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2024-2025 学年四川省成都市石室中学北湖校区高二下学期学情检测
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间中有 8 个点，其中任何 4 个点不共面，过每 3 个点作一个平面，可以作的平面个数为( )
A. 42 B. 56 C. 64 D. 81
2.已知等比数列 中， 1 = 1，且 1，3 2，9 3成等差数列，则 =( )
A. 3 B. 1 C. 3 1 D. 13 3 1
3.三次函数 ( ) = 3 + 2 + + 的图象如图所示.下列说法正确的是( )
A. < 0， < 0， > 0， > 0 B. < 0， > 0， < 0， < 0
C. > 0， < 0， < 0， < 0 D. > 0， > 0， < 0， < 0
4.高二(1)班 5 位同学排成一排准备照相时，又来了 2 位同学要加入，若保持原来 5 位同学的相对顺序不变，
则不同的加入方法种数为( )
A. 42 B. 30 C. 21 D. 15
5 2 1 2.已知函数 ( ) = 2 1，利用教材中推导等差数列前 项和的公式的方法，可求得 2023 + 2023 + +
20222023 =( )
A. 2020 B. 2022 C. 4040 D. 4044
6.已知函数 ( ) = 2 ln 存在两个零点，则实数 的取值范围为( )
A. e2 , + ∞ B. ∞,
e
2 C. 2e, + ∞ D. ∞,2e
7.现将 6 本不同的书籍分发给甲乙丙 3 人，每人至少分得 1 本，已知书籍 分发给了甲，则不同的分发方
式种数是( )
A. 90 B. 160 C. 180 D. 270
8.已知函数 ( )在R 上可导，且 (1) = 1，其导函数 ′( )满足 ′( ) 2 ( ) > 0，则不等式e2 ln( 1) <
( 1)2的解集为( )
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A. 1, e B. 1, e + 1 C. e, e + 1 D. e + 1, + ∞
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知公差为 1 的等差数列 满足 1， 3， 7成等比数列，则( )
A. 9 = 10 B. 的前
( +2)
项和为 2
C. ( 1) 1 5 的前 100 项和为 100 D. 的前 10 项和为 +1 12
10.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A.如果甲乙丙按从左到右的顺序(可以不相邻)，则不同排法共有 20 种
B.如果甲乙不相邻，则不同排法共有 36 种
C.如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有 36 种
D.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有 48 种
11.我们把方程 e = 1 的实数解称为欧米加常数，记为 ， 和 e 一样，都是无理数， 还被称为在指数函
数中的“黄金比例”.下列有关 的结论正确的是( )
A. ∈ (0.5,1)
B. ln 1 =
C. = 1，其中 =

D. e + ln 函数 ( ) = +1 的最小值为 ( )
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.函数 ( ) = 12
2 2ln + 的极值点是 ．
13.现有 5 种不同的颜色，给四棱锥的五个顶点涂色，要求同一条棱上的两个顶点的颜色不能同色，则涂色
的方法一共有 种. (用数字作答)
14.若正实数 , 满足 ln(3 ) = e3 ，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
设函数 ( ) = ln + , ∈ ．
(1)讨论函数 ( )的单调性；
(2)若 ( ) ≤ + 1 恒成立，求实数 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
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如图，在四棱锥 中，底面 为正方形，侧面 是正三角形，侧面 ⊥底面 ， 是
的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
17.(本小题 15 分)
已知 为等差数列， 为等比数列， 1 = 1 = 1， 5 = 5 4 3 ， 5 = 4 4 3 ．
