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2024-2025学年安徽省阜阳市太和县昌泰高级中学高一下学期4月期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.向量( )
A. B. C. D.
2.已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数的值为( )
A. 或 B. C. 或 D. 或
3.向量的模为，它与向量的夹角为，则它在方向上的投影向量的模为( )
A. B. C. D.
4.如图是四边形的水平放置的直观图，则原四边形的面积是( )
A. B. C. D.
5.若，且，那么等于( )
A. B. C. D.
6.已知复数，，且是实数，则实数等于( )
A. B. C. D.
7.已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的表面积与侧面积的比值是( )
A. B. C. D.
8.某同学有一个形如圆台的水杯如图所示，已知圆台形水杯的母线长为，上下底面圆的半径分别为和为了防烫和防滑，水杯配有一个杯套，包裹水杯高度以下的外壁和杯底，如图中阴影部分所示，则杯套的表面积为不考虑水杯材质和杯套的厚度( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，是方程的两个虚数根，则( )
A. 的取值范围为 B. 的共轭复数是
C. D. 为纯虚数
10.用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到上、下两部分空间图形且上、下两部分的高之比为，则关于上、下两空间图形的说法正确的是( )
A. 侧面积之比为 B. 侧面积之比为 C. 体积之比为 D. 体积之比为
11.在中，已知，下列结论中正确的是( )
A. 这个三角形被唯一确定
B. 一定是钝角三角形
C.
D. 若，则的面积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.在中，，，，则的面积等于 ．
14.已知过球面上三点，，的截面到球心的距离等于球半径的，且，则球的表面积是 ，体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数．
若为实数，求的值；
若为纯虚数，求的值；
若，求的值．
16.本小题分
已知是方程，为实数的一个根．
求，的值；
试判断是不是方程的根．
17.本小题分
记的内角的对边分别为，已知．
求；
若为锐角三角形，求的取值范围．
18.本小题分
已知复数，其中为虚数单位，．
若是实数，求的值；
设复数，对应的向量分别是，，若，求的值．
19.本小题分
西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图，、是邛海水面上位于东西方向相距公里的两个观测点，现位于点北偏东、点西北方向的点有一艘渔船发出求救信号，位于点南偏西且与点相距公里的点的救援船立即前往营救，其航行速度为公里小时求：
观测点与点处的渔船间的距离；
点的救援船到达点需要多长时间？
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.若为实数，则，得．
若为纯虚数，则，解得．
若，则，解得．
16.由是方程的根，得，即，
而，为实数，，解得，
所以．
由知方程为，
把代入方程左边，得，因此方程成立，
所以是方程的根．
17.因为，
所以由正弦定理得：，
即，
因为，所以，
因为，故，所以，
进而，
由知，
因为为锐角三角形，所以且，
所以，
由正弦定理得：，
因为，所以，
所以．
18.．
因为为实数，所以，即，
又，故，则，
故；
复数，对应的向量分别为．
因为，所以．
故，
故，即，
又因为，所以，
则．
．
19.解：在中，，，则，
所以，，
由正弦定理，所以，公里．
解：在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，救援船所需时间为小时．

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