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浙江省宁波市海曙区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·海曙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024七下·海曙期末）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2024七下·海曙期末）宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2024七下·海曙期末） 下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2024七下·海曙期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．（2024七下·海曙期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　)
A． B． C． D．
7．（2024七下·海曙期末）如图，，点在上，，的延长线交的延长线于点，则图中与相等的角（不含）共有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
8．（2024七下·海曙期末）在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就座.设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2024七下·海曙期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ .例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ ＝ .给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ ；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1.其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2024七下·海曙期末）已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（　　）
A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形
11．（2024七下·海曙期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为　 　．
12．（2024七下·海曙期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　
13．（2024七下·海曙期末）若是一个完全平方式，则n的值是 　 　
14．（2024七下·海曙期末）若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为　 　
15．（2024七下·海曙期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为　 　
16．（2024七下·海曙期末）若关于的分式方程无解，则的值为　 　．
17．（2024七下·海曙期末）（1）计算：
（2）化简：．
18．（2024七下·海曙期末）分解因式：
（1）
（2）
19．（2024七下·海曙期末）解下列方程组：
（1）
（2）
20．（2024七下·海曙期末）先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
21．（2024七下·海曙期末）已知：如图，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
22．（2024七下·海曙期末）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
23．（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
24．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
2．【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程2x=3中，只含有一个未知数，且未知数项的次数是1，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、方程2x2=y-1中，虽含有两个未知数，但未知数项的最高次数是2，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、方程中，虽含有两个未知数，但分母中含有未知数，所以是分式方程，故此选项不符合题意；
D、方程x-6y=0含有两个未知数，未知数项的次数是1，且是整式方程，所以是二元一次方程，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，未知数项的次数是1的整式方程就是二元一次方程，据此一一判断得出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“30万”用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】
把绝对值较大的数字经常用科学记数法表示为的形式，其中，取这个数字整数部分位数与1的差．
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、将一个多项式变形成了两个整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式变形为几个整式的积的形式，就叫因式分解，据此逐项判断得出答案.
5．【答案】C
【知识点】平行线的性质
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴
即，
∴，
故选：B．
【分析】
根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解．
7．【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AB∥EF， ∴∠AGE=∠GEF， ∠GBP=∠BPF
∵EF∥CD， ∴∠GEF=∠EHC， ∠PCD=∠EPC=∠BPF，
∵GE∥BC， ∴∠EHC=∠BCD，
∴∠AGE =∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP.
共6个角与∠AGE相等.
故选：B
【分析】两直线平行、同位角相等、内错角相等，则∠AGE=∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP．
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意可得，.
故选A.
【分析】
设有嘉宾x名，共准备了y张桌子，根据“每桌坐12人，则空出3张桌子；每桌坐10人，则还有12人不能就坐”列出方程组即可.
9．【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝ ，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝ ＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝ ＝1﹣ ，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确.
综上所述，说法正确的个数是4，
故答案为：D.
【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断.
10．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，，，，
把长方形分割成四个小长方形，
，，，，，
，，，，
，
，
已知长方形的面积，
要求阴影部分的面积，还需知道长方形的面积，
故选：D．
【分析】
设，，，，分别表示出，，，，由，即．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，若代数式 有意义，则分母即x≠3.
故答案为：即x≠3.
【分析】根据分式的分母不等于0可得：最后求出x的取值范围即可.
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
13．【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，是一个完全平方式，
，，
解得：，，
故答案为：．
【分析】
完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
14．【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的方程组的解为，
关于，的方程组中，，
解得：，，
关于，的方程组的解为：，
故答案为：．
【分析】先根据换元法解二元一次方程组的方法，可列出关于，的方程，再解二元一次方程组求出求出，的值，即可.
