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第2课时 机械能守恒定律中的连接体问题(综合融通课)
模型(一) 绳连接的系统
[例1] (2025·大连调研)如图所示,两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上,斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮,两端分别连接质量均为2m的滑块B、C,质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点,O点与两滑轮的距离均为l。先托住A,使两滑轮间的细绳呈水平状态,然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触,B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞,不计一切摩擦。已知重力加速度为g,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)物块A下落的最大高度H;
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中,物块A机械能的变化量。
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|模|型|建|构|
常见情境
三点提醒 (1)分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。 (2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。 (3)对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
[针对训练]
1.如图所示,物块A套在光滑水平杆上,连接物块A的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ=53°,细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B相连,定滑轮顶部离水平杆距离为h=0.8 m。现将物块B由静止释放,物块A、B均可视为质点,重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,不计空气阻力,则 ( )
A.物块A与物块B速度大小始终相等
B.物块A能达到的最大速度为2 m/s
C.物块B下降过程中,重力始终大于细线拉力
D.当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度最大
2.如图所示,固定光滑斜面顶端有一轻质光滑定滑轮,质量为m的物块P和质量为3m的物块Q用轻质细绳相连,外力作用于P,使P、Q均静止。某时刻撤去外力,当Q下降的高度为h时,细绳断裂。重力加速度为g,sin 37°=0.6,P、Q均可视为质点,斜面足够长,则 ( )
A.物块P沿斜面上升的最大高度为h
B.当细绳断裂的瞬间,物块Q的重力的功率为
C.在细绳断裂后,物块P沿斜面向上运动的时间为
D.当物块P运动至最高点时,物块Q的机械能相对t=0时刻减少了mgh
模型(二) 轻杆连接的系统
[例2] 如图所示,一根L型轻质细杆abc可绕过b点的水平转轴(垂直于纸面)在竖直面内转动,ab长度为r1=0.6 m,bc长度为r2=0.8 m,ab垂直于bc。a、c两端分别固定两个大小可忽略、质量均为m=0.25 kg的小球。不计空气阻力和转轴的摩擦,取重力加速度g=10 m/s2。现将轻质细杆由图示位置(ac连线水平)无初速度释放,当c端的小球到达最低点时,求:(结果均保留一位小数)
(1)c端小球的动能;
(2)此过程中杆ab对a端小球做的功Wa及杆bc对c端小球做的功Wc。
规范解答:
|模|型|建|构|
常见情境
三大特点 (1)平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度相等。 (2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。 (3)对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦,且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
[针对训练]
3.(2025·榆林高三调研)如图所示,倾角为45°的光滑斜面与光滑的水平地面在C点连接,质量均为m的小球A、B(均可视为质点)用长为L的轻质硬杆连接,现把小球B放置在水平面上的C点,小球A由静止释放,在小球A下滑的过程中,小球B始终在水平地面上运动,重力加速度为g,下列说法正确的是 ( )
A.在小球A下滑的过程中,小球A重力势能的减少量等于小球B动能的增加量
B.在小球A下滑的过程中,轻质硬杆对小球B先做正功后做负功
C.小球A刚到达C点前瞬间,小球A、B的速度大小相等
D.小球A刚到达C点前瞬间,小球B的动能为mgL
4.(2025·丹东检测)轻质直角支架两端分别连接质量均为m的小球A和B,支架的两直角边长度分别为2L和L,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动。如图所示,开始时OA边与水平方向的夹角为θ=37°。由静止释放A球,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是 ( )
A.A、B两球线速度大小始终相等
B.A球速度最大时位于O点正下方
C.A球由静止释放至摆动到最低点的过程中,支架对A球不做功
D.A球摆动到最低点位置时,支架对A球做功的功率为零
模型(三) 轻弹簧连接的系统
[例3] 如图,质量均为m=1.0 kg的物块A、B通过轻质弹簧相连,竖放在水平地面上,弹簧的劲度系数k=100 N/m。A、B 的右侧竖立一固定光滑杆MN,物块C穿在竖直杆上。一条不可伸长的轻绳绕过位于A正上方的轻质定滑轮P,一端连接A,另一端连接C。开始时物块C与轻滑轮P等高且PC间距为L=0.3 m,绳处于伸直状态但无张力。现将C由静止释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。取 g=10 m/s2。
(1)求C的质量mC;
(2)若将C换成质量为1.0 kg的D,仍从上述初始位置由静止释放,则B离开地面时 D的速度是多大。
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|模|型|建|构|
模型特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
两点提醒 (1)对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧是伸长还是压缩,弹簧的伸长量和压缩量相等时,弹簧的弹性势能相等。 (2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大。
[针对训练]
5.(多选)如图所示,固定的L形光滑细杆,一边水平,另一边竖直,两弹性小球A、B分别套在两细杆上,两球之间用轻质弹性绳连接,A、B两小球的质量分别是M、m。现在用手将两球沿杆向外拉,小球B受到方向沿杆向下、大小为mg的拉力作用,弹性绳在弹性限度内伸长,一段时间后达到平衡状态,此时小球B距竖直杆顶端的距离为H。某时刻由静止同时释放两小球,当竖直杆上的小球B恰好到达杆顶部时,水平杆上的小球A的速度大小为v。重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.释放瞬间,小球B的加速度大小为g
B.小球B到达杆顶端时,弹性绳的弹性势能可能为零
C.释放时弹性绳的弹性势能可能为Mv2+mgH
D.弹性绳对两小球做的功一定相等
