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2024-2025学年上海市洋泾中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B. C. D.
2.在中，为的中点，若，，则为( )
A. B. C. D.
3.下列命题中正确的是( )
A. 若且，则
B. 若且，则
C. 若且，则
D. 若且，则
4.在平面直角坐标中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴的非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质，
该函数的值域为；该函数的图象关于原点对称；
该函数的图象关于直线对称；该函数为周期函数，且最小正周期为．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题5分，共50分。
5.化简向量运算： ．
6.在中，若，则这个三角形一定为 三角形．
7.已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的半径为 ．
8.已知，则 ．
9.已知，则在方向上的投影为
10.已知向量，，则的最大值为 ．
11.已知奇函数的一个周期为，当时，，则 ．
12.已知平面向量，，，若与的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
13.设函数，若对任意的实数都成立，则的最小取值等于 ．
14.已知正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，．
求的值；
若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边经过点，求的值．
16.本小题分
已知向量，满足，，．
求与的夹角的余弦值；
求．
17.本小题分
如图，某城市有一矩形街心广场，如图其中百米，百米现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．
若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．
18.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期；
若函数，求函数的单调递减区间；
若函数在区间上有两个不等实根，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”其中为坐标原点．
设，写出函数的相伴向量；
已知的内角，，的对边分别为，，，记向量的相伴函数为，若且，求的取值范围；
已知，，为中的函数，，请问在的图像上是否存在一点，使得？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.直角
7.
8.
9.
10.．
11.
12.
13.
14.
15.解：，，，
．
由题意，，
由知，，
则．
16.解：，，，
，
，
；
由知，
，
；
17.解：由题意，，，
所以
所以，不符合要求
，，
所以，
，
所以，的最小值为．
18.解：因为，
所以．
，
由，解得，
所以函数的单调递减区间为．
由得，
当时，，
所以，
作出函数在的图象，如图：

由函数与的图象有两个交点，
得，即，即实数的取值范围为．
19.解：
所以函数的相伴向量；
由题知，由，得．
又因为，即，所以．
又因为，由正弦定理，得，
即
，因为，所以，
所以当，即时，取得最大值，
即的最大值为，最小值大于边．所以的取值范围为
由知，，
所以，
设，因为，
所以，
又因为，所以，所以
即，所以
因为，所以，所以，
又因为，所以当且仅当时，和同时等于，
所以在图像上存在点，使得．

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