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浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·柯桥期末）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误.
故答案为：A.
【分析】（1）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
（2）同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（4）积的乘方，底数不变，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘.
2．（2024七下·柯桥期末）年月8日，为期天的杭州第届亚运会落下帷幕，中国式的浪漫与热情，在西子湖畔达到高潮．天里，杭州地累计客运量达到6876.9万人次，为亚运期间运输保障交出一份完美的答卷．用科学记数法表示万为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴万用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
3．（2024七下·柯桥期末）分式和的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意知，最简公分母为，
故选：C．
【分析】
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
4．（2024七下·柯桥期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是因式分解，符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，等式的右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选A．
【分析】
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
5．（2024七下·柯桥期末）绍兴6月11日17日天气预报中，气温变化情况如图所示，这七天中温差最小的是（　　）
A．6月11日 B．6月13日 C．6月14日 D．6月17日
【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可知，6月14日的温差最小，为；
故选C．
【分析】
从折线统计图中行确定各天的最高与最低气温，再作差，最后再对结果进行比较即可．
6．（2024七下·柯桥期末）如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
7．（2024七下·柯桥期末）若是方程的一个解，则代数式的值是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知，，即，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
先由方程解的概念可得，，即，再化所求代数式为即可．
8．（2024七下·柯桥期末）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个.已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产 万个口罩，则由题意可列出方程
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每天生产 万个口罩，则现在每天生产 万个口罩，
依题意，得： .
故答案为：B.
【分析】由题意可得相等关系“ 现在生产100万个口罩所需的时间=原来生产60万个口罩所需的时间 ”，根据相等关系可列方程.
9．（2024七下·柯桥期末）多项式中，有一个因式为，则的值为（　　）
A． B． C．15 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∴
故选：C
【分析】
因为多项式的二次项系数为2，一次项系数为-13，若一个因式，则另一个因式只能为，根据因式分解的概念可将化为两个多项式化为以上两个因式的乘积，则b可求.
10．（2024七下·柯桥期末）小明同学每天傍晚放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（　　）
A．10 B．9 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设小明步行的路程为S，则妈妈的车速是，小明步行的速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是9．
故选：B．
【分析】
设小明步行的路程为S，根据结果比平时早6分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少，进而可得到车速，结合妈妈的车速是小明步行速度的k倍，可得出小明步行的速度是，根据小明走这段路程比车走这段路段多用时分钟（早出发30分钟，提前到达6分钟），可列出关于k的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
11．（2024七下·柯桥期末）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
12．（2024七下·柯桥期末）当x 　 　时，分式 无意义．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：2x-7=0，解得：x= ，
故答案为 .
【分析】分式无意义则分式的分母为0，即可得到关于x的方程，求解即可.
13．（2024七下·柯桥期末）如图，将长方形纸条沿着折痕折成如图形状，若已知，的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长到，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，延长到，由，则内错角相等，即等于等于；再由折叠的性质知，等于等于，最后两直线平行同旁内角互补即可求出的度数 ．
14．（2024七下·柯桥期末）已知，则代数式的值为　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的加减法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】
先因式分解得，再代值求解即可．
15．（2024七下·柯桥期末）若一组数据的最大值为，最小值为，选取组距为，则这组数据可分成　 　组．
【答案】9
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵，