15．【答案】74
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，
，
，
故答案为：74．
【分析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可．
16．【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
17．【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算减法；
（2）先运用平方差公式和完全平方差公式分别计算出两个多项式乘积的结果，再去括号并合并同类项．
18．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提取公因式即可得出答案；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．【答案】（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是

（2）解：，
方程组可化为，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）当方程组中某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组化简，然后利用等式的基本性质对其中一个方程变形，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
方程组可化为，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
20．【答案】解：
，
，，
，，
时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，化简时可先把除尘转化为乘法，即把除式的分子与分母颠倒位置再相乘，并同时对分子和分母分解因式，再约分；加减运算时，若是异分母分式，必须先通分，再加减并约分化结果为最简分式或整式，再选取合适的的值代入进行计算即可．
21．【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由垂直于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案；
（2）设度，则，，再根据两直线平行同旁内角互补可得关于x的一元一次方程，求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：根据题意得：（名），
组的学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）解：根据题意得：，
则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得：（名，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察两个统计图，可根据组的人数除以占的百分比求出本次调查的学生总数，进而求出组的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出组占的百分比，乘以360求出组在所在扇形的圆心角度数即可；
（3）根据样本中优秀的百分比，乘以1750估计出全校成绩优秀的学生数即可．
（1）解：根据题意得：（名），
组的学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）解：根据题意得：，
则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得：（名，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
23．【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
24．【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
1 / 1浙江省宁波市海曙区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题
1．（2024七下·海曙期末）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：A、2a和4不是同类项，不能合并，所以答案A错误；
B、a2×a3=a2+3=a5，所以B正确；
C、(2a)2=22×a2=4a2，所以答案C错误；
D、a3÷a3=a3-3=1，所以答案D错误.
故答案为：B.
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可判断B选项；用积的乘方的法则，积的乘方等于把积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可判断C选项；用同底数幂相除，底数不变，指数相减，可判断X选项.
2．（2024七下·海曙期末）下列是二元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、方程2x=3中，只含有一个未知数，且未知数项的次数是1，是一元一次方程，故此选项不符合题意；
B、方程2x2=y-1中，虽含有两个未知数，但未知数项的最高次数是2，是二元二次方程，故此选项不符合题意；
C、方程中，虽含有两个未知数，但分母中含有未知数，所以是分式方程，故此选项不符合题意；
D、方程x-6y=0含有两个未知数，未知数项的次数是1，且是整式方程，所以是二元一次方程，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】含有两个未知数，未知数项的次数是1的整式方程就是二元一次方程，据此一一判断得出答案.
3．（2024七下·海曙期末）宁波天一阁，是中国现存最古老的的藏书阁，距今400余年间已藏书近30万书籍，将数据“30万”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据“30万”用科学记数法表示为．
故选：C．
【分析】
把绝对值较大的数字经常用科学记数法表示为的形式，其中，取这个数字整数部分位数与1的差．
4．（2024七下·海曙期末） 下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、等式的右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
D、将一个多项式变形成了两个整式的积的形式，是因式分解，故此选项符合题意.
故答案为：D.
【分析】把一个多项式变形为几个整式的积的形式，就叫因式分解，据此逐项判断得出答案.
5．（2024七下·海曙期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
6．（2024七下·海曙期末）已知是二元一次方程组的解，则的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵是二元一次方程组的解，
∴
即，
∴，
故选：B．
【分析】
根据二元一次方程的解的定义，将代入方程组，进而求得的值，进而即可求解．
7．（2024七下·海曙期末）如图，，点在上，，的延长线交的延长线于点，则图中与相等的角（不含）共有（　　）
A．7个 B．6个 C．5个 D．4个
【答案】B
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】∵AB∥EF， ∴∠AGE=∠GEF， ∠GBP=∠BPF
∵EF∥CD， ∴∠GEF=∠EHC， ∠PCD=∠EPC=∠BPF，
∵GE∥BC， ∴∠EHC=∠BCD，
∴∠AGE =∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP.
共6个角与∠AGE相等.
故选：B
【分析】两直线平行、同位角相等、内错角相等，则∠AGE=∠GEF=∠EHC=∠BCD=∠EPC=∠BPF=∠GBP．
8．（2024七下·海曙期末）在迎宾晚宴上，若每桌坐12人，则空出3张桌子；若每桌坐10人，则还有12人不能就座.设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意，下列方程组正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】设有嘉宾x名，共准备了y张桌子.根据题意可得，.
故选A.
【分析】
设有嘉宾x名，共准备了y张桌子，根据“每桌坐12人，则空出3张桌子；每桌坐10人，则还有12人不能就坐”列出方程组即可.