(1)求 和 的通项公式；
(2)设 = ，求数列 的前 项和为 ；
(3)若 的前 项和为 ，求证： 2 +2 < +1．
18.(本小题 17 分)
2 2 3 3
已知椭圆 2 + 2 7 = 1 经过点 2, 2 ．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点 (0,6)的直线 交该椭圆于 ， 两点(点 在点 的上方)，椭圆的上、下顶点分别为 ， ，直线
与直线 交于点 .证明：点 在定直线上．
19.(本小题 17 分)
+1
已知函数 ( ) = e + 1．
(1)若 ( )为增函数，求 的取值范围；
(2)记 ( )的导函数为 ′( )，若 < 0， ( ) < ′( )，求 的取值范围；
(3)定义：如果数列 的前 项和 满足 < ，其中 为常数，则称数列 为“和上界数列”， 为数列
的一个“和上界”.设数列 满足 1 = 2， +1 = ，证明：当 =
1
2时，数列 为“和上界数列”，
且不小于 4 的常数均可作为数列 的“和上界”．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.1
13.420
14.e
15.(1)由 ( ) = ln + 1，则 ′( ) = + , > 0
当 ≥ 0 时， ′( ) > 0 恒成立，则 ( )在(0, + ∞)上单调递增；
当 < 0 时，令 ′( ) = 0 1，解得 = ，
∈ 0, 1 ′ 时， ( ) > 0
1
，则 ( )在 0, 上单调递增；
∈ 1 ′ , + ∞ 时， ( ) < 0，则 ( )在
1
, + ∞ 上单调递减．
(2)由题意 ln + ≤ + 1 恒成立，
因为 > 0，即得 ≤ +1 ln ≤ +1 ln 恒成立，即 ， > 0，min
记 ( ) = +1 ln , > 0,则
′( ) = ln 2 2 ，
令 ′( ) = 0，得 = e2，令 ′( ) < 0，得 0 < < e2，即 ( )在 0, e2 上单调递减，
令 ′( ) > 0 可得 > e2，即 ( )在 e2, + ∞ 上单调递增，
1
所以 ( ) 2min = e = 1 e2，
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所以 ≤ 1 1e2，即实数 的取值范围为( ∞,1
1
e2 ]．
16.(1)证明：在正方形 中， ⊥ ，
又侧面 ⊥底面 ，侧面 ∩底面 = ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
因为 是正三角形， 是 的中点，所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ．
(2)取 中点为 , 中点为 ，连接 , ，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设 = 2，
则 (0, 1,0)， (0,1,0)， 0,0, 3 ， (2, 1,0)， 0, 1 32 , 2 ，
所以 = 0,1, 3 ， = ( 2,2,0)．
设平面 的法向量为 = ( , , )，则
= 3 = 0, = 3 ,
由
得
= 2 + 2 = 0, = ,
取 = 1，则 = 3, 3, 1 ，
由(1) 3 3知平面 的一个法向量为 = 0, 2 , 2 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
3 3 0,2, 2 3, 3,1
则 cos = cos , = 2 3 2 7 = = = ． 3× 7 3× 7 7
所以平面 与平面 2 7夹角的余弦值为 7 ．
17.(1)设等差数列 的公差为 ，
因为 5 = 5 4 3 ，可得 1 + 4 = 5 ，
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又因为 1 = 1，解得 = 1，
所以 = 1 + ( 1) = ，
设等比数列 的公比为 ( > 0)，
因为 5 = 4 4 3 ，可得 41 = 4 31 21 ，
解得 = 2，所以 = 1 1 1 = 2 ．
(2)因为 1 = = × 2 ，
所以 = 1 × 20 + 2 × 21 + 3 × 22 + + ( 1) × 2 2 + × 2 1，
则 2 = 1 × 21 + 2 × 22 + 3 × 23 + + ( 1) × 2 1 + × 2 ，
两式作差得： = 1 + 21 + 22 + 23 + + 2 1 × 2 ，

则 = 1 2 1 2 × 2
，整理 = ( 1)2 + 1．