∴这组数据可分成9组，
故答案为：9．
【分析】
根据组数、组距、最大值、最小值的关系即可．
16．（2024七下·柯桥期末）已知二元一次方程，求　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂的除法；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由题意知，，再根据数幂的除法运算法则计算即可．
17．（2024七下·柯桥期末）若分式方程有增根，则它的增根是　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
方程两边同时乘以（x+1）(x-1)得，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，
，
解得；
当时，
，
等式不成立，
∴此时a不存在．
故答案为：．
【分析】由题意，去分母化分式方程为关于x的整式方程，根据原分式方程有增根可得公分母=0，即，解得或，然后把x的值分别代入整式方程可得关于a的方程，解方程求出a的值即可求解．
18．（2024七下·柯桥期末）若实数，满足方程组，则　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于所求多项式可分解因式为，因此可把和看作整体，解关于它们的二元一次方程组即可得，，最后再整体代入计算即可．
19．（2024七下·柯桥期末）如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点（），请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与的一边平行，则为　 　度．
【答案】或或或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，分，，三种情况求解；
当时，如图1，
∴，
由折叠可知，，
∴；
当时，如图，延长交于，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴；
当时，如图，
图
∴，
由折叠可得，，
∴，
当时，如图3，，
∴；
综上所述，的度数为或或或，
故答案为：或或或．
【分析】
由题意知，分，，三种情况求解即可．
20．（2024七下·柯桥期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为　 　．
（2）关于，的二元一次方程组的解为　 　．
【答案】；
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【分析】
（1）两个表格中的相同解即为方程组的解；
（2）先由（1）得出方程组的解，再解关于， 的方程组即可．
21．（2024七下·柯桥期末）计算下列各题：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式；
（2）原式．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的计算，再进行加减运算即可；
（2）整式的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，乘法运算时注意灵活运用乘法公式可简化运算，最后再合并同类项即可．
（1）解：原式；
（2）原式．
22．（2024七下·柯桥期末）解方程（组）：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，，得，
∴，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程两边都乘以，得，解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可先利用等式的基本性质对其中一个方程变形，使这个未知数的系数相等或互为相反数，最后利用加减消元法解方程组即可；
（2）解分式方程的一般步骤是去分母解整式方程，将解代入最简公分母检验，最后根据检验的结果写根.
（1）解：，
，得，
∴，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为
23．（2024七下·柯桥期末）因式分解：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式；
（2）原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式法因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可．
（1）解：原式；
（2）原式．
24．（2024七下·柯桥期末）已知，求代数式的值．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
根据分式的混合运算先将代数式化简，化简时注意对异分母分式的加减运算要先通分，再加减；除法运算时，要先化除法为乘法，即先把除式的分子分母颠倒位置再相乘，同时对分子分母分解因式并约分，必须保证结果是最简分式或整式，最后再将代入求解．
25．（2024七下·柯桥期末）已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足．
（1）求证：；
（2）若，且平分，说明和的数量关系．
【答案】（1）证明：如图，作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）如图，作，则可把转化到内部，再由已知可得，则内错角相等两直线平行，再由平行公理即可证明结论成立；
（2）由可得，与互余；角平分线的概念可得，再由两直线平行同旁内角互补可得与互余．
（1）证明：如图，作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．（2024七下·柯桥期末）青少年正在生长发育关键期，要关注视力健康，控制电子设备使用时长．一般中学生每天使用电子设备时间不超过4小时，每次不超过30分钟．某区对七年级学生假期使用电子设备的时长情况进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A.0~2小时；B.2~4小时；C，4~6小时；D.6小时以上，根据调查统计结果绘制如图两幅不完整的统计图．
电子设备使用时长条形统计图速电子设备使用时长扇形统计图
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示层次C的扇形的圆心角是多少度？
（3）若该区一共有5000名七年级学生，那么估计有多少名学生使用电子设备的时间超标？
【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有人，
层次C的人数是人，
补图如下：
（2）解：层次C的扇形的圆心角是.
