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浙江省杭州市西湖区2025年九年级中考一模数学试卷
1．（2025·杭州模拟） 下列各数中，比 -1.5 小的数是（　　）
A．3 B．0 C．-1 D．-3
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：故不符合题意；
故不符合题意；
故不符合题意；
故符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大.2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.
2．（2025·杭州模拟） 如图，一个几何体由 5 个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其俯视图是：
故答案为：D .
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图即可得出答案.
3．（2025·杭州模拟） “杭州六小龙”——字树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新. 据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平. 数据“6305亿”用科学记数法表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．（2025·杭州模拟） 下列式子计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 和 不是同类项，不能合并计算，故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：B .
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂乘除法法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可.
5．（2025·杭州模拟） 如图，一束光线 PO 从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长 PO 交 BC于点 P'，若 ，，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
的度数为'
故答案为：D .
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算. 的度数，再应用平行线的性质得到. 的度数即可.
6．（2025·杭州模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（　　）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
7．（2025·杭州模拟） 已知a，b，c是实数，若，，则(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：由 两边同时加上c，则，原计算错误；
B：由 两边同时乘以c(c<0)，则 ，原计算错误；
C：由 两边同时乘以c2(c2>0），则 ，计算正确；
D：由 左边减去c，则、b的大小关系不确定 ，原计算错误；
故答案为：C .
【分析】根据不等式的基本性质解答即可.
8．（2025·杭州模拟） 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著. 其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱. 问：人数、物价各多少？假设人数为x人，物价为y钱，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得
故答案为：A .
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题.
9．（2025·杭州模拟） 已知二次函数 (a，c 是常数，) 的图象经过点 ， ， （　　）
A．若 ， ， 则 B．若 ， ， 则
C．若 ， ， 则 D．若 ， ， 则
【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 化为顶点式为
∴该二次函数的对称轴为直线x =1，
当a>0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t > 2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧， 且t若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而小，t当1≤t≤2时， 点( 在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 当a<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t>2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧，且t1> y2，
若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而增大， t当1≤t≤2时， 点( )在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 综上， 当a>0， t>2时，
故答案为：A .
【分析】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点(t，y1)与 的大小关系.
10．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 F 在以 AE 为直径的半圆上，EF = EB，延长 EF，AF 分别交 CD 于点 G，H，则DG ： HC 的值为(　　)
A．2： 1 B．4： 3 C．5： 4 D．
【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BF， AG， HE， BF交AE于点J.设AE的中点为O， 连接OB.设正方形ABCD的边长为2a.
∵点E为BC的中点，
∵AE是直径，
∵四边形ABC都是正方形，
∴ Rt△EFH≌Rt△ECH(HL)，
∴FH =CH，
∵AE = AE， EF = EB，
∠AFE=∠ABE=90°，
∴ Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
∴AF=AB，
∴AD=AF，
∵AG =AG， ∠D=∠AFG=90°，
∴ Rt△ADG≌Rt△AFG(HL)，
∴DG = FG，
∵AF= AB， EF=EB，
∴AE垂直平分线段BF，
∴BJ=FJ，
∵AB=2a， EB=a，
，
∵AB∥CD，
故答案为：B .
【分析】连接BF， AG， HE， BF交AE于点J.设AE的中点为O，连接OB.设正方形ABCD的边长为2a.利用全等三角形的性质证明. 再证明 求出 J可得结论.
11．（2025·杭州模拟） 计算：　 　；　 　.
【答案】4；
【知识点】二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：；；
故答案为：4； .
【分析】根据乘方和二次根式的加减运算法则解题即可.
12．（2025·杭州模拟）分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
13．（2025·杭州模拟） 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4. 从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有： (2，2)， (2，4)， (4，2)， (4，4)， 共4种，
∴两次抽到的编号都是偶数的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的编号都是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．（2025·杭州模拟） 如图，的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC若 ， 则的度数为　 　°.
【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接OP，
∵ PA是⊙O的切线，
由圆周角定理得：
故答案为： 35.
【分析】连接OP，根据切线的性质得到 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理解答即可.
15．（2025·杭州模拟） 已知二次函数与一次函数（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是-1，则点B的横坐标是　 　.
【答案】3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 与一次函数 (a是常数)的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是
∴二次函数为 一次函数为 令
解得 或
∴点B的横坐标是3.
故答案为：3.
【分析】由题意得到 求得 则二次函数为 一次函数为 令 解方程即可求得点B的横坐标.