9．（2024七下·海曙期末）任何一个正整数n都可以进行这样的分解：n＝s×t（s，t是正整数，且s≤t），如果p×q在n的所有分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p×q是n的最优分解，并规定：F（n）＝ .例如24可以分解成1×24，2×12，3×8，4×6这四种，这时就有F（24）＝ ＝ .给出下列关于F（n）的说法：①F（6）＝ ；②F（16）＝1；③F（n2﹣n）＝1﹣ ；④若n是一个完全平方数，F（n）＝1.其中说法正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】解：①∵6＝1×6＝2×3，
∴F（6）＝ ，故本小题正确；
②∵16＝1×16＝2×8＝4×4，
∴F（16）＝ ＝1，故本小题正确；
③∵n2﹣n＝n（n﹣1），
∴F（n2﹣n）＝ ＝1﹣ ，故本小题正确；
④∵n是一个完全平方数，
∴n分解成两个完全相同的数时，差的绝对值最小，
∴F（n）＝1，故本小题正确.
综上所述，说法正确的个数是4，
故答案为：D.
【分析】根据最优分解的定义，分别求出6、16、n2﹣n以及完全平方数n，然后对各小题求解即可作出判断.
10．（2024七下·海曙期末）已知把长方形分割成四个小长方形，若已知长方形的面积，则要求阴影部分的面积，还需知道下列哪个图形的面积（　　）
A．长方形 B．长方形 C．长方形 D．长方形
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：设，，，，
把长方形分割成四个小长方形，
，，，，，
，，，，
，
，
已知长方形的面积，
要求阴影部分的面积，还需知道长方形的面积，
故选：D．
【分析】
设，，，，分别表示出，，，，由，即．
11．（2024七下·海曙期末）若代数式有意义，则实数的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意得，若代数式 有意义，则分母即x≠3.
故答案为：即x≠3.
【分析】根据分式的分母不等于0可得：最后求出x的取值范围即可.
12．（2024七下·海曙期末）从、、这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式，再进行因式分解，写出一个这样的等式　 　
【答案】（答案不唯一）
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
．
13．（2024七下·海曙期末）若是一个完全平方式，则n的值是 　 　
【答案】
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：，是一个完全平方式，
，，
解得：，，
故答案为：．
【分析】
完全平方公式的特点是两数的平方和加上或减去这两数乘积的2倍．
14．（2024七下·海曙期末）若关于，的方程组的解为，则关于，的方程组的解为　 　
【答案】
【知识点】二元一次方程的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：关于，的方程组的解为，
关于，的方程组中，，
解得：，，
关于，的方程组的解为：，
故答案为：．
【分析】先根据换元法解二元一次方程组的方法，可列出关于，的方程，再解二元一次方程组求出求出，的值，即可.
15．（2024七下·海曙期末）有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图甲，将A，B对角放置后构造新的正方形如图乙，若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和70，则正方形A，B的面积之和为　 　
【答案】74
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，
由题意得，
，
，
故答案为：74．
【分析】
设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，根据题意求出，再根据计算即可．
16．（2024七下·海曙期末）若关于的分式方程无解，则的值为　 　．
【答案】或或
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：当时，或，
原分式方程可化为：，
去分母，得，
整理得，
分式方程无解，
，
，
把或，分别代入，
得或，
综上所述：的值为或或，
故答案为：或或．
【分析】先求出分式方程最简公分母为0时，x的值，即分式方程的增根，再分式方程化为整式方程，求出当含有未知数的字母系数为0时，x的值，即分式方程的增根，即可求解.