（3）解：使用电子设备的时间超标的有名学生．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用层次A的人数及百分比求出总人数，再求出C的人数即可补图；
（2）根据层次C的人数除以总人数200，再乘以得到扇形圆心角度数；
（3）用总人数5000乘以层次C和D的比例即可．
（1）解：本次参与调查的学生共有人，
层次C的人数是人，
补图如下：
（2）解：层次C的扇形的圆心角是
（3）解：使用电子设备的时间超标的有名学生．
27．（2024七下·柯桥期末）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少．
交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数．
【答案】【解答】
解：任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人；
提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数
解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级人均植树棵，八年级人均植树棵；
任务：设八年级（）班志愿者有人，
根据题意得：，解得：，
∴，
答：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务：提出问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，利用人均植树棵数植树总棵数志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多棵树苗，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级志愿者人数；
提出问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，利用志愿者人数植树总棵数人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入中，即可求出八年级人均植树棵数；
任务：设八年级（）班志愿者有人，根据“如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即八年级（）班志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级（）班需植树的棵数．
28．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
1 / 1浙江省绍兴市柯桥区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·柯桥期末）下面计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·柯桥期末）年月8日，为期天的杭州第届亚运会落下帷幕，中国式的浪漫与热情，在西子湖畔达到高潮．天里，杭州地累计客运量达到6876.9万人次，为亚运期间运输保障交出一份完美的答卷．用科学记数法表示万为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024七下·柯桥期末）分式和的最简公分母是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·柯桥期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·柯桥期末）绍兴6月11日17日天气预报中，气温变化情况如图所示，这七天中温差最小的是（　　）
A．6月11日 B．6月13日 C．6月14日 D．6月17日
6．（2024七下·柯桥期末）如图，已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．（2024七下·柯桥期末）若是方程的一个解，则代数式的值是（　　）
A．3 B． C． D．
8．（2024七下·柯桥期末）抗击新冠肺炎疫情期间，某口罩厂接到加大生产的紧急任务后积极扩大产能，现在每天生产的口罩比原来多4万个.已知现在生产100万个口罩所需的时间与原来生产60万个口罩所需的时间相同，问口罩厂现在每天生产多少个口罩？设原来每天生产 万个口罩，则由题意可列出方程
A． B． C． D．
9．（2024七下·柯桥期末）多项式中，有一个因式为，则的值为（　　）
A． B． C．15 D．3
10．（2024七下·柯桥期末）小明同学每天傍晚放学，妈妈每天都从家里出发，骑电瓶车按时到校接他回家．有一天学校提前30分钟放学，妈妈由于工作原因，不能提前过来接他，只能按原来的时间从家出发．他和妈妈约定先沿着原路线步行，路上遇到妈妈后再乘车回家，结果比原来早6分钟到家．若妈妈的车速不变，设妈妈的车速是小明步行速度的k倍，则k的值是（　　）
A．10 B．9 C．6 D．5
11．（2024七下·柯桥期末）分解因式：　 　．
12．（2024七下·柯桥期末）当x 　 　时，分式 无意义．
13．（2024七下·柯桥期末）如图，将长方形纸条沿着折痕折成如图形状，若已知，的度数为　 　．
14．（2024七下·柯桥期末）已知，则代数式的值为　 　．
15．（2024七下·柯桥期末）若一组数据的最大值为，最小值为，选取组距为，则这组数据可分成　 　组．
16．（2024七下·柯桥期末）已知二元一次方程，求　 　．
17．（2024七下·柯桥期末）若分式方程有增根，则它的增根是　 　．
18．（2024七下·柯桥期末）若实数，满足方程组，则　 　．
19．（2024七下·柯桥期末）如图，有一张三角形纸片，，，点是边上的固定点（），请在上找一点，将纸片沿折叠（为折痕），点落在点处，使与的一边平行，则为　 　度．
20．（2024七下·柯桥期末）已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 8 6.5 5 3.5 2 0.5 …
