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2024-2025 学年四川省资阳中学高二下学期期中检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知离散型随机变量 的分布列如下表：
0 1 2 3
1 5 1
3 6
若离散型随机变量 = 2 + 1，则 ( ≥ 5) = ( )．
A. 7 5 5 312 B. 12 C. 6 D. 4
2.5 个男生，2 个女生排成一排，若女生不能排在两端，但又必须相邻，则不同的排法种数为
A. 480 B. 720 C. 960 D. 1440
3.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题．如果 +1 = ∈ N ，
且数列 为等差数列，那么数列 为二阶等差数列．现有二阶等差数列的前 4 项分别为 1，3，6，10，
则该数列的前 8 项和为( )
A. 120 B. 220 C. 240 D. 256
4.两位工人加工同一种零件共 100 个，甲加工了 40 个，其中 35 个是合格品，乙加工了 60 个，其中有 50
个合格，令 事件为”从 100 个产品中任意取一个，取出的是合格品”， 事件为”从 100 个产品中任意取
一个，取到甲生产的产品”，则 ( | )等于
A. 25 B.
35 7 5
100 C. 8 D. 7
5.设函数 ( )是 上可导的偶函数，且 (2) = 3，当 > 0，满足 2 ( ) + ′( ) > 2，则 2 ( ) > 12 的解
集为( )
A. ( 2,2) B. ( ∞, 3) ∪ (3, + ∞)
C. ( ∞, 2) ∪ (2, + ∞) D. ( 3,3)
6.朱载堉(1536～1611)，是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中
制成了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，
各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度 13 个音，相邻两个音之间的频率
之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的 2 倍．设前四个音的频率总和为 1，前八个音的频率总和
为 22，则 =( )1
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1 1 1 1
A. 1 + 22 B. 1 + 23 C. 1 + 24 D. 1 + 26
7.设函数 ( ) = e ，直线 = + 1 是曲线 = ( )的切线，则 + 的最大值是( )
A. 1 1e B. e C. e 1 D. e
2 2
8.如图，用四种不同的颜色给图中的 ， ， ， ， ， ， 七个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中
每条线段的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色方法有( )
A. 600 B. 288 C. 576 D.以上答案均不对
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 0 < ( ) < 1，0 < ( ) < 1，则下列等式中成立的是( )
A. = ( ) ( )
B. = ( ) ( )
C. ( ) = ( )
D. ( ) = ( ) +
10.已知 ′( )为函数 ( )的导函数，若函数 = ′( ) 1 的图象大致如图所示，则( )
A. ( )有 3 个极值点 B. = 3 是 ( )的极大值点
C. = 4 是 ( )的极大值点 D. ( )在(0,4)上单调递增
2
11.已知数列 中， 1 = 2， +1 = + 2 + 1 2，则关于数列 的说法正确的是( )
A. 2 = 7 B.数列 为周期数列
C. = 2 2 + 1 D.数列 为递增数列
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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5
12.在 2 1 2 的二项展开式中， 的系数为 ．
13.已知 ( ) = 4 + cos + 7 2， ′( )为 ( )导函数，若 ′(2025) = 2011，则 ′( 2025) = ．
14.知数列 的前 项和为 ， 1 = 1， 2 = 3，当 ≥ 2 时，总有 +1 = 2 4，则数列 的通项公式
= ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在“① +1 > ， 2 9 = 51， 4 + 7 = 20；② 5 = 25 1， 2 = 3；③ = 2”三个条件中任选一个，补
充到下面问题中，并解答．
已知等差数列 的前 项和为 ，且___________， ∈ ．
(1)求数列 的通项公式；
(2) 1若 = ，求数列 的前 项和 ． +1
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 (2 + 1) + ln , ∈ ．
(1)若 ( )在 = 1 处取得极值，求 ( )的极值；
