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2024-2025学年四川省内江市第一中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若与共线，则( )
A. B. C. D.
3.在中，内角，，所对的边分别为，，，，，，则( )
A. B. C. D.
4.如图，中，为边的中点，为的中点，则( )
A. B. C. D.
5.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 向左平移个单位长度 B. 向左平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度
6.已知的顶点坐标为，则( )
A. B. C. D.
7.在中，已知，是关于的方程，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，
过作于，作于，记，，则( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递增
C. 是定值 D. 是定值
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. 向量与的夹角为钝角 D. 向量在上的投影向量为
10.已知函数，下列四个结论中，正确的有( )
A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增
11.我们知道正余弦定理推导的向量法，是在中的向量关系的基础上平方或同乘的方法构造数量积，进而得到长度与角度之间的关系如图，直线与的边，分别相交于点，，设，，，，则下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知下表为“五点法”绘制函数图象时的五个关键点的坐标其中，，则的解析式为 ．
13.已知，点在线段上，且，则的坐标为 ．
14.在某海域开展的海上演习中，我方军舰要到达岛完成任务．已知军舰位于市的南偏西方向上的处，且在岛的北偏西方向上，市在岛的北偏西方向上，且距离岛，此时，我方军舰沿着方向以的速度航行，则我方军舰到达岛的小时大约为 参考数据：，，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，满足，，与的夹角为，
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知，，
求的值；
若，求的值．
17.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，，，
求角；
以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，若，求的面积．
18.本小题分
已知函数的最大值为，
求的值，及的单调递增区间；
若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；
当时，关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点．
设，写出函数的相伴向量；
已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数，若且，求的最大值；
已知，为中函数，，请问在的图象上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.由，，与的夹角为，得，
所以．
由，得．
16.由，得，
由，得，即，
联立解得，，
所以．
由，得，
由得，，
所以
．
17.由，
可得：，
，
，
又，，
所以，即．
由题意得，，，
则，即，
由余弦定理得，所以，
由，得，则．
18.函数，则，
因此，，由，
得，所以的单调递增区间为．
当时，，
由在区间上单调递减，得，解得，
所以实数的取值范围是．
令，由，得，
由方程有两个不相等的实数根，得直线与函数的图象有两个交点，
作出函数在的图象，如图，
观察图象得，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个交点，
所以实数的取值范围是．
19.，
所以函数的相伴向量．
依题意，，由，得，
又，即，则，
又，由正弦定理，得，，
即，
由，得，则的取值范围为
所以有最大值．
由知，
则，
设，由，得，
由，得，则，
即，于是．
由，得，则，
而，因此当且仅当时，和同时等于，
所以在图象上存在点，使得．

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