已知关于x，y的二元一次方程的解如下表：
x … 0 1 2 3 4 5 …
y … 2 …
（1）仔细观察表中数据，直接写出关于，二元一次方程组的解为　 　．
（2）关于，的二元一次方程组的解为　 　．
21．（2024七下·柯桥期末）计算下列各题：
（1）；
（2）．
22．（2024七下·柯桥期末）解方程（组）：
（1）
（2）
23．（2024七下·柯桥期末）因式分解：
（1）
（2）
24．（2024七下·柯桥期末）已知，求代数式的值．
25．（2024七下·柯桥期末）已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足．
（1）求证：；
（2）若，且平分，说明和的数量关系．
26．（2024七下·柯桥期末）青少年正在生长发育关键期，要关注视力健康，控制电子设备使用时长．一般中学生每天使用电子设备时间不超过4小时，每次不超过30分钟．某区对七年级学生假期使用电子设备的时长情况进行抽样调查，调查结果共分为四个层次：A.0~2小时；B.2~4小时；C，4~6小时；D.6小时以上，根据调查统计结果绘制如图两幅不完整的统计图．
电子设备使用时长条形统计图速电子设备使用时长扇形统计图
请结合统计图，解答下列问题：
（1）本次参与调查的学生共有多少人？请补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，表示层次C的扇形的圆心角是多少度？
（3）若该区一共有5000名七年级学生，那么估计有多少名学生使用电子设备的时间超标？
27．（2024七下·柯桥期末）根据以下素材，完成调查活动．
怎样知道七、八年级两支志愿者的人数和人均植树数
调查活动 素材 为改善生态环境，某校七年级、八年级两支志愿者分别参加了两地的植树活动
素材 小明同学对这次植树活动进行调查，收集到如下信息：七年级、八年级两支志愿者植树各棵树苗； 八年级比七年级人均植树多棵树苗； 八年级的学生人数比七年级的人数少．
交流质疑 小明同学把收集的信息和组内的同学交流后，一位同学表达了自己的看法，认为小明同学没有收集到七年级、八年级两支志愿者的“人数”、“人均植树数”等重要信息，没法进行系统研究．
问题解决 任务 你对此有何看法？请你根据上述信息，就七年级、八年级两支志愿者的“人数”或“人均植树数”提出一个用分式方程解决的问题，并写出解题过程．
问题反馈 任务 小明同学还想知道参与此次活动的八年级（）班志愿者的人数和植树数．通过分析，如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗，求八年级（）班志愿者的人数和需种植的树苗数．
28．（2024七下·柯桥期末）如果两个分式和满足（为整数），则称M，N为“兄弟分式”，整数称为的“信度值”如分式，满足，则称为“兄弟分式”，整数2称为的“信度值”．
（1）已知分式，判断M，N是否为“兄弟分式”，若不是，说明理由；若是，请求出为的“信度值”．
（2）已知x，y均为非零实数，分式属于“兄弟分式”，且两个分式的“信度值”为3，求分式的值．
（3）已知“兄弟分式”M，N，分式为分式的“信度值”是．
①求（用含的代数式表示）；
②若的值为正整数，为正整数，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，A正确；
B：，B错误；
C：，C错误；
D：，D错误.
故答案为：A.
【分析】（1）同底数幂的乘法，底数不变，指数相加.
（2）同底数幂的除法，底数不变，指数相减.
（3）幂的乘方，底数不变，指数相乘.
（4）积的乘方，底数不变，先把积中的每一个乘数分别乘方，再把所得的幂相乘.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万即大于1，用科学记数法表示为，其中，，
∴万用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】
根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为，其中，的值为整数位数少1．
3．【答案】C
【知识点】最简公分母
【解析】【解答】解：由题意知，最简公分母为，
故选：C．
【分析】
通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．
4．【答案】A
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、，是因式分解，符合题意；
B、，等式右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
C、，等式的右边不是整式，不是因式分解，不符合题意；
D、是整式的乘法，不是因式分解，不符合题意；
故选A．
【分析】
把一个多项式分解成几个整式的积的形式，叫做因式分解．
5．【答案】C
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可知，6月14日的温差最小，为；
故选C．
【分析】
从折线统计图中行确定各天的最高与最低气温，再作差，最后再对结果进行比较即可．
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故选：D．
【分析】
内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补．
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：由题意知，，即，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】
先由方程解的概念可得，，即，再化所求代数式为即可．
8．【答案】B
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来每天生产 万个口罩，则现在每天生产 万个口罩，
依题意，得： .
故答案为：B.
【分析】由题意可得相等关系“ 现在生产100万个口罩所需的时间=原来生产60万个口罩所需的时间 ”，根据相等关系可列方程.
