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2025中考备考专题训练8圆
1．如图，在△ABC中，，以为直径作，交底边于点D，过点D作于点G，延长交于点E，连接，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
2．如图，是的直径，C 是上一点，过点 C作 ，垂足为E，交于点 D ，连接 、、，过点B作直线交的延长线于F，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ， ，求的值．
3．如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，则的长为______．
4．如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
5．已知：如图1，是的直径，是弦，垂直于F交于E，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
(3)如图2，利用尺规作图，连接，在直径上确定一点P，使．
6．如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
(1)证明：是的切线；
(2)证明：；
(3)若，，求线段的长．
7．如图，△ABC内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
8．如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
9．如图，以为直径的上有两点，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且，过点作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，且，求的长．
10．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，E为的中点，求的长．
11．如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且．
(1)若，求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)若，设，求k的值．
12．如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，．
(1)求证：；
(2)求的直径；
(3)延长到H，使．求证：是的切线．
13．如图，线段为的直径，点在上，，垂足为点，连接，弦与线段相交于点．

(1)求证：；
(2)若，在的延长线上取一点，使的半径为6．求证：直线是的切线．（用两种证法解答）
14．如图，在中，，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，．过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
15．如图，是的直径，是上异于点、的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求常数的值．
16．如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的直径．
17．如图，是的直径，C是上一点， C于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
18．如图，为的直径，点C，D在圆上，，过点C作射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
19．如图，在中， ，以斜边上的中线为直径作，与、分别交于点M、N，与的另一个交点为E．过点N作，垂足为F，连接交于H；其中，．

(1)求证：是的切线；
(2)求和的长．
20．如图，是的直径，点是上的一动点（不写点，点重合），点是延长线上的一点，连接，，，且有，作的平分线交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)【问题探究】若，，则的值为________；
(3)【拓展延伸】若，，求的值．（用含和的代数式表示）
21．如图，在中，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连解交于点F，且．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若的半径为2，，求的长．
22．已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．

(1)求证：①；
②直线是的切线；
(2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径；
(3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
23．如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，．

(1)若的半径为11，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值．
24．如图，、均为的直径，，交于点，且，与的交点为．

(1)求证：；
(2)连接，若，求证：是的切线；
(3)在（）的条件下，连接，交于点，求的值．
25．如图，以的边为直径的交边于点D，，点F为上的点，连接，若点D是弧的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弦的长；
(3)连接，在（2）的条件下，求的值．
26．如图，四边形内接于，，，，垂足为点，是的直径，点是弧上异于点、的一点，点在的延长线上，且，与交于点，设，．
(1)若，直接写出的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若，，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
27．如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
28．如图，是的直径，D是的中点．于点E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
29．中，以为直径的交于，交于，连接，．
(1)如图1：求证；
(2)如图2：为的直径，交于，求证：；
(3)在（2）的条件下，为上一点，交于，若，，，求的长．
30．如图，四边形内接于为的直径，，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当时，求的长．
31．如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的长．
32．如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
33．是的直径，直线是的切线，切点是点，连接，点是上一点，过点作，垂足为，直线分别交直径，于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线交于点，连接，连接并延长交直线于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，是中点，连接，，，求直径的长．
34．如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
(1)求的度数；
(2)求证：直线与相切：
(3)看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
1．如图，在中，，以为直径作，交底边于点D，过点D作于点G，延长交于点E，连接，交于点F．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的半径．
2．如图，是的直径，C 是上一点，过点 C作 ，垂足为E，交于点 D ，连接 、、，过点B作直线交的延长线于F，使得．
(1)求证：是的切线；
(2)若 ， ，求的值．
3．如图，在菱形中，点E 在上，连接交于点F，经过A、B、E，点F 恰好在上 ．
(1)求证：；
(2)求证：是的切线；
(3)若，，则的长为______．
4．如图，是的直径，点C是上的一点，点P是延长线上的一点，连接，．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)若于D，，，求的长．
5．已知：如图1，是的直径，是弦，垂直于F交于E，连接，且．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
(3)如图2，利用尺规作图，连接，在直径上确定一点P，使．
6．如图，是的切线，切点为B，点A在⊙O上，且，连接并延长交于点C，交直线于点D，连接．
(1)证明：是的切线；
(2)证明：；
(3)若，，求线段的长．
7．如图，内接于，点为的中点，连接，平分交于点，过点作交的延长线于点．
(1)求证：是的切线．
(2)求证：．
(3)若，，求的长．
8．如图，是的两条直径，且，点E是上一动点（不与点B，D重合），连接并延长交的延长线于点F，点P在上，且，连接分别交于点M，N，连接，设的半径为．
(1)求证：是的切线；
(2)当时，求证：；
(3)在点E的移动过程中，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
9．如图，以为直径的上有两点，，过点作直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接，，且，过点作平分交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，且，求的长．
10．如图，是的直径，点C为上一点，连接，点D在的延长线上，点E在上，过点E作的垂线分别交的延长线于点F，交于点G，且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，E为的中点，求的长．
11．如图，上有A，B，C三点，是直径，点D是的中点，连接交于点E，点F在的延长线上，且．
(1)若，求的度数；
(2)求证：是的切线；
(3)若，设，求k的值．
12．如图，点A，B，C，D是直径为的上四个点，C是劣弧的中点，交于点E，．
(1)求证：；
(2)求的直径；
(3)延长到H，使．求证：是的切线．
13．如图，线段为的直径，点在上，，垂足为点，连接，弦与线段相交于点．