6.(多选)如图所示,物块a、b通过轻弹簧连接,物块b、c用不可伸长的轻质细线绕过轻质定滑轮连接,将物块c放置于斜面上,调节斜面位置,使连接物块c的细线与斜面平行后,将斜面固定。移动物块c,当物块b、c之间的细线伸直且恰好无作用力时,将物块c由静止释放。已知物块c始终在斜面上运动,物块a放置在水平面上,a、b间的弹簧及b与定滑轮间的细线均处于竖直方向,物块a、b、c的质量分别为3m、m和4m,斜面倾角为30°。若弹簧的劲度系数k=(L0为已知量,g为重力加速度),不计空气阻力及一切摩擦,下列说法正确的是 ( )
A.物块b、c和弹簧组成的系统机械能守恒
B.释放物块c瞬间,物块c的加速度大小为
C.物块c的最大速度为
D.从释放物块c到物块c的速度第一次减为零,弹簧弹性势能的增加量为4mgL0
第2课时 机械能守恒定律中的连接体问题
模型(一)
[例1] 解析:(1)根据题意可知,物块A下落的高度最大时,速度为零,由机械能守恒定律有mgH=2×2mgsin 30°
解得H=0(舍去),H=l。
(2)根据题意,由几何关系可得,结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°时,物块A下落的高度为h==l
设此时物块A的速度为v,则物块B、C的速度为v1=vcos 53°=v
下落过程中,由机械能守恒定律有
mgh-2×2mgsin 30°=mv2+2××2m
物块A机械能的变化量
ΔE=mv2-mgh=-mgl。
答案:(1)l (2)-mgl
[针对训练]
1.选B 根据题意可知,物块A与物块B速度大小关系为vAcos θ=vB,两物块速度大小不相等,当物块A经过左侧滑轮正下方时,有vB=vAcos 90°=0,故A、D错误;当物块A运动到左侧定滑轮正下方时,物块B下降的距离最大,物块A的速度最大,根据机械能守恒定律有mBg=mAv2,解得v=2 m/s,故B正确;由上述分析可知,当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度为0,则物块B向下先加速后减速,则物块B减速下降过程中,重力小于细线拉力,故C错误。
2.选C 根据题意可知,当Q下降的高度为h时,细绳断裂,根据几何关系得,P上升的高度h'=sin 37°=h,细绳断裂的瞬间,P、Q速度大小相等,对PQ整体,根据机械能守恒定律有3mgh-mgh'=v2,解得v=,细绳断裂后,设P还能上升的高度为h1,根据机械能守恒定律有mgh1=mv2,解得h1=h,则物块P沿斜面上升的最大高度H=h'+h1=h,故A错误;当细绳断裂的瞬间,物块Q重力做功的功率P=3mgvsin 53°=,故B错误;细绳断裂后,物块P沿斜面向上运动的时间t==,故C正确;根据题意可知,细绳断裂前P、Q组成的系统机械能守恒,细绳断裂后,物块P、Q的机械能均守恒,则当物块P运动至最高点时,物块P增加的机械能等于物块Q的机械能相对t=0时刻的减少量,即ΔE=mg=mgh,故D错误。
模型(二)
[例2] 解析:(1)设bc杆与ac连线夹角为θ,在转动过程中系统机械能守恒
mgr1cos θ+mgr2
=m+m
其中=,sin θ==0.6
c端小球到达最低点时的动能Ekc=m≈2.8 J。
(2)对a端的小球,根据动能定理
mgr1cos θ+Wa=m
解得Wa≈0.4 J
对c端的小球,根据动能定理
mgr2+Wc=m
解得Wc≈-0.4 J
或:根据系统机械能守恒
Wc=-Wa=-0.4 J。
答案:(1)2.8 J (2)0.4 J -0.4 J
[针对训练]
3.选D 在小球A下滑的过程中,小球A、B组成的系统机械能守恒,小球A重力势能的减少量等于小球A、B动能的增加量之和,故A错误;在小球A下滑的过程中,轻质硬杆对小球B的作用力与小球B的运动方向始终成锐角,故轻质硬杆对小球B始终做正功,故B错误;设小球A下滑时杆与地面的夹角为θ、杆与斜面的夹角为α,则vAcos α=vBcos θ,可得vB=,小球A刚到达C点还未与地面接触时θ=0°、α=45°,此时vB=vA,由机械能守恒定律可得mgLsin 45°=m+m,解得vA=,vB=,小球B的动能为EkB=m=mgL,故C错误,D正确。
4.选D A、B两球属于同轴转动,角速度始终相等,由于两球到轴心的距离不相等,根据v=ωr可知,A、B两球线速度大小始终不相等,故A错误;A、B两球构成的系统机械能守恒,设角速度为ω,经历一定时间OA边与水平方向夹角为α,则有mg=mg+m+m(ωL)2,解得ω=,若令y=2sin α+cos α,对函数求导有y'=2cos α-sin α,当y'=0时,解得tan α=2,则有sin α=<1=sin 90°,可知α<90°,由于角速度最大时,A球的线速度最大,可知A球速度最大时并没有位于O点正下方,故B错误;A球摆动到最低点时,结合上述可以解得此时的角速度恰好为0,即此时的线速度为0,表明A球恰好能够运动到最低点,A球由静止释放至摆动到最低点的过程中,A球的机械能减小,表明支架对A球做负功,故C错误;结合上述可知,A球摆动到最低点位置时,A球的线速度恰好等于0,可知,此时支架对A球做功的功率为零,故D正确。
模型(三)
[例3] 解析:(1)开始时对A受力分析可得kx1=mg
解得弹簧压缩量为x1=0.1 m
最终恰好能使B离开地面但不继续上升,说明最终B与地面之间无弹力,且整个系统中每个物体的速度均为零,对B受力分析可得kx2=mg
解得弹簧伸长量为x2=0.1 m
此时PC间绳子的长度为L'=L+x1+x2=0.5 m
则C下降的高度为h==0.4 m
因为始末两个状态弹簧的形变量相等,因此弹性势能相等,由机械能守恒定律可得
mCgh=mg(x1+x2)
解得mC=0.5 kg。
(2)将C换成D后,由机械能守恒定律可得
mD+m+mg(x1+x2)=mDgh
且速度关系为vA=vDcos θ=vD
联立解得vD= m/s。
答案:(1)0.5 kg (2) m/s
[针对训练]
5.选ABC 由题知,小球B达到平衡状态时,对小球B有 = mg+mg,释放瞬间,对小球B有-mg = ma,解得a=g,故A正确;释放两小球时弹性绳处于拉伸状态,且由于杆光滑,则释放后小球A向右运动,小球B向上运动,则小球B到达杆顶端时,弹性绳可能已经恢复原长,则此时弹性绳的弹性势能可能为零,A、B与弹性绳组成的系统机械能守恒,有Ep=Mv2+mgH,故B、C正确;弹性绳对两小球的弹力大小相等,但两小球在沿着弹性绳方向的位移不相等,根据微元法可知弹性绳对两小球做的功不相等,故D错误。
6.选ACD 释放物块c瞬间,对物块b和物块c分别受力分析,可得F=ma,4mgsin 30°-F'=4ma,F=F',解得物块c的加速度大小a=,B错误;释放后,当物块c受力平衡时,物块c具有最大速度,此时弹簧的弹性势能和初状态的相同,根据机械能守恒定律可得4mgsin 30°×2L0-mg×2L0=×5mv2,解得v=,C正确;假设物块c在斜面上做简谐运动,根据简谐运动的对称性可知,当物块c沿斜面向下滑动至速度为0时,设此时细线上的拉力大小为F1,则F1-4mgsin 30°=4ma,解得F1=,对物块b受力分析,设弹簧的弹力大小为F2,则F2+mg-F1=ma,解得F2=3mg,物块a恰好未离开地面,假设成立,物块b、c和弹簧组成的系统不存在机械能与外界能量的转化,因此物块b、c和弹簧组成的系统机械能守恒,此时弹簧的伸长量x=3L0,弹簧弹性势能的增加量ΔEp=4mgsin 30°×-mg=4mgL0,A、D正确。
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机械能守恒定律中的连接体问题
(综合融通课)
第2课时
1
模型(一) 绳连接的系统
2
模型(二) 轻杆连接的系统
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4
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3
模型(三) 轻弹簧连接的系统
模型(一) 绳连接的系统