9．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式；因式分解的应用
【解析】【解答】解：
∴
故选：C
【分析】
因为多项式的二次项系数为2，一次项系数为-13，若一个因式，则另一个因式只能为，根据因式分解的概念可将化为两个多项式化为以上两个因式的乘积，则b可求.
10．【答案】B
【知识点】分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：设小明步行的路程为S，则妈妈的车速是，小明步行的速度是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴k的值是9．
故选：B．
【分析】
设小明步行的路程为S，根据结果比平时早6分钟到家，可知提前放学的这一天，开车的距离少，进而可得到车速，结合妈妈的车速是小明步行速度的k倍，可得出小明步行的速度是，根据小明走这段路程比车走这段路段多用时分钟（早出发30分钟，提前到达6分钟），可列出关于k的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：由题意知，，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后利用平方差公式因式分解即可．
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意得：2x-7=0，解得：x= ，
故答案为 .
【分析】分式无意义则分式的分母为0，即可得到关于x的方程，求解即可.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，延长到，
∵，
∴，
由折叠可知，，
∴，
故答案为：．
【分析】
如图，延长到，由，则内错角相等，即等于等于；再由折叠的性质知，等于等于，最后两直线平行同旁内角互补即可求出的度数 ．
14．【答案】2
【知识点】二次根式的加减法；求代数式的值-整体代入求值；因式分解-完全平方公式
【解析】【解答】解：，
故答案为：2．
【分析】
先因式分解得，再代值求解即可．
15．【答案】9
【知识点】频数（率）分布直方图
【解析】【解答】解：∵，
∴这组数据可分成9组，
故答案为：9．
【分析】
根据组数、组距、最大值、最小值的关系即可．
16．【答案】
【知识点】同底数幂的除法；二元一次方程的解
【解析】【解答】解：由题意知，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由题意知，，再根据数幂的除法运算法则计算即可．
17．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根
【解析】【解答】解：由，
方程两边同时乘以（x+1）(x-1)得，
，
∵分式方程有增根，
∴，
解得：或，
当时，
，
解得；
当时，
，
等式不成立，
∴此时a不存在．
故答案为：．
【分析】由题意，去分母化分式方程为关于x的整式方程，根据原分式方程有增根可得公分母=0，即，解得或，然后把x的值分别代入整式方程可得关于a的方程，解方程求出a的值即可求解．
18．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；加减消元法解二元一次方程组；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
得，，
解得，，
将代入①得，，
解得，，
∴，
故答案为：．
【分析】
由于所求多项式可分解因式为，因此可把和看作整体，解关于它们的二元一次方程组即可得，，最后再整体代入计算即可．
19．【答案】或或或
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：由题意知，分，，三种情况求解；
当时，如图1，
∴，
由折叠可知，，
∴；
当时，如图，延长交于，
∴，
∴，
由折叠可得，，
∴；
当时，如图，
图
∴，
由折叠可得，，
∴，
当时，如图3，，
∴；
综上所述，的度数为或或或，
故答案为：或或或．
【分析】
由题意知，分，，三种情况求解即可．
20．【答案】；
【知识点】二元一次方程组的概念；二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：（1）根据表格可知，当时，中，中，
∴关于，二元一次方程组的解为，
故答案为；
（2）∵关于，二元一次方程组的解为，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
解得，
∴关于，的二元一次方程组的解为，
故答案为．
【分析】
（1）两个表格中的相同解即为方程组的解；
（2）先由（1）得出方程组的解，再解关于， 的方程组即可．
21．【答案】（1）解：原式；
（2）原式．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先进行乘方，零指数幂和负整数指数幂的计算，再进行加减运算即可；
（2）整式的混合运算，先乘方，再乘除，最后加减，乘法运算时注意灵活运用乘法公式可简化运算，最后再合并同类项即可．
（1）解：原式；
（2）原式．
22．【答案】（1）解：，，得，
∴，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）解：方程两边都乘以，得，解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为
【知识点】解分式方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）解二元一次方程组时，若两个方程中某一未知数的系数存在整数倍关系时，可先利用等式的基本性质对其中一个方程变形，使这个未知数的系数相等或互为相反数，最后利用加减消元法解方程组即可；
（2）解分式方程的一般步骤是去分母解整式方程，将解代入最简公分母检验，最后根据检验的结果写根.
