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湖南省衡阳市C13联盟2025年3月新中考联考九年级数学试卷
1．（2025·衡阳模拟）的相反数是（　　）
A．3 B． C． D．
2．（2025·衡阳模拟）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·衡阳模拟）2025年春运被称为“人类史上最大规模的迁移”，全社会跨区域人员流动量达90.2亿人次．将数据“90.2亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·衡阳模拟）设，则下列式子中成立的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·衡阳模拟）如图所示，，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·衡阳模拟）已知一元二次方程的一个根是3，则k的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
7．（2025·衡阳模拟）如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·衡阳模拟）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（2025·衡阳模拟）如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（　　）
A．96 B．48 C．20 D．
10．（2025·衡阳模拟）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·衡阳模拟）化简　 　．
12．（2025·衡阳模拟）16的算术平方根是　 　
13．（2025·衡阳模拟）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
14．（2025·衡阳模拟）从11，6，7中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是　 　．
15．（2025·衡阳模拟）分式方程的解是　 　．
16．（2025·衡阳模拟）直线向上平移3个单位后的函数表达式为　 　．
17．（2025·衡阳模拟）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是　 　．（填写序号）
18．（2025·衡阳模拟）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为　 　．
19．（2025·衡阳模拟）计算：
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·衡阳模拟）近年来，互联网的迅速发展催生了“网红”．这些在社交媒体上拥有大量粉丝的人物，凭借其独特的魅力、才华或话题性，成为大众关注的焦点．某学校为了解学生对网红类型（A：娱乐类；B：才艺类；C：生活类；D：科普类；E：其他）的关注度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题．
（1）本次调查的人数为_______人；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②中“C：生活类”网红对应的圆心角为_______°；
（4）根据调查结果，请你为网红类型的关注度提出一条合理建议．
22．（2025·衡阳模拟）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
23．（2025·衡阳模拟）如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点是中点，求四边形的面积．
24．（2025·衡阳模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余实践进行测量活动．
问题解决：请你根据测量数据计算钢缆和的总长度（结果精确到）．
活动主题 测算观光缆车的钢缆长度
测量工具 无人机、测角仪、皮尺、计算器等
活动过程 模型抽象 如图，表示某景区一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，表示连接缆车站的钢缆．
测绘过程与数据信息 ①用无人机在三处测得海拔，； ②在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； ③在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； （参考数据：，）
25．（2025·衡阳模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
（3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
26．（2025·衡阳模拟）如图，是的直径，点，是上异于，的两点，是的切线，连接，，，，延长与的延长线交于点，过点作交的延长线于点，．
（1）求证：直线是的切线．
（2）求证：．
（3）如图，过点作于点，连接交于点．探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：C.
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够不互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐项判断解题．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据“90.2亿”用科学记数法表示为，，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为小数点向左移动位数．
4．【答案】A
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A、把代入得到左边=右边，成立；
B、把代入得到左边，右边，故不成立；
C、把代入得到左边：，右边：，故不成立；
D、把代入得到，故不成立．
故选：A．
【分析】把代入各选项计算，然后逐项判断解题即可．
5．【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，
，，
，
，
．
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用邻补角的定义解答即可．
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程的有一个根是3，
，
．
故答案为：D．
【分析】把代入方程，得到关于k的一元一次方程，解答即可．
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
是的切线，切点是
在中，
圆周角与圆心角所对的弧是，
．
故选：B．
【分析】连接，根据切线的性质得到，然后求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理解答即可．
8．【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：方差越小，成绩就越稳定，，
方差为0.46的丁是四人中成绩最稳定的一个，
故选：D．
【分析】根据方差的意义“方差越大，波动越大，数据越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定”解答即可．
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设矩形中，
四边形和四边形都为正方形，
∴，
∴正方形和正方形的面积之和为，
面积，周长，
，，
．
故选：C．
