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广东省佛山市禅城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·禅城期末）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B、，分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．是常数，分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题关键.
分式的定义：如果AB表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式，判断一个式子是否为分式，关键看分母中是否含有字母，含有字母的是分式，不含字母的是整式，根据分式的定义逐个判断即可得出答案．
2．（2024八下·禅城期末）下列环保标志图案，是中心对称图形的是（　　）
A．回收 B．绿色包装
C．节水 D．低碳
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】
本题考查中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题关键.中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，判断一个图形是否为中心对称图形，关键在于能否找到一个这样的点，使图形绕该点旋转180°后与自身重合，根据中心对称图形的定义进行判断即可得出答案．
3．（2024八下·禅城期末）2024年5月27日禅城区的天气情况如图所示，这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵2024年5月27日禅城区的天气，这天的最高气温是，最低气温是，
∴t的变化范围是：．
故答案为：D．
【分析】
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等量关系式解答本题的关键．通过读取给定的气温范围信息，用正确的不等式来表示气温的取值区间，关键在于理解实际数据的边界情况（包含边界值时用≥或≤），不包含边界值时用(＜或＞)，并准确运用不等式符号，根据题目出现了最高气温与最低气温，只需要t大于等于最低气温，小于等于最高气温即可；接下来只需要根据具体的数值即可列出不等式，即写出t的取值范围，由此可得出答案．
4．（2024八下·禅城期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解∶A．， 等式由左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故答案为∶A．
【分析】
本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题关键.因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，关键看是否将多项式转化成几个整式乘积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解这两个相反的过程，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
5．（2024八下·禅城期末）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形三边线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作答，即可的对答案.
6．（2024八下·禅城期末）在中，对角线与相交于点，若，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：，代入数据即可得出答案．
7．（2024八下·禅城期末）中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
8．（2024八下·禅城期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在游戏中，小朋友离地面的最大高度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在AN上截取NH=AN，连接BH，如下图所示，
∵点M是AB的中点
∴MN是△ABH的中位线，则
∴
此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为0.7m，
故答案为：B．
【分析】
本题考查三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半，三角形中位线是解决此类涉及中点和线段长度关系问题的重要依据，通过确定图形中的中位线，利用中位线与底边的数量关系求解未知线段的长度，在AN上截取NH=AN，连接BH，根据三角形中位线定理可知：，代入数据即可得出答案.
9．（2024八下·禅城期末）下列条件中能判定四边形 是平行四边形的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；据此逐项判断即可.
10．（2024八下·禅城期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设一个玻璃球的体积为
由题意得：
解得：，
故答案为：B．
【分析】
本题考查根据实际问题列不等式组并求解，通过分析玻璃球放入前后水与烧杯容量的关系，构建不等式组来确定玻璃球体积的取值范围，重点考查对实际情境的数学抽象和不等式运算能力，根据题意： 将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出可列出：420+5V≤600，再根据当放入第6个时，发现水满溢出可得出：420+6V＞600，联立两个不等式构成一元一次不等式组，解出该不等式组的解集即可得V的取值范围，即可得出答案 ．
11．（2024八下·禅城期末）分解因式： －9=　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．（2024八下·禅城期末）若，则　 　（填“，或”）
【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
13．（2024八下·禅城期末）以4、9为边长的等腰三角形的周长为　 　.
【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为4时，三边长为4，4，9，因为，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为9时，三边长为9，9，4，因为4+9=13＞9，所以9，9，4三边可以构成三角形，
∴此时三角形的周长为，
故答案为：22
【分析】
此题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，等腰三角形两腰长度相等，而三角形三边关系用于判断三条线段能否构成三角形，在求等腰三角形周长时，需要先根据三边关系确定三边长度，再计算周长，根据等腰三角形的定义：两腰相等可确定第三条边的长度，再根据三角形三边关系：两条短边之和大于最长边，来确定三角形中的三条边是否可以构成三角形，最后根据确定的三边计算等腰三角形的周长，等腰三角形的周长=三条边之和，代入数据即可得出答案.
14．（2024八下·禅城期末）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　．
【答案】45°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD，AC//BD，
∴ ∠ACD+∠D=180°，
∵ ∠D=30°，∠ACD=α+∠2
∴ α+∠2=150°.
