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广东省揭阳市普宁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·普宁期末）剪纸艺术是中国传统的民间工艺．下列剪纸的图案中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不合题意；
B、不是中心对称图形，B不合题意；
C、不是中心对称图形，C不合题意；
D、是中心对称图形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形.
2．（2024八下·普宁期末）使分式有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≠1 B．x≠-1 C．x<1 D．x>1
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，得x﹣1≠0，解不等式即可.
3．（2024八下·普宁期末）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则两点间的距离是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=10m
∴AB=2DE=20m，
即A、B两点间的距离为20m.
故答案为：C.
【分析】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，据此解答即可.
4．（2024八下·普宁期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
5．（2024八下·普宁期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1=∠CAB=50°.
故答案为：B.
【分析】由作图知AB=AC，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=65°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB=50°，根据平行线的性质即可求解.
6．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？(　　)
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
7．（2024八下·普宁期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴．
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用旋转的性质可得，，最后利用勾股定理求出CC'的长即可.
8．（2024八下·普宁期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点代入得，，
解得：，
点的坐标为，
由图可知，不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】将点代入得到的坐标，再根据图形得到不等式的解集即可．
9．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
10．（2024八下·普宁期末）如图，在平行四边形中，，点的中点从点出发，沿的速度运动到终点设点运动的时间为的面积为，图之间的函数关系图象，下列判断不正确的是(　　)
A． B．
C．平行四边形的面积为 D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由运动速度不变，且点E是CD的中点，
则从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，
由图2知：b-2=7-b，解得b=，故A正确；
B、由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，
则AD=2×1=2，AD+CD=7×1=7，
∴CD=7-2=5，
由四边形ABCD是平行四边形，则BC=AD=2，CD=AB=5，故B正确；
C、如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=AD=1，
∴DF=AF=，
∴ 平行四边形的面积为AB·DF=5×=5，故C正确；
D、由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，
∴a=DE·DF=××=，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据图1和图2可知：从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，即得b-2=7-b，求出b值，即可判断A；由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，据此可求AD=2，AD+CD=7，再利用平行四边形的性质求出BC，CD的长，即可判断B；过点D作DF⊥AB，利用直角三角形的性质求出DF，由平行四边形的面积为AB·DF求值，即可判断C；由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，利用三角形的面积公式求出a值，即可判断D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·普宁期末）计算：　 　．
【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相减，据此计算即可.
12．（2024八下·普宁期末）不等式组的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：x≤2，
解②得：x＞-1，
∴ 不等式组的解集为：.
故答案为：.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
13．（2024八下·普宁期末）因式分解：x3 - x = 　 　.
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： x3-x=x（x2 - 1）=x（x+1）（x-1）.
故答案为：x（x+1）（x-1）.
【分析】先提公因式x，再根据平方差公式进行因式分解，即可得出答案.
14．（2024八下·普宁期末）如果一个多边形的每个外角都等于，那么它的内角和为　 　°．
【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为，每个外角都等于，
∴多边形的边数为，
∴多边形的内角和为：，
故答案为：．
【分析】先求出正多边形的边数，再利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
15．（2024八下·普宁期末）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接，与分别交于点，连接如果，那么的周长为　 　．
【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵，AB=3，AC=5，
∴BC=4，
由作图痕迹知：MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴AE+BE =CE +BE=BC =4，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BC=3+4=7.
故答案为：7.
【分析】由勾股定理求出BC=4，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而求出AE+BE =CE +BE=BC =4，继而求出△ABE的周长.
16．（2024八下·普宁期末）已知等边的边长为12， 点P是边 BC上的动点， 将绕点A 逆时针旋转60°得到， 点D是AC边的中点， 连接PQ、DQ， 则DQ的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形-动点问题
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·普宁期末）解方程：．
【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
18．（2024八下·普宁期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）将向右平移个单位长度，画出平移后的；
（2）将绕点旋转，画出旋转后的C.
【答案】（1）解：如图所示：即为所求．
（2）解：如图（1）所示：即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用平移的性质分别确定点A，B，C向右平移个单位长度后的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）利用旋转的性质分别确定点A，B，C 绕点旋转后的对应点A2，B2，再顺次连接即可.
19．（2024八下·普宁期末）化简求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则，先计算除法，再计算减法即可化简，然后将a值代入计算即可.