(1)求证：；
(2)若，在的延长线上取一点，使的半径为6．求证：直线是的切线．（用两种证法解答）
14．如图，在中，，以为直径的半圆交斜边于点，为的中点，连结，．过点作于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的半径．
15．如图，是的直径，是上异于点、的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．
(1)求证：直线是的切线；
(2)若，，求常数的值．
16．如图，在中，为的直径，点E在上，D为的中点，连接并延长交于点C．连接，在的延长线上取一点F，连接，使．
(1)求证：为的切线；
(2)若，，求的直径．
17．如图，是的直径，C是上一点， C于点D，过点A作的切线，交的延长线于点P，连接并延长与的延长线交于点E．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求的长．
18．如图，为的直径，点C，D在圆上，，过点C作射线的垂线，垂足为E．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求的长．
19．如图，在中， ，以斜边上的中线为直径作，与、分别交于点M、N，与的另一个交点为E．过点N作，垂足为F，连接交于H；其中，．

(1)求证：是的切线；
(2)求和的长．
20．如图，是的直径，点是上的一动点（不写点，点重合），点是延长线上的一点，连接，，，且有，作的平分线交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)【问题探究】若，，则的值为________；
(3)【拓展延伸】若，，求的值．（用含和的代数式表示）
21．如图，在中，以为直径的交于点D，点E为弧的中点，连解交于点F，且．
(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若的半径为2，，求的长．
22．已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．

(1)求证：①；
②直线是的切线；
(2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径；
(3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由．
23．如图，点D在的边上，以为直径作的外接圆，记为，．

(1)若的半径为11，，求的值；
(2)求证：是的切线；
(3)已知平分，交于点E，交于点F．若，，，求的值．
24．如图，、均为的直径，，交于点，且，与的交点为．

(1)求证：；
(2)连接，若，求证：是的切线；
(3)在（）的条件下，连接，交于点，求的值．
25．如图，以的边为直径的交边于点D，，点F为上的点，连接，若点D是弧的中点．

(1)求证：是的切线；
(2)若，，求弦的长；
(3)连接，在（2）的条件下，求的值．
26．如图，四边形内接于，，，，垂足为点，是的直径，点是弧上异于点、的一点，点在的延长线上，且，与交于点，设，．
(1)若，直接写出的度数；
(2)求证：直线是的切线；
(3)若，，以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．
27．如图，是的直径，是上异于的点．外的点在射线上，直线与垂直，垂足为，且．设的面积为的面积为．

