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二0二五年初中学业水平考试（中考）
数学模拟试题（二）
本试卷共6页.满分120分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、考生号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上.
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案写在试卷上无效.
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置.）
1.实数的倒数是（ ）
A. B. C. D.3
2.下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，直线直线，直线直线，若，则（ ）
A.70° B.90° C.110° D.80°
4.下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
5.已知关于的方程的两根分别为，，则与的值分别为（ ）
A.， B.， C.， D.，
6.已知一组数据10，8，9，，5的众数是8，那么这组数据的方差是（ ）
A.2.8 B. C.2 D.5
7.如图，，，将绕点旋转150°后，得到，则此时点的对应点的坐标为（ ）
A. B. C.或 D.或
8.如图，在中，，的垂直平分线交的延长线于，若，，则的长是（ ）
A.3 B.2 C. D.1
9.联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念：
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心.
举例：如图，若，则点为的准外心.
探究：已知中，，，，准外心在边上，则的长为（ ）
A.2 B. C. D.2或
10.二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点.下列说法：①；②；③；④若，是抛物线上的两点，则；⑤（其中）其中正确的结论有（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）
11.已知实数满足，则的值为__________.
12.若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是_________.
13.如图，在中，，将沿直线翻折后，顶点恰好落在边上的点处，已知，，，则四边形的面积是__________.
14.如图，从点发出的一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为_________.
15.我国古代数学家刘徽在《九章算术》“圆田术”注中给出了用“割圆术”计算圆周率（圆周率=圆的周长与该圆直径的比）的方法.“割圆术”就是以圆内接正多边形来无限逼近圆，刘徽描述为“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.如图，他计算圆周率是从正六边形开始的，此时圆的半径为，其内接正六边形的周长为，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，按照上述的方法计算，可得圆周率为________.（结果精确到0.01，参考数据：）
三、解答题（本题共8个小题，共75分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内.）
16.（本题满分8分，每小题4分）
（1）计算：；
（2）若，求代数式的值.
17.（本题满分8分）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上，如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米.已知斜坡的坡脚为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度.
18.（本题满分8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数的图象分别交于点，，已知的面积为1，点的纵坐标为2.
（1）求一次函数与反比例函数的表达式；
（2）直接写出时，的取值范围.
19.（本题满分9分）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若由乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍.如果由甲、乙两队先合作15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天.
（1）这项工程的规定时间是多少天
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元.为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队合作来完成.则该工程施工费用是多少
20.（本题满分8分）某校学生会干部对校学生会倡导的“助残”自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）.已知，两组捐款人数的比为1:5.
捐款人数分组统计表
组别 捐款额/元 人数
100
请结合以上信息解答下列问题.
（1）________，本次调查的样本容量是__________；
（2）先求出组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；
（3）若任意抽出1名学生进行调查，恰好是捐款数不少于30元的概率是多少
21.（本题满分10分）如图，是的弦，，过圆心的直线垂直于点，交于点和点，连结，，，，延长到点，使.
（1）求的半径；
（2）求证：是的切线.
22.（本题满分12分）如图1，在边长为5的正方形中，点，分别是，边上的点，且，.
（1）求的值；
（2）延长交正方形的外角平分线于点（如图2），试判断与的大小关系，并说明理由；
（3）在图2的边上是否存在一点，使得四边形是平行四边形 若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由.
23.（本题满分12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点.
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）如图1，二次函数图象的对称轴与直线交于点，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求面积的最大值；
（3）如图2，点是直线上的一个动点，过点的直线与平行，则在直线上是否存在点，使点与点关于直线对称？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由.
模拟（二）参考答案
一、选择题：每小题3分，共30分
1----5ABACD 6----10ACBDB
二、填空题：每小题3分，共15分
11.7； 12.； 13.； 14.； 15.3.12
三、解答题
16.每小题4分，共8分
（1） （2）化简得，求值得
17.本题满8分
解：延长与，交点为点，过点作，垂足为点.
在中，，，则，，
根据同一时刻，标杆与影长的比值为定值，可得，解得，
，，
解得，（米）.
18.本题满8分
解：（1）当时，，则.由的面积为1，可知，，则，将代入，得，，所以一次函数的解析式为
又点的纵坐标为2，则，所以，则，
所以，所以反比例函数的解析式为，即
（2），
19.本题满9分
解：（1）设这项工程的规定时间是天，根据题意，得.
解这个方程，得.经检验是方程的解.
答：这项工程的规定时间是30天.
（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：（天）；
该工程施工费用是：（元）.
20.本题满8分
解：（1），本次调查样本的容量是500；
（2）C组的人数：（人）.
（3）捐款数不少于30元的概率：
答：捐款数不少于30元的概率是36%.
21.本题满10分
（1）证明：∵是的直径，
∴，
∵，∴在中，，
设，∴，
解得：，（舍）
∴，即半径为
（2）方法不唯一，答案正确得5分
证明∶（方法一）
∵，
∴∴∵∴
又∵，∴，∴
∴，∵为半径，∴为切线.
（方法二）
∵，，，∴
∴，，∴
又∵，∴∴
∴，∵为半径，∴为切线.
22.本题满12分，每问4分.方法不唯一，解答正确即可得满分.
解：（1）∵，∴.
∵四边形为正方形，∴.
又∵，∴.∴.∴.
（2）给出两种解法：
解法一：在取一点，使，连接.
∴.∴，∴.
∵是外角平分线，∴，∴.
∴.∴.∴.
解法二：证明：过点作交的延长线于.∵，∴.
∴.∴.∵平分，
∴，∴.∵，，∴.∴.
∴.
在和中，
，，
∴.
（3）给出两种解法：
解法一：在上存在一点，使得四边形是平行四边形.
证明：过点作，交于点，连接、.
∵，∴.
∴.∵.∴.∴，.
∴.∴.∵，∴.
∴四边形是平行四边形.
解法一：在上存在一点，使得四边形是平行四边形.
证明：在边上取一点，使，连接、、.
∵，，∴.∴，.
∵，∴.∵.∴.∴.
∵，∴.∴四边形是平行四边形.
23.本题满12分，每问4分.方法不唯一，解答正确即可得满分.
（1）解：由题意得，；
（2）解：如图1，
作于，作于，交于，
∵，，∴，∴，
抛物线的对称轴是直线：，∴，，
∵，∴，
设过点与平行的直线的解析式为：，
当直线与抛物线相切时，的面积最大，
由得，，由得，得，，
∴，∴，∴，，
∴，∴，
∴；
解：存在，或
解析：如图2，当点在线段上时，连接，交于，
∵点和点关于对称，∴，
设，由得，，
∴，（舍去），
∵，∴，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，
直线，直线
∴
如图3，
当点在的延长线上时，由上可知：，
同理可得：，
综上所述：或

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