过点E作EH//CD交BD于点H如图所示：
∴AB//EH//CD，
∴∠BFE+∠FEH=180°，∠HEG+∠2=180°，
∴130°+125°+∠2=360°，
∵∠2=105°，
∴α=150°-105°=45°，
故答案为：45°．
【分析】在图中标出字母，过点E作EH//CD交BD于点H：根据平行四边形的性质求出∠ACD的度数，利用平行线的性质得∠BFE+∠FEH=180°，∠HEG+∠2=180°，代入数据求出∠2的度数，即可求出答案．
15．（2024八下·禅城期末）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下：
整个游戏过程，　 　负责的那一步出现了错误；
【答案】乙、丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，故甲正确；
，故乙错误；
，故丙正确；
，故丁错误；
故答案为：乙、丁．
【分析】
本题考查分式的乘除法运算。熟知分式运算法则是解题关键.分式乘除运算关键是要正确运用运算法则，包括除法变乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数 ）以及约分等操作，在约分过程中要准确对分子分母进行因式分解和约分，根据题目中的各步，依据分式运算法则写出正确的解答过程，即可判断哪一步出错，即可得出答案．
16．（2024八下·禅城期末）（1）因式分解：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
原式
．
（2）
解得：，
经检验是原方程的解
原方程的解是．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解分式方程
【解析】【分析】
本题考查因式分解和分式方程，熟练掌握因式分解的基本方法和解方程的基本步骤是解题的关键．（1）因式分解的方法：提公因式法和公式法，观察代数式先提取公因式x，再用完全平方公式分解即可得出答案．
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，需注意最后要进行检验，因为在去分母过程中可能产生增根，根据解分式方程的步骤解答即可．
17．（2024八下·禅城期末）按下列步骤解不式组：
（1）解不等式①，得：______
（2）解不等式②，得：______
（3）不等式组的解集在数轴上表示为：
（4）不等式组的解集是______
【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
18．（2024八下·禅城期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．
（1）将向下平移5个单位长度得到；
（2）将绕点顺时针旋转后得到，并写出点的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的图形变换，包括平移和旋转。平移的考点是掌握点在坐标系中平移时坐标的变化规律（上下平移改变纵坐标，左右平移改变横坐标 ）；旋转的考点是理解绕某点旋转时坐标的变换方法，通过分析点与旋转中心的相对位置关系，利用旋转的性质（旋转前后线段长度不变，角度改变90°）来确定旋转后点的坐标。本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉平移和旋转性质是解题的关键．
（1）利用平移的性质可直接作出．
（2）利用旋转的性质以及网格的特点可直接作出，然后写出点的坐标即可．
19．（2024八下·禅城期末）观察：
（1）发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）．
（2）逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性．
【答案】（1）奇数
（2）证明：较小的一个为（为整数）
较大的偶数为
为整数，
、均为偶数，
为偶数，
为奇数．
即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；奇数与偶数的认识；用代数式表示数值变化规律
20．（2024八下·禅城期末）如图，在中，，点在上，点在上，，的中垂线交于点，交于点，连接.
（1）求证：.
（2）若，，，求线段的长.
【答案】（1）证明：，
是的垂直平分线，
，
，
，
（2）解：连接PE，
设，则，．
解得：，则的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠A=∠PDA，再根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知：ED=EB，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠EDB=∠B，根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠A+∠B=90°，等量代换得：∠PDA+∠EDB=90°，再根据平角的定义可知：∠PDE=90°，根据垂直的定义可知：PD⊥DE，由此可证得结论；
（2）连接PE，设DE=BE=x，则CE=4-x．由勾股定理可得：，代入数据列出关于x的方程，即，解得x的值即为DE的长度，即可得出答案．
21．（2024八下·禅城期末）2024年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山．禅城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第1签 第2签 第3签 第4签 第5签 第6签 终点
电视塔广场 中山公园东2门 欧洲工业园C区 王借岗公园 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲体育中心
（1）小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用，求的值；
（2）小明计划用（1）中速度从第6签走到终点，走了后途经景点，小明在此游览并小憩共分钟，再以的速度走完剩余的行程，若要到达终点的时间不晚于计划时间，的最大值是多少？
【答案】（1）解：小明从起点走到第三签，一共走了；
从第四签走到第六签，一共走了，
依题意，得，
解得，
经检验：是原方程的解．
答：的值是；
（2）解：小明到达景点需要花费（h），
原计划从第6签到达终点的时间为，
，
解得：．
答：的最大值是20．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
本题主要考查分式方程的应用以及行程问题中的时间、速度和路程关系，熟知速度、时间和路程三者之间的关系是解题关键.
