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广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高一下·梅州期末）复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：.
【分析】由复数的平方运算法则计算出复数，再根据复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限.
2．（2024高一下·梅州期末）某校举行演讲比赛，9位评委对参赛选手李明的评分分别为87，85，91，95，90，92，96，88，83，则这组数据的第70百分位数是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
【答案】A
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这9个数据按从小到大的顺序排列为83，85，87，88，90，91，92，95，96，
则，
所以第70百分位数是第7个数据92.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，先排列数据，再计算得出这组数据的第70百分位数.
3．（2024高一下·梅州期末）如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴在原三角形中，，，
∴，
故最长的边为6.
故答案为：D．
【分析】利用斜二测画法中原图和直观图之间的联系，从而判断出原三角形为直角三角形，再根据勾股定理得出BC的长，从而得出中最长边的长．
4．（2024高一下·梅州期末）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或者相交，或者异面，故A错误，
对于B，若，则或异面，故B错误，
对于C，若，则，故C正确，
对于D，若，则可能在平面内，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和空间中点、线、面的位置关系，从而逐项判断找出真命题的选项.
5．（2024高一下·梅州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和辅助角公式可得，再由诱导公式得出的值.
6．（2024高一下·梅州期末）有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”，“两个球编号之和为偶数”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，现从两个盒子中各取出1个球，总共有种情况；
事件表示从甲盒中所抽取的球的编号小于3”且“两个球编号之和为偶数”，
设球的编号组合为，表示取得甲盒球的编号，表示取得乙盒球的编号，
可列举出的情况：，共3种，
则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和古典概率公式，从而得出的值.
7．（2024高一下·梅州期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
要使得三角形有两解，需要满足且，
解得.
故答案为：A.
【分析】要使得三角形有两解，需要满足且，则根据正弦定理得出实数m的取值范围.
8．（2024高一下·梅州期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：如图，
则，
又因为扇形的半径为，
所以，则，
所以，
由，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，从而求出三点坐标，利用点的坐标表示向量坐标，再根据已知条件和向量的坐标运算，从而得出a，b的值，进而得出a+b的值.
9．（2024高一下·梅州期末）某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（　　）
A．该学校高一学生共800人
B．志愿服务小组共有学生96人
C．志愿服务小组中高三学生共有20人
D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，
由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的，
所以高一年级学生人数占总人数的，
所以高一学生共人，故正确；
对于B，因为，
所以志愿服务小组共有学生人，故错误；
对于C，因为高三学生共人，
所以志愿服务小组中高三学生共有人，故正确；
对于D，因为高三学生共人，选入志愿服务小组的有人，
所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】由图可知各年级占总人数的比例，则可判断选项；由分层抽样的比例可判断选项和选项；根据高三学生人数和入选人数判断出选项，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·梅州期末）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．函数的一条对称轴为
B．在区间上单调递增
C．的图象可由的图象向右平移个单位得到
D．方程在区间上恰有三个不等的实根
【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
令，
所以的对称轴方程为，
当时，，故正确；
由，得，
又因为，所以在上不单调，故错误；
将的图象向右平移个单位可得，故正确；
由，得，
则或，，
因为，
所以，，，，
所以有4个不等实根，故错误.
故答案为：.
【分析】结合的性质判断选项A和选项B；根据函数图象平移变换可判断选项；通过解方程结合的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．（2024高一下·梅州期末）如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，为棱上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（　　）
A．当为棱上的中点时，平面经过顶点
B．当为棱上的中点时，则平面
C．当且仅当点运动到顶点时，三棱锥的体积最大
D．棱上存在点，使得
【答案】B,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，，，，，，
因为，分别为，的中点，
所以，
在正方体中，，
所以，
所以，，，四点共面，故正确；
假设当为棱上的中点时，平面，
连接，分别交，于，，连接，
因为平面，平面平面，
所以，显然不成立，
所以与平面不平行，故错误；
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点为棱上（含端点）的动点，
所以点到平面的距离为定值，
又因为，的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值；故错误；
如图将正方体侧面展开，连接，
在中，，，
所以，此时为的最小值，
又因为，
所以棱上不存在点，使得，故错误.