[例1] (2025·大连调研)如图所示,两个顶端带有小定滑轮的完全相同的斜面对称固定在水平地面上,斜面倾角为30°。一不可伸长的轻质细绳跨过两定滑轮,两端分别连接质量均为2m的滑块B、C,质量为m的物块A悬挂在细绳上的O点,O点与两滑轮的距离均为l。先托住A,使两滑轮间的细绳呈水平状态,然后将A由静止释放。A下落过程中未与地面接触,B、C运动过程中均未与滑轮发生碰撞,不计一切摩擦。已知重力加速度为g,sin 53°=0.8,cos 53°=0.6。求:
(1)物块A下落的最大高度H;
[答案] l
[解析] 根据题意可知,物块A下落的高度最大时,速度为零,由机械能守恒定律有
mgH=2×2mgsin 30°
解得H=0(舍去),H=l。
(2)从A开始下落直至结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°的过程中,物块A机械能的变化量。
[答案] -mgl
[解析] 根据题意,由几何关系可得,结点O两侧细绳与竖直方向夹角为53°时,物块A下落的高度为
h==l
设此时物块A的速度为v,则物块B、C的速度为v1=vcos 53°=v
下落过程中,由机械能守恒定律有
mgh-2×2mgsin 30°=mv2+2××2m
物块A机械能的变化量
ΔE=mv2-mgh=-mgl。
常见情境
三点 提醒 (1)分清两物体是速度大小相等,还是沿绳方向的分速度大小相等。
(2)用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化关系。
(3)对于单个物体,一般绳上的力要做功,机械能不守恒;但对于绳连接的系统,机械能则可能守恒。
模型建构
1.如图所示,物块A套在光滑水平杆上,连接物块A的轻质细线与水平杆间所成夹角为θ=53°,细线跨过同一高度上的两光滑定滑轮与质量相等的物块B相连,定滑轮顶部离水平杆距离为h=0.8 m。现将物块B由静止释放,物块A、B均可视为质点,重力加速度g=10 m/s2,sin 53°=0.8,不计空气阻力,则 ( )
针对训练
A.物块A与物块B速度大小始终相等
B.物块A能达到的最大速度为2 m/s
C.物块B下降过程中,重力始终大于细线拉力
D.当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度最大
√
解析:根据题意可知,物块A与物块B速度大小关系为vAcos θ=vB,两物块速度大小不相等,当物块A经过左侧滑轮正下方时,有vB=vAcos 90°=0,故A、D错误;当物块A运动到左侧定滑轮正下方时,物块B下降的距离最大,物块A的速度最大,根据机械能守恒定律有mBg=mAv2,解得v=2 m/s,故B正确;由上述分析可知,当物块A经过左侧滑轮正下方时,物块B的速度为0,则物块B向下先加速后减速,则物块B减速下降过程中,重力小于细线拉力,故C错误。
2.如图所示,固定光滑斜面顶端有一轻质光滑定滑轮,质量为m的物块P和质量为3m的物块Q用轻质细绳相连,外力作用于P,使P、Q均静止。某时刻撤去外力,当Q下降的高度为h时,细绳断裂。重力加速度为g,sin 37°=0.6,P、Q均可视为质点,斜面足够长,则 ( )
A.物块P沿斜面上升的最大高度为h
B.当细绳断裂的瞬间,物块Q的重力的功率为
C.在细绳断裂后,物块P沿斜面向上运动的时间为
D.当物块P运动至最高点时,物块Q的机械能相对t=0时刻减少了mgh
√
解析:根据题意可知,当Q下降的高度为h时,细绳断裂,根据几何关系得,P上升的高度h'=sin 37°=h,细绳断裂的瞬间,P、Q速度大小相等,对PQ整体,根据机械能守恒定律有3mgh-mgh'=v2,解得v=,细绳断裂后,设P还能上升的高度为h1,根据机械能守恒定律有mgh1=mv2,解得h1=h,则物块P沿斜面上升的最大高度H=h'+h1=h,故A错误;
当细绳断裂的瞬间,物块Q重力做功的功率P=3mgvsin 53°
=,故B错误;细绳断裂后,物块P沿斜面向上运动的时间t==,故C正确;根据题意可知,细绳断裂前P、Q组成的系统机械能守恒,细绳断裂后,物块P、Q的机械能均守恒,则当物块P运动至最高点时,物块P增加的机械能等于物块Q的机械能相对t=0时刻的减少量,即ΔE=mg=mgh,故D错误。
模型(二) 轻杆连接的系统
[例2] 如图所示,一根L型轻质细杆abc
可绕过b点的水平转轴(垂直于纸面)在竖直面
内转动,ab长度为r1=0.6 m,bc长度为r2=
0.8 m,ab垂直于bc。a、c两端分别固定两
个大小可忽略、质量均为m=0.25 kg的小球。不计空气阻力和转轴的摩擦,取重力加速度g=10 m/s2。现将轻质细杆由图示位置(ac连线水平)无初速度释放,当c端的小球到达最低点时,求:(结果均保留一位小数)
(1)c端小球的动能;
[答案] 2.8 J
[解析] 设bc杆与ac连线夹角为θ,在转动过程中系统机械能守恒
mgr1cos θ+mgr2
=m+m
其中=,sin θ==0.6
c端小球到达最低点时的动能Ekc=m≈2.8 J。
(2)此过程中杆ab对a端小球做的功Wa及杆bc对c端小球做的功Wc。
[答案] 0.4 J -0.4 J
[解析] 对a端的小球,根据动能定理mgr1cos θ+Wa=m
解得Wa≈0.4 J
对c端的小球,根据动能定理
mgr2+Wc=m
解得Wc≈-0.4 J
或:根据系统机械能守恒Wc=-Wa=-0.4 J。
常见情境
三大特点 (1)平动时两物体线速度大小相等,转动时两物体角速度相等。
(2)杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒。
(3)对于杆和球组成的系统,忽略空气阻力和各种摩擦,且没有其他力对系统做功,则系统机械能守恒。
模型建构
3.(2025·榆林高三调研)如图所示,倾角为45°的光滑斜面与光滑的水平地面在C点连接,质量均为m的小球A、B(均可视为质点)用长为L的轻质硬杆连接,现把小球B放置在水平面上的C点,小球A由静止释放,在小球A下滑的过程中,小球B始
终在水平地面上运动,重力加速度为g,
下列说法正确的是 ( )
针对训练
A.在小球A下滑的过程中,小球A重力势能的减少量等于小球B动能的增加量
B.在小球A下滑的过程中,轻质硬杆对小球B先做正功后做负功
C.小球A刚到达C点前瞬间,小球A、B的速度大小相等
D.小球A刚到达C点前瞬间,小球B的动能为mgL
√
解析:在小球A下滑的过程中,小球A、B组成的系统机械能守恒,小球A重力势能的减少量等于小球A、B动能的增加量之和,故A错误;在小球A下滑的过程中,轻质硬杆对小球B的作用力与小球B的运动方向始终成锐角,故轻质硬杆对小球B始终做正功,故B错误;设小球A下滑时杆与地面的夹角为θ、杆与斜面的夹角为α,则vAcos α=vBcos θ,可得vB=,
小球A刚到达C点还未与地面接触时θ=0°、α=45°,此时vB=vA,由机械能守恒定律可得mgLsin 45°=m+m,解得vA=,vB=,小球B的动能为EkB=m=mgL,故C错误,D正确。
4.(2025·丹东检测)轻质直角支架两端分别连接质量均为m的小球A和B,支架的两直角边长度分别为2L和L,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动。如图所示,开始时OA边与水平方向的夹角为θ=37°。由静止释放A球,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。下列说法正确的是 ( )
A.A、B两球线速度大小始终相等
B.A球速度最大时位于O点正下方
C.A球由静止释放至摆动到最低点的过程中,支架对A球不做功
D.A球摆动到最低点位置时,支架对A球做功的功率为零
√
解析:A、B两球属于同轴转动,角速度始终相等,由于两球到轴心的距离不相等,根据v=ωr可知,A、B两球线速度大小始终不相等,故A错误;A、B两球构成的系统机械能守恒,设角速度为ω,经历一定时间OA边与水平方向夹角为α,则有mg=
mg+m+m,解得ω=,若令y=2sin α+cos α,对函数求导有y'=2cos α-sin α,当y'=0时,解得tan α=2,