(2)若 ( )在 1, e 上的最小值为 2 ，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知数列 为等差数列，数列 为单调递增的等比数列， 1 = 5， 2 + 5 = 20 且 2 + 5 = 7 + 1， 3 4 =
5 + 8．
(1)求数列 与 的通项公式；
(2)设 = ，求数列 的前 项和 ．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ln + 1， ( ) = e 1 ．
(1)若 ( )的最大值是 0，求 的值；
(2)若对任意 > 0， ( ) ≤ ( )恒成立，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
勇达楼两侧上楼的梯步半层 14 个台阶，同学们每天通往知识的殿堂就是从踏上这个楼梯开始．有的同学
“脚踏实地”一步 1 个台阶，有的同学“争分夺秒”一步 2 个台阶，还有的同学“天赋异禀”一步 3 个或
4 个台阶．
(1)同学甲上楼时一步走 1 个或者 2 个台阶，则甲走完这半层 14 个台阶有多少种不同的走法；
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(2)通往人生的高峰有无数的台阶，需要我们慢慢攀登．同学乙每一步都是走 1 个或者 2 个台阶，他第一步
1 3 1走 个台阶的概率4，然后从第二步开始，若上一步走的 1 个台阶，则下一步走 1 个台阶的概率为2，若上
1
一步走的 2 个台阶，则下一步走 1 个台阶的概率为4．
(Ⅰ)记第 步走 1 个台阶的概率为 ，求 关于 的表达式；
(Ⅱ)记第 个台阶被踩中的概率为 ( )，其中第 个台阶被走 1 个台阶而踩中的概率为 ，被走 2 个台阶而踩
中的概率为 ，求证 ( + 3) =
1 ( + 2) + 32 4 ( + 1)
1
4 ( )，并计算 (5)．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.40
13.2025
1, = 1
14. 3, = 2
4 × 3 3, ≥ 3
15.解：(1)若选择①，
由 2 9 = 51 与 4 + 7 = 2 + 9 = 20
= 3 = 17
解得： 2 2 9 = 17
或 = 3 (由于 +1 > ，舍去)9
2 = 1 + = 3 1 = 1设公差为 ，则 9 = 1 + 8 = 17
，解得 = 2
所以数列 的通项公式为 = 2 1
若选择②，
设公差为 ，由 5 = 25 1，得 5 3 = 25 1； 2 = 1 + = 3

则 1
+ 2 = 5 1 1 = 1
1 + = 3
，解得 = 2
所以数列 的通项公式为 = 2 1
若选择③，
因为 =
1, = 1
1, ≥ 2
1, = 1
解得 = 2 1, ≥ 2
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所以数列 的通项公式为 = 2 1
(2) 1 1 1 1由题意得： = (2 1)(2 +1) = 2 2 1 2 +1
所以 = 1 + 2 + 3 + + =
1 1 1 1 1 1
2 1 3+ 3 5 + 5 7 + +
1 1
2 1 2 +1 =
1
2 1
1
2 +1 = 2 +1
16.(1) ( ) = 2 (2 + 1) + ln ′( ) = 2 (2 + 1) + ， ， > 0．
因为 ( )在 = 1 处取得极值，所以 ′(1) = 2 (2 + 1) + = 0，则 = 1．
2
( ) = 2 3 + ln ′( ) = 2 3 + 1 = 2 3 +1 (2 1)( 1)所以 ， = ，
令 ′( ) = 0 1得 = 2或 1，列表得
1 1 1 (1,(0,2 ) 2 (2 , 1) 1 + ∞)
′( )
+ 0 0 +
( )
↗ 极大值↘ 极小值↗
( ) ( 1 ) = 1 3 + ln 1 = 5所以 的极大值为 2 4 2 2 4 ln2，极小值为 (1) = 1 3 + ln1 = 2．
2
(2) ′( ) = 2 (2 + 1) + = 2 (2 +1) + = (2 1)( ) ．
①当 ≤ 1 时， ∈ [1, e], ′( ) > 0，所以 ( )在[1, e]上单调递增， ( )的最小值为 (1) = 2 ，满足题意；
②当 1 < < e 1时，令 ′( ) > 0，则 > 或 0 < < 2，所以 ( )在[1, ]上单调递减，在[ , e]上单调递增，
此时， ( )的最小值为 ( ) < (1) = 2 ，不满足题意；
③当 ≥ e 时， ( )在[1, e]上单调递减， ( )的最小值为 ( ) < (1) = 2 ，不满足题意．
综上可知，实数 的取值范围时( ∞,1]．
17.(1)设等差数列 的公差为 ，
因 1 = 5， 2 + 5 = 20，则 2 + 5 = 2 1 + 5 = 10 + 5 = 20，得 = 2，
所以 = 5 + 2( 1) = 2 + 3，
所以 2 + 5 = 7 + 1 = 18， 3 4 = 5 + 8 = 13 + 19 = 32，
因数列 为单调递增的等比数列，则可设数列 的公比为 ( > 1)，
2 + 5 = 18 = 2 = 16因为 3 4 = 2 5，所以 = 32，得
2 2
2 5 5 = 16
或 = 2 (舍)，5
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所以 3 = 5 = 8，解得 = 2，2
所以 = 2 = 2 × 2 2 = 2 1 2 ，