【分析】设，根据举行的面积和周长得到，，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
10．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点，，
，，，，．
∵点，，，，在反比例函数的图象上，
，，，，，
，，，
当时，．
故选：A．
【分析】先求出点，，，，的坐标，根据反比例函数上点的特征求出，，，，的坐标即，得到规律，然后代入n=11解答即可．
11．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据合并同类项法则“系数相加，字母和字母的指数不变”解答即可．
12．【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
13．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的被开方数为非负数解题即可．
14．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为这三个数中只有6是偶数，
所以抽到偶数的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式“概率等于所求情况数与总情况数之比”解答即可．
15．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，原方程可化为，
∴，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是先去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再根据验根情况写解．
16．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移3个单位后的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
17．【答案】②
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
当选择①时，
在和中，
，
∴；
当选择②时，不能判定；
当选择③时，
∵，
∴，
∴，即．
在和中，
，
∴；
当选择④时，
在和中，
，
∴；
综上，添加条件后，仍然不能判定的是②，
故答案为：②．
【分析】根据矩形的性质可得，，即可得到，再根据三角形全等的判定定理解答即可．
18．【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将沿着翻折，得到，
，
为等腰直角三角形，
，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，然后根据外角得到，即可得到，进而根据外角的性质得到，求出∠FEO即可．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方、负整数指数次幂、绝对值、代入特殊角的三角函数值，然后加减解题．
20．【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分子分母分解因式约分化简，再代入a的值计算解题．
21．【答案】（1）200
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：本次调查的人数为（人）；
故答案为：200；
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：“C：生活类”网红对应的圆心角为；
故答案为：72；
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
【分析】（1）利用娱乐类的人数除以它的占比求出调查的人数即可；
（2）让调查总人数减去其它组的人数求出生活类的人数，再补全条形统计图；
（3）用乘以生活类的人数的占比解答即可；
（4）根据题意提出合理建议．
（1）解：由题意可得：本次调查的人数为（人）；
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：“C：生活类”网红对应的圆心角为；
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
22．【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元，根据“ 8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同 ”列分式方程解答即可；
（2）设制作《希望的田野》m集，根据题意列一元一次不等式，求出m的取值范围．设该影视公司收益为w万元，得到关于的关系式，利用一次函数的增减性解答即可．
（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
23．【答案】（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用ASA得到，即可得到，然后根据，得到结论即可；
（2）根据中位线的性质得到，然后利用勾股定理求出AC长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
24．【答案】解：由图知，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
答：钢缆和的总长度大约是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意求出BD和CB2的值，然后利用正弦的定义求出AB和BC长，利用线段的和差解答即可．
25．【答案】（1）解：二次函数图象与轴交于点，．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）解：当，解得：，，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，即可得到，分为点在直线上方和点在直线下方，表示三角形的面积，求出点P 的坐标即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，即可得到为，然后根据垂线段最短解答即可．
（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
26．【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：如图，连接，，
、是的切线，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直径，
，
，
；
（3）解：为定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可知，然后等量代换可得，即可得到，证明结论；
（2）根据可得，即可得到证，根据直径所对圆周角是直角得到，即可得到结论；
（3）根据正切的定义即可得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，进而得到，再根据正切的定义解答即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：如图，连接，，
、是的切线，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直径，
，
，
；
（3）解：为定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
1 / 1湖南省衡阳市C13联盟2025年3月新中考联考九年级数学试卷
1．（2025·衡阳模拟）的相反数是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是.
故答案为：C.
【分析】求一个数的相反数就是在这个数的前面添上“-”号，即可求解.