则有sin α=<1=sin 90°,可知α<90°,由于角速度最大时,A球的线速度最大,可知A球速度最大时并没有位于O点正下方,故B错误;A球摆动到最低点时,结合上述可以解得此时的角速度恰好为0,即此时的线速度为0,表明A球恰好能够运动到最低点,A球由静止释放至摆动到最低点的过程中,A球的机械能减小,表明支架对A球做负功,故C错误;结合上述可知,A球摆动到最低点位置时,A球的线速度恰好等于0,可知,此时支架对A球做功的功率为零,故D正确。
模型(三) 轻弹簧连接的系统
[例3] 如图,质量均为m=1.0 kg的物块A、B通过轻质弹簧相连,竖放在水平地面上,弹簧的劲度系数k=100 N/m。A、B 的右侧竖立一固定光滑杆MN,物块C穿在竖直杆上。一条不可伸长的轻绳绕过位于A正上方的轻质定滑轮P,一端连接A,另一端连接C。开始时物块C与轻滑轮P等高且PC间距为L=0.3 m,绳处于伸直状态但无张力。现将C由静止释放,已知它恰好能使B离开地面但不继续上升。取 g=10 m/s2。
(1)求C的质量mC;
[答案] 0.5 kg
[解析] 开始时对A受力分析可得kx1=mg
解得弹簧压缩量为x1=0.1 m
最终恰好能使B离开地面但不继续上升,说明最终B与地面之间无弹力,且整个系统中每个物体的速度均为零,对B受力分析可得kx2=mg
解得弹簧伸长量为x2=0.1 m
此时PC间绳子的长度为L'=L+x1+x2=0.5 m
则C下降的高度为h==0.4 m
因为始末两个状态弹簧的形变量相等,因此弹性势能相等,由机械能守恒定律可得
mCgh=mg(x1+x2)
解得mC=0.5 kg。
(2)若将C换成质量为1.0 kg的D,仍从上述初始位置由静止释放,则B离开地面时 D的速度是多大。
[答案] m/s
[解析] 将C换成D后,由机械能守恒定律可得
mD+m+mg(x1+x2)=mDgh
且速度关系为vA=vDcos θ=vD
联立解得vD= m/s。
模型建构
模型特点 由轻弹簧连接的物体系统,一般既有重力做功又有弹簧弹力做功,这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化,而总的机械能守恒。
两点提醒 (1)对同一弹簧,弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定,无论弹簧是伸长还是压缩,弹簧的伸长量和压缩量相等时,弹簧的弹性势能相等。
(2)弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时,两端的物体具有相同的速度,弹性势能最大。
针对训练
5.(多选)如图所示,固定的L形光滑细杆,一边水平,另一边竖直,两弹性小球A、B分别套在两细杆上,两球之间用轻质弹性绳连接,A、B两小球的质量分别是M、m。现在用手将两球沿杆向外拉,小球B受到方向沿杆向下、大小为mg的拉力作用,弹性绳在弹性限度内伸长,一段时间后达到平衡状态,此时小球B距竖直杆顶端的距离为H。某时刻由静止同时释放两小球,当竖直杆上的小球B恰好到达杆顶部时,水平杆上的小球A的速度大小为v。重力加速度为g。下列说法正确的是 ( )
A.释放瞬间,小球B的加速度大小为g
B.小球B到达杆顶端时,弹性绳的弹性势能可能为零
C.释放时弹性绳的弹性势能可能为Mv2+mgH
D.弹性绳对两小球做的功一定相等
√
√
√
解析:由题知,小球B达到平衡状态时,对小球B有 = mg+mg,释放瞬间,对小球B有-mg = ma,解得a=g,故A正确;释放两小球时弹性绳处于拉伸状态,且由于杆光滑,则释放后小球A向右运动,小球B向上运动,则小球B到达杆顶端时,弹性绳可能已经恢复原长,则此时弹性绳的弹性势能可能为零,A、B与弹性绳组成的系统机械能守恒,有Ep=Mv2+mgH,故B、C正确;弹性绳对两小球的弹力大小相等,但两小球在沿着弹性绳方向的位移不相等,根据微元法可知弹性绳对两小球做的功不相等,故D错误。
6.(多选)如图所示,物块a、b通过轻弹簧
连接,物块b、c用不可伸长的轻质细线绕过
轻质定滑轮连接,将物块c放置于斜面上,调
节斜面位置,使连接物块c的细线与斜面平行
后,将斜面固定。移动物块c,当物块b、c之间的细线伸直且恰好无作用力时,将物块c由静止释放。已知物块c始终在斜面上运动,物块a放置在水平面上,a、b间的弹簧及b与定滑轮间的细线均处于竖直方向,物块a、b、c的质量分别为3m、m和4m,斜面倾角为30°。
若弹簧的劲度系数k=(L0为已知量,g为重力加速度),不计空气阻力及一切摩擦,下列说法正确的是( )
A.物块b、c和弹簧组成的系统机械能守恒
B.释放物块c瞬间,物块c的加速度大小为
C.物块c的最大速度为
D.从释放物块c到物块c的速度第一次减为零,弹簧弹性势能的增加量为4mgL0
√
√
√
解析:释放物块c瞬间,对物块b和物块c分别受力分析,可得F=ma,4mgsin 30°-F'=4ma,F=F',解得物块c的加速度大小a=,B错误;释放后,当物块c受力平衡时,物块c具有最大速度,此时弹簧的弹性势能和初状态的相同,根据机械能守恒定律可得4mgsin 30°×2L0-mg×2L0=×5mv2,解得v=,C正确;
假设物块c在斜面上做简谐运动,根据简谐运动的对称性可知,当物块c沿斜面向下滑动至速度为0时,设此时细线上的拉力大小为F1,则F1-4mgsin 30°=4ma,解得F1=,对物块b受力分析,设弹簧的弹力大小为F2,则F2+mg-F1=ma,解得F2=3mg,物块a恰好未离开地面,假设成立,物块b、c和弹簧组成的系统不存在机械能与外界能量的转化,因此物块b、c和弹簧组成的系统机械能守恒,此时弹簧的伸长量x=3L0,弹簧弹性势能的增加量ΔEp=4mgsin 30°×-mg=4mgL0,A、D正确。
课时跟踪检测
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.(2025·大连模拟)如图所示,质量为m
的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨
过光滑的滑轮O和O',一端与物体P相连,
另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托
住物体Q使整个系统处于静止状态,此时轻绳刚好拉直,且AO=L,OB=h,AB6
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A.开始运动后,当物体P速度最大时,物体Q速度也最大
B.在物体P从A滑到B的过程中,物体P的速度增加,物体Q的速度减小
C.在物体P从A滑到B的过程中,物体P的机械能减少,物体Q的机械能增加
D.物体P运动的最大速度为2
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解析:物体P从A滑到B的过程中,绳的拉力对物体P做正功,物体P的速度增加;物体Q从静止开始先做加速运动,当物体P运动到B点时物体Q的速度等于零,说明物体Q后来又做减速运动,所以物体Q的速度先增加后减小,B错误;由上述分析可知,当物体P运动到B点时速度最大,此时物体Q速度最小,等于零,A错误;在物体P从A滑到B的过程中,绳的拉力对物体P做正功,物体P的机械能增加,因为系统机械能守恒,则物体Q的机械能减少,C错误;当物体P运动到B点时速度最大,由机械能守恒定律得2mg(L-h)=mv2,解得v=2,D正确。
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2.(2024·四川遂宁三模)如图,竖直放置一
半圆轨道,在其左侧连有一水平杆,现将光
滑的小球A、B分别套在水平杆与半圆轨道上,
A、B用一不可伸长的轻质细绳相连,A、B质量相等,且可看作质点,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,当B和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时(细绳和小球的位置如图虚线所示),小球B下滑的速度为v,则半圆轨道的半径为 ( )