16．（2025·杭州模拟） 如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，，把沿直线CE折叠得到，点D'落在DA的延长线上. 若CD'恰好平分，则　 　°，　 　.
【答案】36；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AB， 交于点J.设∠B=x.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D =x，AD∥CB，
∴∠BCD'=∠D'，
∵CD'平分∠ACB，
∴∠ACD'=∠BCD'，
由翻折变换的性质可知，∠D =∠D'，
∴∠BCD'=∠ACD'=x，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC=2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5x=180°，
设 ， 则.
故答案为：36，
【分析】设AB， 交于点J.设. .利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设，则 利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解.
17．（2025·杭州模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
【答案】解：有错误；
由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集
18．（2025·杭州模拟）某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分.学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）.
年级 平均数 中位数 众数
七年级 a分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 b分
（1） 根据以上信息填空：a=　 　，b=　 　；
（2） 把条形统计图补充完整.
（3） 若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由.
【答案】（1）8.5；9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：小红的判断正确，理由如下：
七年级的人数：（人），
八年级的人数：10+15=25（人），
25＞22，
故八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，
所以小红的判断正确.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】(1)解：七年级A等级人数 人，
B等级人数 人，
C等级人数 人，
D等级人数 人，
∴8.5；
八年级C等级人数 人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为： 8.5， 9；
【分析】(1)先计算出七年级各等级的人数，利用加权平均的计算方法可求得a的值；再求得八年级C等级人数，据此补全图形即可；
(2)根据题意补充条形统计图即可求解；(3)求出七年级和八年级的优秀人数作比较解题即可.
19．（2025·杭州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若，，求线段BE的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：
∵点E为AO的中点，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可求得 ，再结合E、F为中点，可求得 则可证得四边形EBFD为平行四边形；
(2)根据勾股定理求出 再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可.
20．（2025·杭州模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，b是常数，）的图象交于点A(1，4)，B(-2，t).
（1） 求函数，的表达式.
（2） 当时，比较与的大小.（直接写出结果）
（3） 若点C在函数的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标.
【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点A(1，4)，
∵点. 在直线 图象上，
解得
；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知， 当 时，
（3）解：设点C坐标为
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
整理得
或
∴C(3，8)或(0，2).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)画出图象，利用数形结合解答即可；
(3)根据点的平移法则设点C坐标为 写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标.
21．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， ，连接AE， AF， .
（1） 判断的形状，并说明理由.
（2） 求证：.
（3） 若， ，求线段CF的长.
【答案】（1）解：△AEF为等边三角形，理由如下：
由作法得AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：
证明： ∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF =∠AFE=60°，
∴∠AEB=∠AFC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C =60°，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=60°，
∴∠BAE =∠C，
而∠AEB=∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，
，∵△ABE-△CAF，
∴AE：CF=BE：AF，
即3：CF=2：3，
解得
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形.
(2)先根据等边三角形的性质得到∠AEF =∠AFE =60°， 则根据等角的补角相等得到∠AEB=∠AFC， 再证明∠BAE=∠C， 然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(3)先根据等边三角形的性质得到AE=AF =EF=3， 由于△ABE∽△CAF， 则根据相似三角形的性质得到AE：CF =BE：AF， 即3：CF=2：3， 从而可求出CF的长.解得 .
22．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
23．（2025·杭州模拟）设二次函数（a，b为常数，）.已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1） 若，，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标.
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大.
（2） 当，时，求p的取值范围.
【答案】（1）解：①由题意得 解得
∴二次函数的表达式是
∴顶点为(1，0)；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当 时，y随x的增大而增大；
（2）解：当 时，
则 ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②利用二次函数的性质得出结论；
(2)根据题意则 ，两式相减得 即可得到 进而得到结论.
24．（2025·杭州模拟）如图，矩形ABCD内接于，BD是对角线，点在上（不与点，重合），连接EC分别交AD，BD于点，，于点，，连接BE交AD于点.
（1） 如图1，当点为的中点，时，
①求证：.
②求的长.
（2） 如图2，若，求的值.
【答案】（1）解：①证明： ∵四边形ABCD为矩形，
∵点E为 的中点，
②连接OE， OC， 如图，
∵点E为 的中点，
∴∠ABE=∠DBE.