(1)判断直线与的位置关系，并证明你的结论；
(2)若，求常数的值．
28．如图，是的直径，D是的中点．于点E，过点D作的平行线，连接并延长与相交于点G．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)若，求的值．
29．中，以为直径的交于，交于，连接，．
(1)如图1：求证；
(2)如图2：为的直径，交于，求证：；
(3)在（2）的条件下，为上一点，交于，若，，，求的长．
30．如图，四边形内接于为的直径，，过点的直线l交的延长线于点M．交的延长线于点N且．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：；
(3)当时，求的长．
31．如图，四边形内接于，是的直径，点D在的延长线上，延长交的延长线于点F，点C是的中点，．
(1)求证：是的切线；
(2)求证：是等腰三角形；
(3)若，，求的长．
32．如图1，是的直径，是上一点，于，是延长线上一点，连接，，是线段上一点，连接并延长交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，求证：；
(3)如图2，若，，点是的中点，与交于点，连接．请猜想，，的数量关系，并证明．
33．是的直径，直线是的切线，切点是点，连接，点是上一点，过点作，垂足为，直线分别交直径，于点，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，直线交于点，连接，连接并延长交直线于点，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，是中点，连接，，，求直径的长．
34．如图，是的直径，点、是上异于、的点．点在外，，延长与的延长线交于点，点在的延长线上，，．点在直径上，，点是线段的中点．
(1)求的度数；
(2)求证：直线与相切：
(3)看一看，想一想，证一证：
以下与线段、线段、线段有关的三个结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由．2025中考备考专题训练8圆
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由等边对等角可得和，则有，得到，则有，即可判定为切线；
（2）由（1）知，可证，则有，设，则，即可求的半径．
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵为半径，
∴是的切线：
（2）解：由（1）知，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，解得，（舍去），
则的半径为．
【点睛】本题主要考查切线的判定、等边对等角、平行线的判定和性质、相似三角形的判定和性质以及解一元二次方程，解题的关键是熟悉圆的相关性质．
2．(1)见解析
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角等于得出，则，由同弧所对的圆周角相等得出，结合已知条件，等量代换可得出，即，加上为的半径，即可证明．
（2）由直径所对的圆周角等于得出，则，则，由同弧所对的圆周角相等得出，证明，由相似三角形的性质得出，即可求出，利用勾股定理求出，由垂径定理得出，由正切的定义得出，，等量代换得出
【详解】（1）证明∵为的直径，
∴
∴，
∵
∴
又∵，
∴ ，
∴即
即，
∴ ，
又为的半径，
∴为的切线．
（2）∵为的直径，
∴，
∴，
∴
∵
∴
又∵
∴ ，
∴
∴
∴ ，
∴
∵为的直径且，
∴
∵在中，
，
在中，
，
∵，
∴，
∵中，，
中， ，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定定理，直径所对的圆周角等于，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定以及性质，勾股定理，垂径定理，正切的定义等知识，掌握这些定理以及性质是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由平行得，由菱形性质得，即可证明；
（2）连接并延长交于H，连接，证明，得，根据圆的内接四边形性质得，证明出，再证，证明出，根据三线合一性质得，由平行即可证明出，即可解答；
（3）由求出，求出，再由，求出后即可解答．
【详解】（1）证明：∵四边形为菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接并延长交于H，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴是的切线；
（3）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题目主要考查等腰三角形的判定与性质，切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，菱形的性质等知识点，熟练应用圆的相关定理及三角形全等、三角形相似等知识点的应用是本题的解题关键．
4．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）首先由直径得到，然后利用等边对等角得到，等量代换得到，进而证明即可；
（2）利用得到，求出，然后利用直角三角形两锐角互余得到，进而求解即可；
（3）设，证明出，得到，然后表示出，然后利用勾股定理求解即可．
【详解】（1）如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）设，
在中，，
∴
∴
∵
∴
∴
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，整理得，
解得，（舍去），
故．
【点睛】此题考查了直径的性质，切线的判定，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．
5．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）由同弧对的圆周角相等得，结合，得，再由垂直得，从而，即可证明结论成立；
（2）连接，则，由（1）知，则得，则有；设，由勾股定理求得，则可求得x的值，进而求得结果；
（3）过点E作的平行线交于点P，则点P即可所求作的点．
【详解】（1）证明：，
，
，
；
，
，
，
即，
因为圆的半径，
故是的切线；
（2）解：如图，连接，
是直径，，
，；
由（1）知，，
，
；
设，由勾股定理求得，
，
即，
；
（3）解：过点E作的平行线交于点P，则点P即可所求作的点．
连接，由，则，
又O是中点，则，
因为
，
，
则．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，切线的判定，直径对的圆周角是直角，同弧对的圆周角相等，勾股定理，尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线等知识，熟练运用这些知识是解题的关键．
6．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，判定，从而得到，即可得证；
（2）连接，根据弦切角等于所夹弧所对的圆周角推出判定的条件，判定相似后根据相似三角形的性质即可推出结论；
（3）先解直角三角形，求出，再根据锐角三角函数的定义和已知条件求出的长，再根据勾股定理即可求出．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的切线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
又∵点A在上，
∴是的切线；
（2）证明：如图2，连接，,
∴
∴
∵是的切线，
∴即
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：在中，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
在中，．
【点睛】本题主要考查圆的切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形等知识点，深入理解题意解决问题的关键．
7．(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）如图，连接，证明，结合，可得，从而可得结论；
（2）证明，，结合，，再进一步可得结论；
（3）如图，连接，证明，再证明，可得，结合，从而可得答案；
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，且OD是的半径，
∴DF是的切线；
（2）证明：∵点为的中点，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，而，
∴，
∵四边形为的内接四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，而，
∴，
∴，经检验，符合题意；
【点睛】本题考查的是圆周角定理的应用，切线的判定，相似三角形的判定与性质，圆的内接四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
8．(1)见解析
(2)见解析
(3)是定值，为200
【分析】（1）连接，由直径所对圆周角是直角可得，则，由，可知，根据，可得，进而可证得，即可证明结论；
（2）由圆周角定理可知，进而可得，，再证明，结合含的直角三角形即可求解；
（3）证明，得到即可．
【详解】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∵，则，
∴，
∵，
∴，
则，
又∵，
∴，
∴；
（3）是定值，为200，理由如下：
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是定值，为200．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，切线的判定定理，勾股定理，含的直角三角形以及相似三角形的性质等知识，证明是解答本题的关键．
9．(1)见解析
(2)见解析
(3)6
【分析】本题考查圆的综合题，考查了切线判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线性质等知识，正确记忆相关知识点是解题关键．
（1）连接，由已知条件可得，，又，故，是的切线；
（2）先证明，，，可证明∽，∽，∽，根据比例即可得出结论；
（3）证明∽，可得，又∽，可得，在中，，求出，故．
【详解】（1）证明：连接．
，
．
，，
，即．
∵是的半径，
是的切线；
（2）证明：为的直径，
，即．
由（1）知，
．
，，又，
，
，∽，∽，∽．
．
．
∴；
（3）解：取的中点，连接，则．
．
∽．
．
设，则．
，
，
，，
由（2）知，
．
10．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题考查了切线的判定及性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．
（1）连接，可知，得，进而可证得，再根据垂直可知，则，即可得，进而可证得结论；
（2）根据切线的性质得出，根据已知得出，又，则，根据，得出，进而即可得证；
（3）由（1）得，勾股定理求得，进而证明，根据相似三角形的性质得出，，进而根据线段的和差关系即可求解．
【详解】（1）证明：连接，则，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
∴，
又∵点在上，
∴是的切线；
（2）证明：点C是的切点，
，
，
．
又，
，，
，
又，
，
；
（3）解：，
，，
，由（1）得，
在中，由勾股定理得．
点为的中点，
，
．
，，
，
，
，
，，
，
，
．
11．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）利用圆周角定理得到，进而推出，根据题意得到，利用同弧所对的圆周角相等得到，即可解题；
（2）利用等腰三角形性质得到，根据，，推出，即可证明是的切线；
（3）连接，根据题意得到，设，则，利用勾股定理得到，进而得到，，，，，证明，利用相似三角形性质求出，即可解题．
【详解】（1）解：是直径，
，
，
，
点D是的中点，
，
，
；
（2）证明：，
，
，
，
，
，
是直径，且，
是的切线；
（3）解：连接，
，
，
设，则，
，
，
，
解得，
，
，
，
是直径，
，
，
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形性质，切线的判定，锐角三角函数，相似三角形性质和判定，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质．
12．(1)证明见解析
(2)
(3)证明见解析
【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的判定，综合性较强，熟练掌握这些知识点是解题的关键．
（1）根据圆周角定理，由得到，则根据相似三角形的判定方法，即可求证；
（2）由，利用相似比可计算出，再证明，可得，设，则，在中，利用勾股定理，即可求解；
（3）连接，根据圆周角定理得到，再利用正弦定义可求出，可得 为等边三角形，可得，，再由，可得
，从而得到，然后根据切线的判定定理即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵C是劣弧的中点．
∴，
∴，
∵，
∴．
（2）解：∵，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
由（1）知， ．
在中，，
∴．
解得，
∴，
即的直径为．
（3）证明：连接，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
13．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用等腰三角形的性质证明，再根据等腰三角形的判定证明即可；
（2）方法一：连接交于，连接，证明，得出即可；方法二：如图，连接，，证明，得出即可证明．
【详解】（1）证明：如图，∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）方法一：
连接交于，连接，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
而，
∴，
∴，
∴，
又∵点C在上，
∴直线是的切线．
方法二：
如图，连接，
∵为的直径，
∴．