A. B. C. D.
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解析:将小球B下滑的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度, 如图所示,A、B两小球沿绳方向的速度大小相等,则有vA=vcos 30°,A、B两小球组成的系统机械能守恒,则有mgRcos 30°=mv2+m,解得R=,故选A。
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3.(2025·南宁二模)如图所示,一轻杆通过铰链连接在固定转轴O1上,可绕O1轴自由转动,轻杆另一端与一质量未知的小球A连接。一轻绳绕过轻质定滑轮O2,一端连接小球A,另一端连接一带挂钩的质量为m的物块B,已知O1与O2等高,图中θ1=60°,θ2=30°,此时小球A与物块B恰好静止。现在物块B下再挂物块C,由静止释放物块C后,小球A能上升到的最高点恰好与O1等高,重力加速度为g,不计一切摩擦。则所挂物块C的质量为 ( )
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A.m B.m
C.m D.m
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解析:挂上物块C之前,对物块B受力分析可知,轻绳拉力T=mg,对小球A受力分析,由共点力平衡条件可知mAg==2mg,解得mA=2m;由静止释放物块C后,小球A上升到最高点时,刚好与定滑轮在同一直线上,此时A、B、C的速度都为零,设杆长为l,则根据机械能守恒定律有mAglsin 60°=g×,解得mC=m,故选A。
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4.投石机是我国古代人民智慧的结晶,《范蠡兵法》中记载:“飞石重十二斤,为机发,行三百步”。如图所示为某实验小组自制的投石机,轻质长杆AB可绕光滑转轴O在竖直面内转动,OA长为L1=2.0 m,OB长为L2=1.0 m。将一质量m=2.8 kg的石块放在A端网袋中,另一质量M=8 kg的重物固定于B端,初始时A端位于地面上,杆与水平面的夹角为37°。由静止释放后,杆转到竖直位置时将石块沿水平方向抛出。石块与重物均可视为质点,不计空气阻力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则 ( )
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A.从静止释放到被抛出,轻杆对石块做的功为110 J
B.从静止释放到被抛出,轻杆对石块做的功为89.6 J
C.石块落地前瞬间重力的功率为56 W
D.石块落地前瞬间重力的功率为224 W
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解析:根据机械能守恒定律可知,重物减少的重力势能转化成石块和重物的动能与石块的重力势能之和,即Mg(L2+L2sin 37°)
=mg(L1+L1sin 37°)+m+M,石块、重物绕轴做同轴转动,则速度关系为v石=2v重,联立可得石块被抛出瞬间的速度大小为v石= 4 m/s,对石块,根据动能定理有W-mg(L1+L1sin 37°)=m,解得W=112 J,故A、B错误;石块被抛出后做平抛运动,有=
2g(L1+L1sin 37°),则石块落地前瞬间重力的功率为PG=mgvy=224 W,故C错误,D正确。
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5.(2025·遂宁模拟)如图,一顶角为直角的“ ”形光滑细杆竖直放置,质量均为m的两金属环套在细杆上,高度相同,用一劲度系数为k的轻质弹簧相连,弹簧处于原长。两金属环同时由静止释放,运动过程中弹簧始终在弹性限度内。对其中一个金属环,下列说法正确的是( )
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A.金属环的最大加速度为g
B.金属环的最大速度为g
C.金属环与细杆之间的最大压力为mg
D.金属环达到最大速度时重力的功率为mg2
解析:刚释放时,弹簧处于原长,弹力为0,此时金属环的加速度最大,所以金属环的最大加速度为am=gsin 45°=g,故A错误;当金属环速度最大时,加速度为0,设此时弹簧的形变量为x1,根据平衡条件,
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沿杆方向有mgsin 45°=kx1cos 45°,由机械能守恒定律得2mg·
=k+·2m,解得金属环的最大速度为vmax=g,金属环达到最大速度时重力的功率为PG=mgvmaxcos 45°=,故B正确,D错误;当金属环下落到最低点时,金属环速度为0,金属环与细杆之间的压力最大,设此时弹簧的形变量为x2,由机械能守恒定律得2mg·=k,对金属环进行受力分析,垂直杆方向有FN=mgcos 45°+kx2sin 45°=mg,故C错误。
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6.(2025·潍坊三校联考)如图所示,质量相等的物体a和b用劲度系数k=100 N/m的轻弹簧连接,b放置在地面上,一根不可伸长的轻绳一端与a连接,另一端绕过两个光滑的小定滑轮O1、O2与小球c连接,c套在倾角θ=37°的光滑轻杆上,F点为轻杆的底端,开始时小球c处于轻杆的E点,连接c的轻绳处于水平状态,此时物体b恰好对地面没有压力。E、F两点关于P点对称,且O2P⊥EF,已知物体a和b的质量均为3 kg,小球c的质量为1.5 kg,=1.0 m,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,弹簧的弹性势能为Ep=kx2(x为弹簧的形变量)。小球c从E点由静止释放到达F点的过程中,下列说法正确的是( )
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A.物体a、b及小球c组成的系统机械能守恒
B.小球c到达P点时,物体a的速度不为0
C.小球c到达P点时,小球c的机械能增加了16 J
D.小球c刚到达F点时,物体a的动能为9.6 J
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解析:当弹簧的形变量发生变化时,弹簧的弹性势能也发生变化,可知物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,故A错误;由于O2P⊥EF,可知小球c到达P点时,小球c的速度方向垂直于轻绳,即小球c沿轻绳方向的分速度为0,可知小球c到达P点时,物体a的速度为0,故B错误;小球c处于轻杆的E点时,由于物体b恰好对地面没有压力,则弹簧的伸长量为x1==0.3 m,小球c到达P点时,物体a下降的高度为x2=O2E-O2Esin θ=0.4 m,可知小球c到达P点时,弹簧处于压缩状态,压缩量为x3=x2-x1=0.1 m,由上述分析可知,小球c到达P点时,