故答案为：.
【分析】由，可得，则可判断选项；假设当为棱上的中点时，平面，由线面平行的性质定理可得线线平行，从而推出矛盾，则可判断选项；利用可证平面，则点到平面的距离为定值，从而判断选项；将正方体侧面展开，连接，通过求的最小值，则判断出选项，从而找出说法不正确的选项.
12．（2024高一下·梅州期末）在平面直角坐标系中，已知为原点，点，则与夹角的余弦值　 　．
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出与夹角的余弦值.
13．（2024高一下·梅州期末）若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则　 　．
【答案】4
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为为实数，
所以，
则，
所以.
故答案为：4.
【分析】先根据得到，再结合共轭复数的定义和复数的乘法运算法则，从而求出的值.
14．（2024高一下·梅州期末）如图，已知平面，分别为棱上的动点（含端点），则线段长度的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作交于，连接，
因为平面故平面平面
所以，故，
设，
则
，
则，
则，
当长度一定时，此时要使最小，
则最小，故，
所以，
则，
，
故当时，此时取最小值.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直的定义可得，结合勾股定理得出，，再利用二次函数求最值的方法，从而得出线段长度的最小值.
15．（2024高一下·梅州期末）（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值；
（2）在复数范围内，解方程：．
【答案】解：（1）因为，
所以，
所以或.
（2）因为，
所以方程的根为，
则或.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据已知条件和复数求模公式，从而得出b的值.
（2）先求出根的判别式，再由求根公式得出方程的根.
16．（2024高一下·梅州期末）为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；
（2）乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．
【答案】（1）解：因为，得，
所以平均数，
所以甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数是.
（2）解：因为甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为：，
又因为乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
则至少一位学生的周平均体育锻炼时长是8小时以上的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，根据频率和为1，从而求出的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数.
（2）先分别求出甲和乙周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率，利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．
（1），得，
平均数，
所以甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数是；
（2）甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
则至少一位学生的周平均体育锻炼时长是8小时以上的概率.
17．（2024高一下·梅州期末）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点．
（1）求证：；
（2）若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，求的面积．
【答案】（1）证明：在中，是的平分线，
设，
则.
在和中分别运用正弦定理，
得，
又因为，
所以
则
（2）解：（ⅰ）因为，
由正弦定理得：
又因为
所以，
所以
所以
则
则
则
则
所以
因为
所以
（ⅱ）因为
所以，
又因为
可得，
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角平分线，在中结合正弦定理和诱导公式，从而证出.
（2）（ⅰ）利用已知条件和正弦定理结合三角形内角和定理，结合诱导公式和两角和的正弦公式以及辅助角公式，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（ⅱ）利用已知条件结合再根据三角形的面积公式得出a，c的值，则由三角形的面积公式得出的面积．
（1）在中，是的平分线.
证明设，则.
在和中分别运用正弦定理，得
，
又因为，
所以即
（2）（ⅰ）因为
由正弦定理得：
又所以，
所以
所以
即
即
即
即
因为所以
（ⅱ）
又因为
所以可得
所以
18．（2024高一下·梅州期末）如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）点为PA上一点，，求证：平面BDQ；
（3）点为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值.
【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
则，得，
所以，
所以，
又因为平面，平面，
所以，，且平面，
所以平面.
（2）解：连结，交于点，连结，
因为，且，
所以，
又因为，
所以，且平面，平面，
所以平面.
（3）解：由（1）可知，平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，
则平面，为直线与平面所成的角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以，
在中，，，
所以，
则，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出，则，利用余弦定理得出的长，根据勾股定理证出，最后根据线面垂直的判断定理，从而证出直线平面PAB.
（2）根据线面平行的判断定理，将线面平行转化为证明线线平行，再根据线段比例关系证出线线平行，从而证出线面平行，即证出平面BDQ.