（1）根据路程、速度、时间的关系列出分式方程求解速度，注意得出答案后需要检验，即可得出答案；
（2）根据题意可得出：原计划从第6签到达终点的时间为，再依据行程关系计算不同阶段的时间，再根据时间限制求解变量的最大值．
22．（2024八下·禅城期末）项目式学习
项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题： 选燃油车还是电动车？
项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征.
数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元；型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱）
注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！
数据整理 　 购车费用（元） 每公里耗能费用（元）
型电动车 135000
型燃油车 80000
数据描述 　 行驶公里数（公里） 用车费用（元）
型电动车
型燃油车
项目任务 在同一坐标系中画出、的草图并通过计算回答表中第一行的项目问题；
追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入的多少费用？
政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废.
数据收集 网约车每年平均行程10万公里
电动车保险费：5000元/年
电动车保养费：120元/万公里
根据上述信息解答下列问题：
（1）表中______、______、______、______；
（2）请完成“项目任务”；
（3）请计算“追加任务目的”中的费用.
【答案】（1），，，
（2）解：和的图象如图所示：
令，
解得：，
当时，燃油车用车费用更低，选择传统燃油车划算，
当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样，
当时，新能源电动车费用更低，选择新能源电动车划算；
（3）解：由题意可知，使用年限为60万万年，
则有：.
答：至少需要投入的费用是226200元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：由题意得：，，
，
；
【分析】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，包括根据实际数据构建一次函数表达式，通过函数图象和方程求解来比较不同方案的费用，以及综合计算实际生活中的成本投入。涉及一次函数的性质、方程求解以及对实际问题的数学建模能力。
（1）根据每百公里的耗电数乘以每度电的费用可求出每百公里的费用，再用每百公里的费用除以100可求出a和b的值，再根据行驶路程乘以每公里的费用加上购车费用可得到总费用y，由此可得出答案；
（2）根据(1)知都是一次函数，则可用两点法画出函数图象，再选择方案即可；
（3）每年的费用乘以年限，加上购车费用，求出总费用即可得出答案.
23．（2024八下·禅城期末）综合探究
两张全等的纸片和，，，．
（1）如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由；
（2）将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？
（3）如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由.
【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
△ABC≌△DEF，
，，
四边形EABC是平行四边形.
（2）解：由题意得：，，，
，，
由平移的性质可知：，
，，
，
设，
则，，
若，则，
，
解得：，
，
即平移的距离是时，．
（3）解：平移过程中不会平分，理由如下：
过点作于，延长交于，如图所示：
由平移的性质可知：，
，
，
∴，
四边形是平行四边形，
，
假设平移过程中可能平分，
则有：，
，，
，
，
，，
由题意可知：，
，
，
这与矛盾，
假设不成立，
综上所述，平移过程中不能平分．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；反证法；直角三角形的性质
【解析】【分析】
本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．（1）根据全等三角形的性质：对应边相等可知：AB=EC，AE=BC，再根据平行四边形的判定方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知：四边形EABC是平行四边形，由此可证得结论；
（2）根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2AC=4，再根据平移的性质：平移前后两线段相等且平行可知：AC∥DF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等可知：∠AGF=∠EFD=90°，∠BHF=∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可知：∠AFG=60°，设，则根据直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半可得出：，，，列出关于x的方程，求出，得出，即可得出答案；
（3）过点作于，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，假设平移过程中可能平分，证明，得出，证明，根据直角三角形的性质得出，说明这与矛盾，假设不成立，即可得出答案．
1 / 1广东省佛山市禅城区2023-2024学年八年级下学期期末数学试题
1．（2024八下·禅城期末）下列各式是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024八下·禅城期末）下列环保标志图案，是中心对称图形的是（　　）
A．回收 B．绿色包装
C．节水 D．低碳
3．（2024八下·禅城期末）2024年5月27日禅城区的天气情况如图所示，这天气温的变化范围是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024八下·禅城期末）下列从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024八下·禅城期末）如图，政府计划在三个村庄附近建立一所小学，且小学到三个村庄的距离相等，则小学应建在（　　）
A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条高所在直线的交点 D．三条中线的交点
6．（2024八下·禅城期末）在中，对角线与相交于点，若，，则的长是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．（2024八下·禅城期末）中国古典园林中的窗型设计，以其形制的丰富性和多样性著称于世．颐和园五角加膛窗，便是其中的佼佼者，其轮廓呈现出一个完美的正五边形，它一个内角度数是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024八下·禅城期末）如图，两个小朋友玩跷跷板，支柱垂直于地面，点是的中点，，在游戏中，小朋友离地面的最大高度是（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·禅城期末）下列条件中能判定四边形 是平行四边形的是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
10．（2024八下·禅城期末）如图，容量为的烧杯中倒入的水后，将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出，但当放入第6个时，发现水满溢出．则一个玻璃球的体积的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
11．（2024八下·禅城期末）分解因式： －9=　 　．
12．（2024八下·禅城期末）若，则　 　（填“，或”）
13．（2024八下·禅城期末）以4、9为边长的等腰三角形的周长为　 　.