∵BF⊥CE于点F， FG = FC，
∴BG=BC，
∴∠GBF=∠CBF，
由①知： ∠ABE=∠CBF，
° =22.5°
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∠EOD =2∠DBE=45°，
∴∠DOC=2∠CBD =90°，
∴∠EOC =∠EOD+∠DOC =135°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD=2，∴OE=OC =1，
的长
（2）解：设AB=3，AD=4，
则BD=5，BC=BG=4，
GD=DH=1，AH=3，
，
设PH=x，则AP=3-x，
在中，
（舍），

【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到 ，再利用圆周角定理求得 ，最后利用弧长公式解答即可；
(2)连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到 设 则. ， 利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH， AH， ED， AP，PH， 则结论可得.
1 / 1浙江省杭州市西湖区2025年九年级中考一模数学试卷
1．（2025·杭州模拟） 下列各数中，比 -1.5 小的数是（　　）
A．3 B．0 C．-1 D．-3
2．（2025·杭州模拟） 如图，一个几何体由 5 个大小相同的正方体组成，该几何体的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·杭州模拟） “杭州六小龙”——字树科技、游戏科学、强脑科技、深度求索、云深处科技、群核科技正在用硬科技重新定义中国创新. 据统计，2024年杭州数字经济核心产业增加值达6305亿元，占全市GDP比重，远超全国平均水平. 数据“6305亿”用科学记数法表示为(　　)
A． B．
C． D．
4．（2025·杭州模拟） 下列式子计算正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．（2025·杭州模拟） 如图，一束光线 PO 从空气中斜射入长方体玻璃砖发生折射，已知 ，延长 PO 交 BC于点 P'，若 ，，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·杭州模拟） 某班5个小组参加植树活动，平均每组植树10株，已知其中4个组植树数量分别为：8株，12株，8株，9株，则这5个组的植树数量中，中位数是（　　）
A．8株 B．9株 C．10株 D．11株
7．（2025·杭州模拟） 已知a，b，c是实数，若，，则(　　)
A． B． C． D．
8．（2025·杭州模拟） 《九章算术》是我国现存的一部自成体系的、最古老、最经典的数学专著. 其中有一道题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四. 问：人数、物价各几何？”其大意是：假设共同买东西，如果每个人出8钱，盈余3钱；每个人出7钱，不足4钱. 问：人数、物价各多少？假设人数为x人，物价为y钱，则（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·杭州模拟） 已知二次函数 (a，c 是常数，) 的图象经过点 ， ， （　　）
A．若 ， ， 则 B．若 ， ， 则
C．若 ， ， 则 D．若 ， ， 则
10．（2025·杭州模拟） 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 为 BC 的中点，点 F 在以 AE 为直径的半圆上，EF = EB，延长 EF，AF 分别交 CD 于点 G，H，则DG ： HC 的值为(　　)
A．2： 1 B．4： 3 C．5： 4 D．
11．（2025·杭州模拟） 计算：　 　；　 　.
12．（2025·杭州模拟）分解因式： 　 　．
13．（2025·杭州模拟） 有3张仅有编号不同的卡片，编号分别是2，3，4. 从中随机抽取一张，记下编号后放回，再随机抽取一张记下编号，则两次抽到的编号都是偶数的概率等于　 　.
14．（2025·杭州模拟） 如图，的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC若 ， 则的度数为　 　°.
15．（2025·杭州模拟） 已知二次函数与一次函数（a是常数）的图象交于两个不同的点A，B，若点A的横坐标是-1，则点B的横坐标是　 　.
16．（2025·杭州模拟） 如图是一张菱形纸片ABCD，点E在AD边上，，把沿直线CE折叠得到，点D'落在DA的延长线上. 若CD'恰好平分，则　 　°，　 　.
17．（2025·杭州模拟）以下是芳芳解不等式组的解答过程：
解：由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
芳芳的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程.
18．（2025·杭州模拟）某中学组织七、八年级学生开展“航空航天”知识竞赛，竞赛成绩分为A，B，C，D四个等级，其中相应等级得分依次记为10分，9分，8分，7分.学校从七、八年级各抽取40名学生的成绩进行整理，绘制成统计表和统计图（条形统计图不完整）.
年级 平均数 中位数 众数
七年级 a分 9分 9分
八年级 8.8分 9分 b分
（1） 根据以上信息填空：a=　 　，b=　 　；
（2） 把条形统计图补充完整.
（3） 若规定不低于9分的成绩为优秀，小红根据统计结果判断八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，你觉得小红的判断正确吗？请说明理由.
