，设A型套装每箱x元，B型套装每箱y元，根据单价乘以数量等于总价及“ 采购20箱A型礼盒套装和10箱B型礼盒套装需要3900元，采购30箱A型礼盒套装和20箱B型礼盒套装需要6600元 ”列出方程组，求解即可；
任务二，设分别购买A，B型礼盒套装a，b箱，根据“支出9000元购买礼盒套装”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，根据“每个A型礼品盒空盒可回收8元，每个B型礼品盒空盒可回收10元”，再用a，b表示出回收费用，整体代入即可求出；
任务三，设分别采购A类套装p箱，B类套装q箱，C类套装z箱，根据“三种礼盒套装共购进515个豆沙粽，525个火腿粽和m个腊肉棕 ”列出方程组，用含m的式子分别表示出p、q，并结合p＜44，q＜49列出关于字母m的不等式组，求解得出m的取值范围，进而再根据“p，q，z都是正整数，且m是偶数”可得答案.
24．（2024七下·镇海区期末）如图，在四边形中，已知，．
（1）求证：；
（2）如图2，以边上一点P为顶点作直角，两直角边分别交于E、F两点，则求的度数．
（3）如图3，在（2）的条件下，边上存在一点N，使得，连接．延长交延长线于点M，若恰好平分、，且，求的大小．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图所示：
，
由（1）得，，
，
，
；
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
【知识点】角平分线的概念；平行线的判定与性质的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补得∠A+∠B=180°，等量代换得∠A+∠D=180°，从而由同旁内角互补，两直线平行即可证明结论；
（2）过P作PQ∥AB，由二直线平行，同旁内角互补得∠AEP+∠EPQ=180°，由平行于同一直线的两条直线平行得PQ∥CD，得到由二直线平行，同旁内角互补得∠QPF+∠DFP=180°，然后将两个等式相加并结合∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=90°，即可解答；
（3）过点N作NT∥AD，过点F作FS∥AD，由平行于同一直线的两条直线互相平行得AD∥NT∥FS∥BC，由角平分线的定义可得∠NPF=∠CPF，∠MAB=∠NAB，设，，，根据平行的性质得到，即可解答．
（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：过点P作，如图1所示：
，
由（1）得，，
，
，
，
（3）解：过点N、F作，，如图所示：
，
．
平分、，
，，
不妨设，，，
，①
，
，，
，
，②
，
，
，
，
，
又，
，③
由①②③式可得，，即
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