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2024-2025学年广东省汕头市南澳中学高一下学期4月期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.当时，复数在平面上对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.关于平面向量，下列正确的是( )
A. 若是单位向量，零向量，则
B. 若向量与不共线，则存在一对实数，使
C. 海拔、温度、角度都是向量
D. 若，则四边形是菱形
3.如图是一个组合体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，下述正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则的中点是
D. 若，则
5.如图，是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，轴，，则这个平面图形的实际周长为( )
A. B. C. D.
6.正方体的内切球和外接球的半径之比为( )
A. B. C. D.
7.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为( )
A. B. C. D.
8.如图所示，为了测量，处岛屿的距离，小明在处观测，，分别在处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶海里至处，观测在处的正北方向，在处的北偏西方向，则，两处岛屿间的距离为( )
A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题正确的是( )
A. 若，，且，，则
B. 经过两条相交直线，有且只有一个平面
C. 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
D. 直线与平面的位置关系有：直线在平面内、直线与平面平行、直线与平面异面
10.复数为虚数单位，为的共轭复数，则下列错误的是( )
A. 对应的点是 B. 的虚部为
C. D.
11.如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，下述正确的是( )
A. 与平行 B. 与是异面直线．
C. 与成角 D. 与是异面直线．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为
13.中，，，分别是，，的中点，与交于点，设，，则，用表示向量
14.正六棱台的上、下底面边长分别是和，侧棱长是，则它的表面积是 ，体积是
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算：．
已知复数与均是纯虚数，求．
16.本小题分
如图，已知分别为空间四边形的边，，，上的中点，

求证：四边形为平行四边形；
连接，若，求：正四面体的体积．
17.本小题分
已知单位向量，的夹角为，，，
求，；
求与的夹角．
18.本小题分
在中，角所对的边分别为，且满足，．
求的面积；
若，求、的值．
19.本小题分
在，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
参考答案
1.
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14.

15.解：原式
．
设，
则，
得，解得，故．
16.因分别为的，上的中点，所以，且；
因分别为的，上的中点，所以，且；
所以，且，
所以四边形为平行四边形．
取的中心，连接，连接，则为正四面体的高，
在中，可得，，
在中，由勾股定理得，
则正四面体的体积为．

17.
，
，
．
，．
，．
18.，
而，
又，，
，而，
在中，由余弦定理可得：
，
，
由正弦定理可得：，
．
19.方法一【最优解】：余弦定理
由可得：，不妨设，
则：，即．
若选择条件：
据此可得：，，此时．
若选择条件：
据此可得：，
则：，此时：，则：．
若选择条件：
可得，，与条件矛盾，则问题中的三角形不存在．
方法二：正弦定理
由，得．
由，得，即，
得由于，得所以．
若选择条件：
由，得，得．
解得所以，选条件时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件：
由，得，解得，则．
由，得，得．
所以，选条件时问题中的三角形存在，此时．
若选择条件：
由于与矛盾，所以，问题中的三角形不存在．

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