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2024-2025学年江苏省沭阳如东中学高一下学期期中学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.已知的内角所对的边分别是，若，则( )
A. B. C. D.
3.在平行四边形中，为一条对角线，若，，则( )
A. B. C. D.
4.的值为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.函数的值域为( )
A. B. C. D.
7.设，是两个非零向量，且，，则与的夹角是( )
A. B. C. D.
8.已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
10.点在所在平面内，下列说法正确的是( )
A. 若，则为的重心
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则
D. 若为边长为的正三角形，点在线段上运动，则
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积把以上文字写成公式，即为三角形的面积，为三角形的三边现有满足，且的面积，则( )
A. 的最长边长为 B. 的三个内角满足
C. 的三条高的和为 D. 的中线的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数若，则
13.四边形内接于圆，，，若且，则四边形的面积为
14.已知在中，，的角平分线与边交于点，线段的中垂线过点，则 ，
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
设，若向量与互相平行，求的值
设，当取得最小值时，求向量与夹角的余弦值．
16.本小题分
已知，
求的值
若在角终边上，求的值．
17.本小题分
在中，内角的对边分别为，且．
求角；
若边的面积为角的平分线交边于点，求．
18.本小题分
复兴中学有一直径为米的半圆形空地，现计划在该空地上安装一个自动喷灌装置，喷灌装置位于半圆周上的处，其喷灌的有效覆盖区域为三角形，点，在直径上如图所示其中张角．

若喷灌的有效覆盖区域面积为，求；
设，求喷灌的有效覆盖区域的最大面积．
19.本小题分
对任意两个非零向量，定义新运算：，其中为与的夹角．
若非零向量满足，且，求的取值范围；
若向量，且，求正数的值；
已知非零向量满足是正整数，向量的夹角，和都是有理数，且，求．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：因为，，
所以，，
又向量与互相平行，所以，解得，
所以，则；
因为，
所以
，
所以当时取得最小值，
此时，则，，
，
所以设向量与夹角，则，
所以向量与夹角的余弦值为．
16.解：由题意可得，，
则，
因，则或，
因，则，则，
则．
因点在角终边上，则
则，
，
则．
17.解：，
所以或，即或舍，
所以．
因为的面积为
所以，
由余弦定理得，，
，
由得，，
解得．
18.解：由已知得为直角三角形，因为，
所以，
设点到的距离为，则，
所以，得，
因为，
所以，得，
在中，由余弦定理得，
即，得，
所以，
所以；
因为，所以，
所以，
则．
在中，由正弦定理得：，得，
所以，
在中，由正弦定理得：，得，
所以，
所以
因为，所以，
所以，
所以当，即时，取得最大值．
所以，喷灌的有效覆盖区域的最大面积为．
19.解：因为且，则，
又，所以，得到，
又，且
所以的取值范围是．
因为和，则，，
则设向量和的夹角为，则，
所以，
则，整理得到，
所以舍或，解得或舍，
所以．
因为，则，，
又，则，即，
又，则，又是正整数，
当，不合题意，
当，，由，得到，
所以，满足题意，故，
当时，，得到，解得，
此时，不是有理数，所以不合题意，
当时，，所以时，不合题意，
综上，．

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