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物体a的速度为0,物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,可知小球c的机械能增加量为ΔE1=magx2+k-k=16 J,故C正确;小球c从E点到F点过程,物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mcg·2O2Ecos θsin θ=mc+ma,又va=vccos θ,物体a的动能为Ek=ma≈8.08 J,故D错误。
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二、多项选择题
7.(2025·重庆模拟)如图所示,O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点,长为3l的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O点,使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑,已知墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l,重力加速度为g,不计空气阻力,则在小球甲从a点运动到O点的过程中( )
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A.小球甲的最大速度为 B.小球甲的最大速度为
C.小球乙的最大速度为 D.小球乙的最大速度为
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解析:当小球甲运动到O点时,小球乙的速度为零,此时小球甲的速度最大,设其最大速度为v甲,有m=mg·3l,解得v甲=,故A正确,B错误;设小球乙的速度大小为v2,对应的小球甲的速度大小为v1,杆与竖直方向的夹角为θ,对小球甲、乙组成的系统,由机械能守恒定律可得mg·3l(1-cos θ)=m+m,又v1cos θ=v2sin θ,联立解得=6glcos 2θ(1-cos θ),对上式求导可知,当cos θ=时,v2有最大值且v2m=,故C正确, D错误。
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8.运动员为了练习腰部力量,在腰部拴上轻绳然后沿着斜面下滑,运动的简化模型如图所示,倾角为37°的光滑斜面固定放置,质量为m的运动员与质量为m的重物通过跨过天花板上的两个定滑轮的轻质细绳连接。运动员从斜面上的某点由静止开始下滑,当运动到A点时速度大小为v0=,且此时细绳与斜面垂直;当运动到B点时,细绳与斜面的夹角为37°。
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已知A、B两点之间的距离为L,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,运动员在运动的过程中一直未离开斜面,细绳一直处于伸直状态,不计细绳与滑轮之间的摩擦,运动员与重物(均视为质点)总在同一竖直面内运动。下列说法正确的是( )
A.运动员在A点时,重物的速度大小为
B.运动员从A点运动到B点,重物重力势能的增加量为
C.运动员从A点运动到B点,系统总重力势能的增加量为
D.运动员在B点时,其速度大小为
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解析:运动员在A点时,细绳与斜面垂直,运动员沿绳方向的速度大小为零,重物的速度大小为零,故A错误;运动员从A点运动到B点,重物重力势能的增加量为ΔEp1=mg=mgL,故B正确;运动员从A点运动到B点,运动员的重力势能减少量为ΔEp2=mgLsin 37°=mgL,所以系统总重力势能的增加量为ΔEp=Ep1-Ep2=-mgL,即系统总重力势能的减少量为,故C错误;
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根据系统机械能守恒可知,系统减少的重力势能等于系统增加的动能,有=mv2+m-m,可得运动员在B点时,其速度大小为v=,故D正确。
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三、计算题
9.(14分)(2025·广州高三质检)如图所示,
固定在竖直平面内的一半径为R的光滑硬
质圆环与足够长的光滑水平杆相连,在圆
环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C,质量为m的小球A穿在环上,且可以自由滑动,小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B,细线搭在滑轮上。现将小球A从环上最高点由静止释放,重力加速度为g,不计空气阻力,求:
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(1)小球A到达D点时细线中的张力大小;(4分)
答案:0.5mg
解析:设小球A到达D点时细线中的张力大小为F
对小球A,有F=ma
对小球B,有mg-F=ma
联立解得F=0.5mg。
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(2)小球A到达D点时小球B的速度大小;(4分)
答案:
解析:小球A到达D点时,小球B回到原位置,系统机械能守恒,有mgR=m+m
此时两小球速度大小相等,有vA=vB
联立解得vB=。
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(3)小球A运动一个周期小球B的路程。(6分)
答案:R
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解析:小球A过D点后沿杆向左运动,小球B上升,直到两者速度为零。假设小球B上升的距离为x,由机械能守恒定律可知mgR=mgx
解得x=R
小球A恰好经过OC与圆环的交点处,此时小球B下降的高度hB=R-=R
由于系统机械能守恒,系统做周期性运动,在小球A运动一个周期的过程中,
小球B的路程为s=2(2hB+x)=R。
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10.(14分)(2025·太原调研)如图所示,套在
光滑的水平固定轻杆上的小球A和另一小球B由
绕过两轻质光滑定滑轮的细线相连,小球B、C
通过一竖直轻弹簧相连,小球C放在水平地面上,
定滑轮N到水平轻杆的竖直距离为L。初始时MB
和NA两段细线均竖直,小球A位于轻杆上的P1点,细线刚好伸直且无拉力作用。现用水平向右的恒力F=mg拉小球A,当小球A运动到P2点时,NP2与水平方向的夹角为θ=37°,此时小球C恰好离开地面。
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已知小球A、B、C的质量均为m,重力加速度为g,弹簧始终处于弹性限度内,细线与两定滑轮之间的摩擦不计,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)弹簧的劲度系数;(6分)
答案:
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解析:设弹簧的劲度系数为k,初始时,弹簧被压缩,设压缩量为x1,对小球B有kx1=mg
当小球A运动到P2处时,小球C恰好离开地面,此时弹簧处于伸长状态,设伸长量为x2,对小球C有kx2=mg
根据几何关系可得x1+x2=-L=L
