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2024-2025学年山东省郯城第一中学高一下学期5月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数的共轭复数是( )
A. B. C. D.
2.已知平面四边形用斜二测画法画出的直观图是边长为的正方形，则原图形中的( )
A. B. C. D.
3.已知，分别为两个实根，则( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.在中，点在边上，记，则( )
A. B. C. D.
6.在四棱锥中，底面为平行四边形，为线段上靠近的三等分点，为线段上一点，当平面时，( )
A. B. C. D.
7.将正弦曲线向左平移个单位得到曲线，再将曲线上的每一点的横坐标变为原来的得到曲线，最后将曲线上的每个点的纵坐标变为原来的倍得到曲线的若曲线恰好是函数的图象，则在区间上的值域是( )
A. B. C. D.
8.已知棱长为的正四面体与一个球相交，球与正四面体的每个面所在平面的交线都为一个面积为的圆，则该球的表面积为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 棱台的侧面都是等腰梯形
B. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面
C. 过圆锥顶点的截面是等腰三角形
D. 以直角梯形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
10.已知，是两条不同的直线，是一个平面，下列命题错误的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，，
11.在中，角所对的边分别为，且，则下列结论正确的有( )
A.
B. 若，则为直角三角形
C. 若为锐角三角形，的最小值为
D. 若为锐角三角形，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则该圆锥的体积为 ．
13.已知都是锐角，，则 ．
14.在中，角，，所对的边分别为，，，边上的高为若，，则的最小值为 ；若，则的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数的图象相邻对称轴之间的距离是，若将的图像向右移个单位，所得函数过原点．
求的解析式；
若函数的一个零点为，且，求．
16.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
求证：平面；
若为的中点，求证：平面平面．
17.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，，．
求外接圆的面积；
若，，求的周长．
18.本小题分
已知函数，在上的最大值为．
求的值及函数的周期与单调递增区间；
若锐角中，角所对的边分别为，，，且，求的取值范围．
19.本小题分
现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥，下部是正四棱柱如图所示，且正四棱柱的高是正四棱锥的高的倍．
若，，求该几何体的体积．
若正四棱锥的侧棱长为，，
求正四棱锥的侧面积．
若，分别是线段，上的动点，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
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12.
13.
14.

15.解：由题意可得，可得，又，
而，可得，此时，
由题意可得，
要使函数为奇函数，则，，
即，，而，
所以，所以；
由题意令，
可得，即，
因为，
所以，所以，
所以
．
16.解：如图：连接，设，连接，
在正方体中，四边形是正方形，是中点，
是的中点，，
平面，平面，
平面．
如图：连接，，
为的中点，为的中点，
，又，
四边形为平行四边形，，
又平面，平面，平面
由知平面，，平面，平面，
平面平面．
17.解：，
，由正弦定理得：，
因为，所以，得，
又，故，
外接圆的半径，
外接圆的面积为．
由及得：，，
，则为锐角，
，故．
如图所示，在中，由余弦定理得，
，
解得，
则的周长为．
18.解：
．
所以当时，取到最大值，
即，，所以，
其周期为．
令，
解得，
所以函数的单调递增区间为；
由知，由，
可得，即，
因为，所以，
所以，即．
因为，
所以，
由正弦定理可知，
因为为锐角三角形，所以，即，
所以，所以，
所以，即，
所以的取值范围为．
19.解：由条件可知，正四棱柱的高，
所以正四棱柱的体积为，
三棱锥的体积为，
所以该几何体的体积为；
，所以，
正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的侧面积为；
(ⅱ)如图，将长方形，和展开在一个平面，
，，设
，，
，所以，
所以，
，
当四点共线时，最短，
所以
所以的最小值为．

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