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2024-2025学年山东省桓台第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足为虚数单位，则的模( )
A. B. C. D.
2.( )
A. B. C. D.
3.已知向量若，则( )
A. B. C. D.
4.已知在中，角，，所对的边分别为，，，其中，若，则外接圆的面积为( )
A. B. C. D.
5.下列说法中正确的是( )
A. 向量能作为平面内所有向量的一组基底
B. 若，则
C. 若，则与垂直的单位向量坐标为或
D. 若，则与的夹角是钝角
6.长庆寺塔，又名“十寺塔”，位于安徽黄山市歙县的西干披云峰麓，历经多年风雨侵蚀，仍巍然屹立，是中国现存少有的方形佛塔．如图，为测量塔的总高度，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔的总高度为( )
A. B. C. D.
7.若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，则正确的是( )
A. 对任意正整数，为偶函数
B. 当时，的单调递增区间是
C. 当时，的值域是
D. 对任意正整数，的图象都关于直线对称
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是( )
A. B. C. D.
10.在中，( )
A. 若，则
B. 若，则为等腰三角形
C. 若，则为钝角三角形
D. 若是锐角，，则为锐角三角形
11.如图所示，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与，轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系为斜坐标系若，则把有序数对叫做向量的斜坐标，记为在的斜坐标系中，，，则下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为复数，若，则的最大值为 ．
13.若非零向量满足，则夹角的余弦值为 ．
14.在中，，边上的中线，则面积的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
设函数，其中向量，．
求的最小值；
在中，，，分别是角，，所对的边，已知，，的面积为，求的值．
16.本小题分
如图，在梯形中，，，，、分别为、的中点，且，是线段上的一个动点．
若，求的值；
求的长；
求的取值范围．
17.本小题分
函数在一个周期内的图象如图所示，与为该图象上两点，且函数的一个零点为．
求的解析式；
将的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象．令，求的最大值，若取得最大值时的值为，求．
18.本小题分
如图，在平面四边形中，，，．
若，求的面积；
若，求的值．
19.本小题分
在锐角中，设角的对边分别为，且，．
求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题设，，
所以，当时的最小值为．
由，得：，则，又，
所以，故，则．
由，可得：．
在中，由余弦定理得：，
所以．
由，则．
16.解：由分别为的中点，则，，
由图可得，则，
所以．
由可知，，
由，则，
，
可得，解得．
由图可得，
，
，
由，则．
17.解：观察图象，该图象过点与，则为函数图象的对称轴，而为函数的一个零点，
因此函数的周期，，
由，得，即，而，则，
于是，由，得，解得，
所以函数的解析式为．
由知，的图象向左平移个单位长度得的图象，
将得到的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的，得到的图象，则，
因此
，
当，即时，有最大值，
此时．

18.解：，，
所以，
在中，，
，
的面积．
，，
，
，
在中，，，
在中，由正弦定理有，
即，
由积化和差公式有，
，
将此结果代入式中化简可得：，
解得舍负，
．
19.解：在锐角中，，则，
由正弦定理得，则
又，
则．
由余弦定理得，所以，
则，
由正弦定理得，
所以，其中，，，
由锐角三角形可知，则，
因为，，则，
又，
，
所以，故
由得，故
令，则
所以，
因为函数在上单调性递减，
所以，即的取值范围为．

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