14．（2024八下·禅城期末）如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中α的度数是　 　．
15．（2024八下·禅城期末）陈老师设计了接力游戏，规则是“每人只能看到前一人给的式子，并进行相应计算，再将结果传递给下一人，若结果已是最简，游戏结束”，过程如下：
整个游戏过程，　 　负责的那一步出现了错误；
16．（2024八下·禅城期末）（1）因式分解：
（2）解方程：
17．（2024八下·禅城期末）按下列步骤解不式组：
（1）解不等式①，得：______
（2）解不等式②，得：______
（3）不等式组的解集在数轴上表示为：
（4）不等式组的解集是______
18．（2024八下·禅城期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．
（1）将向下平移5个单位长度得到；
（2）将绕点顺时针旋转后得到，并写出点的坐标．
19．（2024八下·禅城期末）观察：
（1）发现结论：任意两个连续偶数的平方和是4的______倍（用“偶数”或“奇数”填空）．
（2）逻辑论证：在两个连续偶数中，设较小的数为（为整数），请论证（1）中结论的正确性．
20．（2024八下·禅城期末）如图，在中，，点在上，点在上，，的中垂线交于点，交于点，连接.
（1）求证：.
（2）若，，，求线段的长.
21．（2024八下·禅城期末）2024年佛山50公里徒步活动，约40万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山．禅城线中途设置了6个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第1签 第2签 第3签 第4签 第5签 第6签 终点
电视塔广场 中山公园东2门 欧洲工业园C区 王借岗公园 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲体育中心
（1）小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度的0.8倍，且他从第4签到第6签比起点到第3签少用，求的值；
（2）小明计划用（1）中速度从第6签走到终点，走了后途经景点，小明在此游览并小憩共分钟，再以的速度走完剩余的行程，若要到达终点的时间不晚于计划时间，的最大值是多少？
22．（2024八下·禅城期末）项目式学习
项目问题 随着新能源车的发展，人们在购车时会面临一个问题： 选燃油车还是电动车？
项目目的 经历收集、整理、描述、分析数据的过程，感知大数据时代特征.
数据收集 用车费用包含购车费用和耗能费用（型电动车每百公里耗电15度电，每度电0.6元；型燃油车每百公里耗油8L，每升油8块钱）
注意事项 请务必注意项目中各数据的单位！
数据整理 　 购车费用（元） 每公里耗能费用（元）
型电动车 135000
型燃油车 80000
数据描述 　 行驶公里数（公里） 用车费用（元）
型电动车
型燃油车
项目任务 在同一坐标系中画出、的草图并通过计算回答表中第一行的项目问题；
追加任务 追加任务目的 小明爸爸计划购买一辆型电动车进行网约车工作，要了解在使用年限内，至少需要投入的多少费用？
政策法规 行驶路程超过60万公里，网约车强制报废.
数据收集 网约车每年平均行程10万公里
电动车保险费：5000元/年
电动车保养费：120元/万公里
根据上述信息解答下列问题：
（1）表中______、______、______、______；
（2）请完成“项目任务”；
（3）请计算“追加任务目的”中的费用.
