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2024-2025学年广东省东莞市常平中学等三校高一下学期期中联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.在四边形中，若，则四边形是( )
A. 平行四边形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形
3.菱形的边长为，且，( )
A. B. C. D.
4.在中，角，，所对的边分别为，，，则角为( )
A. B. C. 或 D. 或
5.已知圆锥的底面半径为，侧面展开图为圆心角为的扇形，则该圆锥的高为( )
A. B. C. D.
6.已知，，为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面，则下面命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.如图，为测量河对岸，两点间的距离，选取相距的，两点，测得，，，，则，间的距离为
A. B. C. D.
8.点在所在平面内，满足，，，则点依次为的( )
A. 重心、外心、内心、垂心 B. 外心、重心、内心、垂心
C. 重心、垂心、外心、内心 D. 外心、重心、垂心、内心
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知为虚数单位，为复数的共轭复数，，则下列选项中正确的有( )
A. B. C. D.
10.已知向量，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若与的夹角为钝角，则的取值范围是
C. 若，则
D. 若，则在方向上的投影向量为
11.如图，空间四边形中，分别是边，的中点，分别在线段上，且满足，，，则下列说法正确的是( )
A. 当时，四边形是矩形
B. 当时，四边形是梯形
C. 当时，四边形是空间四边形
D. 当时，直线相交于一点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数对应的点到原点的距离是，则实数 ．
13.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且个顶点在同一个平面内，四边形是正方形，这个八面体的表面积为，则正方形的边长是 ．
14.若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求当为何实数时，复数满足：
为实数；
为纯虚数；
位于第四象限．
16.本小题分
已知：，，向量与的夹角为．
求；
求；
若与垂直，求实数的值．
17.本小题分
已知的内角，，的对边分别为，，，若．
求角；
若，求的面积．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为棱的中点，平面与棱交于点．
求证：平面；
求证：为的中点；
19.本小题分
如图，在边长为的正三角形中，为的中点，，过点的直线交边与点，交边于点．

用，表示；
若，，求的值；
求的取值范围．
参考答案
1.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由得或
当或时，复数为实数；
由，得；
当时，复数为纯虚数；
由，解得
当时，复数位于第四象限．
16.解：因为，，向量与的夹角为
所以．
．
若与垂直，
则，
即，解得：．
17.解：因为，
由正弦定理，又，
，即，由，得．
由余弦定理知，
即，则，解得负值舍去，
．
18.解：证明：如图所示：
连接交于点，连接，
因为为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面；
因为底面为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面，又平面平面，
所以，
又因为为的中点，
所以为的中点．
19.解：因为为中点，
所以，．
又因为，
所以．
若，，
所以，，
所以．
因为，，三点共线，
所以，
所以，．
因为，，，
所以，
．
由得，得，，
令，，则，
得．
根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，
且，，所以，
所以，．
因为，
所以，根据二次函数的性质可知，
所以的取值范围为．

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