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福建省龙岩市第一中学锦山学校2024 2025学年高一下学期第一次月考数学试题
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，则“”是“，共线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（ ）
A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱
4．在三角形中，，，，则（ ）
A． B． C．或 D．或
5．若的周长为15，面积为5，则（ ）
A． B． C． D．7
6．如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高为
A． B． C．60m D．20m
7．在正方形中，与交于点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆的半径为13，和是圆的两条动弦，若，，则的最大值是（ ）
A．17 B．20 C．34 D．48
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列说法中正确的是（ ）
A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥
B．长方体是直四棱柱
C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台；
D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面．
10．已知，关于的方程有一个根为，为虚数单位，另一个根为，则正确的有（ ）
A．该方程不存在实数根 B．，
C．对应的点在第四象限 D．
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（ ）

A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
三、填空题（本大题共3小题）
12．在复平面内，向量、分别对应复数、，则对应的复数为
13．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为 ．
14．如下图，在梯形中，，，，，，则 ，若是线段上的动点，且，则的最小值为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知复数（）满足为纯虚数．
(1)求；
(2)若复数（）在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围．
16．在中，角、、所对的边分别为、、，若、，且.
(1)求；
(2)设为边上一点，且，求的面积.
17．如图，在中，.

(1)若E是BD的中点，试用和表示；
(2)若G是AD上一点，且，过点G的直线交AB于点F，交AC于点H.若，，其中，均为正实数，求的最小值.
18．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
(1)求角B；
(2)若的角平分线交AC于点D，，，求BD；
(3)若的外接圆的半径为，求的取值范围．
19．欧拉（1707-1783），他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数，圆周率，两个单位——虚数单位和自然数单位，以及被称为人类伟大发现之一的，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成（，为虚数单位）的形式；
(2)求的最大值；
(3)若，则，这里，称为的一个次单位根，简称单位根．类比立方差公式，我们可以获得，复数，，求的值．
参考答案
1．【答案】A
【详解】设，则，
所以，，
所以，解得，，故，即复数的虚部为.
故选A.
2．【答案】A
【详解】若则，共线，故充分性成立；
若，共线，不一定得到，
如，，显然满足，共线，
但是不存在实数使得，故必要性不成立；
所以“”是“，共线”的充分不必要条件.
故选A.
3．【答案】C
【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示，
由三棱锥性质可知，和是全等的梯形，
又平面平面，
平面分别与平面和相交于，
所以，同理，
又，所以互相平行，
所以盛水部分的几何体是四棱柱.
故选C.
4．【答案】B
【详解】由可得：，
所以，又，
所以，
结合内角和定理，所以.
故选B.
5．【答案】A
【详解】解：因为的周长为10，
所以，
又因为三角形面积为5，且
所以，
解得，
由余弦定理得，
解得 ，
故选A.
6．【答案】D
【详解】由正弦定理确定的长，再求出．
【详解】，
由正弦定理得：
故选D.
7．【答案】C
【详解】
建立平面直角坐标系，设正方形的棱长为，
因为，
则，，，，
所以，，
所以.
故选C.
8．【答案】C
【详解】设是圆的圆心，连接，作，垂足分别为，
则分别是的中点，由勾股定理得，
，
，
故,
当反向时等号成立，
所以的最大值是.
故选C.
9．【答案】BD
【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误；
对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确；
对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥，
圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误；
对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确．
故选BD.
10．【答案】ABD
【详解】由是方程的根，得，
整理得，因此，解得，
所以方程为，故B正确；
对于A，根据方程，可得，
所以方程无实数根，故A正确；
对于C，D，方程，由韦达定理可知，得，
对应的点为，在第四象限，的共轭复数不在第四象限.
，
所以，故C错误，D正确．
故选ABD.
11．【答案】AD
【详解】对于A，由奔驰定理可得，，
因为，，不共线，所以，故A正确；
对于B，若是的重心，，
因为，所以，即共线，故B错误．
对于C，当为的外心时，，
所以，
即，故C错误．
对于D，当为的内心时，（为内切圆半径），
所以，所以，故D正确.
故选AD.
12．【答案】
【详解】，所以向量对应的复数为.
13．【答案】/
【详解】由题意得，，因为，所以，
所以，所以在上的投影向量的坐标为．
14．【答案】
【详解】因为梯形中，，，所以，
所以，解得.
以所在直线为轴，垂直于所在直线为轴建立如图所示坐标系，
由对称性不妨设点在点左侧，设，，，
则，，，
所以，
所以当时，取得最小值，
最小值为.
15．【答案】(1)
(2)
【详解】（1），
由为纯虚数，得
解得．
所以．
（2）
，
因为复数在复平面内对应的点位于第三象限，
所以
解得，即的取值范围是．
16．【答案】(1)4
(2)
【详解】（1）在中，，
∵，
∴，
又∵，∴，
∴由余弦定理得：，
即，解得（舍去）或（可取），
∴；
（2）

∵，∴，
∴，
∴的面积与的面积之比为，
∴,
又面积为，
∴面积为.
17．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，所以，
所以，
因为E是BD的中点，
所以
；
（2）由，，得，，
因为，，
所以，
因为F，G，H三点共线，所以，
则
当且仅当时，
即时，等号成立，
所以的最小值为.
18．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
可得，
由正弦定理得，则，
且，所以．
（2）由题意可知：，
因为，
则，
即，可得．
（3）由正弦定理可得，
则，
可得，
又因为，则，
可得，即，
所以的取值范围为.
19．【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由欧拉公式有
.
（2）由于，，故，
而当时，有.
故的最大值是.
（3）由于，故，而，所以.
故
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）
（利用）.
所以.

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