19．（2025·杭州模拟）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别为AO，CO的中点，连接EB，BF，FD，DE.
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形.
（2）若，，求线段BE的长.
20．（2025·杭州模拟）在直角坐标系中，设函数与函数（，，b是常数，）的图象交于点A(1，4)，B(-2，t).
（1） 求函数，的表达式.
（2） 当时，比较与的大小.（直接写出结果）
（3） 若点C在函数的图象上，将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，点D恰好落在函数的图象上，求点C的坐标.
21．（2025·杭州模拟） 如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与BC边交于点E， F， ，连接AE， AF， .
（1） 判断的形状，并说明理由.
（2） 求证：.
（3） 若， ，求线段CF的长.
22．（2025·杭州模拟）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.
【实践活动】如图1，小明、小充分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角，，，点B，C，D在地面的同一条直线上，于点D.（测角仪的高度忽略不计）
（1）【问题解决】计算热气球离地面的高度AD.(参考数据：，，)
（2）【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.
爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高. 根据他的想法与思路，完成以下填空：
如图2，在锐角三角形ABC中，设，，，于点D，用含，和m的代数式表示AD.
解：设，因为，
所以.
同理，因为，
所以①.
因为，
解得②.
即可求得AD的长.
23．（2025·杭州模拟）设二次函数（a，b为常数，）.已知函数值y和自变量x的部分对应取值如下表所示：
x … -1 0 1 2 …
y … n 1 p m …
（1） 若，，
①求二次函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标.
②写出一个符合条件的x的取值范围，使得y随x的增大而增大.
（2） 当，时，求p的取值范围.
24．（2025·杭州模拟）如图，矩形ABCD内接于，BD是对角线，点在上（不与点，重合），连接EC分别交AD，BD于点，，于点，，连接BE交AD于点.
（1） 如图1，当点为的中点，时，
①求证：.
②求的长.
（2） 如图2，若，求的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：故不符合题意；
故不符合题意；
故不符合题意；
故符合题意；
故答案为：D .
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大.2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数.3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小.按照从小到大的顺序排列找出结论即可.
2．【答案】D
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题干中的几何体可得其俯视图是：
故答案为：D .
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图即可得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：亿
故答案为：C .
【分析】科学记数法的表示形式为 的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值 时，n是正数；当原数的绝对值 时，n是负数.
4．【答案】B
【知识点】单项式乘单项式；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解： 和 不是同类项，不能合并计算，故A不符合题意；
故B符合题意；
故C不符合题意；
故D不符合题意，
故答案为：B .
【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂乘除法法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可.
5．【答案】D
【知识点】角的运算；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：
的度数为'
故答案为：D .
【分析】根据对顶角相等，角的和差关系计算. 的度数，再应用平行线的性质得到. 的度数即可.
6．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：第5组植树 (株)，
这5个组的植树数量从小到大排列为：8株，8株，9株， 12株， 13株，
∴这5个组的植树数量中，中位数是9株，
故答案为：B .
【分析】根据算术平均数的定义，用植树总株数减去4个组植树数量可得第5组的植树数量，根据中位数的定义即可得.
7．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：A：由 两边同时加上c，则，原计算错误；
B：由 两边同时乘以c(c<0)，则 ，原计算错误；
C：由 两边同时乘以c2(c2>0），则 ，计算正确；
D：由 左边减去c，则、b的大小关系不确定 ，原计算错误；
故答案为：C .
【分析】根据不等式的基本性质解答即可.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程
【解析】【解答】解：由题意可得
故答案为：A .
【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题.
9．【答案】A
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：二次函数 化为顶点式为
∴该二次函数的对称轴为直线x =1，
当a>0时，二次函数图象开口向上，在对称轴右侧y随x的增大而增大，
若t > 2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧， 且t若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而小，t当1≤t≤2时， 点( 在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 当a<0时，二次函数图象开口向下，在对称轴右侧y随x的增大而减小，
若t>2， 则点( 和 都在对称轴x=1右侧，且t1> y2，
若t<1时， t+1<2， 则点( 和 都在对称轴x =1左侧，y随x的增大而增大， t当1≤t≤2时， 点( )在对称轴左侧，点(t+1，y2)在对称轴右侧，此时无法直接比较y1与y2大小. 综上， 当a>0， t>2时，
故答案为：A .
【分析】先将二次函数化为顶点式来确定对称轴，再根据a的政府判断函数的开口向上，然后结合点(t，y1)与 的大小关系.
