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广东省潮州市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
1．（2024高一下·潮州期末）已知i是虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B．2i C． D．
2．（2024高一下·潮州期末）棱长为4的正方体的内切球的体积为（　　）
A． B． C． D．
3．（2024高一下·潮州期末）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若、、，则∠C等于（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
4．（2024高一下·潮州期末）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240、160、160.现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
5．（2024高一下·潮州期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6
6．（2024高一下·潮州期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
7．（2024高一下·潮州期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C．2 D．
8．（2024高一下·潮州期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（　　）
A． B． C． D．
9．（2024高一下·潮州期末）维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法正确的是（　　）
猕猴桃102 104 106 107 113 116 119 121 132 134
柚 子109 113 114 116 117 121 121 122 131 132
A．每100克柚子维生素C含量的众数为121
B．每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122
C．每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差
D．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
10．（2024高一下·潮州期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
11．（2024高一下·潮州期末）下列命题正确的是（　　）
A．若向量、满足，则或
B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角
C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为
D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底
12．（2024高一下·潮州期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则　 　.
13．（2024高一下·潮州期末）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为　 　.
14．（2024高一下·潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为　 　.
15．（2024高一下·潮州期末）已知向量，.
（1）若，求实数x的值；
（2）若，，求向量与的夹角.
16．（2024高一下·潮州期末）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间.
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组
频数 2 3 15 30 30 75 120 5
（1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；
（2）从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率.
17．（2024高一下·潮州期末）如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；
（2）求四面体BAEF的体积.
18．（2024高一下·潮州期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.
（1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；
（2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
19．（2024高一下·潮州期末）如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上.
（1）求的面积；
（2）若，，求CE的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据复数的概念，
得出复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的虚部的定义得出复数的虚部.
2．【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为棱长为4的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，
所以直径，
则内切球的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，从而得出棱长为4的正方体的内切球的半径长，再结合球的体积公式得出棱长为4的正方体的内切球的体积.
3．【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：根据余弦定理可得，
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用余弦定理和已知条件结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
4．【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而列式得出的值.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知，
代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442，共11组，
则所求概率为.
故答案为：C.
【分析】先找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，再利用古典概率公式估计出一年内这3台设备都不需要维修的概率.
6．【答案】B
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】解：连接，作平面，平面，，
因为为正四棱台，则在上，
因为上底面的边长为2，下底面的边长为4，
则，
所以，侧棱.
故答案为：B.
【分析】连接，作平面，平面，再结合勾股定理得出该四棱台的侧棱长.
7．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据题意，得，
因为，
又因为B，P，D三点共线，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和平面向量基本定理得出，再利用三点共线得出实数的值.
8．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：设为的中点，连接，，
又因为、分别是、的中点，
所以、分别为、的中线，
所以且，且，
所以与所成的角即为与所成的角，
又因为，所以，
所以为直角三角形，且，
所以，
所以，
则与所成的角为.
故答案为：C.
【分析】设为的中点，连接，，从而可得与所成的角为与所成的角，再由线线垂直得出为直角三角形且，再结合正弦函数的定义和已知条件，从而得出与所成的角.
9．【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为每100克柚子维生素C含量的众数为121，所以A对：
对于B，因为，
则每100克柚子维生素C含量的75%分位数为第8个数，为122，所以B对；
对于C，因为每100克猕猴桃维生素C含量的极差为，
又因为每100克柚子维生素C含量的极差为，所以C对；
对于D，每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为：
，
每100克柚子维生素C含量的平均数为：
，所以D错．
故答案为：ABC．
【分析】由已知条件和众数、百分位数的定义判断出选项A和选项B；由已知条件和极差、平均数的计算公式可判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】B,C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得.
故答案为：BC.
【分析】先根据复数的乘法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义得到关于m的不等式组，解不等式组得出实数m的取值范围.