在中，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在上，
∴直线是的切线．
【点睛】本题考查了切线的证明、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相关知识进行推理证明．
14．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连结，先由圆周角定理推论得出，则，再由直角三角形性质与等腰三角形性质证得，即可，即可由切线的判定定理得出结论；
（2）先由勾股定理求得，然后证，得，代入条件即可求解．
【详解】（1）证明：连结，
为的直径，
，
，
在中，为的中点，
，
，
，
，
，
为的半径，
是的切线；
（2）解：在中，，，
由勾股定理得：，
，，
，
，即，
解得：，
的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．
15．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，由直径所对的圆周角等于，得出，结合已知条件得出，由相似三角形的性质得出，由等边对等角得出，等量代换得出，进而得出，由平行线的性质得出，进一步即可得出直线是的切线．
（2）由已知条件可得出，证明，即可得出，设，则，由勾股定理求出，得出，由得出，进一步即可求出m的值．
【详解】（1）证明：连接．如下图：
∵，
∴．
∵是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线．
（2）∵，
∴．
∵，
∴．
∵，，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴．
设，则．
∴在中，，
∴．
由（1），得，
∴，
即，
∴，
∴
【点睛】本题考查的是圆的综合，相似三角形的判定与性质、证明某直线是圆的切线、直径所对的圆周角是，平行线的判定以及性质，勾股定理以及等边对等角等知识，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
16．(1)证明见解析
(2)6
【分析】
（1）如图所示，连接，由直径所对的圆周角是直角得到，由为的中点结合，得到，进而证明，由此即可证明为的切线；
（2）如图所示，连接，同理得，证明，利用相似三角形的性质求出，则的直径为6．
【详解】（1）
证明：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）
解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴的直径为6．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的性质与判定，切线的判定，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键．
17．(1)证明见解析
(2)2
【分析】（1）如图，连接，先由垂径定理得到垂直平分，得到，再证明，得到，由是的切线，推出，即，即可证明是的切线．
（2）如图所示，连接，由是的直径，得到，进而证明，进一步证明，推出，在中，，由此求出，，则，即可得到．
【详解】（1）解：如图，连接，
∵经过圆心，
∴垂直平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，即，
∴是的切线．
（2）解：如图所示，连接，
∵是的直径，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，垂径定理，勾股定理，等边对等角等等，正确作出辅助线是解题的关键．
18．(1)证明见解析
(2)
【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理及推论，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的判定、相似三角形的判定与性质定理是解题的关键．
（1）连接，可证明，可得，进而可得出结论；
（2）连接，证明，得，即可求得长．
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴半径，
∴CE是的切线．
（2）解：如图，连接，

