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2024-2025学年第二学期浙教版七年级数学期末模拟试卷
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，与是同位角的是（ ）
A．B． C． D．
（3分）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，
数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
（3分）如图，某校八年级某班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统计图来表示，
下面说法中错误的是（ ）
A．喜欢足球的人数最多
B．喜欢乒乓球的人数占全班总人数的25%
C．喜欢排球的人数占全班总人数的
D．喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
4．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5.（3分）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
6．（3分）已知，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
7．（3分）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
（3分）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
（3分）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
（3分）方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式： ．
（3分）“世界杯”期间，小军调查了全班同学对、、、四位足球明星的喜欢程度，
将结果制成统计图（如图），最受学生喜欢的明星的频率是 ．

13．（3分）分式的计算结果是 ．
14. （3分）小颖在解分式方程+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．
请你帮小颖猜测一下△处的数应是_____．
（3分）先阅读材料，再回答问题：分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
16.（3分）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，
当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（本题6分）计算：
(1) (2)
18．（本题6分）．解方程（组）：
(1)； (2)．
（本题8分）已知：如图，，．
求证： (1)；
(2)．
（本题8分）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
21.（本题10分）．小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，
它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，
仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，
中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同．
小明在乘坐过程中遇到了下列问题：
如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，
已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数．
（温馨提示：在，由可得）
如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，
此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离．
22．（本题10分）（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，
可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，
方法一：，
方法二： ，可得等式： ．
（2）若，求的值．
（3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．
若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积．
（本题12分）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 元．
任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用A、C两种类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案．
24．（本题12分）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
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2024-2025学年第二学期浙教版七年级数学期末模拟试卷解答
满分120分，考试时间120分钟。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，与是同位角的是（ ）
A．B． C． D．
【答案】D
【分析】根据同位角的定义解答．
【详解】A、B、C中的与不是同位角，D中的与是同位角；
故选：D．
（3分）四月是柳絮飞花的时节，据测定柳絮纤维的直径约为，
数据用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了小数的科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定小数的的方法为：从左边第一个非零的数的左边有个，则．
【详解】解：，
故选：B．
（3分）如图，某校八年级某班的全体同学最喜欢的球类运动用的扇形统计图来表示，
下面说法中错误的是（ ）
A．喜欢足球的人数最多
B．喜欢乒乓球的人数占全班总人数的25%
C．喜欢排球的人数占全班总人数的
D．喜欢足球的人数是喜欢篮球的人数的2倍
【答案】C
【分析】本题主要考查扇形统计图，喜欢排球的人数占全班总人数的比例．
【详解】喜欢排球的人数占全班总人数的比例，C选项说法错误，该选项符合题意．
故选：C
4．（3分）下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】直接利用因式分解的定义进行判断即可得出答案．
【详解】解：A、，属于整式乘法，故A不符合题意；
B、，属于因式分解，故B符合题意；
C、，等式右边不是积的形式，不是因式分解，故C不符合题意；
D、，属于整式乘法，故D不符合题意；
故选：B．
5.（3分）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A．3 B．2 C． D．5
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，解一元一次方程，根据题意可得，进行求解即可．
【详解】解：是关于x，y的二元一次方程的一组解，
，
，
故选：C．
6．（3分）已知，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
【答案】D
【分析】首先根据题意可得，再由可得，把代入即可求得其值．
【详解】解：，
，
故选：D．