11．【答案】C,D
【知识点】共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，当非零向量满足时，，故A错误；
对于B，当向量，满足，向量，的夹角为钝角或反向，故B错误；
对于C，由，，
得出向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，是同一平面内两个不共线的向量，
设，则，故，无解，
所以，不共线，则，可作为该平面的一个基底，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件举反例判断出选项A；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，则可判断选项B；根据数量积求投影向量公式，则判断出选项C；利用向量共线定理判断平面的基底的方法，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由与是对立事件，
可得
由与是互斥事件，
可得.
故答案为：.
【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
13．【答案】82
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为：
，
则这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82.
故答案为：82.
【分析】由频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，从而求出时间在4~10小时内的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数.
14．【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得（负值已舍去），
所以，解得.
故答案为：.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据扇形的面积公式和弧长公式，从而计算可得该圆锥的底面半径.
15．【答案】（1）解：已知，
因为，
所以，
解得.
（2）解：因为，又因为，
所以，解得，
所以.
所以，
因为，
所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两向量垂直的坐标表示，从而列方程解出实数x的值.
（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，则解方程得出x的值，从而得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，则得出向量与的夹角的值.
（1）已知，
因为，所以，解得；
（2）因为，
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
16．【答案】（1）解： 根据题意，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
又因为样本在上的频数为，
所以所求频率为.
（2）解：设事件为“从区间的数据中任取两个数据，
两个数据都位于内”，
设区间中的两个数据为、，
区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、
、、，共个样本点，
又因为事件包含，，，共个样本点，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用样本在上的频数除以，从而可得数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率.
（2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，再利用已知条件列举出所有的基本事件，从而确定所求事件所包含的基本事件，再利用古典概率公式得出两个数据都位于内的概率.
（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
而样本在上的频数为，所以所求频率为；
（2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”，
设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、
、、，共个样本点，
而事件包含，，，共个样本点，所以.
17．【答案】（1）证明：由题意，可得，
则，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，则，
在正方形中，，
又因为平面平面，
则平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面，平面平面，
又因为平面，
又因为，
所以，
所以.
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证出线面垂直，再根据线面垂直判定定理结合面面垂直的判定定理，从而证出平面ACE⊥平面BDE.
（2）根据已知条件和线线垂直证出线面垂直，进而证出线线垂直，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，从而得出四面体BAEF的体积.
（1）由题意，可得，，平面，
平面平面，
所以平面，
又平面，则，
在正方形中，，
又平面平面，则平面.
平面，所以平面平面.
（2）因为平面，平面平面，
平面，
又，
故，
所以.
18．【答案】（1）解：设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，
由题意得，解得，
则甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.
（2）解：设事件A：这一小时内至少有两位小孩需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为：
，
这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为，
则，
所以这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，再根据已知条件和相互独立事件乘法求概率公式，从而列方程组求解得出甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率.
（2）将至少有两位小孩需要照顾分类，再结合互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，从而得出这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，
则由题意得，解得.
即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.
（2）设事件A：这一小时内至少有两位小孩需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为
，
这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为，
则，
即这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
19．【答案】（1）解：在中，，
因为，，所以，
所以，
因为
，
所以
（2）解：方法1：因为，
所以
所以
，
则.
方法2：在中，
由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得：
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理求出角的值，再利用两角和的正弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（2）利用两种方法求解.
方法1：由题意可得，代值计算得出CE的长.
方法2：在中结合余弦定理求出的长，再结合三等分点得出的长，在利用正弦定理求出的值，再根据同角三角函数基本关系式求出的值，在中利用余弦定理可得的长.
（1）中，，
因为，，所以，
所以，
因为
，
所以；
（2）方法1：因为，
所以，
所以
，
则.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
1 / 1广东省潮州市2023-2024学年高一下学期7月期末数学试题
1．（2024高一下·潮州期末）已知i是虚数单位，则复数的虚部为（　　）
A． B．2i C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：根据复数的概念，
得出复数的虚部为.
故答案为：C.
【分析】根据复数的虚部的定义得出复数的虚部.