2．（2025·衡阳模拟）《国语》有云：“夫美也者，上下、内外、小大，远近皆无害焉，故曰美．”这是古人对于对称美的一种定义．这种审美法则在生活中体现得淋漓尽致．下列航空公司的标志是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，故此选项是轴对称图形，符合题意；
B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够不互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，故此选项不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形”逐项判断解题．
3．（2025·衡阳模拟）2025年春运被称为“人类史上最大规模的迁移”，全社会跨区域人员流动量达90.2亿人次．将数据“90.2亿”用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将数据“90.2亿”用科学记数法表示为，，
故选：D．
【分析】科学记数法的一般形式为，其中，n为小数点向左移动位数．
4．（2025·衡阳模拟）设，则下列式子中成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】零指数幂；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：A、把代入得到左边=右边，成立；
B、把代入得到左边，右边，故不成立；
C、把代入得到左边：，右边：，故不成立；
D、把代入得到，故不成立．
故选：A．
【分析】把代入各选项计算，然后逐项判断解题即可．
5．（2025·衡阳模拟）如图所示，，，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】邻补角；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如下图所示，
，，
，
，
．
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等得到，然后利用邻补角的定义解答即可．
6．（2025·衡阳模拟）已知一元二次方程的一个根是3，则k的值为（　　）
A． B．0 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵方程的有一个根是3，
，
．
故答案为：D．
【分析】把代入方程，得到关于k的一元一次方程，解答即可．
7．（2025·衡阳模拟）如图，在中，是切线，切点是B，直线交于点D，A，点E为上的一点，连接，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
是的切线，切点是
在中，
圆周角与圆心角所对的弧是，
．
故选：B．
【分析】连接，根据切线的性质得到，然后求出∠BOD的度数，再利用圆周角定理解答即可．
8．（2025·衡阳模拟）在初三毕业数学综评中，学校需要收集初中六个学期中的期末检测成绩来评定，甲、乙、丙、丁的平均成绩均是95分（总分120分），而方差分别为10.39，7.25，8.72，0.46，则这四人中成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】方差
【解析】【解答】解：方差越小，成绩就越稳定，，
方差为0.46的丁是四人中成绩最稳定的一个，
故选：D．
【分析】根据方差的意义“方差越大，波动越大，数据越不稳定；方差越小，波动越小，数据越稳定”解答即可．
9．（2025·衡阳模拟）如图，在正方形中，若面积，周长，则正方形和正方形的面积之和等于（　　）
A．96 B．48 C．20 D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：设矩形中，
四边形和四边形都为正方形，
∴，
∴正方形和正方形的面积之和为，
面积，周长，
，，
．
故选：C．
【分析】设，根据举行的面积和周长得到，，然后根据完全平方公式的变形计算解题．
10．（2025·衡阳模拟）如图是反比例函数的图象，点，过点A作y轴的垂线，垂足为点C，在射线CA上，依次截取，过点，，，分别作x轴的垂线，依次交反比例函数的图象于点，，，．按照上述方法则线段的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；反比例函数图象上点的坐标特征；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：∵点，，
，，，，．
∵点，，，，在反比例函数的图象上，
，，，，，
，，，
当时，．
故选：A．
【分析】先求出点，，，，的坐标，根据反比例函数上点的特征求出，，，，的坐标即，得到规律，然后代入n=11解答即可．
11．（2025·衡阳模拟）化简　 　．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：．
故答案为：．
【分析】根据合并同类项法则“系数相加，字母和字母的指数不变”解答即可．
12．（2025·衡阳模拟）16的算术平方根是　 　
【答案】4
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】∵4 =16，
∴=4．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出结果．
13．（2025·衡阳模拟）二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题可知，，
解得：．
故答案为：．
【分析】利用二次根式的被开方数为非负数解题即可．
14．（2025·衡阳模拟）从11，6，7中随机抽取一个数，抽到偶数的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：因为这三个数中只有6是偶数，
