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2024-2025学年浙江省强基联盟高二下学期5月联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知为虚数单位，若，则的实部为( )
A. B. C. D.
3.若为圆内的一个动点，且，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的奇函数，若时，函数的值域是，则函数在区间上的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，满足，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.从，，，中取三个不同的数，按从小到大的顺序排列，组成的数列是等比数列的概率为( )
A. B. C. D.
7.若过点且与圆相切的两条直线的夹角为，则( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若对任意，都有，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. 是奇函数 B. 的最小正周期是
C. 图象的一个对称中心是点 D. 在上单调递减
10.“杨辉三角”是中国南宋数学家杨辉在年所著的详解九章算法一书中首次记载的，比欧洲早年发现如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第行的为第行中两个的和则下列命题中正确的是( )
A. 第行中，有两个相等的最大数
B. 第行以后，第一次出现全为奇数的行是第行
C. 第行所有数之和为
D.
11.已知递增数列的各项均为正整数，且，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆台的上、下底面半径分别为和，母线为，则圆台的侧面积为 ．
13.定义：已知，，分别为的三个内角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ．
14.抛物线的焦点为，准线为，和为上位于第一象限的两点，若，过，分别作的垂线，垂足分别为和，已知，则的外接圆的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
某新能源汽车制造商为了评估一批新型电池的续航时间单位：小时，从这批次电池中随机抽取组进行测试，把测得的数据进行适当分组后每组为左闭右开的区间，画出频率分布直方图如图所示．
求的值
从抽取的组电池中任取组，求恰有组电池续航时间不少于小时的概率
将样本分布的频率视为总体分布的概率，从该批次电池组中任取组，设为续航时间不少于小时的电池组的数量，求的分布列及数学期望．
16.本小题分
已知函数，
若存在极小值，且极小值为，求
若不等式恒成立，求的取值范围．
17.本小题分
如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，是圆上一点，且．
求三棱锥的体积最大值
求直线与平面所成角正弦值的最大值．
18.本小题分
梅纳库莫斯前前首研圆锥曲线约百年后，阿波罗尼斯系统研究其光学性质：由椭圆焦点发出的光线经椭圆反射后必过另一焦点椭圆的中心在原点，法线表示与椭圆的切线垂直且过相应切点的直线，焦点，，由发出的光线经椭圆反射后至的路径长为任取椭圆上非长轴端点，其切线为，在上的射影为点．
求椭圆的方程
证明：为定值
已知切线与直线，相交于，两点，轴上是否存在定点，使得以为直径的圆过点，若存在，求出点，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
对三元正整数数列，定义变换为：，持续操作直至数列全零时终止．
写出数列经过次“变换”后得到的数列
设初始数列，求经过次“变换”后得到的最终数列，并判断最终数列与初始数列是否有结构上的关联
设数列经过次“变换”后得到的数列各项之和最小，求的最小值．
参考答案
1.
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3.
4.
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6.
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9.
10.
11.
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13.
14.
15.解：根据频率之和等于可得，
，解得；
由频率分布图可知，
电池续航时间不少于小时的频率等于，
所以电池续航时间不少于小时的电池有组，
电池续航时间少于小时的电池有组，
所以从抽取的组电池中任取组，
恰有组电池续航时间不少于小时的概率为．；
由知，每次抽到电池续航时间不少于小时的概率等于，
由题可知，随机变量服从二项分布，所以，
所以所有可能的取值有，，，
所以，
，
，
，
所以的分布列如下，

所以的数学期望为．
16.解：，，
当时，，
所以函数无极值，
当时，由，得，
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的极小值为，
解得．
由可得，
因为中的定义域为，
移项可得在上恒成立．
设，
则，
求导，
令，即，
因为，时，
所以，
解得，
当时，，，
则，
所以在上单调递减，
当时，，，
则，
所以在上单调递增，
由单调性可知在处取得最小值，，
所以的取值范围是．
17.解：由于三棱锥的高，
所以当底面面积最大时，三棱锥的体积最大，
又是底面圆的一条直径，
所以当时，底面的面积最大，
此时，
即三棱锥的体积最大值为．
如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，
记，
则，
所以，
设直线与平面所成角为，
则，
，
当且仅当时等号成立，
故直线与平面所成角正弦值的最大值为．
18.解：根据题意，椭圆的中心在坐标原点，焦点为，，
所以椭圆的方程为，其中，且，
又因为由发出的光线经椭圆一次反射后到经过的路程为，
所以，，
因此，
则椭圆方程为；
延长，交于点，
则，
故为定值；
设椭圆上点，其切线方程为：，
切线与直线和的交点分别为和，
以为直径的圆的方程为：，
若存在满足条件的定点，则可设在圆上，
代入得：，化简得：，
利用椭圆方程，可得，
因此：，即，
所以，
即的坐标为或．
19.解：由题知，次变换后得到的数列依次为，
所以数列经过次“变换”后得到的数列为．
对于初始数列，次“变换”过程依次为：，
所以该数列经过次“变换”后得到的结果为，
最终数列与初始数列结构上一致，均为型数列．
数列经过一次“变换”后得到数列，
其结构为型数列，
依据结论可知，数列经过次“变换”后仍保持该结构，
其变化规律为：除数值，其余两项各递减，
，故数列经过次“变换”后得，
随后实施变换所得数列依次为：，
此时数列和最小值已达成，后续变换进入循环周期，各项和不再递减，
故经次“变换”后数列各项和取得最小值，即的最小值为．
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