20．（2024八下·普宁期末）如图， 在平行四边形中，．
（1）利用尺规作图，在边上确定点E，使点E到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 ， ， 求的长．
【答案】（1）解：如图，点为所作；
（2）解∵点到边的距离相等，∴平分
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的平分线交于，则利用角平分线的性质可得到点满足条件；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明则 然后计算即可．
21．（2024八下·普宁期末）如图，，， 点D在边上，，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求的度数．
【答案】（1）证明：∵和相交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴.
在中，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，根据三角形内角和是180°得出，推得，，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出， 根据等边对等角和谁叫你内角和是180° 求出的度数，即可求出的度数．
22．（2024八下·普宁期末）某文具店准备构甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：已知花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等．
甲水笔 乙水笔
每支进价
每支利润
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
（2）若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
【答案】（1）解：由题意可得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为元、元；
（2）解：设利润为元，甲种水笔购进支，
，
，
随的增大而增大，
购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍，
，
解得，，
当时，取得最大值，最大值，
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔支，乙种水笔支时，能使利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等”列出关于a的方程并解之即可；
（2）设利润为元，甲种水笔购进支，根据总利润=甲种笔利润+乙种笔利润，列出W关于x的函数关系式，再利用“ 要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍”求出x的范围，然后利用一次函数的性质求解即可.
23．（2024八下·普宁期末）已知：如图，四边形是平行四边形，上的一点，且分别平分，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，那么 的面积是多少？
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
和分别平分和，
，，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，
，
，
平行四边形为菱形，
，
同理：四边形为菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠CBA=180°，结合角平分线的定义可推出，再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可得解；
（2）先证四边形AQPD，BCPQ为平行四边形，可得AQ=AD=5，BQ=BC=5，可求AB=10，利用勾股定理求出BP的长，可得，继而得出.
24．（2024八下·普宁期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
，
时，的值最小，最小值是，
，
时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当　 　时，代数式的最小值是　 　；
（2）知识运用：若，当　 　时，有最　 　值填“大”或“小”，这个值是　 　；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
【答案】（1）3；1
（2）1；大；-4
（3），
．
．
，
，即．
当时，取最小值为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）=（x-3）2+1，
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，（x-3）2的值最小为0，
∴（x-3）2+1 ≥1，
即的最小值为1.
故答案为：3，1.
（2）=-（x2-2x+5）=-（x-1）2-4，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-（x-1）2-4≤-4，
∴当x=1时，y=-（x-1）2-4有最大值，最大值为-4.
故答案为：1，大，-4.
【分析】（1）根据阅读材料，可得=（x-3）2+1， 根据偶次幂的非负性解答即可；
（2）由=-（x-1）2-4，根据偶次幂的非负性解答即可；
（3）由可得，再配方可得x+y=，继而得出x+y=≥-9，据此即得结论.
25．（2024八下·普宁期末）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：在边不与点重合，点在折线上运动，过点交边于点中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）取线段的中点，作射线当射线经过点时，求的面积．
【答案】（1）证明：，，
轴，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，且，
是等腰三角形，
，
为中点，
，
当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，
此时点的坐标为；
当点在线段上时，连接，
四边形是平行四边形，
，且，
为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴，
，
设直线的解析式为，，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）解：连接，根据题意得，线段的中点在线段上，连接，
，，
四边形是平行四边形，
为线段中点，点为线段的中点，
四边形是平行四边形，
，，
同理，直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
，
的面积．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AB的坐标，可得AB∥x轴，AB=12，由C、O的坐标，可得CD=12，即得AB∥CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形；
（2）分两种情况：①当点在线段上时，此时点P在CD的中点处，②当点在线段上时，连接，推出四边形是平行四边形，则轴，再求出直线OA的解析式，求出y=2时x值即可；
（3）连接，证四边形、都是平行四边形，再求出直线AC的解析式，可求出点F坐标，继而求出EF的长，根据的面积进行计算即可．
1 / 1广东省揭阳市普宁市2023-2024学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024八下·普宁期末）剪纸艺术是中国传统的民间工艺．下列剪纸的图案中，属于中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2024八下·普宁期末）使分式有意义的x的取值范围是(　　)
A．x≠1 B．x≠-1 C．x<1 D．x>1
3．（2024八下·普宁期末）如图，数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的两点间的距离，同学们在外选择一点，测得两边中点的距离，则两点间的距离是(　　)
A． B． C． D．
4．（2024八下·普宁期末）如图，在四边形中，，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2024八下·普宁期末）如图，直线，以直线上的点为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线两点，连接，若，则的度数是(　　)
A． B． C． D．
6．（2024八下·普宁期末）课堂上老师在黑板上布置了如框所示的题目，小南马上发现了其中有一道题目错了，你知道错的是哪道题目吗？(　　)
用平方差公式分解下列各式：
A．第道题 B．第道题 C．第道题 D．第道题
7．（2024八下·普宁期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的长为（　　）
A．4 B．6 C． D．
8．（2024八下·普宁期末）如图，函数和的图象相交于点，则不等式的解集为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024八下·普宁期末）如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”下列分式中，是“和谐分式”的是(　　)
A． B．
C． D．
10．（2024八下·普宁期末）如图，在平行四边形中，，点的中点从点出发，沿的速度运动到终点设点运动的时间为的面积为，图之间的函数关系图象，下列判断不正确的是(　　)
A． B．
C．平行四边形的面积为 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024八下·普宁期末）计算：　 　．
12．（2024八下·普宁期末）不等式组的解集是　 　．
13．（2024八下·普宁期末）因式分解：x3 - x = 　 　.