所以抽到偶数的概率为，
故答案为：．
【分析】根据概率公式“概率等于所求情况数与总情况数之比”解答即可．
15．（2025·衡阳模拟）分式方程的解是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：，
去分母，原方程可化为，
∴，
经检验是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
解分式方程的一般步骤是先去分母，化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再根据验根情况写解．
16．（2025·衡阳模拟）直线向上平移3个单位后的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移3个单位后的函数表达式为，
故答案为：．
【分析】利用一次函数的图象平移规律“左加右减，上加下减”解答即可．
17．（2025·衡阳模拟）如图，在矩形中，E，F是对角线上两点，连接，，添加下列条件之一：①；②；③；④；仍然不能判定的是　 　．（填写序号）
【答案】②
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴．
当选择①时，
在和中，
，
∴；
当选择②时，不能判定；
当选择③时，
∵，
∴，
∴，即．
在和中，
，
∴；
当选择④时，
在和中，
，
∴；
综上，添加条件后，仍然不能判定的是②，
故答案为：②．
【分析】根据矩形的性质可得，，即可得到，再根据三角形全等的判定定理解答即可．
18．（2025·衡阳模拟）如图，在中，，，分别为边，上的点，将沿着翻折，得到，与相交于点，连接．当为等腰直角三角形时，的度数为　 　．
【答案】13°
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：将沿着翻折，得到，
，
为等腰直角三角形，
，
是的一个外角，
，
，
是的一个外角，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠可得，然后根据外角得到，即可得到，进而根据外角的性质得到，求出∠FEO即可．
19．（2025·衡阳模拟）计算：
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先运算乘方、负整数指数次幂、绝对值、代入特殊角的三角函数值，然后加减解题．
20．（2025·衡阳模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先把括号内的分式通分，然后把除法化为乘法，分子分母分解因式约分化简，再代入a的值计算解题．
21．（2025·衡阳模拟）近年来，互联网的迅速发展催生了“网红”．这些在社交媒体上拥有大量粉丝的人物，凭借其独特的魅力、才华或话题性，成为大众关注的焦点．某学校为了解学生对网红类型（A：娱乐类；B：才艺类；C：生活类；D：科普类；E：其他）的关注度，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，回答下列问题．
（1）本次调查的人数为_______人；
（2）将图①中的条形统计图补充完整；
（3）图②中“C：生活类”网红对应的圆心角为_______°；
（4）根据调查结果，请你为网红类型的关注度提出一条合理建议．
【答案】（1）200
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由题意可得：本次调查的人数为（人）；
故答案为：200；
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：“C：生活类”网红对应的圆心角为；
故答案为：72；
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
【分析】（1）利用娱乐类的人数除以它的占比求出调查的人数即可；
（2）让调查总人数减去其它组的人数求出生活类的人数，再补全条形统计图；
（3）用乘以生活类的人数的占比解答即可；
（4）根据题意提出合理建议．
（1）解：由题意可得：本次调查的人数为（人）；
（2）解：：生活类的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：“C：生活类”网红对应的圆心角为；
（4）解：由题意可得：学生多关注一下科普类网红，提高科普意识．
22．（2025·衡阳模拟）近日，《我的阿勒泰》在网络上掀起了观剧热潮．该剧集以新疆阿勒泰为舞台，通过一系列温馨感人的故事，鲜活地展示了当地的风情民俗与居民的精神世界．某影视公司受此启发，计划制作两部不同题材但同样扎根现实的文艺作品，分别是关于乡村支教的《希望的田野》和展现传统手工艺传承的《指尖上的传承》．经了解，制作每集《希望的田野》比制作每集《指尖上的传承》的成本多100万元．该公司以8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同．
（1）求制作《希望的田野》和《指尖上的传承》每集成本为多少万元．
（2）该影视公司计划拍摄《希望的田野》和《指尖上的传承》共60集，且《指尖上的传承》的集数不少于《希望的田野》集数的．完成后将两部文艺作品出售给某平台，该视频平台给出收购方案：《希望的田野》按每集450万元收购，《指尖上的传承》按每集320万元收购．若要使该影视公司收益最大化，应该如何制作这两部文艺作品？
【答案】（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元，根据“ 8100万元制作《希望的田野》的集数与5400万元制作《指尖上的传承》集数相同 ”列分式方程解答即可；
（2）设制作《希望的田野》m集，根据题意列一元一次不等式，求出m的取值范围．设该影视公司收益为w万元，得到关于的关系式，利用一次函数的增减性解答即可．
