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2024-2025学年湖北省荆州市公安县第三中学高一下学期5月考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设复数，则的共轭复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知点则与同方向的单位向量为
A. B. C. D.
3.在中，角，，的对边分别是，，，已知，，，则( )
A. B. C. 或 D. 或
4.若，且，则和的夹角是( )
A. B. C. D.
5.已知向量，向量在方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
6.在中，，则最大角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.在中，角、、的对边分别为、、，且的面积，，则( )
A. B. C. D.
8.在中，，，是外接圆的圆心，在线段上，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，下列说法正确的是( )
A.
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象
D. 函数在区间上单调递增
10.已知复数，其中为虚数单位，在复平面内对应的点为，则下列说法正确的是( )
A. 当时，为纯虚数
B. 满足的点的集合是以原点为圆心，以为半径的圆
C. 的虚部为
D. 若且复数是方程的一个根，则方程的另一个复数根为
11.已知点是三角形的边上的点，且，以下结论正确的有( )
A. 若点是的中点，，则
B. 若平分，则
C. 三角形外接圆面积最大值为
D. 若，则内切圆半径为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，在中，是的中点，若，则实数的值是 ．
13.已知，，则 ．
14.在中，角所对的边分别为，若，且，则的面积 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，若与平行，求；
已知与的夹角为，若与垂直，求实数的值．
16.本小题分
在中，角所对的边分别为，且．
求；
若，，为的中点，求．
17.本小题分
在中，对应的边分别为，已知向量，且为边上一点，，且．
求；
求面积的最大值．
18.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，且，的面积等于．
求函数的解析式；
求函数的对称轴和对称中心；
将图象上所有的点向左平移个单位长度，得到函数的图象，若对于任意的，当时，恒成立，求实数的最大值．
19.本小题分
在中，，，对应的边分别为，，，
求；
若为线段内一点，且，求线段的长；
法国著名科学家柯西在数学领域有非常高的造诣；很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如对于任意的，都有被称为柯西不等式；在的条件下，若，求：的最小值；
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.因为，
且与平行，
所以，解得，
所以，
所以．
已知与的夹角为，
所以，
因为与垂直，
所以
所以．
16.法一：因为，由余弦定理：，
得：，则，因为，所以．
法二：因为，由正弦定理得：
，，
，，
因为，所以，因为，所以．
在中，由余弦定理得：，
得：，
法一：，
在中，由余弦定理得：，得：．
法二：因为，所以，
所以，
所以，解得：．
法三：因为，所以，
，所以．
17.因为，且，
所以，
利用二倍角公式和边化角可得：，
即，
所以，
因为，
所以，
又因为，所以，所以，即．
因为，
所以，
两边平方得：，
所以，当且仅当时取等号．
由，可得：，
所以．
所以面积的最大值为．
18.由图可得，则，，则，
解得或，，由，则，
由，则，由图可得周期，易得，
所以．
令，，解得，，
令，，解得，，
所以的对称轴为直线，，
对称中心为，．
由题意可得，
要证，只需证，
令，
由题意可得，则，即求函数的单调递减区间，
令，，解得，，
由题意可得，，
则，，解得，，
当时，令，则，此时，不合题意，
令，则，此时，符合题意；
当时，令，则，此时，不合题意，
令，则，不符合题意；易知当时，都不符合题意
所以的最大值为．
19.因为
所以，
由正弦定理，
所以
即：，又，所以；
方法一因为，所以，
所以，
所以
，及
方法二以所在的直线为轴，为坐标原点建立坐标系，如图，
则
则：
所以；
根据柯西不等式：

当且仅当为正三角形时取等号
即：的最小值为．

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