7．（3分）南北朝时期重要的数学专著《孙子算经》记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”大意是：用一根绳量一根木．绳多出4.5尺：将绳对折再量木，绳缺少1尺，问木长多少？若设绳长为x尺，木长为y尺，则下列方程组正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“用一根绳量一根木，绳多出4.5尺；将绳对折再量木，绳缺少1尺”即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
【详解】设绳长为x尺，木长为y尺，根据题意可得方程组为
故选：C
（3分）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（ ）
A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或
【答案】C
【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可．
【详解】解：，
分式方程两边同乘以得：
，
，
要使原分式方程无解，则有以下两种情况：
当时，即，整式方程无解，原分式方程无解．
当时，则，
令最简公分母为0，即
解得
∴当，即时，原分式方程产生增根，无解．
综上所述可得：或时，原分式方程无解．
故选：C．
（3分）将 6 块形状、大小完全相同的小长方形，放入长为，宽为 的长方形中，
当两块阴影部分 的面积相等时，小长方形其较短一边长的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程的应用，设图中小长方形的长为x，宽为y，结合两块阴影部分 的面积相等，可得，再进一步求解即可；
【详解】解：设图中小长方形的长为x，宽为y，两块阴影部分 的面积相等，
根据题意得：，即．
故选：A．
（3分）方形纸带中∠DEF=25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，
则图3中∠CFE度数是（ ）
A．105° B．120° C．130° D．145°
【答案】A
【分析】由矩形的性质可知，由此可得出∠BFE=∠DEF=25°，再根据翻折的性质可知每翻折一次减少一个∠BFE的度数，由此即可算出∠CFE度数．
【详解】解：∵四边形ABCD为长方形，
∴，
∴∠BFE＝∠DEF＝25°．
由翻折的性质可知：图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°，
∴图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°．
故选：A．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）分解因式： ．
【答案】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
【详解】
故答案为：．
（3分）“世界杯”期间，小军调查了全班同学对、、、四位足球明星的喜欢程度，
将结果制成统计图（如图），最受学生喜欢的明星的频率是 ．

【答案】
【分析】根据统计图可知最受学生喜欢的明星是B，然后用B的频数除以总数即可．
【详解】解：，
∴最受学生喜欢的明星的频率是，
故答案为：．
13．（3分）分式的计算结果是 ．
【答案】
【分析】本题考查的是分式的加减法，在解答此类问题时要注意通分及约分的灵活应用．先通分，再把分子相加减即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
14. （3分）小颖在解分式方程+2时，△处被污染看不清，但正确答案是：此方程无解．
请你帮小颖猜测一下△处的数应是_____．
【答案】1．
【解析】
【分析】由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，分式方程去分母转化为整式方程，把x＝3代入计算即可求出所求．
【详解】解：去分母得：x﹣2＝△+2（x﹣3），
由分式方程无解，得到x﹣3＝0，即x＝3，
把x＝3代入整式方程得：△＝1．
故答案为：1．
（3分）先阅读材料，再回答问题：分解因式：
解：设，则原式
再将还原，得到：原式
上述解题中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
请你用整体思想分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查利用公式法因式分解，理解“整体思想”是解题的关键．
设，将原式换元后利用完全平方公式因式分解即可．
【详解】解：设，
则原式
，
将还原可得原式，
故答案为：．
16.（3分）商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，
当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是 cm．
【答案】50
【分析】根据题意，由桌腿的高h和凳子面的高度x列出方程组，即可求解．
【详解】设凳子退的高度是xcm，凳子面的高度是ycm，由题意得
根据题意得，
解得，
则10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是20+3×10＝50cm．
故答案为50．
三、解答题（本大题共8小题，共72分）
17．（本题6分）计算：
(1) (2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查整式混合运算和分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先用平方差公式与单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内，再计算除法即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
18．（本题6分）．解方程（组）：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是二元一次方程组的解法，分式方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键；
（1）把方程整理为，再利用代入消元法解方程组即可；
（2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，解出x的值并检验即可．
【详解】（1）解：，
整理得：，
把②代入①，得，
解得，
将代入②，得，
解得，
；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项得，
将系数化为1，得，
经检验是方程的根，
．
（本题8分）已知：如图，，．
求证： (1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先证明“同位角相等，两直线平行”证明，然后根据“两直线平行，同位角相等”证明即可；
（2）首先证明，即可证明，易得．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
又∵，
∴，
∴，
∴．
（本题8分）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校名学生参加的安全知识竞赛，
从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩分成四个等级
（A：；B：；C：；D：），
并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
请根据以上信息，解答下列问题：
填空：______，______，并补全频数分布直方图；
扇形统计图中等级所在扇形的圆心角为______度；
若把等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数．