（3）根据（1）可知平面，从而证出面面垂直，过点作，连结，则平面，从而得出为直线与平面所成的角，结合等腰直角三角形的结构特征和对应边成比例，从而得出AN的长，再根据正弦函数的定义得出直线AM与平面PBD所成角的正弦值.
（1）由题意可知，，所以，
，得，
则，所以，
又因为平面，平面，
所以，，且平面，
所以平面；
（2）连结，交于点，连结，
因为，且，所以，
又因为，所以，
且平面，平面，
所以平面；
（3）由（1）可知，平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，
则平面，为直线与平面所成的角，
因为是等腰直角三角形，且，所以，
中，，，所以，
，
所以
19．（2024高一下·梅州期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
【答案】（1）证明：为△的重心，
连接并延长交于，
则为中点，且，
在△中，为中点，
，
.
（2）证明：在△中，为中点，
.
为△的重心，
，
在△中，则，
.
（3）证明：连结并延长和，取、的中点、，
连结和，
因为点为的外心，所以，
又因为点为的垂心，所以，
所以，
因为，，
则，
所以，
又因为，
同理可得，，
因为，
所以
，
所以.
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；三角形五心
【解析】【分析】（1）根据三角形重心将中线长度分成的性质结合平面向量基本定理，从而证出.
（2）根据中点的性质和三角形重心的性质，再根据平面向量基本定理证出.
（3）根据欧拉定理与三角形的外心、垂心、重心的性质，再根据相似三角形判定方法和性质，最后由平面向量基本定理证出．
（1）为△的重心，连接并延长交于，
则为中点，且.
在△中，为中点，，
得证.
（2）在△中，为中点，
.
为△的重心，，
则在△中，有，
得证.
（3）连结并延长和，取、的中点、，
连结和，因为点为的外心，所以有，
因为点为的垂心，所以有，
所以
而又，，，
从而，
而，
同理，，
因为，
所以
所以.
1 / 1广东省梅州市2023-2024学年高一下学期7月期末考试数学试题
1．（2024高一下·梅州期末）复数（其中为虚数单位）在复平面内对应的点位于第（　　）象限
A．一 B．二 C．三 D．四
2．（2024高一下·梅州期末）某校举行演讲比赛，9位评委对参赛选手李明的评分分别为87，85，91，95，90，92，96，88，83，则这组数据的第70百分位数是（　　）
A．92 B．91.5 C．91 D．90
3．（2024高一下·梅州期末）如图，水平放置的的直观图恰为腰长为2的等腰直角三角形，则中最长边的长为（　　）
A． B．4 C． D．6
4．（2024高一下·梅州期末）设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中真命题是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
5．（2024高一下·梅州期末）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2024高一下·梅州期末）有甲、乙两个盒子，甲盒装有编号为1，2，3，4，5的5个球，乙盒装有编号为1，2，3的3个球，每个球大小相同、材质均匀，各盒中每个球被抽取的概率相同，现从两个盒子中各取出1个球，设事件“从甲盒中所抽取的球的编号小于3”，“两个球编号之和为偶数”，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·梅州期末）在中，角A，B，C的对边分别为，要使此三角形的解有两个，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2024高一下·梅州期末）如图，在扇形AOB中，扇形的半径为，点在弧上移动，．当时，（　　）
A． B． C．2 D．
9．（2024高一下·梅州期末）某中学三个年级学生共2000人，且各年级人数比例如以下扇形图．现因举办校庆活动，以分层抽样的方式从中随机选出志愿服务小组，已知选出的志愿服务小组中高一学生有32人，则下列说法正确的有（　　）
A．该学校高一学生共800人
B．志愿服务小组共有学生96人
C．志愿服务小组中高三学生共有20人
D．某高三学生被选入志愿服务小组的概率为
10．（2024高一下·梅州期末）已知函数，则下列说法正确的有（　　）
A．函数的一条对称轴为
B．在区间上单调递增
C．的图象可由的图象向右平移个单位得到
D．方程在区间上恰有三个不等的实根
11．（2024高一下·梅州期末）如图，正方体的棱长为2，M为棱的中点，为棱上（含端点）的动点，则下列说法中，不正确的是（　　）
A．当为棱上的中点时，平面经过顶点
B．当为棱上的中点时，则平面
C．当且仅当点运动到顶点时，三棱锥的体积最大
D．棱上存在点，使得
12．（2024高一下·梅州期末）在平面直角坐标系中，已知为原点，点，则与夹角的余弦值　 　．
13．（2024高一下·梅州期末）若复数（其中为虚数单位，）满足为实数，则　 　．
14．（2024高一下·梅州期末）如图，已知平面，分别为棱上的动点（含端点），则线段长度的最小值为　 　.