23．（2024八下·禅城期末）综合探究
两张全等的纸片和，，，．
（1）如图1，两张纸片拼在一起，使点、重合，点、重合，判断四边形的形状并说明理由；
（2）将图1中的纸片沿方向平移（如图2），边，相交于点，边、相交于点，当平移距离是多少时，？
（3）如图3，两张纸片拼在一起，使点、重合，点落在边上，点落在边上，将纸片沿方向平移（如图4），边，相交于点，边、相交于点，平移过程（不含点、重合时）中，能平分吗？如果能，求平移的距离，如果不能，说明理由.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】解：A、分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
B、，分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
C、分母中含有字母，是分式，故本选项符合题意；
D．是常数，分母中不含有字母，不是分式，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
本题考查了分式的定义，熟知分式的定义是解题关键.
分式的定义：如果AB表示两个整式，且B中含有字母，那么式子叫做分式，判断一个式子是否为分式，关键看分母中是否含有字母，含有字母的是分式，不含字母的是整式，根据分式的定义逐个判断即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，故此选项符合题意；
C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；
故答案为：B．
【分析】
本题考查中心对称图形的定义，熟知中心对称图形的定义是解题关键.中心对称图形是指在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心，判断一个图形是否为中心对称图形，关键在于能否找到一个这样的点，使图形绕该点旋转180°后与自身重合，根据中心对称图形的定义进行判断即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：∵2024年5月27日禅城区的天气，这天的最高气温是，最低气温是，
∴t的变化范围是：．
故答案为：D．
【分析】
本题考查一元一次不等式组的应用，根据题意找出不等量关系式解答本题的关键．通过读取给定的气温范围信息，用正确的不等式来表示气温的取值区间，关键在于理解实际数据的边界情况（包含边界值时用≥或≤），不包含边界值时用(＜或＞)，并准确运用不等式符号，根据题目出现了最高气温与最低气温，只需要t大于等于最低气温，小于等于最高气温即可；接下来只需要根据具体的数值即可列出不等式，即写出t的取值范围，由此可得出答案．
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解∶A．， 等式由左到右的变形属于因式分解，符合题意；
B． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
C． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D． ，等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故答案为∶A．
【分析】
本题考查了因式分解的定义，熟知因式分解的定义是解题关键.因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，关键看是否将多项式转化成几个整式乘积的形式，要注意区分整式乘法与因式分解这两个相反的过程，根据因式分解的定义逐一判断即可得到答案．
5．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵小学到三个村庄的距离相等，
∴小学应该修建在的三边的垂直平分线的交点，
故选：A．
【分析】本题考查了三角形的性质，根据三角形三边线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，据此作答，即可的对答案.
6．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：C．
【分析】
本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质：对角线互相平分可知：，代入数据即可得出答案．
7．【答案】A
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
8．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：在AN上截取NH=AN，连接BH，如下图所示，
∵点M是AB的中点
∴MN是△ABH的中位线，则
∴
此时点A在地面上，小朋友离地面的距离最大，最大值为0.7m，
故答案为：B．
【分析】
本题考查三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题关键.
三角形中位线定理：三角形的中位线平行且等于底边的一半，三角形中位线是解决此类涉及中点和线段长度关系问题的重要依据，通过确定图形中的中位线，利用中位线与底边的数量关系求解未知线段的长度，在AN上截取NH=AN，连接BH，根据三角形中位线定理可知：，代入数据即可得出答案.
9．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不可以得到两组对角分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
B、不可以得到两组对边分别相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意；
C、根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；
D、不能判定四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意.
故答案为：C.
【分析】平行四边形的判定定理有：①有两组对边分别平行的四边形是平行四边形，②有两组对边分别相等的四边形是平行四边形，③有两组对角分别相等的四边形是平行四边形，④有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形；据此逐项判断即可.