解得k=。
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(2)小球A在P2点时的速度大小。(8分)
答案:
解析:设小球A在P2点时的速度大小为v,则此时
vB=vcos 37°
小球A在P1和P2处,弹簧的弹性势能不变,根据机械能守恒定律有
F·=mg(x1+x2)+mv2+m
解得v=。
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11.(16分)(2025·盐城模拟)如图所示,竖直平面内固定一半径为R的光滑圆环,质量分别为4m、3m的A、B两小球套在圆环上并用长度为R的轻杆连接。开始时,对小球A施加竖直向上的外力,使A、B两球均处于静止状态,且球A恰好与圆心O等高;然后撤去外力,A、B两球沿圆环运动。已知重力加速度为g,取光滑圆环最低处为零势面。求:
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(1)外力的大小F;(4分)
答案:4mg
解析:当外力F作用在A球上时,对B球受力分析可知,B球受重力和环对B球竖直向上的弹力处于平衡状态,则杆对A、B两球均无作用力,A球受重力和外力处于平衡状态,则F=4mg。
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(2)B球重力势能的最大值Epm;(5分)
答案:mgR
解析:当B球上升到最大高度时,如图所示
由系统机械能守恒有4mgR=3mgR(1+sin θ)
+4mgR(1-cos θ)
解得sin θ=
B球重力势能的最大值Epm=3mgR(1+sin θ)=mgR。
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(3)A球速度最大时,其加速度a的大小。(7分)
答案:g
解析:当轻杆运动至平衡位置时,A、B两球速度最大且相等,设为v,
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对A球,由相似三角形可知=
对B球,由相似三角形可知=
可得=
可得AO1=
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设OA与竖直方向夹角为α,由正弦定理有
=
可得tan α=
由机械能守恒定律有
4mgRcos α-3mg(R-Rsin α)=×4mv2+×3mv2
加速度a=,解得a=g。
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4课时跟踪检测(三十一) 机械能守恒定律中的连接体问题
一、单项选择题
1.(2025·大连模拟)如图所示,质量为m的物体P套在固定的光滑水平杆上。轻绳跨过光滑的滑轮O和O',一端与物体P相连,另一端与质量为2m的物体Q相连。用手托住物体Q使整个系统处于静止状态,此时轻绳刚好拉直,且AO=L,OB=h,ABA.开始运动后,当物体P速度最大时,物体Q速度也最大
B.在物体P从A滑到B的过程中,物体P的速度增加,物体Q的速度减小
C.在物体P从A滑到B的过程中,物体P的机械能减少,物体Q的机械能增加
D.物体P运动的最大速度为2
2.(2024·四川遂宁三模)如图,竖直放置一半圆轨道,在其左侧连有一水平杆,现将光滑的小球A、B分别套在水平杆与半圆轨道上,A、B用一不可伸长的轻质细绳相连,A、B质量相等,且可看作质点,开始时细绳水平伸直,A、B静止。由静止释放B后,当B和圆心连线与竖直方向的夹角为30°时(细绳和小球的位置如图虚线所示),小球B下滑的速度为v,则半圆轨道的半径为 ( )
A. B. C. D.
3.(2025·南宁二模)如图所示,一轻杆通过铰链连接在固定转轴O1上,可绕O1轴自由转动,轻杆另一端与一质量未知的小球A连接。一轻绳绕过轻质定滑轮O2,一端连接小球A,另一端连接一带挂钩的质量为m的物块B,已知O1与O2等高,图中θ1=60°,θ2=30°,此时小球A与物块B恰好静止。现在物块B下再挂物块C,由静止释放物块C后,小球A能上升到的最高点恰好与O1等高,重力加速度为g,不计一切摩擦。则所挂物块C的质量为 ( )
A.m B.m
C.m D.m
4.投石机是我国古代人民智慧的结晶,《范蠡兵法》中记载:“飞石重十二斤,为机发,行三百步”。如图所示为某实验小组自制的投石机,轻质长杆AB可绕光滑转轴O在竖直面内转动,OA长为L1=2.0 m,OB长为L2=1.0 m。将一质量m=2.8 kg的石块放在A端网袋中,另一质量M=8 kg的重物固定于B端,初始时A端位于地面上,杆与水平面的夹角为37°。由静止释放后,杆转到竖直位置时将石块沿水平方向抛出。石块与重物均可视为质点,不计空气阻力,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2,则 ( )
A.从静止释放到被抛出,轻杆对石块做的功为110 J
B.从静止释放到被抛出,轻杆对石块做的功为89.6 J
C.石块落地前瞬间重力的功率为56 W
D.石块落地前瞬间重力的功率为224 W
5.(2025·遂宁模拟)如图,一顶角为直角的“”形光滑细杆竖直放置,质量均为m的两金属环套在细杆上,高度相同,用一劲度系数为k的轻质弹簧相连,弹簧处于原长。两金属环同时由静止释放,运动过程中弹簧始终在弹性限度内。对其中一个金属环,下列说法正确的是弹簧的弹性势能为Ep=kx2(x为弹簧的形变量) ( )
A.金属环的最大加速度为g
B.金属环的最大速度为g
C.金属环与细杆之间的最大压力为mg
D.金属环达到最大速度时重力的功率为mg2
6.(2025·潍坊三校联考)如图所示,质量相等的物体a和b用劲度系数k=100 N/m的轻弹簧连接,b放置在地面上,一根不可伸长的轻绳一端与a连接,另一端绕过两个光滑的小定滑轮O1、O2与小球c连接,c套在倾角θ=37°的光滑轻杆上,F点为轻杆的底端,开始时小球c处于轻杆的E点,连接c的轻绳处于水平状态,此时物体b恰好对地面没有压力。E、F两点关于P点对称,且O2P⊥EF,已知物体a和b的质量均为3 kg,小球c的质量为1.5 kg,=1.0 m,g取10 m/s2,sin 37°=0.6,弹簧的弹性势能为Ep=kx2(x为弹簧的形变量)。小球c从E点由静止释放到达F点的过程中,下列说法正确的是 ( )
A.物体a、b及小球c组成的系统机械能守恒
B.小球c到达P点时,物体a的速度不为0
C.小球c到达P点时,小球c的机械能增加了16 J
D.小球c刚到达F点时,物体a的动能为9.6 J
二、多项选择题
7.(2025·重庆模拟)如图所示,O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点,长为3l的轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙静止于O点,使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑,已知墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l,重力加速度为g,不计空气阻力,则在小球甲从a点运动到O点的过程中 ( )
A.小球甲的最大速度为
B.小球甲的最大速度为
C.小球乙的最大速度为
D.小球乙的最大速度为
8.运动员为了练习腰部力量,在腰部拴上轻绳然后沿着斜面下滑,运动的简化模型如图所示,倾角为37°的光滑斜面固定放置,质量为m的运动员与质量为m的重物通过