则数列 的通项公式为 = 2 + 3， 的通项公式为 = 2 1．
(2)由(1)知 = 1 = (2 + 3) 2 ，
所以 = 5 × 20 + 7 × 21 + 9 × 22 + + (2 + 3) × 2 1 ，
所以 2 = 5 × 21 + 7 × 22 + 9 × 23 + + (2 + 1) × 2 1 + (2 + 3) × 2 ，
两式相减得 = 5 + 2 21 + 22 + 23 + + 2 1 (2 + 3) × 2

= 5 + 2 × 2 21 2 (2 + 3)2
= 1 + 2 × 2 (2 + 3)2 = 1 (2 + 1)2 ，
所以 = (2 + 1) × 2 1．
18.(1) 1解：由函数 ( ) = ln + 1，可得其定义域为(0, + ∞)，且 ′( ) = ．
若 ≤ 0，则 ′( ) > 0， ( )在定义域内单调递增，无最大值，不符合题意，舍去；
若 > 0 1，则当 ∈ 0, 时，
′( ) > 0，函数 ( )单调递增，
∈ 1当 , + ∞ 时，
′( ) < 0，函数 ( )单调递减，
所以当 = 1 时， ( )取得极大值，也是最大值，
1
其最大值为 = ln
1
= 0，解得 = 1，
显然 = 1 > 0 符合题意，所以 的值为 1．
(2) > 0 ( ) ≤ ( ) + 1 ≤ e ln +1解：对任意 ， 恒成立，即 在(0, + ∞)上恒成立，
2
设 ( ) = e ln +1，可得 ′( ) = e +ln 2 ，
设 ( ) = 2e + ln ，可得 ′( ) = 2 + 2 e + 1 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞) 1上单调递增，且 2 < 0， (1) > 0，
所以 ( ) 1有唯一零点 0 ∈ 2 , 1 ，且
2
0e 0 + ln 0 = 0，
e 0 = ln 所以 0 = ln e ln 0 0
0，
0
构造函数 ( ) = e ，则 0 = ln 0 ．
又由函数 ( ) = e 在(0, + ∞)上是增函数，所以 0 = ln 0，
由 ( )在 0, 0 上单调递减，在 0, + ∞ 上单调递增，
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可得 ( ) ≥ 0 = e 0
ln 0+1 = 1 + 0 1 = 1，0 0 0
所以 + 1 ≤ 1，解得 ≥ 0，所以 的取值范围是[0, + ∞)．
19.(1)走完这半层 14 个台阶可分为以下情况：
14 步走完时 0 个 2 和 14 个 1，有C014 = 1 种走法；
13 步走完时 1 个 2 和 12 个 1，有C113 = 13 种走法；
12 步走完时 2 个 2 和 10 个 1，有C212 = 66 种走法；
11 步走完时 3 个 2 和 8 个 1，有C311 = 165 种走法；
10 步走完时 4 个 2 和 6 个 1，有C410 = 210 种走法；
9 步走完时 5 个 2 和 4 个 1，有C59 = 126 种走法；
8 步走完时 6 个 2 和 2 个 1，有C68 = 28 种走法；
7 步走完时 7 个 2 和 0 个 1，有C77 = 1 种走法；
所以甲走完这半层 14 个台阶有 1 + 13 + 66 + 165 + 210 + 126 + 28 + 1 = 610 种不同的走法．
(2)(Ⅰ) 3由已知可得 1 = 4，
1 1
根据全概率公式可知 +1 = × 2 + 1 × 4，
= 1 1整理可得 +1 4 + 4，
1 = 1可化为 +1 3 4
1
3 ．
又 1 3 1 51 3 = 4 3 = 12，
1 5 1所以 3 是以12为首项，4为公比的等比数列，
1 = 5 × 1
1
所以 3 12 4 ，
1
所以 =
1 5 1
3+ 12 × 4 ．
1 1 +1 = × + ×
(Ⅱ)由已知可得 2 4 ,
1 3 +2 = × 2 + × 4
1 1
由 +1 = × 2 + × 4可得， = 4
1 1
+1 2 ，且 +3 = +2 × 2 + +2 × 4．
1 3又 +2 = × 2 + × 4，
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1 1 1 3 1
所以有 +3 = +2 × 2+ 4 × 2 + × 4 = 2 +2 +
1 3 1
8 + 16 = 2 +2 +
1 38 + 16 4 +1 2 =
1 3 12 +2 + 4 +1 4 ．
同理可求得 +3 =
1
2 +2 +
3 1
4 +1 4 ．
所以有 +3 + +3 =
1 3 1
2 +2 + +2 + 4 +1 + +1 4 + ．
又 ( ) = + ，
( + 3) = 1所以有 2 ( + 2) +
3
4 ( + 1)
1
4 ( )，得证．
又由已知可得 1 =
3 3
4， 1 = 0，则 (1) = 1 + 1 = 4，
2 =
1 1 3 1 5
1 × 2 + 1 × 4 = 8， 2 = 4， (2) = 2 + 2 = 8，
3 =
1
2 × 2 + 2 ×
1 1 1 3 3
4 = 4， 3 = 1 × 2+ 1 × 4 = 8， (3) = 3 +
5
3 = 8．
3 5 5 19 39
代入 (1) = 4， (2) = 8， (3) = 8，得 (4) = 32， (5) = 64．
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