2．（2024高一下·潮州期末）棱长为4的正方体的内切球的体积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱柱的结构特征；球的表面积与体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为棱长为4的正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，
所以直径，
则内切球的体积为.
故答案为：B.
【分析】根据正方体的内切球的直径与正方体的棱长相等，从而得出棱长为4的正方体的内切球的半径长，再结合球的体积公式得出棱长为4的正方体的内切球的体积.
3．（2024高一下·潮州期末）在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若、、，则∠C等于（　　）
A．30° B．150° C．60° D．120°
【答案】D
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：根据余弦定理可得，
因为，
所以.
故答案为：D.
【分析】利用余弦定理和已知条件结合三角形中角C的取值范围，从而得出角C的值.
4．（2024高一下·潮州期末）已知某校高一、高二、高三的学生志愿者人数分别为240、160、160.现采用分层抽样的方法从中抽取n名同学去某敬老院参加慈善活动，其中高一年级被抽取的人数为9，则n等于（　　）
A．21 B．24 C．27 D．30
【答案】A
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：由题意可得，解得.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和分层抽样的方法，从而列式得出的值.
5．（2024高一下·潮州期末）已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2.用计算器产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（　　）
A．0.4 B．0.45 C．0.55 D．0.6
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：由题意可知，
代表事件“一年没有1台设备需要维修”的数组有：
533 224 344 254 424 435 335 233 232 353 442，共11组，
则所求概率为.
故答案为：C.
【分析】先找出代表事件“一年内没有1台设备需要维修”的数组，再利用古典概率公式估计出一年内这3台设备都不需要维修的概率.
6．（2024高一下·潮州期末）正四棱台中，上底面的边长为2，下底面ABCD的边长为4，棱台的高为1，则该四棱台的侧棱长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】棱台的结构特征
【解析】【解答】解：连接，作平面，平面，，
因为为正四棱台，则在上，
因为上底面的边长为2，下底面的边长为4，
则，
所以，侧棱.
故答案为：B.
【分析】连接，作平面，平面，再结合勾股定理得出该四棱台的侧棱长.
7．（2024高一下·潮州期末）如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：根据题意，得，
因为，
又因为B，P，D三点共线，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和平面向量基本定理得出，再利用三点共线得出实数的值.
8．（2024高一下·潮州期末）已知空间四边形中，、分别是、的中点，若，，，则与所成的角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：设为的中点，连接，，
又因为、分别是、的中点，
所以、分别为、的中线，
所以且，且，
所以与所成的角即为与所成的角，
又因为，所以，
所以为直角三角形，且，
所以，
所以，
则与所成的角为.
故答案为：C.
【分析】设为的中点，连接，，从而可得与所成的角为与所成的角，再由线线垂直得出为直角三角形且，再结合正弦函数的定义和已知条件，从而得出与所成的角.
9．（2024高一下·潮州期末）维生素C又叫抗坏血酸，是种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素C的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法正确的是（　　）
猕猴桃102 104 106 107 113 116 119 121 132 134
柚 子109 113 114 116 117 121 121 122 131 132
A．每100克柚子维生素C含量的众数为121
B．每100克柚子维生素C含量的75%分位数为122
C．每100克猕猴桃维生素C含量的极差高于每100克柚子维生素C含量的极差
D．每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
【答案】A,B,C
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：对于A，因为每100克柚子维生素C含量的众数为121，所以A对：
对于B，因为，
则每100克柚子维生素C含量的75%分位数为第8个数，为122，所以B对；
对于C，因为每100克猕猴桃维生素C含量的极差为，
又因为每100克柚子维生素C含量的极差为，所以C对；
对于D，每100克猕猴桃维生素C含量的平均数为：
，
每100克柚子维生素C含量的平均数为：
，所以D错．
故答案为：ABC．
【分析】由已知条件和众数、百分位数的定义判断出选项A和选项B；由已知条件和极差、平均数的计算公式可判断出选项C和选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高一下·潮州期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（　　）
A．0 B．1 C．3 D．5
【答案】B,C
【知识点】复数在复平面中的表示
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则复数在复平面内对应的点为，
依题意可得，解得.