10．【答案】B
【知识点】一元一次不等式组的应用
【解析】【解答】解：设一个玻璃球的体积为
由题意得：
解得：，
故答案为：B．
【分析】
本题考查根据实际问题列不等式组并求解，通过分析玻璃球放入前后水与烧杯容量的关系，构建不等式组来确定玻璃球体积的取值范围，重点考查对实际情境的数学抽象和不等式运算能力，根据题意： 将5个同样的玻璃球逐个放入水中，发现水未满溢出可列出：420+5V≤600，再根据当放入第6个时，发现水满溢出可得出：420+6V＞600，联立两个不等式构成一元一次不等式组，解出该不等式组的解集即可得V的取值范围，即可得出答案 ．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】 －9= ．
12．【答案】
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：，
．
故答案为：．
【分析】利用一元一次不等式的性质（不等式的基本性质①：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式的基本性质②：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质③：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变）分析求解即可.
13．【答案】22
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：当腰长为4时，三边长为4，4，9，因为，不能构成三角形，故舍去；
当腰长为9时，三边长为9，9，4，因为4+9=13＞9，所以9，9，4三边可以构成三角形，
∴此时三角形的周长为，
故答案为：22
【分析】
此题考查了等腰三角形的定义以及三角形三边关系，等腰三角形两腰长度相等，而三角形三边关系用于判断三条线段能否构成三角形，在求等腰三角形周长时，需要先根据三边关系确定三边长度，再计算周长，根据等腰三角形的定义：两腰相等可确定第三条边的长度，再根据三角形三边关系：两条短边之和大于最长边，来确定三角形中的三条边是否可以构成三角形，最后根据确定的三边计算等腰三角形的周长，等腰三角形的周长=三条边之和，代入数据即可得出答案.
14．【答案】45°
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：标字母如图所示：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ABCD，AC//BD，
∴ ∠ACD+∠D=180°，
∵ ∠D=30°，∠ACD=α+∠2
∴ α+∠2=150°.
过点E作EH//CD交BD于点H如图所示：
∴AB//EH//CD，
∴∠BFE+∠FEH=180°，∠HEG+∠2=180°，
∴130°+125°+∠2=360°，
∵∠2=105°，
∴α=150°-105°=45°，
故答案为：45°．
【分析】在图中标出字母，过点E作EH//CD交BD于点H：根据平行四边形的性质求出∠ACD的度数，利用平行线的性质得∠BFE+∠FEH=180°，∠HEG+∠2=180°，代入数据求出∠2的度数，即可求出答案．
15．【答案】乙、丁
【知识点】分式的乘除法
【解析】【解答】解：，故甲正确；
，故乙错误；
，故丙正确；
，故丁错误；
故答案为：乙、丁．
【分析】
本题考查分式的乘除法运算。熟知分式运算法则是解题关键.分式乘除运算关键是要正确运用运算法则，包括除法变乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数 ）以及约分等操作，在约分过程中要准确对分子分母进行因式分解和约分，根据题目中的各步，依据分式运算法则写出正确的解答过程，即可判断哪一步出错，即可得出答案．
16．【答案】解：（1）
原式
．
（2）
解得：，
经检验是原方程的解
原方程的解是．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解分式方程
【解析】【分析】
本题考查因式分解和分式方程，熟练掌握因式分解的基本方法和解方程的基本步骤是解题的关键．（1）因式分解的方法：提公因式法和公式法，观察代数式先提取公因式x，再用完全平方公式分解即可得出答案．
（2）解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、检验，需注意最后要进行检验，因为在去分母过程中可能产生增根，根据解分式方程的步骤解答即可．
17．【答案】（1）
（2）
（3）解：把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示：
（4）
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式；解一元一次不等式组
18．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求
【知识点】作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】
本题主要考查平面直角坐标系中的图形变换，包括平移和旋转。平移的考点是掌握点在坐标系中平移时坐标的变化规律（上下平移改变纵坐标，左右平移改变横坐标 ）；旋转的考点是理解绕某点旋转时坐标的变换方法，通过分析点与旋转中心的相对位置关系，利用旋转的性质（旋转前后线段长度不变，角度改变90°）来确定旋转后点的坐标。本题考查了平移作图和旋转作图，熟悉平移和旋转性质是解题的关键．
（1）利用平移的性质可直接作出．
（2）利用旋转的性质以及网格的特点可直接作出，然后写出点的坐标即可．
19．【答案】（1）奇数
