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2024-2025学年上海市莘庄中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.下列函数中，既是奇函数，又在上是严格增函数的是( )
A. B. C. D.
3.设点是以原点为圆心的单位圆上的动点，它从初始位置出发，沿单位圆按逆时针方向转动角后到达点，然后继续沿单位圆按逆时针方向转动角到达若点的横坐标为，则点的纵坐标( )
A. B. C. D.
4.函数，且，若任意，、、都能构成某个三角形的三条边，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.函数的最小正周期为 ．
6.已知一扇形的圆心角为弧度，半径为，则此扇形的面积为
7.已知角的终边经过点，则 ．
8.已知，，则的值为
9.已知，则 ．
10.在中，是的三边且满足，则角的大小为 ．
11.将函数的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图像，则
12.已知函数图像如图，则函数的解析式为 ．
13.在平面直角坐标系中，角的终边与角的终边关于轴对称，若，则 ．
14.已知函数是上的奇函数，在区间上单调递增，则的最大值是 ．
15.某海滨浴场平面图是如图所示的半圆，其中是圆心，直径为米，是弧的中点．一个急救中心在栈桥中点上，计划在弧上设置一个瞭望台，并在间修建浮桥．已知越大，瞭望台处的视线范围越大，则处的视线范围最大时，的长度为 米．结果精确到米
16.已知函数其中为常数，且有且仅有个零点，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知的内角所对边的长度分别为．
若，求和外接圆半径的值；
若，求的值．
18.本小题分
已知
的周期是，求当，方程的解集；
已知，，，求的值域．
19.本小题分
年新开局新征程，上海市闵行区组团式援疆再出发．在喀什某地区要新开设一片石榴文化园．如图，是文化园的规划图．已知为直角三角形，其中，道路米，米，点为道路上一点．
若，求的长；本题结果精确到米，，
以为半径做弧，交于点，现将扇形设计为种植区．种植区的“综合利用率”与和面积的比值有关．设计师通过调研发现，种植区的“综合利用率”为：则当为多少时，为最大值？并求出的最大值．
20.本小题分
已知函数．
若且的最大值为，求函数在上的单调递增区间；
若，已知，若关于的方程在时有两解，求实数的取值范围；
已知的一条对称轴方程为，若对于任意，在区间上总存在唯一确定的，使得，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知函数，．
若为偶函数，求的值；
若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围；
若在内恰有个零点，求的值．
参考答案
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14.
15.
16.
17.因为，则，且．
由正弦定理得为外接圆的半径，即，
即，，
因为，所以，
因此，；
因为，
由正弦定理可得，
所以，
又，所以，所以，则，
又，所以．
18.的周期是，故，原方程为，
则，解得或，
故原方程的解集为或
，
，
时，，
则，
19.在为直角三角形，，，，
所以，则，
又，所以，
所以，
在中由正弦定理，即，
所以米．
设，则，
在中由正弦定理，即，
所以，
所以，
，
所以
，
因为，所以当，即时为最大值，且最大值为，
即当时，为最大值，最大值为．
20.解：由函数，其中，
因为函数的最大值为，可得，解得，
所以，
令，可得，
当时，可得，
因为，所以函数在区间上的递增区间为．
解：当时，，
则
，
因为在时有两解，所以在上有两解，
令，可得，
转化为与在上有两个交点，
又由，
结合正弦函数的性质，可得，即实数的取值范围为．
解：因为，解得，
所以，
因为，可得，所以，
对任意，总存在唯一确定的，
使得成立，所以，
且有且仅有唯一解，
令，则，所以，
所以，解得，所以，即实数的范围为．
21.因为是偶函数
所以，
所以．
因为对任意，不等式恒成立
在恒成立．
，
因为，所以
所以当即时，．
所以，即．
所以实数的取值范围是：
在有个零点
，在
方程必有两个异号实根，不妨设
当时，
因为无解，有个解．
所以有个零点不合题意，舍去
当时，，
因为有个解，有个解．
所以有个零点满足题意
当时，
因为有个解，所以应恰有个解．
所以，此时．
综上：．

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