14．（2024八下·普宁期末）如果一个多边形的每个外角都等于，那么它的内角和为　 　°．
15．（2024八下·普宁期末）如图，在中，，分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，连接，与分别交于点，连接如果，那么的周长为　 　．
16．（2024八下·普宁期末）已知等边的边长为12， 点P是边 BC上的动点， 将绕点A 逆时针旋转60°得到， 点D是AC边的中点， 连接PQ、DQ， 则DQ的最小值是　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．（2024八下·普宁期末）解方程：．
18．（2024八下·普宁期末）如图，在平面直角坐标系中，．
（1）将向右平移个单位长度，画出平移后的；
（2）将绕点旋转，画出旋转后的C.
19．（2024八下·普宁期末）化简求值：，其中．
20．（2024八下·普宁期末）如图， 在平行四边形中，．
（1）利用尺规作图，在边上确定点E，使点E到边，的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）若 ， ， 求的长．
21．（2024八下·普宁期末）如图，，， 点D在边上，，和相交于点O．
（1）求证：；
（2）若， 求的度数．
22．（2024八下·普宁期末）某文具店准备构甲、乙两种水笔进行销售，每支进价和利润如表：已知花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等．
甲水笔 乙水笔
每支进价
每支利润
（1）求甲，乙两种水笔每支进价分别为多少元；
（2）若该文具店准备拿出元全部用来购进这两种水笔，考虑顾客需求，要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍，问该文具店如何进货能使利润最大，最大利润是多少元．
23．（2024八下·普宁期末）已知：如图，四边形是平行四边形，上的一点，且分别平分，交于点．
（1）求证：；
（2）如果，那么 的面积是多少？
24．（2024八下·普宁期末）上数学课时，张老师在讲完因式分解的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：，
，
时，的值最小，最小值是，
，
时，的值最小，最小值是，
的最小值是．
请你根据上述方法，解答下列各题
（1）知识再现：当　 　时，代数式的最小值是　 　；
（2）知识运用：若，当　 　时，有最　 　值填“大”或“小”，这个值是　 　；
（3）知识拓展：若，求的最小值．
25．（2024八下·普宁期末）如图，在直角坐标系中，四边形的顶点分别为：在边不与点重合，点在折线上运动，过点交边于点中点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是平行四边形时，求点的坐标；
（3）取线段的中点，作射线当射线经过点时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，A不合题意；
B、不是中心对称图形，B不合题意；
C、不是中心对称图形，C不合题意；
D、是中心对称图形，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】旋转180后能够与原图形完全重合即是中心对称图形.
2．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x﹣1≠0，解得x≠1．
故答案为：A．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0，得x﹣1≠0，解不等式即可.
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是AC，BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∵DE=10m
∴AB=2DE=20m，
即A、B两点间的距离为20m.
故答案为：C.
【分析】三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，据此解答即可.
4．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当BC∥AD，AB=CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，故符合题意；
B、∵AB∥CD，BC∥AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
C、∵BC∥AD，
∴∠A+∠B=180°，
∵∠A=∠C，
∴∠C+∠B=180°，
∴AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
D、∵BC∥AD，BC=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】两组对边分别平行的四边形是平行四边形，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，据此逐项判断即可.
