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2024-2025学年上海市松江一中高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，最小正周期为的奇函数是( )
A. B. C. D.
2.“”是“函数的一个对称中心是”的 条件
A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充分必要 D. 既不充分也不必要
3.设是正整数，集合当时，集合元素的个数为( )
A. B. C. D.
4.如图，在平面直角坐标系中，已知、有一封闭图形，其中图形第一、三象限的部分为两段半径为的圆弧，二、四象限的部分为线段、、、角的顶点在原点，始边与轴的正半轴重合，的终边与该封闭图形交于点，点的纵坐标关于的函数记为，则有关函数图象的说法正确的是( )
A. 关于直线成轴对称，关于坐标原点成中心对称
B. 关于直线成轴对称，且以为周期
C. 以为周期，但既没有对称轴，也没有对称中心
D. 夹在之间，且关于点成中心对称
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积是
6.已知，则 ．
7.把化成的形式，则 ．
8.函数的单调递增区间为
9.在中，是的三边且满足，则角的大小为 ．
10.函数的定义域为 ．
11.函数的部分图象如图所示，其中，，则的解析式为 ．
12.将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 ．
13.已知函数在区间上是严格增函数，则的取值范围是 ．
14.如图，长为，宽为的矩形木块，在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底与桌面成角，则点走过的路程是 ．
15.设函数，若对于任意，都存在，使得，则的最小值为 ．
16.已知函数若在区间上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数的取值集合是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点
Ⅰ求的值；
Ⅱ若角满足，求的值．
18.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，且 ．
求角的大小；
若，，求的面积．
19.本小题分
一块长方形鱼塘，米，米，为了便于游客休闲散步，该农庄决定在鱼塘内建条如图所示的观光走廊，，，考虑到整体规划，要求是的中点，点在边上，点在边上，且．

设，试将的周长表示成的函数关系式，并求出此函数的定义域；
经核算，三条走廊每米建设费用均为元，试问如何设计才能使建设总费用最低并求出最低总费用．
20.本小题分
已知的最小正周期为．
化简函数的表达式，并求出的值；
若不等式在上有解，求实数的取值范围；
将函数图像上所有的点向右平移个单位长度，得到函数，且为偶函数若对于任意的实数，函数，与的公共点个数不少于个且不多于个，求正实数的取值范围．
21.本小题分
定义有序实数对，的“跟随函数”为．
记有序数对的“跟随函数”为，若，求满足要求的所有的集合；
记有序数对的“跟随函数”为，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围；
已知，若有序数对，的“跟随函数”在处取得最大值，当在区间变化时，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.，
9.
10.
11.
12.
13.
14.．
15.
16.
17.解：Ⅰ由角的终边过点得，
所以．
Ⅱ由角的终边过点得，
由得．
由得，
所以或．
18.解：根据正弦定理，由，
得，
即，
所以，
因为，所以，
所以，因为，所以．
因为，，由得，
所以，
解得，所以．
所以．
19.解：在中，，，所以，
在中，，即，又，
所以，
所以的周长，
即
当点在点时，角最小，此时
当点在点时，角最大，此时
故此函数的定义域是
由题意可知，只需求出的周长的最小值即可
设，则，
则原函数可化简为，
因为，所以，，
则，
则
从而
则当时，即时，；
即当米时，铺路总费用最低，最低总费用为元
20.解：依题意，
又因为的最小正周期为，则，即，
所以．
当时，，则，
所以，即，
因为不等式在上有解，
即在上有解，
即，即．
由及已知，，因为偶函数，
则，
解得，又，即有，，
于是，
由可得，，
而函数的周期，
依题意，对于在上
均有不少于个且不多于个根，则有，即，解得，
所以正实数的取值范围是．
21.解：由题意，，，
，
又，所以或，即所求集合为；
由题意，则，
时，，
时，，
作出函数，的图象，如图，在和上递增，在和上递减，，，
由图象可知，时，函数的图象与直线有且仅有四个不同的交点，
所以的范围是；
由题意，其中，，
易知时，，
，
，同理，
，
，
时，函数是增函数，因此
从而，即．
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