故答案为：BC.
【分析】先根据复数的乘法运算法则化简复数，再根据复数的几何意义得到关于m的不等式组，解不等式组得出实数m的取值范围.
11．（2024高一下·潮州期末）下列命题正确的是（　　）
A．若向量、满足，则或
B．若向量、满足，则向量、的夹角为钝角
C．若，，则向量在向量方向上的投影向量为
D．设、是同一平面内两个不共线的向量，若，，则、可作为该平面的一个基底
【答案】C,D
【知识点】共线（平行）向量；数量积表示两个向量的夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A，当非零向量满足时，，故A错误；
对于B，当向量，满足，向量，的夹角为钝角或反向，故B错误；
对于C，由，，
得出向量在向量方向上的投影向量为，故C正确；
对于D，因为，是同一平面内两个不共线的向量，
设，则，故，无解，
所以，不共线，则，可作为该平面的一个基底，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用已知条件举反例判断出选项A；利用已知条件和数量积求向量夹角公式，则可判断选项B；根据数量积求投影向量公式，则判断出选项C；利用向量共线定理判断平面的基底的方法，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
12．（2024高一下·潮州期末）设A、B、C为三个随机事件，其中A与B是互斥事件，B与C互为对立事件，，，则　 　.
【答案】
【知识点】互斥事件的概率加法公式
【解析】【解答】解：由与是对立事件，
可得
由与是互斥事件，
可得.
故答案为：.
【分析】先利用对立事件的概率公式求得的值，再利用互斥事件加法求概率公式，从而得出的值.
13．（2024高一下·潮州期末）某校为了解全校高中学生五一小长假参加实践活动的情况，抽查了100名学生，统计他们假期参加实践活动的时间，绘成的频率分布直方图如图所示.这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为　 　.
【答案】82
【知识点】频率分布直方图
【解析】【解答】解：依题意，100名学生中参加实践活动的时间在4~10小时内的人数为：
，
则这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数为82.
故答案为：82.
【分析】由频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，从而求出时间在4~10小时内的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量的公式，从而得出这100名学生中参加实践活动时间在4~10小时内的人数.
14．（2024高一下·潮州期末）某圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，则该圆锥的底面半径为　 　.
【答案】
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，母线为，
因为圆锥的侧面展开图是面积为，圆心角为的扇形，
所以，解得（负值已舍去），
所以，解得.
故答案为：.
【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据扇形的面积公式和弧长公式，从而计算可得该圆锥的底面半径.
15．（2024高一下·潮州期末）已知向量，.
（1）若，求实数x的值；
（2）若，，求向量与的夹角.
【答案】（1）解：已知，
因为，
所以，
解得.
（2）解：因为，又因为，
所以，解得，
所以.
所以，
因为，
所以.
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据已知条件和两向量垂直的坐标表示，从而列方程解出实数x的值.
（2）根据共线向量的坐标表示列出方程，则解方程得出x的值，从而得出向量的坐标，再结合数量积求向量夹角公式和两向量夹角的取值范围，则得出向量与的夹角的值.
（1）已知，
因为，所以，解得；
（2）因为，
又，所以，
解得，所以.
所以，
因为，所以.
16．（2024高一下·潮州期末）流行性感冒多由病毒引起，据调查，空气相对湿度过大或过小时，都有利于一些病毒的繁殖和传播.科学测定，当空气相对湿度大于65%或小于40%时，病毒繁殖滋生较快，当空气相对湿度在45%~55%时，病毒死亡较快.现随机抽取了全国部分城市，获得了它们的空气月平均相对湿度共300个数据，整理得到数据分组及频数分布表，其中为了记录方便，将空气相对湿度在a%~b%时记为区间.
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
分组
频数 2 3 15 30 30 75 120 5
（1）求上述数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率；
（2）从区间的数据中任取两个数据，求两个数据都位于内的概率.
【答案】（1）解： 根据题意，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
又因为样本在上的频数为，
所以所求频率为.
