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2024-2025学年广东省佛山市顺德区德胜学校高一下学期期中试卷
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.下列四个函数中，以为最小正周期的是( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，若，则 ．
A. B. C. D.
4.要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的( )
A. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
B. 横坐标缩短到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
C. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向左平行移动个单位长度
D. 横坐标伸长到原来的倍纵坐标不变，再向右平行移动个单位长度
5.已知单位向量，的夹角为，则在下列向量中，与垂直的是( )
A. B. C. D.
6.设在中，角所对的边分别为，若，则的形状为( )
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定
7.已知外接圆圆心为，半径为，，且，则向量在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
8.已知均为锐角，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式的值为的是( )
A. B.
C. D.
10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到
C. 是函数图象的一条对称轴
D. 若，则的最小值为
11.已知与夹角为，若且，则的可能值为( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，，，，则的长为 ．
13.如图，在直角梯形中，，，，，为中点，若，则 ．
14.折扇图是具有独特风格的中国传统工艺品，炎炎夏季，手拿一把折扇，既可解暑，又有雅趣图中的扇形为一把折扇展开后的平面图，其中，，点在弧上包括端点运动，其中，分别是，的中点，则的范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
化简；
已知，，求的值．
16.本小题分
已知的周长为，且．
求边的长；
若的面积为，求角的度数．
17.本小题分
设函数；
写出函数的单调递增区间；
若，求函数的最值及对应的的值；
若不等式在恒成立，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知：是同一平面内的三个向量，其中
若，且，求的坐标；
若，且与垂直，求与的夹角．
若，且与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
19.本小题分
某幢大楼前由两条小路、围成的一个角状区域，在区域内修建一个正三角形花园如图，已知，，设．
用表示，并求的最大值；
问为何值时，花园出口与之间的距离最近？
参考答案
1.
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5.
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10.
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13.
14.
15.．
，
由，得，而，则，
而，则，解得，
所以原式．
16.解：由正弦定理知，
，
，
的周长为，
，
．
解：的面积，
，
由知，，，
由余弦定理知，
，
．
17.依题意，，
由，得，
所以的单调递增区间为．
由知，当时，，
则当，即时，；
当，即时，，
所以函数的最小值为，对应，最大值为，对应．
不等式，
由知，当时，，，
依题意，当时，恒成立，
因此且，解得，
所以的取值范围为．
18.解：设，
，且，
，解得或
或；
与垂直，
，
即，
，
，
与的夹角为；
与的夹角为锐角
则，且与不同向共线，
，
解得：，
若存在，使，
则，
，解得：
所以且，
实数的取值范围是．
19.在中，，
由正弦定理得，即，
则，
因此，
由，得，当时，即时，，
所以的最大值为．
由是正三角形，得，，
由知，在中，由余弦定理得
由，得，
当，即时，取最小值，即取最小值，
所以当时，花园出口与之间的距离最近．

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