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2024-2025学年湖南省长沙市湘军高级中学高一下学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是( )
A. 四棱台 B. 四棱锥 C. 四棱柱 D. 三棱柱
2.已知复数，则的共轭复数是( )
A. B. C. D.
3.已知梯形是直角梯形，按照斜二测画法画出它的直观图如图所示，其中，，，则直角梯形边的长度是
A. B. C. D.
4.已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.在中，内角、、所对边分别为、、，若，则的大小是( )
A. B. C. D.
6.已知圆锥和圆柱底面半径相等，若圆锥的母线长是底面半径的倍，圆柱的高与底面半径相等，则圆锥与圆柱的体积之比为( )
A. B. C. D.
7.如图，在正方体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.已知球与正方体的各个面相切，平面截球所得的截面的面积为，则正方体棱长为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则．
C. 若，则 D. 若，则．
10.用一个平面去截一个圆柱的侧面，可以得到以下哪些图形( )
A. 两条平行直线 B. 两条相交直线 C. 圆 D. 椭圆
11.如图，在正三棱柱中，，是棱上任一点，则下列说法正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 正三棱柱的外接球表面积为
C. 周长的最小值为
D. 若，则平面平面
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，正方体的棱长为，以下结论正确的是 填序号
异面直线与所成的角为；
直线与垂直；
直线与平行．
13.已知为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 ．
14.已知球的半径为，、、三点均在球面上，，，，则三棱锥的体积是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，．

以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积；
求该三棱柱的外接球的表面积．
16.本小题分
如图，直三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，点，分别是，的中点．
若平面，求长度；
证明：平面；
17.本小题分
已知，复数在复平面上对应的点分别为为坐标原点．
求的取值范围；
当三点共线时，求三角形的面积．
18.本小题分
如图，在三棱台中，和都为等边三角形，且边长分别为和，，，为线段的中点，为线段上的点，平面．
求证：点为线段的中点；
求点到平面的距离．
19.本小题分
如图，在三棱锥中，，，．
证明：平面平面；
若点是线段上的点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案
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14.
15.因为底面三角形的边长分别为，，，
所以底面三角形为直角三角形，两直角边分别为，，
又因为三棱柱的侧棱垂直于底面，其高为，
所以．

设圆柱底面圆的半径为，
则，
圆柱体积．
所以剩下的几何体的体积．
由直三棱柱可补形为棱长分别为，，的长方体，
它的外接球的球半径满足，即．
所以，该直三棱柱的外接球的表面积为．

16.解：因为平面，即平面，
又平面，所以，
设，则，
又，解得；
如图所示：
取线段的中点，连接，，
因为，为中点，
所以，，
又平面，平面，
所以平面，
又，所以，同理平面，
又，
所以平面平面，
又平面，
所以平面．
17.解：因为，
所以，
当且仅当时取得等号，
所以；
因为，
且三点共线时，有，
即，
解得
此时，，
所以，
所以．
18.由已知为三棱台，
则，
又，，且点为中点，
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
平面，且，，平面，
平面平面，
平面平面，平面平面，
，
为中点；
连接，，
由可知，，
又，
即，，
又，，平面，
平面，
，
易知四边形为直角梯形，则，
同理，
四边形为等腰梯形，
且等腰梯形的高为，
则，
设点到平面的距离为，
则，
即，
解得 .
19.过点作于点，连接，由，，为公共边，
得，则，，因此，
，是二面角的平面角，
在中，，则，
则，，
又，则，即，因此二面角的平面角为直角，
所以平面平面．
设点到平面的距离为，由得，
平面，又，则，即，
由，得，
则，
在中，，则
而，即，，
因此，解得，
设直线与平面所成角为，则，
故直线与平面所成角的正弦值为．

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