∵为的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
答：的长为．
19．(1)证明见解析
(2)，
【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，勾股定理等等：
（1）连接，，可知，再证，即可证，最后根据切线的定义求得答案；
（2），连接，由勾股定理得，由（1）得点N为得中点，则，证明，由相似三角形的性质可得；由三角形中位线定理得到，则可证明，即可得出答案．
【详解】（1）证明：连接，，如图，
在中，，为斜边中线，
∴，
∵是的直径．
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：如图所示，连接，
在中，由勾股定理得，
由（1）得点N为得中点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
∵D、N分别是的中点，
∴是是中位线，，
∴，
∴，
∴，
∴．
20．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质得出，证得，则可得出结论；
（2）过点作于点，在中，根据得到，进而得到，在中，根据得到，由等面积法可得：，
于是得到，根据平分，得到，进而得到，于是可得到答案；
（3）过点作于点，在中，根据得到，进而得到，在中，根据得到，由等面积法可得：，于是得到，根据平分，得到，进而得到，于是可得到答案；
【详解】（1）证明：如图1，连接，
∵是的直径，
∴，
即．
∵，
∴，
又∵，
∴，
,
,
，
又∵，
∴，
∴，
即，
∴．
又∵为的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：如图2，过点作于点．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面积法可得：，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图2，过点作于点．
∵，，
在中，由可得：．
∴．
在中，由可得：．
在中，由等面积法可得：，
∴．
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查切线的判定，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，掌握相关定理与性质是解题的关键．
21．(1)与相切．证明见解析
(2)
【分析】（1）由直径所对的圆周角是直角得到，则，再由等边对等角得到，由弧中点的定义得到，则，再由，进而得到，即，由此即可得到结论；
（2）先解直角三角形得到由，设，由勾股定理得，解方程得到，则，证明，得到，设，由勾股定理得，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：与相切，证明如下：
是的直径，
，
，
，
又为的中点，
∴，
，
又∵
，即，
又是直径，
是的切线；
（2）解：的半为2，
，
由（1）知，，
∴，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得或（舍去）
，
，