（2）解：设事件为“从区间的数据中任取两个数据，
两个数据都位于内”，
设区间中的两个数据为、，
区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、
、、，共个样本点，
又因为事件包含，，，共个样本点，
所以.
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）利用样本在上的频数除以，从而可得数据中空气相对湿度使病毒死亡较快的频率.
（2）设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，再利用已知条件列举出所有的基本事件，从而确定所求事件所包含的基本事件，再利用古典概率公式得出两个数据都位于内的概率.
（1）由已知，当空气相对湿度在时，病毒死亡较快，
而样本在上的频数为，所以所求频率为；
（2）设事件为“从区间的数据中任取两个数据，两个数据都位于内”，
设区间中的两个数据为、，区间中的三个数据为、、，
因此，从区间的数据中任取两个数据，
包含、、、、、、、
、、，共个样本点，
而事件包含，，，共个样本点，所以.
17．（2024高一下·潮州期末）如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，，，.
（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；
（2）求四面体BAEF的体积.
【答案】（1）证明：由题意，可得，
则，平面，平面平面，
所以平面，
因为平面，则，
在正方形中，，
又因为平面平面，
则平面，平面，
所以平面平面.
（2）解：因为平面，平面平面，
又因为平面，
又因为，
所以，
所以.
【知识点】平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）先根据面面垂直性质定理证出线面垂直，再根据线面垂直判定定理结合面面垂直的判定定理，从而证出平面ACE⊥平面BDE.
（2）根据已知条件和线线垂直证出线面垂直，进而证出线线垂直，再结合三角形的面积公式和三棱锥的体积公式，从而得出四面体BAEF的体积.
（1）由题意，可得，，平面，
平面平面，
所以平面，
又平面，则，
在正方形中，，
又平面平面，则平面.
平面，所以平面平面.
（2）因为平面，平面平面，
平面，
又，
故，
所以.
18．（2024高一下·潮州期末）某地家庭有甲、乙、丙三位小孩，他们是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为.
（1）分别求甲、乙、丙在这一小时内需要照顾的概率；
（2）求这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
【答案】（1）解：设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，
由题意得，解得，
则甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.
（2）解：设事件A：这一小时内至少有两位小孩需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为：
，
这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为，
则，
所以这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，再根据已知条件和相互独立事件乘法求概率公式，从而列方程组求解得出甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率.
（2）将至少有两位小孩需要照顾分类，再结合互斥事件加法求概率公式和对立事件求概率公式以及独立事件乘法求概率公式，从而得出这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
（1）设甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，，
则由题意得，解得.
即甲、乙、丙三位小孩在这一小时内需要照顾的概率分别是，，.
（2）设事件A：这一小时内至少有两位小孩需要照顾，
这一小时内恰好有两位小孩需要照顾的概率为
，
这一小时内三位小孩都需要照顾的概率为，
则，
即这一小时内至少有两位小孩需要照顾的概率.
19．（2024高一下·潮州期末）如图，在中，，，，点D在边BC的延长线上.
（1）求的面积；
（2）若，，求CE的长.
【答案】（1）解：在中，，
因为，，所以，
所以，
因为
，
所以
（2）解：方法1：因为，
所以
所以
，
则.
方法2：在中，
由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得：
所以.
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；两角和与差的正弦公式；解三角形的实际应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理求出角的值，再利用两角和的正弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式得出的面积.
（2）利用两种方法求解.
方法1：由题意可得，代值计算得出CE的长.
方法2：在中结合余弦定理求出的长，再结合三等分点得出的长，在利用正弦定理求出的值，再根据同角三角函数基本关系式求出的值，在中利用余弦定理可得的长.
（1）中，，
因为，，所以，
所以，
因为
，
所以；
（2）方法1：因为，
所以，
所以
，
则.
方法2：在中，由余弦定理得
，
因为为线段上靠近的三等分点，
所以，
因为，
所以，
因为为锐角，
所以，
在中，由余弦定理得，
，
所以.
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