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2024-2025学年广东省佛山市顺德区第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥的高为
A. B. C. D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
5.平面向量，若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周东汉魏西晋北魏隋唐后梁后唐个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按：比例仿制的中国青铜时代的象征西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅太极河图如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度 参考数据：取
A. B. C. D.
8.已知平面向量，且，向量满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数为虚数单位，为的共辄复数，若复数，则下列结论正确的是( )
A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B.
C. 的实部为 D. 的虚部为
10.若的内角，，所对的边分别为，，，且满足，则下列结论正确的是( )
A. 角一定为锐角 B. C. D. 的最小值为
11.已知正方形的边长为，将沿翻折到的位置，得到四面体，在翻折过程中，点始终位于所在平面的同一侧，且的最小值为，则下列结论正确的是( )
A. 四面体的外接球的表面积为 B. 四面体体积的最大值为
C. 点的运动轨迹的长度为 D. 边旋转所形成的曲面的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，点在内，且，设，则等于 ．
13.在中，角，，所对的边分别为，，，且满足则角 ．
14.如图，在中，，，与交于点，，，，则的值为 ；过点的直线交，于点，，设，，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知
若，求实数、的值；
若，求的最小值．
16.本小题分
某广场设置了一些石凳供大家休息，这些石凳是由棱长为的正四面体沿棱的三等分点，截去四个一样的正四面体得到．

求石凳的体积与原正四面体的体积之比；
为了美观工人准备将石凳的表面进行粉刷，已知每平方米造价元，请问粉刷一个石凳需要多少钱？
17.本小题分
在中，，，分别为内角，，所对的边，且满足．
求角的大小；
现给出三个条件：；；试从中选出两个可以确定的条件，写出你的选择___________，并以此为依据求的面积注：只需写出一个选定方案即可
18.本小题分
如图，分别是矩形的边和上的动点，且．
若都是中点，求．
若都是中点，是线段上的任意一点，求的最大值．
若，求的最小值．
19.本小题分
已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．
记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点，使得若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
记向量的相伴函数为，若当时不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由，得，
而，，则，即
所以．
设，则，而，
由，得，即，
，当且仅当时取等号，
所以的最小值为．
16.解：因为棱长为的正四面体的体积，
如图补全正四面体，依题意正四面体的棱长为正四面体的，
所以，所以截去部分的体积为，剩下部分的体积为，
所以石凳的体积与原正四面体的体积之比为．

因为正四面体的棱长为，
所以，
则，
所以，
所以石凳的表面积，
即石凳的表面积约为，
所以粉刷一个石凳约需要元
17.解：，，
，，
，
由于，所以．
若选，三个已知条件是，没有一个是具体的边长，无法确定．
若选，三个已知条件是，
由正弦定理得，
，
所以．
若选，三个已知条件是，
由余弦定理得，
即，解得，
．
18.解：以点为原点建系，得，，，
．
由知，设，
，，
当时，最大值．
设，则，
，
当且仅当时，等号成立，故最小值是．

19.解：向量的相伴函数为，
所以
，
．
，，．
所以．
解：由为的相伴特征向量知：
所以．
设，，，，，
又，．
，
，，
又，
当且仅当时，和同时等于，这时式成立．
在图像上存在点，使得．
解：向量的相伴函数为
当时，，
即，恒成立．
所以当，即时，，所以，
即，由于，所以的最小值为，所以；
当，，不等式化为成立．
当，时，，所以，
即，由于，所以的最大值为，所以．
综上所述，的取值范围是．

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