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：由作图知：AB=AC，
∴∠ACB=∠ABC=65°，
∴∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=180°-65°-65°=50°，
∵，
∴∠1=∠CAB=50°.
故答案为：B.
【分析】由作图知AB=AC，利用等腰三角形的性质可得∠ACB=∠ABC=65°，再利用三角形内角和定理求出∠CAB=50°，根据平行线的性质即可求解.
6．【答案】B
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： =（a+b）（a-b），故不符合题意；
=-（x2+y2）， 不能用平方差公式分解， 故符合题意；
=9-x2=（3+x）（3-x），故不符合题意；
=（2m+5n）（2m-5n），故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b），据此逐一判断即可.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
由旋转得：，，
∴．
故答案为：C.
【分析】先利用勾股定理求出AC的长，再利用旋转的性质可得，，最后利用勾股定理求出CC'的长即可.
8．【答案】A
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：将点代入得，，
解得：，
点的坐标为，
由图可知，不等式的解集为，
故答案为：A．
【分析】将点代入得到的坐标，再根据图形得到不等式的解集即可．
9．【答案】C
【知识点】分式的约分
【解析】【解答】解：A、=x+y，故不符合题意；
B、 的分子或分母不可以因式分解，故不符合题意；
C、， 分子或分母可以因式分解，且不可约分 故符合题意；
D、，故不符合题意；
故答案为：B .
【分析】根据“和谐分式”的定义，对各个选项进行变形，再判断即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：A、由运动速度不变，且点E是CD的中点，
则从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，
由图2知：b-2=7-b，解得b=，故A正确；
B、由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，
则AD=2×1=2，AD+CD=7×1=7，
∴CD=7-2=5，
由四边形ABCD是平行四边形，则BC=AD=2，CD=AB=5，故B正确；
C、如图，过点D作DF⊥AB，
∵∠DAB=60°，
∴∠ADF=90°-60°=30°，
∴AF=AD=1，
∴DF=AF=，
∴ 平行四边形的面积为AB·DF=5×=5，故C正确；
D、由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，
∴a=DE·DF=××=，故D错误；
故答案为：D.
【分析】根据图1和图2可知：从点D到点E和从点E到点C所用的时间相同，即得b-2=7-b，求出b值，即可判断A；由图2知点P运动2秒到达点D，运动7秒到达点C，据此可求AD=2，AD+CD=7，再利用平行四边形的性质求出BC，CD的长，即可判断B；过点D作DF⊥AB，利用直角三角形的性质求出DF，由平行四边形的面积为AB·DF求值，即可判断C；由图2知：点P运动到点D时y=S△APE=a，利用三角形的面积公式求出a值，即可判断D.
11．【答案】1
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式==1.
故答案为：1.
【分析】同分母分式相加减，分母不变，分子相减，据此计算即可.
12．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
解①得：x≤2，
解②得：x＞-1，
∴ 不等式组的解集为：.
故答案为：.
【分析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集即可.
13．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解： x3-x=x（x2 - 1）=x（x+1）（x-1）.
故答案为：x（x+1）（x-1）.
【分析】先提公因式x，再根据平方差公式进行因式分解，即可得出答案.
14．【答案】540
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵多边形的外角和为，每个外角都等于，
∴多边形的边数为，
∴多边形的内角和为：，
故答案为：．
【分析】先求出正多边形的边数，再利用多边形的内角和公式（多边形的内角和=（n-2）×180°）列出算式求解即可.
15．【答案】7
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵，AB=3，AC=5，
∴BC=4，
由作图痕迹知：MN垂直平分AC，
∴AE=CE，
∴AE+BE =CE +BE=BC =4，
∴△ABE的周长为AB+BE+AE=AB+BC=3+4=7.
故答案为：7.
【分析】由勾股定理求出BC=4，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE，从而求出AE+BE =CE +BE=BC =4，继而求出△ABE的周长.
16．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；三角形-动点问题
17．【答案】解：原方程去分母得：，
解得：，
检验：当时，，
故原方程的解为．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用去分母将分式方程化为整式方程，解出整式方程并检验即可.
18．【答案】（1）解：如图所示：即为所求．
（2）解：如图（1）所示：即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）利用平移的性质分别确定点A，B，C向右平移个单位长度后的对应点A1，B1，C1，再顺次连接即可；
（2）利用旋转的性质分别确定点A，B，C 绕点旋转后的对应点A2，B2，再顺次连接即可.