15．（2024高一下·梅州期末）（1）已知复数（其中为虚数单位）满足，求实数的值；
（2）在复数范围内，解方程：．
16．（2024高一下·梅州期末）为了解学生体育运动时间，督促学生加强锻炼，甲、乙两个班的班主任分别对所在班学生进行体育锻炼时长调查．将甲班50名学生的周平均体育锻炼时长（单位：小时）数据分成4组：[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]，根据分组数据制成了如下图所示的频率分布直方图．
（1）求a的值，并估计甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数；
（2）乙班48名学生中周平均体育锻炼时长在8小时以上的有16人，用频率估计概率，现从甲乙两个班中各随机抽查一位学生，求其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．
17．（2024高一下·梅州期末）在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点．
（1）求证：；
（2）若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，求的面积．
18．（2024高一下·梅州期末）如下图，四棱锥的底面是等腰梯形，平面，．
（1）求证：平面PAB；
（2）点为PA上一点，，求证：平面BDQ；
（3）点为PD的中点，求AM与平面PBD所成角的正弦值.
19．（2024高一下·梅州期末）欧拉是伟大的数学家，也是最多产的数学家，他在数论、复变函数、变分法、拓扑学、微分方程、力学等等领域都有杰出贡献.1765年，欧拉在他的著作《三角形的几何学》中指出，任意三角形的外心、垂心和重心位于同一直线上（这条直线被称为三角形的欧拉线），此外，外心到重心的距离等于垂心到重心距离的一半．为证明以上结论，我们作以下探究：
如图，点O、G、H分别为△的外心、重心、垂心．
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）求证：．
注：①重心：三边中线的交点，重心将中线长度分成2：1；
②垂心：三条高线的交点，高线与对应边垂直；
③外心：三条中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：因为，
所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.
故答案为：.
【分析】由复数的平方运算法则计算出复数，再根据复数的几何意义得出复数在复平面内对应的点的坐标，从而确定点所在的象限.
2．【答案】A
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：将这9个数据按从小到大的顺序排列为83，85，87，88，90，91，92，95，96，
则，
所以第70百分位数是第7个数据92.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和百分位数的定义，先排列数据，再计算得出这组数据的第70百分位数.
3．【答案】D
【知识点】斜二测画法直观图
【解析】【解答】解：由图可知，，，
∴在原三角形中，，，
∴，
故最长的边为6.
故答案为：D．
【分析】利用斜二测画法中原图和直观图之间的联系，从而判断出原三角形为直角三角形，再根据勾股定理得出BC的长，从而得出中最长边的长．
4．【答案】C
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定
【解析】【解答】解：对于A，若，则或者相交，或者异面，故A错误，
对于B，若，则或异面，故B错误，
对于C，若，则，故C正确，
对于D，若，则可能在平面内，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据已知条件和空间中点、线、面的位置关系，从而逐项判断找出真命题的选项.
5．【答案】B
【知识点】三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：由，
得，
则，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件和辅助角公式可得，再由诱导公式得出的值.
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：根据题意，现从两个盒子中各取出1个球，总共有种情况；
事件表示从甲盒中所抽取的球的编号小于3”且“两个球编号之和为偶数”，
设球的编号组合为，表示取得甲盒球的编号，表示取得乙盒球的编号，
可列举出的情况：，共3种，
则.
故答案为：D．
【分析】根据已知条件和古典概率公式，从而得出的值.
7．【答案】A
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理可得：，
要使得三角形有两解，需要满足且，
解得.