17．（2024七下·海曙期末）（1）计算：
（2）化简：．
【答案】解：（1）
；
（2）
．
【知识点】整式的混合运算；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算，先计算零次幂、负整数指数幂和绝对值，再计算减法；
（2）先运用平方差公式和完全平方差公式分别计算出两个多项式乘积的结果，再去括号并合并同类项．
18．（2024七下·海曙期末）分解因式：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【分析】
（1）提取公因式即可得出答案；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解．
（1）解：
；
（2）解：
．
19．（2024七下·海曙期末）解下列方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是

（2）解：，
方程组可化为，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】
（1）当方程组中某一未知数的系数相等或互为相反数时，可直接利用加减消元法解二元一次方程组即可；
（2）先将方程组化简，然后利用等式的基本性质对其中一个方程变形，使某一未知数的系数相等或互为相反数，再利用加减消元法解二元一次方程组即可．
（1）解：，
①②，得，
解得，
把代入②，得，
所以方程组的解是；
（2）解：，
方程组可化为，
②，得③，
①③，得，
解得，
把代入②，得，
所以原方程组的解是．
20．（2024七下·海曙期末）先化简，再求值：，并在，0，2中选一个合适的数作为的值代入求值．
【答案】解：
，
，，
，，
时，原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，化简时可先把除尘转化为乘法，即把除式的分子与分母颠倒位置再相乘，并同时对分子和分母分解因式，再约分；加减运算时，若是异分母分式，必须先通分，再加减并约分化结果为最简分式或整式，再选取合适的的值代入进行计算即可．
21．（2024七下·海曙期末）已知：如图，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵，，∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；平行线的判定与性质的应用-求角度
【解析】【分析】（1）由垂直于同一条直线的两条直线平行可得，再根据平行线的性质得出，，等量代换即可得出答案；
（2）设度，则，，再根据两直线平行同旁内角互补可得关于x的一元一次方程，求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：设度，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
22．（2024七下·海曙期末）2024年4月25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理．数据分成五组，A组：；B组：；C组：；D组：；E组：．根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图；
（2）扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度；
（3）规定本次航天知识竞赛活动成绩在80分及以上的成绩为优秀，全校共有1750名学生，请估计全校取得优秀成绩的同学共有多少？
【答案】（1）解：根据题意得：（名），
组的学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）解：根据题意得：，
则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得：（名，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）观察两个统计图，可根据组的人数除以占的百分比求出本次调查的学生总数，进而求出组的学生数，补全条形统计图即可；
（2）求出组占的百分比，乘以360求出组在所在扇形的圆心角度数即可；
（3）根据样本中优秀的百分比，乘以1750估计出全校成绩优秀的学生数即可．
（1）解：根据题意得：（名），
组的学生为（名），
补全条形统计图，如图所示：
故答案为：50；
（2）解：根据题意得：，
则扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为36度；
故答案为：36；
（3）解：根据题意得：（名，
则估计全校取得优秀成绩的同学约有805名．
23．（2024七下·海曙期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元．
（1）求A、B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？
（2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案；
（3）若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利8000元，销售1辆B型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
【知识点】二元一次方程的解；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，求出其正整数解即可；
（3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论．
（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，
依题意，得：，
解得：．
答：型汽车每辆的进价为25万元，型汽车每辆的进价为10万元；
（2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆，
依题意，得：，
解得：．
，均为正整数，
，，，
共3种购买方案，方案一：购进型车6辆，型车5辆；方案二：购进型车4辆，型车10辆；方案三：购进型车2辆，型车15辆；
（3）解：方案一获得利润：（元；
方案二获得利润：（元；
方案三获得利润：（元．
，
购进型车2辆，型车15辆获利最大，最大利润是91000元．
24．（2024七下·海曙期末）在学习“整式乘法”与“因式分解”这章节内容时，我们通过计算图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，并通过推演证实了法则和公式．借助图形可以帮助我们直观的发现数量之间的关系，而“数”又可以帮助我们更好的探究图形的特点．这种数形结合的方式是人们研究数学问题的常用思想方法．请你根据已有的知识经验，解决以下问题：
【自主探究】
（1）请用不同的方法计算图1中阴影部分的面积，写出得到的等式　　　　　　　；
（2）图2是由两个边长分别为a、b、c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现a、b、c的什么关系？说明理由；
【迁移应用】根据（1）、（2）中的结论，解决以下问题：
（3）在直角中，，三边分别为、、，，，求的值；
（4）如图3，五边形中，，垂足为，，，，周长为2，四边形为长方形，求四边形的面积．
【答案】解：（1），
（2）发现：，
理由：图2中图形的面积，
，
，
；
（3）在直角中，，三边分别为、、，
由（1）（2）结论可知：，
，，
，
；
（4），，周长为2，
，
在中，，
，
，
，
，
，，，
，，
长方形的面积为：．
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】（1），
故答案为：；
【分析】
（1）用两种不同的方法计算图1中阴影部分的面积，得到等式：；
（2）图2中图形的面积，即可变形为；
（3）由（1）（2）结论可知：，即，求解即可；
（4）根据，，周长为2，可得：，因此，即，根据，，可知长方形的面积为：．
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