19．【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】利用分式的混合运算法则，先计算除法，再计算减法即可化简，然后将a值代入计算即可.
20．【答案】（1）解：如图，点为所作；
（2）解∵点到边的距离相等，∴平分
，
∵四边形为平行四边形，
，
，
，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）作的平分线交于，则利用角平分线的性质可得到点满足条件；
（2）利用平行线的性质和角平分线的定义可证明则 然后计算即可．
21．【答案】（1）证明：∵和相交于点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，
∴.
在中，
∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；三角形全等的判定-ASA；对顶角及其性质
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出，根据三角形内角和是180°得出，推得，，根据两个角和它们所夹的边分别对应相等的两个三角形全等即可证明；
（2）根据全等三角形的对应角相等，对应边相等得出， 根据等边对等角和谁叫你内角和是180° 求出的度数，即可求出的度数．
22．【答案】（1）解：由题意可得：
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，
答：甲，乙两种水笔每支进价分别为元、元；
（2）解：设利润为元，甲种水笔购进支，
，
，
随的增大而增大，
购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍，
，
解得，，
当时，取得最大值，最大值，
此时，，
答：该文具店购进甲种水笔支，乙种水笔支时，能使利润最大，最大利润是元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据“ 花费元购进甲水笔的数量和花费元购进乙水笔的数量相等”列出关于a的方程并解之即可；
（2）设利润为元，甲种水笔购进支，根据总利润=甲种笔利润+乙种笔利润，列出W关于x的函数关系式，再利用“ 要求购进甲种水笔的数量不超过乙种水笔数量的倍”求出x的范围，然后利用一次函数的性质求解即可.
23．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，
，
和分别平分和，
，，
，
，
；
（2）解：四边形为平行四边形，
，，
，
四边形为平行四边形，
，平分，
，，
，
，
平行四边形为菱形，
，
同理：四边形为菱形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
．
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AD∥BC，利用平行线的性质可得∠DAB+∠CBA=180°，结合角平分线的定义可推出，再利用三角形内角和定理求出∠APB的度数，即可得解；
（2）先证四边形AQPD，BCPQ为平行四边形，可得AQ=AD=5，BQ=BC=5，可求AB=10，利用勾股定理求出BP的长，可得，继而得出.
24．【答案】（1）3；1
（2）1；大；-4
（3），
．
．
，
，即．
当时，取最小值为．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）=（x-3）2+1，
∵（x-3）2≥0，
∴当x=3时，（x-3）2的值最小为0，
∴（x-3）2+1 ≥1，
即的最小值为1.
故答案为：3，1.
（2）=-（x2-2x+5）=-（x-1）2-4，
∵（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-（x-1）2-4≤-4，
∴当x=1时，y=-（x-1）2-4有最大值，最大值为-4.
故答案为：1，大，-4.
【分析】（1）根据阅读材料，可得=（x-3）2+1， 根据偶次幂的非负性解答即可；
（2）由=-（x-1）2-4，根据偶次幂的非负性解答即可；
（3）由可得，再配方可得x+y=，继而得出x+y=≥-9，据此即得结论.
25．【答案】（1）证明：，，
轴，，
，，
，
，，
四边形是平行四边形；
（2）解：，，且，
是等腰三角形，
，
为中点，
，
当点在线段上时，
四边形是平行四边形，
，，
此时点的坐标为；
当点在线段上时，连接，
四边形是平行四边形，
，且，
为中点，，此时四边形是平行四边形，则轴，
，
设直线的解析式为，，
解得，
直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
综上，点的坐标为或；
（3）解：连接，根据题意得，线段的中点在线段上，连接，
，，
四边形是平行四边形，
为线段中点，点为线段的中点，
四边形是平行四边形，
，，
同理，直线的解析式为，
当时，，解得，
点的坐标为；
，
的面积．
【知识点】坐标与图形性质；待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）由AB的坐标，可得AB∥x轴，AB=12，由C、O的坐标，可得CD=12，即得AB∥CD，AB=CD，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形；
（2）分两种情况：①当点在线段上时，此时点P在CD的中点处，②当点在线段上时，连接，推出四边形是平行四边形，则轴，再求出直线OA的解析式，求出y=2时x值即可；
（3）连接，证四边形、都是平行四边形，再求出直线AC的解析式，可求出点F坐标，继而求出EF的长，根据的面积进行计算即可．
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