，

，
设，
由勾股定理得，
∴，
解得（负值舍去）
．
【点睛】本题主要考查了切线的判定，弧与圆周角之间的关系，勾股定理， 相似三角形的性质与判定，解直角三角形等等，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
(3)存在，最小值为
【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论；
（2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论；
（3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论．
【详解】（1）证明：①，
，
，
，
；
②作直径，连接，

则，
，
，，
，
经过直径的一端点，
直线是的切线；
（2）解：作直径，连接、．

则，
，
，
∴，
，
，
，
在中，由勾股定理得：
，
，
；
（3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点，
连接、，
，
，
的半径，
，
，
，
，
，
，
根据两点之间线段最短，
此时最小，
最小值为．
∴存在，最小值为．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
23．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由，可得，再求解即可；
（2）连接，则，根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再由圆周角定理可得，利用等量代换可得，再根据切线定理即可得证；
（3）连接，设的半径为r，则，，在中，利用勾股定理列方程求得，可得，再由，可得，在中，利用勾股定理列方程求得，可得，根据角平分线的定义可得，证得，可得，即可求解．
【详解】（1）解：∵是的直径，
∴．
∵的半径为11，
∴．
∵，
∴；
（2）证明：如图1，连接，则，
∴，
∴．
∵是的直径，
∴．
则，
∴，即．
∵是的半径，
∴是的切线．
（3）解：设的半径为r，则，
∴，．
由（2）知，是直角三角形，，
∴，即，
解得，（负值舍去），
∴．
∵，
∴．
在中，，即，
解得，（负值舍去）．
∴．
如图，连接，
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．

【点睛】本题考查圆周角定理、切线定理、等腰三角形的性质、勾股定理、角平分线的定义、相似三角形的性质与判定、解一元二次方程、锐角三角函数，熟练掌握相关定理是解题的关键．
24．(1)见解析；
(2)见解析；
(3)．
【分析】（）连接， 由圆周角定理可得，可证垂直平分，可得；
（）连接，通过证明，可得，即可得结论；
（）由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得， 即可求解.
【详解】（1）证明：如图，连接，