故答案为：A.
【分析】要使得三角形有两解，需要满足且，则根据正弦定理得出实数m的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的坐标运算
【解析】【解答】解：如图，
则，
又因为扇形的半径为，
所以，则，
所以，
由，
得，
所以.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件建立平面直角坐标系，从而求出三点坐标，利用点的坐标表示向量坐标，再根据已知条件和向量的坐标运算，从而得出a，b的值，进而得出a+b的值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：对于A，
由图可知，高三年级学生人数占总人数的，高二年级学生人数占总人数的，
所以高一年级学生人数占总人数的，
所以高一学生共人，故正确；
对于B，因为，
所以志愿服务小组共有学生人，故错误；
对于C，因为高三学生共人，
所以志愿服务小组中高三学生共有人，故正确；
对于D，因为高三学生共人，选入志愿服务小组的有人，
所以某高三学生被选入志愿服务小组的概率为，故正确.
故答案为：ACD.
【分析】由图可知各年级占总人数的比例，则可判断选项；由分层抽样的比例可判断选项和选项；根据高三学生人数和入选人数判断出选项，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，
令，
所以的对称轴方程为，
当时，，故正确；
由，得，
又因为，所以在上不单调，故错误；
将的图象向右平移个单位可得，故正确；
由，得，
则或，，
因为，
所以，，，，
所以有4个不等实根，故错误.
故答案为：.
【分析】结合的性质判断选项A和选项B；根据函数图象平移变换可判断选项；通过解方程结合的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】空间中两点间的距离公式；棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：连接，，，，，，
因为，分别为，的中点，
所以，
在正方体中，，
所以，
所以，，，四点共面，故正确；
假设当为棱上的中点时，平面，
连接，分别交，于，，连接，
因为平面，平面平面，
所以，显然不成立，
所以与平面不平行，故错误；
因为，平面，平面，
所以平面，
又因为点为棱上（含端点）的动点，
所以点到平面的距离为定值，
又因为，的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值；故错误；
如图将正方体侧面展开，连接，
在中，，，
所以，此时为的最小值，
又因为，
所以棱上不存在点，使得，故错误.
故答案为：.
【分析】由，可得，则可判断选项；假设当为棱上的中点时，平面，由线面平行的性质定理可得线线平行，从而推出矛盾，则可判断选项；利用可证平面，则点到平面的距离为定值，从而判断选项；将正方体侧面展开，连接，通过求的最小值，则判断出选项，从而找出说法不正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】解：.
故答案为：.
【分析】利用已知条件和数量积求向量夹角公式，从而得出与夹角的余弦值.
13．【答案】4
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
又因为为实数，
所以，
则，
所以.
故答案为：4.
【分析】先根据得到，再结合共轭复数的定义和复数的乘法运算法则，从而求出的值.
14．【答案】
【知识点】平面内两点间距离公式的应用；直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】解：过作交于，连接，
因为平面故平面平面
所以，故，
设，
则
，
则，
则，
当长度一定时，此时要使最小，
则最小，故，
所以，
则，
，
故当时，此时取最小值.
故答案为：.
【分析】根据线面垂直的定义可得，结合勾股定理得出，，再利用二次函数求最值的方法，从而得出线段长度的最小值.
15．【答案】解：（1）因为，
所以，
所以或.
（2）因为，
所以方程的根为，
则或.
【知识点】复数相等的充要条件；复数代数形式的加减运算；复数的模
【解析】【分析】（1）根据已知条件和复数求模公式，从而得出b的值.
（2）先求出根的判别式，再由求根公式得出方程的根.
16．【答案】（1）解：因为，得，
所以平均数，
所以甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数是.
（2）解：因为甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为：，
又因为乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
则至少一位学生的周平均体育锻炼时长是8小时以上的概率.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据已知条件和频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，根据频率和为1，从而求出的值，再利用频率分布直方图求平均数的方法，从而估计出甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数.
