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2024-2025学年四川省仁寿第一中学校南校区高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若为虚数单位，其中，为实数，则的值为( )
A. B. C. D.
2.已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为，则做的功为( )
A. B. C. D.
3.的值为( )
A. B. C. D.
4.复数在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
5.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
6.( )
A. B. C. D.
7.若，则( )
A. B. C. D.
8.已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 向量与向量的长度相等
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的长度都为
D. 两个单位向量的长度相等
10.为了得到函数的图象，只需将函数的图象( )
A. 所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
B. 所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度
C. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D. 向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
11.在中，角，，的对边分别为，，，下列结论中正确的选项有( )
A. 若 ，则
B. ，则
C. 若，则定为直角三角形
D. 若且该三角形有两解，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，求与向量方向相同的单位向量为 ．
13.已知是虚数单位，复数和均为纯虚数，则 ．
14.如图，在正六边形中，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面向量．
若，求的值；
若求的值；
若向量，若与共线，求
16.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，，，
求点的坐标；
求证：四边形为等腰梯形．
17.本小题分
在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且
求角的大小
若，求的周长的取值范围．
18.本小题分
如图所示，在中，，，与相交于点，设，．
试用向量表示；
过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值．
19.本小题分
已知，其图象一个对称轴为，
求的解析式及单调递减区间；
若函数上有个不同的零点，求的取值范围；
若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为，所以，则，解得，
故，．
因为，所以，则，．
，，
若与共线，则，解得，即，
故．
16.解：设，则，
，
，
，
；
证明：连接，
，，
，且，
又，，
，
四边形为等腰梯形．

17.解：由向量，，且，
得：
由正弦定理，得：
化为：，由余弦定理，得：，
所以，；
因为，所以，，由，得：，
由正弦定理，得：，
的周长为：
，
由，得：，，
所以，周长．
18.解：因为三点共线，
所以存在实数使得，
又因为三点共线，
所以存在实数使得，
根据向量相等可得，解得
所以．
设，
由可得，，
又三点共线，所以，
由可得，，代入式可得，
即不论点在线段上如何移动，为定值．
19.解：根据已知有：，
因为图象一个对称轴为，所以，
解得，又因为，所以，
所以；
由，
解得：，
所以函数的单调递减区间为：．
因为，所以，
又因为函数上有个不同的零点，
令，即，
根据题意有：，即，解得，
所以．
因为，所以，
所以，解得，
所以，
，即，所以，
所以，解得，
所以使成立的的取值集合为：．

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