∵是直径，
∴，
∵,，
∴垂直平分，
∴，
∴；
（2）证明：如图， 连接，

∵、均为的直径， ，
∴，，
∵，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴ ，，
∴，
∴，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴是的切线；
（3）连接，交于点，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴
∴
∴．
【点睛】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)
【分析】此题主要考查了切线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、圆周角定理的综合运用．解题的关键是通过作恰当辅助线解决问题．
（1）连接，先证明，可得，再证明为等腰直角三角形，，再利用等腰三角形三线合一性质证得结果；
（2）过点A作，先求得，由，可设，利用勾股定理求得x，再由为等腰直角三角形，求得的长，最后求得的长；
（3）过点F作，利用面积法求得，再由勾股定理求得的长，最后求的值．
【详解】（1）如图，连接，
点D是弧的中点，
，
，
为直径，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为直径，且，
是的切线；
（2）过点A作，
为等腰直角三角形，
，
为直径，
，
，
设，
，
，
解得：（负值舍去），
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
；
（3）过点F作，
，
，
，
，
，
26．(1)
(2)见解析
(3)，见解析
【分析】（1）先根据三角形内角和定理求得，再根据圆周角定理得，，进而可得答案；
（2）先由得，证明，得，进而可得结论；
（3）在上截取点，使得，证明得，由得，由，推出，进而可得，，进而可得结论．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴的度数为；
（2）解：连接，
是的直径，
，
，
，即，，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线；
（3）解：正确，理由如下：
在上截取点，使得，
，，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，化简得：，
，
，
，，
，
，
．
，
点与点重合，
．
【点睛】本题考查了圆周角定理，三角形内角和定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数的应用等知识点．
27．(1)与相切，理由见解析
(2)
【分析】（1）与相切，理由如下：连接，先证得，又证，进而有，于是即可得与相切；
（2）先求得，再证，得，从而有，又，即可得解．
【详解】（1）解：与相切，理由如下：
连接，

∵是的直径，直线与垂直，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴与相切；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴
又∵，
∴，
∴
∵，
∴．
【点睛】本题考查了直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定，勾股定理，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，垂线的性质，相似三角形的判定及性质，切线的判定以及勾股定理等知识是解题的关键．
28．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由垂径定理得出，平分，证出，即可得出是的切线；
（2）证明即可得证；
（3）由垂径定理得出，，由勾股定理求出，证明，得出对应边成比例，由圆周角定理得出，求出，得出、、，求出的长，再由三角函数的定义即可得出结果．
【详解】（1）解：证明：连接，如图所示：