（2）先分别求出甲和乙周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率，利用独立事件乘法求概率公式和对立事件求概率公式，从而得出其中至少有一位学生的周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率．
（1），得，
平均数，
所以甲班学生周平均体育锻炼时长的平均数是；
（2）甲班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
乙班学生周平均体育锻炼时长在8小时以上的概率为，
则至少一位学生的周平均体育锻炼时长是8小时以上的概率.
17．【答案】（1）证明：在中，是的平分线，
设，
则.
在和中分别运用正弦定理，
得，
又因为，
所以
则
（2）解：（ⅰ）因为，
由正弦定理得：
又因为
所以，
所以
所以
则
则
则
则
所以
因为
所以
（ⅱ）因为
所以，
又因为
可得，
所以
【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合角平分线，在中结合正弦定理和诱导公式，从而证出.
（2）（ⅰ）利用已知条件和正弦定理结合三角形内角和定理，结合诱导公式和两角和的正弦公式以及辅助角公式，再根据三角形中角B的取值范围，从而得出角B的值.
（ⅱ）利用已知条件结合再根据三角形的面积公式得出a，c的值，则由三角形的面积公式得出的面积．
（1）在中，是的平分线.
证明设，则.
在和中分别运用正弦定理，得
，
又因为，
所以即
（2）（ⅰ）因为
由正弦定理得：
又所以，
所以
所以
即
即
即
即
因为所以
（ⅱ）
又因为
所以可得
所以
18．【答案】（1）解：由题意可知，，
所以，
则，得，
所以，
所以，
又因为平面，平面，
所以，，且平面，
所以平面.
（2）解：连结，交于点，连结，
因为，且，
所以，
又因为，
所以，且平面，平面，
所以平面.
（3）解：由（1）可知，平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，
则平面，为直线与平面所成的角，
因为是等腰直角三角形，且，
所以，
在中，，，
所以，
则，
所以.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出，则，利用余弦定理得出的长，根据勾股定理证出，最后根据线面垂直的判断定理，从而证出直线平面PAB.
（2）根据线面平行的判断定理，将线面平行转化为证明线线平行，再根据线段比例关系证出线线平行，从而证出线面平行，即证出平面BDQ.
（3）根据（1）可知平面，从而证出面面垂直，过点作，连结，则平面，从而得出为直线与平面所成的角，结合等腰直角三角形的结构特征和对应边成比例，从而得出AN的长，再根据正弦函数的定义得出直线AM与平面PBD所成角的正弦值.
（1）由题意可知，，所以，
，得，
则，所以，
又因为平面，平面，
所以，，且平面，
所以平面；
（2）连结，交于点，连结，
因为，且，所以，
又因为，所以，
且平面，平面，
所以平面；
（3）由（1）可知，平面，平面，
所以平面平面，且平面平面，
过点作，连结，
则平面，为直线与平面所成的角，
因为是等腰直角三角形，且，所以，
中，，，所以，
，
所以
19．【答案】（1）证明：为△的重心，
连接并延长交于，
则为中点，且，
在△中，为中点，
，
.
（2）证明：在△中，为中点，
.
为△的重心，
，
在△中，则，
.
（3）证明：连结并延长和，取、的中点、，
连结和，
因为点为的外心，所以，
又因为点为的垂心，所以，
所以，
因为，，
则，
所以，
又因为，
同理可得，，
因为，
所以
，
所以.
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的线性运算；三角形五心
【解析】【分析】（1）根据三角形重心将中线长度分成的性质结合平面向量基本定理，从而证出.
（2）根据中点的性质和三角形重心的性质，再根据平面向量基本定理证出.
（3）根据欧拉定理与三角形的外心、垂心、重心的性质，再根据相似三角形判定方法和性质，最后由平面向量基本定理证出．
（1）为△的重心，连接并延长交于，
则为中点，且.
在△中，为中点，，
得证.
（2）在△中，为中点，
.
为△的重心，，
则在△中，有，
得证.
（3）连结并延长和，取、的中点、，
连结和，因为点为的外心，所以有，
因为点为的垂心，所以有，
所以
而又，，，
从而，
而，
同理，，
因为，
所以
所以.
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