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2024-2025学年上海市奉城高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知是平面上两个不平行的向量，则以下可以作为平面向量的一个基的一组向量是( )
A. B.
C. D.
3.在中，角，，所对的边分别为，，，其中，，若满足条件的三角形有且只有两个，则角的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.设集合，则集合的元素个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.已知复数其中为虚数单位，则 ．
6.已知，，则在方向上的数量投影为 ．
7.已知，点，则点的坐标为 ．
8.若关于的方程在上有解，则实数的取值范围是 ．
9.已知一个扇形的面积和周长均为，则该扇形的圆心角大小为 用弧度制
10.函数的最小正周期为 ．
11.已知的三个顶点、、的坐标分别为、、，则此三角形的面积为 ．
12.若为锐角，满足，则 ．
13.若函数与的图象交于两点，则 ．
14.已知虚数，其实部为，且，则实数为 ．
15.某数学建模小组模拟月距法测量经度的一个步骤如图所示，点均在同一个竖直平面内，点分别代表月球与轩辕十四恒星名组员在地面处测得轩十四的仰角，随后向着两天体方向前进米至处，测得两天体的仰角分别为、若月球距离地衣的高度为米，则轩辕十四到月球的距离约为 ．
16.已知平面向量，，且，，向量满足，则的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，．
若与垂直，求实数的值；
若与方向相反，求实数的值．
18.本小题分
已知：，．
求的值；
若角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，且终边与单位圆圆心在原点，半径为的圆交于第一象限的点，求的值．
19.本小题分
坐落于奉贤渔人码头的摩天轮，堪称上海独一无二的海滨摩天轮在晴朗的傍晚时分，踏上这场别具一格的海边摩天轮之旅，你将有机会与落日余晖、轻柔晚风、辽阔大海以及璀璨星空进行一场浪漫的邂逅若已知摩天轮最高点距离地面高度为米，转盘直径为米，开启后按逆时针方向匀速旋转，游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，进舱后开始计时，若开始转动单位：分钟后距离地面的高度为单位：米，转一周大约需要分钟．
已知关于的函数关系式满足其中，，，求摩天轮转动一周的解析式；
若游客在距离地面至少米的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮在运行一周的过程中，游客能有多长时间有最佳视觉效果？
20.本小题分
已知函数．
求函数的单调减区间；
若在上恒成立，求实数的取值范围；
若函数在上恰有个零点，求的取值范围．
21.本小题分
定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量．
若向量为函数的伴随向量，求；
若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值；
若函数为向量的伴随函数，关于的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.米
16.
17.解：因为，，，
所以，即，所以，
又与垂直，所以，即，
即，解得．
因为，且，所以，
所以与不共线，
又与方向相反，则，
即，解得舍去或
所以．

18.解：
因为，，故
由题意，，故
19.解：由题意可知：摩天轮最高点距离地面，最低点距离地面，
所以，所以
又因为转一周大约需要，所以，
所以，
又因为，
所以且，所以，
所以；
因为，
令，则，
又因为，则，所以，
所以，且，
故摩天轮在运行一周的过程中，游客能有最佳视觉效果．
20.解：
，
由，
所以函数的单调递减区间为；
因为不等式在上恒成立，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即；
，
由，得，
因为函数在上恰有个零点，
所以，解得，
所以的取值范围为．
21.解：因，
则，故．
依题意，，
由可得，
因，则，故，解得
因，则，
又，代入解得，
由正弦定理，，可得，
代入，可得，
又由余弦定理，，
可得，
于是，
解得．
依题意，，
由可得，
即，
当或时，；
当时，，
作出函数在上的图象．
因方程在上有且仅有四个不相等的实数根
等价于函数与函数的图象在上有四个交点．
由图知，当且仅当或时，两者有四个交点．
故实数的取值范围为．

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