（1）解：设制作《希望的田野》每集成本x万元，《指尖上的传承》每集成本万元．
根据题意，得，
解得，
经检验是方程的解，且符合题意．
．
答：制作《希望的田野》每集300万元，《指尖上的传承》每集200万元．
（2）解：设制作《希望的田野》m集，则制作《指尖上的传承》集，
根据题意，得，
解得．
设该影视公司收益为w万元，
则．
，
w随m的增大而增大．
又，
当时，w取最大值，此时．
答：制作《希望的田野》36集，《指尖上的传承》24集时，该影视公司收益最大．
23．（2025·衡阳模拟）如图，在中，，点是边的中点，点是边上一点，，连接，，延长与交于点，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，点是中点，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）利用ASA得到，即可得到，然后根据，得到结论即可；
（2）根据中位线的性质得到，然后利用勾股定理求出AC长，再根据四边形的面积等于对角线乘积的一半解答即可．
（1）证明：点是边的中点，
，
，
，
在和中，，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：点是中点，点是边的中点，
是的中位线，
，，
，；
，
，
又，
，，
．
24．（2025·衡阳模拟）某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余实践进行测量活动．
问题解决：请你根据测量数据计算钢缆和的总长度（结果精确到）．
活动主题 测算观光缆车的钢缆长度
测量工具 无人机、测角仪、皮尺、计算器等
活动过程 模型抽象 如图，表示某景区一座比较险峻的山上的三个缆车站的位置，表示连接缆车站的钢缆．
测绘过程与数据信息 ①用无人机在三处测得海拔，； ②在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； ③在处使用测角仪测得缆车站点的仰角； （参考数据：，）
【答案】解：由图知，
∴，，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∴．
答：钢缆和的总长度大约是米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意求出BD和CB2的值，然后利用正弦的定义求出AB和BC长，利用线段的和差解答即可．
25．（2025·衡阳模拟）如图1，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点，且过点．
（1）求抛物线表达式；
（2）如图2，点P为抛物线在y轴左侧的一个动点，过点P作轴，交直线于点E，交x轴于点F，连接，若时，求点P的坐标；
（3）如图3，点M是抛物线的顶点，点P为抛物线对称轴上的一个动点，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：二次函数图象与轴交于点，．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）解：当，解得：，，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求二次函数的解析式即可；
（2）先利用待定系数法求出直线的解析式，设点的坐标为，即可得到，分为点在直线上方和点在直线下方，表示三角形的面积，求出点P 的坐标即可；
（3）构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，即可得到为，然后根据垂线段最短解答即可．
（1）解：二次函数图象与轴交于点，
．
二次函数图象经过点，即：过点，
∴，
．
故二次函数的表达式为．
（2）当，解得：，
，
∵，
∴设直线的解析式为，把代入，得：，
直线表达式为．
设点的坐标为，
．
①如图1，当点在直线上方时，
，
，
，
，
，解得，
．
②如图2，当点在直线下方时，
，
，
，
，解得，
点P在y轴的左侧，
，
，
综上所述，P点坐标为或．
（3）∵，
∴抛物线的对称轴为直线，顶点，
，
构造一个以为斜边的等腰直角，如图，延长交轴于点，交轴于点，连接，则：，，
∴点在直线上运动，，，
∴为等腰直角三角形，
∴，，，
∴，
∴，，
∵，
当三点共线时，取得最小值，即取得最小值，
又∵点在直线上运动，
∴当时，取得最小值，
此时为等腰直角三角形，
∴，
的最小值为．
的最小值为30．
26．（2025·衡阳模拟）如图，是的直径，点，是上异于，的两点，是的切线，连接，，，，延长与的延长线交于点，过点作交的延长线于点，．
（1）求证：直线是的切线．
（2）求证：．
（3）如图，过点作于点，连接交于点．探究是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：如图，连接，，
、是的切线，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直径，
，
，
；
（3）解：为定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据垂直定义可知，然后等量代换可得，即可得到，证明结论；
（2）根据可得，即可得到证，根据直径所对圆周角是直角得到，即可得到结论；
（3）根据正切的定义即可得到，然后根据两直线平行，同位角相等得到，即可得到，进而得到，再根据正切的定义解答即可．
（1）证明：，
，
，
，
，
直线是的切线；
（2）证明：如图，连接，，
、是的切线，
．
在和中，
，
，
又，
．
是的直径，
，
，
；
（3）解：为定值；
理由如下：
在中，，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
．
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