（1）解：，
，得，
∴，
将代入②，得，
解得，
∴方程组的解为；
（2）方程两边都乘以，得，
解得，
检验：当时，，
∴分式方程的解为
23．【答案】（1）解：原式；
（2）原式．
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）先提公因式，再利用完全平方公式法因式分解即可；
（2）先提公因式，再利用平方差公式法因式分解即可．
（1）解：原式；
（2）原式．
24．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】
根据分式的混合运算先将代数式化简，化简时注意对异分母分式的加减运算要先通分，再加减；除法运算时，要先化除法为乘法，即先把除式的分子分母颠倒位置再相乘，同时对分子分母分解因式并约分，必须保证结果是最简分式或整式，最后再将代入求解．
25．【答案】（1）证明：如图，作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；同旁内角的概念；角平分线的概念
【解析】【分析】
（1）如图，作，则可把转化到内部，再由已知可得，则内错角相等两直线平行，再由平行公理即可证明结论成立；
（2）由可得，与互余；角平分线的概念可得，再由两直线平行同旁内角互补可得与互余．
（1）证明：如图，作，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（2）解：；
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：本次参与调查的学生共有人，
层次C的人数是人，
补图如下：
（2）解：层次C的扇形的圆心角是.
（3）解：使用电子设备的时间超标的有名学生．
【知识点】扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用层次A的人数及百分比求出总人数，再求出C的人数即可补图；
（2）根据层次C的人数除以总人数200，再乘以得到扇形圆心角度数；
（3）用总人数5000乘以层次C和D的比例即可．
（1）解：本次参与调查的学生共有人，
层次C的人数是人，
补图如下：
（2）解：层次C的扇形的圆心角是
（3）解：使用电子设备的时间超标的有名学生．
27．【答案】【解答】
解：任务：提出问题：求出七、八年级志愿者的人数 解决问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级的志愿者有人，八年级的志愿者有人；
提出问题：求出七、八年级志愿人均植树数
解决问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，
根据题意得：，
解得：，经检验，是所列方程的解，且符合题意，
，
答：七年级人均植树棵，八年级人均植树棵；
任务：设八年级（）班志愿者有人，
根据题意得：，解得：，
∴，
答：八年级（）班志愿者有人，需种植棵树苗．
【知识点】一元一次方程的其他应用；分式方程的实际应用
【解析】【分析】任务：提出问题：设七年级的志愿者有人，则八年级的志愿者有人，利用人均植树棵数植树总棵数志愿者人数，结合八年级比七年级人均植树多棵树苗，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级志愿者人数；
提出问题：设七年级人均植树棵，则八年级人均植树棵，利用志愿者人数植树总棵数人均植树棵数，结合八年级的学生人数比七年级的人数少，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出的值（即七年级人均植树棵数），再将其代入中，即可求出八年级人均植树棵数；
任务：设八年级（）班志愿者有人，根据“如果每人种棵，还剩下棵树苗；如果每人种棵，则缺少棵树苗”，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值（即八年级（）班志愿者人数），再将其代入中，即可求出八年级（）班需植树的棵数．
28．【答案】（1）解：是；，
∴“信度值”；
（2）解：由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
【知识点】分式的值；分式的加减法
【解析】【分析】
（1）根据“兄弟分式”的概念，直接计算，并对结果进行判断即可；
（2）根据新定义，则已知两个异分母分式的差等于3，可推出，再代入指定分式进行化简即可；
（3）①根据新定义，进行分式的减法运算，最后再去分母，移项并合并同类项可求出多项式P；
②将代入中，结合的值为正整数，为正整数，进行求解即可．
（1）解：是；
，
∴“信度值”；
（2）由题意，得：
，
∴，
∴，
∴；
（3）①由题意，得：
，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵为正整数，且为正整数，
∴或，
∴或．
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