10．【答案】B
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；正方形的性质；解直角三角形—边角关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：连接BF， AG， HE， BF交AE于点J.设AE的中点为O， 连接OB.设正方形ABCD的边长为2a.
∵点E为BC的中点，
∵AE是直径，
∵四边形ABC都是正方形，
∴ Rt△EFH≌Rt△ECH(HL)，
∴FH =CH，
∵AE = AE， EF = EB，
∠AFE=∠ABE=90°，
∴ Rt△AEF≌Rt△AEB(HL)，
∴AF=AB，
∴AD=AF，
∵AG =AG， ∠D=∠AFG=90°，
∴ Rt△ADG≌Rt△AFG(HL)，
∴DG = FG，
∵AF= AB， EF=EB，
∴AE垂直平分线段BF，
∴BJ=FJ，
∵AB=2a， EB=a，
，
∵AB∥CD，
故答案为：B .
【分析】连接BF， AG， HE， BF交AE于点J.设AE的中点为O，连接OB.设正方形ABCD的边长为2a.利用全等三角形的性质证明. 再证明 求出 J可得结论.
11．【答案】4；
【知识点】二次根式的加减法；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：；；
故答案为：4； .
【分析】根据乘方和二次根式的加减运算法则解题即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】a2-9=a2-32=（a+3）（a-3）．
故答案为（a+3）（a-3）．
【分析】观察此多项式的特点，没有公因式，符合平方差公式的特点，即可求解。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
2 3 4
2 (2，2) (2，3) (2，4)
3 (3，2) (3，3) (3，4)
4 (4，2) (4，3) (4，4)
共有9种等可能的结果，其中两次抽到的编号都是偶数的结果有： (2，2)， (2，4)， (4，2)， (4，4)， 共4种，
∴两次抽到的编号都是偶数的概率为
故答案为：
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的编号都是偶数的结果数，再利用概率公式可得出答案.
14．【答案】35
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图， 连接OP，
∵ PA是⊙O的切线，
由圆周角定理得：
故答案为： 35.
【分析】连接OP，根据切线的性质得到 根据直角三角形的性质求出. 再根据圆周角定理解答即可.
15．【答案】3
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：∵二次函数 与一次函数 (a是常数)的图象交于两个不同的点A，B，点A的横坐标是
∴二次函数为 一次函数为 令
解得 或
∴点B的横坐标是3.
故答案为：3.
【分析】由题意得到 求得 则二次函数为 一次函数为 令 解方程即可求得点B的横坐标.
16．【答案】36；
【知识点】菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设AB， 交于点J.设∠B=x.
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠B=∠D =x，AD∥CB，
∴∠BCD'=∠D'，
∵CD'平分∠ACB，
∴∠ACD'=∠BCD'，
由翻折变换的性质可知，∠D =∠D'，
∴∠BCD'=∠ACD'=x，
∵BA=BC，
∴∠BCA=∠BAC=2x，
∵∠B+∠ACB+∠BAC=180°，
∴5x=180°，
设 ， 则.
故答案为：36，
【分析】设AB， 交于点J.设. .利用三角形内角和定理构建方程求出x即可，证明设，则 利用相似三角形的性质构建一元二次方程求解.
17．【答案】解：有错误；
由①，得，所以.
由②，得，所以，所以.
所以原不等式组的解是.
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集
18．【答案】（1）8.5；9
（2）解：依题意，条形统计图补充如图，
（3）解：小红的判断正确，理由如下：
七年级的人数：（人），
八年级的人数：10+15=25（人），
25＞22，
故八年级成绩优秀的人数一定多于七年级成绩优秀的人数，
所以小红的判断正确.
【知识点】扇形统计图；条形统计图
【解析】【解答】(1)解：七年级A等级人数 人，
B等级人数 人，
C等级人数 人，
D等级人数 人，
∴8.5；
八年级C等级人数 人，
B等级出现的人数最多，故众数为9分，
故答案为： 8.5， 9；
【分析】(1)先计算出七年级各等级的人数，利用加权平均的计算方法可求得a的值；再求得八年级C等级人数，据此补全图形即可；
(2)根据题意补充条形统计图即可求解；(3)求出七年级和八年级的优秀人数作比较解题即可.
19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：
∵点E为AO的中点，
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质可求得 ，再结合E、F为中点，可求得 则可证得四边形EBFD为平行四边形；
(2)根据勾股定理求出 再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求解即可.