【答案】(1)，，补图见解析
(2)
(3)人
【分析】本题考查频数（率）分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，能够读懂统计图，掌握用样本估计总体是解答本题的关键．
（1）用频数分布直方图中等级的人数除以扇形统计图中的百分比可得的值；用等级的人数除以的值再乘以可得，即可得的值，求出组的人数，补全频数分布直方图即可；
（2）用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案；
（3）根据用样本估计总体，用乘以扇形统计图中的百分比，即可得答案．
【详解】（1）解：（1）由等级人数为，占抽取总人数百分比为，
得抽取总人数为，
∴等级占抽取总人数百分比为，
∴，
组的人数为（人），
补全频数分布直方图如图所示：
故答案为：，；
（2）扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（3）（人），
∴估计该校参加竞赛的名学生中达到“优秀”等级的学生人数约人．
21.（本题10分）．小明在周末去方特游乐园乘坐了海盗船，海盗船是一种绕水平轴往复摆动的游乐项目，
它的主体是由一个大型的船身和两侧的摇摆机械臂构成．游客坐在船内，随着机械的运动，
仿佛置身于一场海盗航海的冒险之中．当它静止时，我们可以把它抽象成如图1所示的图形，
中心转轴点O位于铅垂线上，两条摆臂和均匀分布在铅垂线两侧，它们的长度相同．
小明在乘坐过程中遇到了下列问题：
如图2，当海盗船右侧船头转到最高点时，左侧船头看最高点的仰角为，即，
已知两摆臂之间的夹角，求海盗船的最大摆角的度数．
（温馨提示：在，由可得）
如图3，已知转轴O到地面的距离，在乘坐的过程中，当海盗船右侧船头在位置P时，
此时测得点P到地面的距离；当左侧船头摆动到点处时，．求点到的距离．
【答案】(1)
(2)点到的距离为
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到，于是得到结论；
（2）过点作于点M，过点P作于点N，再证明，可得，根据平行线间的距离处处相等，得出，从而可得答案．
【详解】（1）解：如图2，∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，过点作于点M，过点P作于点N，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∵，，
∴，
∵点P到地面的距离，
∴
∵转轴O到地面的距离，
∴，
∴．
答：点到的距离为．
22．（本题10分）（1）用4个长和宽均为a，b的长方形拼成如图1的大正方形，
可用两种方法来表示图中阴影部分的面积，
方法一：，
方法二： ，可得等式： ．
（2）若，求的值．
（3）将两个正方形卡片以图2方式摆放，使A，M，B在同一直线上．
若，且两个正方形面积之和为52，求阴影部分的面积．
【答案】（1），；（2）52；（3）24
【分析】（1）根据阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差进行解答即可；
（2）利用（1）的结论代入计算即可；
（3）设，由题意可得，根据代入计算即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
【详解】解：（1）图1中阴影部分的面积可以看作大正方形与4个长方形的面积差，即，
所以有，
故答案为：，；
（2）∵，
∴
；
（3）设，
由题意可得，
∴，
（本题12分）请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三．
如何合理搭配消费券？
素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺 你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，C型消费券（满158减60元）1张．
素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务．
任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 元．
任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？
任务三 若小明一家仅用A、C两种类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案．
【答案】任务一：4；621；任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张；任务三：付款最少得方案为：使用10张A型券，4张C型券
【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，解题的关键是根据等量关系，列出方程，准确解方程，求出正整数解．
任务一：根据小明一家用了张A型消费券，张型的消费券，消费金额减了元，可求出用了张型的消费券，即可求出实际消费最小值．
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，根据题意列方程组计算即可．
任务三：根据小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元列出二元一次方程，求出正整数解即可，注意分类讨论．
【详解】解：任务一：用C型的消费券数量为：，
∴满减前至少消费（元）．
∴满减后实际消费（元）．
任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券张，
由题意可得：，
解得．
∴C型的消费券张．
答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张．
任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，C型的消费券c张，则a，c都是正整数，， ，
A、C型：，
∴．
∵a，c都是正整数， ，
∴或．
∴付款为：（元）或（元）．
综上所述，付款最少得方案为：使用10张A型券，4张C型券．
24．（本题12分）综合与实践
【探索发现】
（1）已知：如图1，，点在，之间，连接，．
易证：．
下面是两位同学添加辅助线的方法：
小刚：如图2，过点作. 小红：如图3，延长交于点.
请你选择一位同学的方法，并进行证明：
【深入思考】
如图4，点，分别是射线，上一点，点是线段上一点，连接并延长，
交直线于点，连接，，若，求证：；
【拓展延伸】
如图5，在（2）的条件下，，平分，平分，与交点，
若，，．求的度数．
【答案】（1）见解析（2）见解析（3）
【分析】本题考查了三角形外角的定义、平行线的判定与性质、角平分线的有关计算等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键．
探索发现：小刚的方法：先证，根据平行线的性质得，，据此即可得出结论；
小红的方法：先由得，再根据三角形的外角定理得，据此即可得出结论；
深入思考：先根据三角形的外角定理得，再根据得，然后根据平行线的判定可得出结论．
拓展延伸：设，则，进而可得，根据在（2）的条件下，得，由此解出，设，则，再根据得，进而得，然后根据在（2）的条件下得，则，由此得，据此求出即可得到的度数．
解：探索发现：
（1）小刚的证明如下：
过点作，
，
，
，
，
即；
小红的证明如下：
延长交于点，
，
，
是的一个外角，
，
即；
【深入思考】
（2）证明：是的一个外角，
，
，
，
；
【拓展延伸】
（3）解：平分，，
，
设，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
解得：，
，
设，
平分，
，
，
，
，
，
在（2）的条件下，
，
，
即，
解得：，
．
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