（2）证明：较小的一个为（为整数）
较大的偶数为
为整数，
、均为偶数，
为偶数，
为奇数．
即任意两个连续偶数的平方和是4的奇数倍．
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；奇数与偶数的认识；用代数式表示数值变化规律
20．【答案】（1）证明：，
是的垂直平分线，
，
，
，
（2）解：连接PE，
设，则，．
解得：，则的长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质
【解析】【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键．
（1）根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠A=∠PDA，再根据垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可知：ED=EB，根据等腰三角形的性质：等边对等角可知：∠EDB=∠B，根据直角三角形的性质：两锐角互余可知：∠A+∠B=90°，等量代换得：∠PDA+∠EDB=90°，再根据平角的定义可知：∠PDE=90°，根据垂直的定义可知：PD⊥DE，由此可证得结论；
（2）连接PE，设DE=BE=x，则CE=4-x．由勾股定理可得：，代入数据列出关于x的方程，即，解得x的值即为DE的长度，即可得出答案．
21．【答案】（1）解：小明从起点走到第三签，一共走了；
从第四签走到第六签，一共走了，
依题意，得，
解得，
经检验：是原方程的解．
答：的值是；
（2）解：小明到达景点需要花费（h），
原计划从第6签到达终点的时间为，
，
解得：．
答：的最大值是20．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】
本题主要考查分式方程的应用以及行程问题中的时间、速度和路程关系，熟知速度、时间和路程三者之间的关系是解题关键.
（1）根据路程、速度、时间的关系列出分式方程求解速度，注意得出答案后需要检验，即可得出答案；
（2）根据题意可得出：原计划从第6签到达终点的时间为，再依据行程关系计算不同阶段的时间，再根据时间限制求解变量的最大值．
22．【答案】（1），，，
（2）解：和的图象如图所示：
令，
解得：，
当时，燃油车用车费用更低，选择传统燃油车划算，
当时，燃油车用车费用与新能源电动车费用一样，
当时，新能源电动车费用更低，选择新能源电动车划算；
（3）解：由题意可知，使用年限为60万万年，
则有：.
答：至少需要投入的费用是226200元
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】
（1）解：由题意得：，，
，
；
【分析】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，包括根据实际数据构建一次函数表达式，通过函数图象和方程求解来比较不同方案的费用，以及综合计算实际生活中的成本投入。涉及一次函数的性质、方程求解以及对实际问题的数学建模能力。
（1）根据每百公里的耗电数乘以每度电的费用可求出每百公里的费用，再用每百公里的费用除以100可求出a和b的值，再根据行驶路程乘以每公里的费用加上购车费用可得到总费用y，由此可得出答案；
（2）根据(1)知都是一次函数，则可用两点法画出函数图象，再选择方案即可；
（3）每年的费用乘以年限，加上购车费用，求出总费用即可得出答案.
23．【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：
△ABC≌△DEF，
，，
四边形EABC是平行四边形.
（2）解：由题意得：，，，
，，
由平移的性质可知：，
，，
，
设，
则，，
若，则，
，
解得：，
，
即平移的距离是时，．
（3）解：平移过程中不会平分，理由如下：
过点作于，延长交于，如图所示：
由平移的性质可知：，
，
，
∴，
四边形是平行四边形，
，
假设平移过程中可能平分，
则有：，
，，
，
，
，，
由题意可知：，
，
，
这与矛盾，
假设不成立，
综上所述，平移过程中不能平分．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；反证法；直角三角形的性质
【解析】【分析】
本题主要考查了平移的性质，平行四边形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平移的性质．（1）根据全等三角形的性质：对应边相等可知：AB=EC，AE=BC，再根据平行四边形的判定方法：两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知：四边形EABC是平行四边形，由此可证得结论；
（2）根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半可知：AB=2AC=4，再根据平移的性质：平移前后两线段相等且平行可知：AC∥DF，根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等可知：∠AGF=∠EFD=90°，∠BHF=∠ACB=90°，根据直角三角形两锐角互余可知：∠AFG=60°，设，则根据直角三角形的性质：30°所对的直角边等于斜边的一半可得出：，，，列出关于x的方程，求出，得出，即可得出答案；
（3）过点作于，延长交于，证明四边形是平行四边形，得出，假设平移过程中可能平分，证明，得出，证明，根据直角三角形的性质得出，说明这与矛盾，假设不成立，即可得出答案．
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