∵D是的中点，
∴，平分，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）∵D是的中点，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∵，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合题目，考查了切线的判定、垂径定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，有一定难度，掌握相关知识点，正确的添加辅助线，是解题的关键．
29．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，由及圆周角定理得，再由，则可得，再由，等边对等角即可求证；
（2）连接，只要证明即可；为此证明即可；由（1）知，，问题即证明；
（3）连接，过点M作于G，由直径对的圆周角为直角及等腰三角形的性质得，则，则可证明；设，则，由题意易得，，从而可得；由（2）知，，则，从而求得，则可分别表示出，在中，由勾股定理建立方程，可求得x的值，再由（2）知，，，则可求得，则由即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
又∵，，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）证明：如图，连接，
由（1）知，，
∴，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，过点M作于G，
∵是直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
∴，，
∴由勾股定理得：，
∴；
由（2）知，，
即，
∴，
由勾股定理得，
∴，
在中，由勾股定理得，
即，
解得，或（舍去）；
∴；
再由（2）知，，，
∴，
∴，
由勾股定理得，
∴，
∴．
【点睛】本题是圆的综合，考查了圆周角定理，直径对的圆周角是直角，垂径定理，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，综合性较强，涉及的知识点多，还要构造适当的辅助线．
30．(1)见详解
(2)见详解
(3)
【分析】本题是圆的综合题，考查了圆的性质，圆周角定理，垂径定理，切线的判定，勾股定理，解直角三角形，矩形的判定和性质，平行线的判定和性质，相似三角形的性质和判定等，难度适中，解题关键是正确添加辅助线．
（1）连接交于点，根据垂径定理的推论可得半径，利用平行线的判定定理由可得，得出半径，再运用切线的判定定理即可证得结论；
（2）连接，可证得，得出，再由，即可证得结论；
（3）连接交于点，连接，利用解直角三角形可得，利用勾股定理可得，再证明四边形是矩形，得出，由垂径定理可得，再根据勾股定理求得，运用相似三角形的性质和判定即可求得答案．
【详解】（1）证明：连接交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线；
（2）证明：连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：连接交于点，连接，如图，
由（1）（2）得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在中，，
，
即，
．
31．(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题为圆中几何问题的综合计算与证明，主要考查切线的判定，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定和相似三角形的判定是解题的关键，（1）连接，根据中位线的性质可得到，再通过等量代换即可得到，从而得到是的切线；（2）利用圆的内接四边形对角相等，得到，从而得到，即可证明是等腰三角形；（3）连接，易证，则，即可得到的长度；再利用勾股定理可得的长，同时可得的长，再利用解直角三角形即可得到的长．
【详解】（1）证明：连接，如下图，
C是的中点，O是的中点，
，
，
，
，
为的直径，
∴，
即，
，
，
是的切线；
（2）证明：点C是的中点，，即，
，
∴，
四边形内接于，
，
，
是等腰三角形；
（3）解：连接，
，，
，
，即，
，，
；
在中，由勾股定理可得，
即，
解得，则，
是圆O的直径，
，
，即．
解得．
32．(1)见解析
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）连接，先由证明，再由，可证得，即可证明；
（2）先证得，，说明，利用相似三角形的性质推得，再由，，判定，利用相似三角形的性质推得，从而可得结论；
（3）结论：．连接、，先证得，，从而，由相似三角形的性质推得，再设，则，从而，结合，可得，进而推得，然后运用勾股定理证即可得到结论．
【详解】（1）证明：如图1，连接，
AI
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，即，
又∵是半径，
∴是的切线；
（2）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴；
（3）解：．理由如下：
如图2，连接、，
∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
点是的中点，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴，，
设，则，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，切线的判定，直径所对的圆周角为直角，相似三角形的判定与性质，同弧或等弧所对的圆周角相等，三角形外角的性质，勾股定理是解题的关键．
33．(1)见解析
(2)见解析
(3)10
【分析】（1）连接，证明，可得，证明，从而可得结论；
（2）连接，证明，再证明 ， 可得， 从而可得结论；
（3）连接，证明，可得，可得，连接 ，证明 ，可得，过点作于点，于点 ， 证明， 可得，证明， 可得，设， ，
，，可得，证明，可得，再建立方程求解即可．
【详解】（1）证明：连接，
是的切线，是的半径
上，
又
，

，
又在中，


（2）连接，


∵在中， ，
又，
，
是的直径 ，
，
，
；
（3）连接
是的中点，


又在中，，

在中，，
连接 又是的直径 ，
，
，
，

，
过点作于点，于点 ，
，
又 ，
，
，
，
，
，
设， ，
，，
又，
，
，
，
又 ，
，
又 ，
，
，
，，
，
解得：，（舍）
，
．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，圆周角定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，切线的性质，本题难度大，作出合适的辅助线是解本题的关键．
34．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）直接利用直径所对的圆周角是直角，即可得出结果；
（2）证明，得到，根据平角的定义，得到，即可得证；
（3）连接，连接交于点，易得，圆周角定理得到，推出，进而得到，根据三角函数推出，得到三点共线，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵是的直径，点是上异于、的点，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵是半径，
∴直线与相切；
（3）我认为：正确，理由如下：
连接，连接交于点，如图，则：，
∴点在线段的中垂线上，
∵，
∴点在线段的中垂线上，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵为的中点，
∴，
∵，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴三点共线，
∴．
【点睛】本题考查圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，并灵活运用，是解题的关键．

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