20．【答案】（1）解：∵两个函数图象交于点A(1，4)，
∵点. 在直线 图象上，
解得
；
（2）解：两个函数图象如图所示，
由图可知， 当 时，
（3）解：设点C坐标为
∵将点C先向左平移1个单位，再向下平移6个单位得点D，
∵点D恰好落在函数 的图象上，
整理得
或
∴C(3，8)或(0，2).
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；用坐标表示平移
【解析】【分析】(1)待定系数法求出两个函数解析式即可；
(2)画出图象，利用数形结合解答即可；
(3)根据点的平移法则设点C坐标为 写出点D的坐标再代入反比例函数解析式求出m值即可点的点C坐标.
21．【答案】（1）解：△AEF为等边三角形，理由如下：
由作法得AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF为等边三角形；
（2）证明：
证明： ∵△AEF为等边三角形，
∴∠AEF =∠AFE=60°，
∴∠AEB=∠AFC=120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠B+∠C =60°，
∵∠AEF=∠BAE+∠B=60°，
∴∠BAE =∠C，
而∠AEB=∠AFC，
∴△ABE∽△CAF；
（3）解：∵△AEF为等边三角形，
∴AE=AF=EF=3，
，∵△ABE-△CAF，
∴AE：CF=BE：AF，
即3：CF=2：3，
解得
【知识点】等边三角形的判定与性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)利用有一个角为60度的等腰三角形为等边三角形可判定△AEF为等边三角形.
(2)先根据等边三角形的性质得到∠AEF =∠AFE =60°， 则根据等角的补角相等得到∠AEB=∠AFC， 再证明∠BAE=∠C， 然后根据相似三角形的判定方法得到结论；
(3)先根据等边三角形的性质得到AE=AF =EF=3， 由于△ABE∽△CAF， 则根据相似三角形的性质得到AE：CF =BE：AF， 即3：CF=2：3， 从而可求出CF的长.解得 .
22．【答案】（1）解：如图，
在Rt△ACD中，
在Rt△ABD中，
∵BD-CD=BC，
解得AD=60(m).
答：热气球离地面的高度AD为60m；
（2）解：设AD=x， 因为
所以
同理， 因为
所以
因为BC=BD+CD=m，
解得
即可求得AD的长.
故答案为：
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】(1)根据正切的定义，在Rt△ACD中得到 在Rt△ABD中BD = AD， 再利用BD-CD=BC得到 然后解方程求出AD即可；
(2)设AD =x，利用正切的定义得到 再利用BC = BD+CD= m得到关于x的方程，然后解方程即可.
23．【答案】（1）解：①由题意得 解得
∴二次函数的表达式是
∴顶点为(1，0)；
∴抛物线开口向上，对称轴为直线
∴当 时，y随x的增大而增大；
（2）解：当 时，
则 ，
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】(1)①利用待定系数法即可求得抛物线的解析式，把解析式化成顶点式即可求得顶点坐标；
②利用二次函数的性质得出结论；
(2)根据题意则 ，两式相减得 即可得到 进而得到结论.
24．【答案】（1）解：①证明： ∵四边形ABCD为矩形，
∵点E为 的中点，
②连接OE， OC， 如图，
∵点E为 的中点，
∴∠ABE=∠DBE.
∵BF⊥CE于点F， FG = FC，
∴BG=BC，
∴∠GBF=∠CBF，
由①知： ∠ABE=∠CBF，
° =22.5°
∴∠ABD =∠CBD =45°，
∠EOD =2∠DBE=45°，
∴∠DOC=2∠CBD =90°，
∴∠EOC =∠EOD+∠DOC =135°.
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠BAC=90°，
∴BD为圆的直径，
∵BD=2，∴OE=OC =1，
的长
（2）解：设AB=3，AD=4，
则BD=5，BC=BG=4，
GD=DH=1，AH=3，
，
设PH=x，则AP=3-x，
在中，
（舍），

【知识点】勾股定理；矩形的性质；圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)①利用矩形的性质，直角三角形的性质，圆周角定理解答即可；
②连接OE，OC，利用圆周角定理和矩形的性质得到 ，再利用圆周角定理求得 ，最后利用弧长公式解答即可；
(2)连接ED，利用矩形的性质，直角三角形的边角关系定理得到 设 则. ， 利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质直角三角形的边角关系定理和勾股定理依次求得DH， AH， ED， AP，PH， 则结论可得.
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