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2024-2025学年华东师范大学第二附属中学高一下学期期中质量调研数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若与共线且反向，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
2.函数部分图象是( )
A. B.
C. D.
3.若是函数的一个周期，则正整数所有可能取值个数是( )
A. B. C. D.
4.在中，内角所对的边分别为，已知，依次是边的四等分点靠近点，记，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
5.若是第四象限角，则点在第 象限．
6.已知点是角的终边上一点，则 ．
7.已知扇形的周长为，面积为，则这个扇形圆心角的弧度数为 ．
8.已知，求与向量方向相同的单位向量为 ．
9.若平面向量，，两两的夹角为，且，，则 ．
10.已知扇形的半径为，弧长为，若其周长为，当该扇形面积最大时，其圆心角为，则 ．
11.已知，则 ．
12.已知定义在上的函数，则不等式的解集是 ．
13.已知中，，，点在线段上，且，则的值为 ．
14.如图，在半径为的圆中，弦所对的圆周角，且，则图中阴影部分的面积为 ．
15.已知函数，则关于的方程：的实根个数为 ．
16.已知为单位向量，设向量，向量的夹角为，若，求的取值范围 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，，，．
分别求和的值；
求的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知，是两个夹角为的单位向量，，．
求，；
设，是否存在实数，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，已知是边长为的正三角形．如图是边的两个四等分点．
若为线段上一点，且，求实数的值；
若为线段上的动点，求的最小值．
20.本小题分
我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点以下简称“点”通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”试用以上知识解决下面问题：已知的内角所对的边分别为．
若，则
求；
若，设点为的“点”，求；
若，设点为的“点”，，求实数的最小值．
21.本小题分
定义在上的函数，若存在实数使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
已知，判断它是否为“函数”；
若函数是“函数”，当，，求在上的解．
判断函数是否为“函数”，若是，求所有符合条件的；若不是，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.三
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，，
所以，又因，
，故，
因为，又因，
则，则．
因为；
所以
，
因为，
则得，
因，故．
18.解：因为，是两个夹角为的单位向量，
所以，，
又，，
所以
，
又，
所以．
因为，．
若是以为斜边的直角三角形，则，
即，
可得，
即，化简得，解得，
所以存在满足条件．
19.解：设，则，
所以，解得．
记，
，
设，
则，，
，，
所以当，即时，取得最小值为．
20.解：在中，由正弦定理得，
，有，
，
，
，，又，
；
由知，则的三个角都小于，
由“点”定义知：，
设，，，由得
，整理得，
所以
．
由，结合正弦定理，
有，均为三角形内角，舍
或，即，，
由点为的“点”，得，
设，，，，
由，得，由余弦定理得
，
，
，
相加得，得，
整理得，
于是，当且仅当，即时取等号，
又因为而解得，所以实数的最小值为．
21.解：若是为“函数”，则存在实数，，使得对任意的实数恒成立，
即，即对任意的实数恒成立，
则，解得
所以是“函数”
因为函数是“函数”，所以，
由于当，，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
当，则，所以，
则
所以当，，
令，则，
所以或，即或，
因为，所以
故在上的解为．
由题可得：，
则，其中，且，
由于，可化为，
即
由已知条件，上式对任意的实数恒成立，故必有：
解得：
由，解得：
所以函数为“函数，其中，，．

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