(3) = + ×( 1) × = ( +1)因为 的前 项和 1 2 2 ，
则 1 2 1 +2 = 4 ( + 1)( + 2)( + 3)， +1 = 4 ( + 1)
2( + 2)2，
又 2 1 +2 +1 = 4 ( + 1)( + 2) ( + 3) ( + 1)( + 2) =
1
2 ( + 1)( + 2) < 0，
所以 +2 < 2 +1．
18.(1) 4 27将点 坐标代入椭圆方程中得 + 2 2 2 4 2 7 = 1，即 4 7 16 = 0，
2 2
因 2 > 7，所以 2 = 16 ，故椭圆的标准方程为16 + 9 = 1．
(2)由题易知 的斜率存在，设直线 的方程为 = + 6，
设 1, 1 , 2, 2 ，
= + 6
由 9 2 + 16 2 = 144，得 9 + 16
2 2 + 192 + 432 = 0，
> 0 + = 192 = 432则 ， 1 2 9+16 2， 1 2 9+16 2，
又 (0,3), (0, 3)，
则直线 3 +3的方程为 = 2 + 3，直线 的方程为 =
1
3，2 1
432 576 144 3 3 2 3 2
联立 ， 3 方程可得 +3 =
2 1
+3 =
2+3 1 = 1 2+3 1+ 2 3 2 = 9+16 2 9+16 2 = 9+16 2 =
2 1 1+9 2 1 2+9 2 432 +9 432 +9
9+16 2 2 9+16 2 2
1
3，
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得 =
3 3
2，故点 在定直线 = 2上．
19.(1)已知函数 ( ) = +1e + 1．
若 ( ) 为增函数，则 ′( ) = e + ≥ 0，
即 ≥ e 对任意 ∈ 恒成立，
令 ( ) = e , ∈ ，则
′( ) = 1 ′e ，令 ( ) = 0，解得 = 1，
当 < 1 时， ′( ) > 0，则 ( )在( ∞,1)上单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0，则 ( )在(1, + ∞)上单调递减；
故 ( ) 1 1max = (1) = e，故 ≥ e．
故 1的取值范围为 e , + ∞ ．
(2) ( ) = +1e + 1，
′( ) = e + ，
2 +1
由题意，任意 < 0， ( ) ′( ) = e + 1 < 0，
> 1 1+2 即 1 e 1 对任意 < 0 恒成立，
设 ( ) = 1 1+2 1 e 1 ，其中 (0) = 0，
2
当 < 0 2(1 )e + e (1+2 ) 1时， ′( ) = (1 )2e2 (1 )2 =
2 +2 1
(1 )2e (1 )2
2 2= +2 e

(1 )2e ，
( ) = 2 2 + 2 e = 2 2 + 1 + 1 e ， < 0，
由 < 0，则e > 1，则 1 e > 0，又 2 2 + 1 = 2( 1 )2 + 74 8 > 0，
可得 ( ) > 0，所以 ′( ) > 0，
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即 ( )在( ∞,0)上单调递增，所以 ( ) < (0) = 0，
且 → 0, ( ) → 0，
> 1 1+2 要使 1 e 1 对任意 < 0 恒成立，则 ≥ 0．
故 的取值范围为[0, + ∞)．
(3) 1 +1 1当 = 2时， ( ) = e + 2 1，
设 ( ) = +1 ′ e 1，则 ( ) = e ，
当 < 0 时， ′( ) > 0，则 ( )在( ∞,0)单调递增；
当 > 0 时， ′( ) < 0，则 ( )在(0, + ∞)单调递减；
所以 ( ) ≤ (0) = 0 +1，则有 e 1 ≤ 0，当且仅当 = 0 时等号成立．
( ) = +1 1 1所以 e + 2 1 ≤ 2 对任意 ∈ 恒成立，
由 1 = 2 > 0 = ≤
1 1
， +1 2 ，其中 2 = ( 1) < 2 1，
1 1 1 1
所以 +1 ≤ 2 ≤ 22 1 ≤ ≤ 2 1 2 < 2 1，且 1 = 2 > 0，
则当 ≥ 2 时， = 1 + 2 + 3 + + < 1 +
1 1 1
2 1 + 22 1 + + 2 1 1
1 1 1
= 1 + 2+ 2 + +2 2 1
1
1 1
= 2
1 1
1 < 2 1 = 4；
2
又当 = 1 时， 1 = 1 = 2 < 4 成立；
综上所述，任意 ∈ ，都有 < 4，
故数列 为“和上界数列”，且不小于 4 的常数均可作为数列 的“和上界”．
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