跨过天花板上的两个定滑轮的轻质细绳连接。运动员从斜面上的某点由静止开始下滑,当运动到A点时速度大小为v0=,且此时细绳与斜面垂直;当运动到B点时,细绳与斜面的夹角为37°。已知A、B两点之间的距离为L,重力加速度为g,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,运动员在运动的过程中一直未离开斜面,细绳一直处于伸直状态,不计细绳与滑轮之间的摩擦,运动员与重物(均视为质点)总在同一竖直面内运动。下列说法正确的是 ( )
A.运动员在A点时,重物的速度大小为
B.运动员从A点运动到B点,重物重力势能的增加量为
C.运动员从A点运动到B点,系统总重力势能的增加量为
D.运动员在B点时,其速度大小为
三、计算题
9.(14分)(2025·广州高三质检)如图所示,固定在竖直平面内的一半径为R的光滑硬质圆环与足够长的光滑水平杆相连,在圆环最高点的竖直切线和最低点的水平切线的交点处固定一光滑轻质小滑轮C,质量为m的小球A穿在环上,且可以自由滑动,小球A通过足够长的不可伸长细线连接另一质量也为m的小球B,细线搭在滑轮上。现将小球A从环上最高点由静止释放,重力加速度为g,不计空气阻力,求:
(1)小球A到达D点时细线中的张力大小;(4分)
(2)小球A到达D点时小球B的速度大小;(4分)
(3)小球A运动一个周期小球B的路程。(6分)
10.(14分)(2025·太原调研)如图所示,套在光滑的水平固定轻杆上的小球A和另一小球B由绕过两轻质光滑定滑轮的细线相连,小球B、C通过一竖直轻弹簧相连,小球C放在水平地面上,定滑轮N到水平轻杆的竖直距离为L。初始时MB和NA两段细线均竖直,小球A位于轻杆上的P1点,细线刚好伸直且无拉力作用。现用水平向右的恒力F=mg拉小球A,当小球A运动到P2点时,NP2与水平方向的夹角为θ=37°,此时小球C恰好离开地面。已知小球A、B、C的质量均为m,重力加速度为g,弹簧始终处于弹性限度内,细线与两定滑轮之间的摩擦不计,已知sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,求:
(1)弹簧的劲度系数;(6分)
(2)小球A在P2点时的速度大小。(8分)
11.(16分)(2025·盐城模拟)如图所示,竖直平面内固定一半径为R的光滑圆环,质量分别为4m、3m的A、B两小球套在圆环上并用长度为R的轻杆连接。开始时,对小球A施加竖直向上的外力,使A、B两球均处于静止状态,且球A恰好与圆心O等高;然后撤去外力,A、B两球沿圆环运动。已知重力加速度为g,取光滑圆环最低处为零势面。求:
(1)外力的大小F;(4分)
(2)B球重力势能的最大值Epm;(5分)
(3)A球速度最大时,其加速度a的大小。(7分)
课时跟踪检测(三十一)
1.选D 物体P从A滑到B的过程中,绳的拉力对物体P做正功,物体P的速度增加;物体Q从静止开始先做加速运动,当物体P运动到B点时物体Q的速度等于零,说明物体Q后来又做减速运动,所以物体Q的速度先增加后减小,B错误;由上述分析可知,当物体P运动到B点时速度最大,此时物体Q速度最小,等于零,A错误;在物体P从A滑到B的过程中,绳的拉力对物体P做正功,物体P的机械能增加,因为系统机械能守恒,则物体Q的机械能减少,C错误;当物体P运动到B点时速度最大,由机械能守恒定律得2mg=mv2,解得v=2,D正确。
2.
选A 将小球B下滑的速度分解为沿绳方向的分速度和垂直绳方向的分速度, 如图所示,A、B两小球沿绳方向的速度大小相等,则有vA=vcos 30°,A、B两小球组成的系统机械能守恒,则有mgRcos 30°=mv2+m,解得R=,故选A。
3.选A 挂上物块C之前,对物块B受力分析可知,轻绳拉力T=mg,对小球A受力分析,由共点力平衡条件可知mAg==2mg,解得mA=2m;由静止释放物块C后,小球A上升到最高点时,刚好与定滑轮在同一直线上,此时A、B、C的速度都为零,设杆长为l,则根据机械能守恒定律有mAglsin 60°=g×,解得mC=m,故选A。
4.选D 根据机械能守恒定律可知,重物减少的重力势能转化成石块和重物的动能与石块的重力势能之和,即Mg(L2+L2sin 37°)=mg(L1+L1sin 37°)+m+M,石块、重物绕轴做同轴转动,则速度关系为v石=2v重,联立可得石块被抛出瞬间的速度大小为v石=4 m/s,对石块,根据动能定理有W-mg(L1+L1sin 37°)=m,解得W=112 J,故A、B错误;石块被抛出后做平抛运动,有=2g(L1+L1sin 37°),则石块落地前瞬间重力的功率为PG=mgvy=224 W,故C错误,D正确。
5.选B 刚释放时,弹簧处于原长,弹力为0,此时金属环的加速度最大,所以金属环的最大加速度为am=gsin 45°=g,故A错误;当金属环速度最大时,加速度为0,设此时弹簧的形变量为x1,根据平衡条件,沿杆方向有mgsin 45°=kx1cos 45°,由机械能守恒定律得2mg·=k+·2m,解得金属环的最大速度为vmax=g,金属环达到最大速度时重力的功率为PG=mgvmaxcos 45°=,故B正确,D错误;当金属环下落到最低点时,金属环速度为0,金属环与细杆之间的压力最大,设此时弹簧的形变量为x2,由机械能守恒定律得2mg·=k,对金属环进行受力分析,垂直杆方向有FN=mgcos 45°+kx2sin 45°=mg,故C错误。
6.选C 当弹簧的形变量发生变化时,弹簧的弹性势能也发生变化,可知物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,故A错误;由于O2P⊥EF,可知小球c到达P点时,小球c的速度方向垂直于轻绳,即小球c沿轻绳方向的分速度为0,可知小球c到达P点时,物体a的速度为0,故B错误;小球c处于轻杆的E点时,由于物体b恰好对地面没有压力,则弹簧的伸长量为x1==0.3 m,小球c到达P点时,物体a下降的高度为x2=O2E-O2Esin θ=0.4 m,可知小球c到达P点时,弹簧处于压缩状态,压缩量为x3=x2-x1=0.1 m,由上述分析可知,小球c到达P点时,物体a的速度为0,物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,可知小球c的机械能增加量为ΔE1=magx2+k-k=16 J,故C正确;小球c从E点到F点过程,物体a、b及小球c与弹簧组成的系统机械能守恒,则有mcg·2O2Ecos θsin θ=mc+ma,又va=vccos θ,物体a的动能为Ek=ma≈8.08 J,故D错误。
7.选AC 当小球甲运动到O点时,小球乙的速度为零,此时小球甲的速度最大,设其最大速度为v甲,有m=mg·3l,解得v甲=,故A正确,B错误;设小球乙的速度大小为v2,对应的小球甲的速度大小为v1,杆与竖直方向的夹角为θ,对小球甲、乙组成的系统,由机械能守恒定律可得mg·3l(1-cos θ)=m+m,又v1cos θ=v2sin θ,联立解得=6glcos 2θ(1-cos θ),对上式求导可知,当cos θ=时,v2有最大值且v2m=,故C正确, D错误。
8.选BD 运动员在A点时,细绳与斜面垂直,运动员沿绳方向的速度大小为零,重物的速度大小为零,故A错误;运动员从A点运动到B点,重物重力势能的增加量为ΔEp1=mg=mgL,故B正确;运动员从A点运动到B点,运动员的重力势能减少量为ΔEp2=mgLsin 37°=mgL,所以系统总重力势能的增加量为ΔEp=Ep1-Ep2=-mgL,即系统总重力势能的减少量为,故C错误;根据系统机械能守恒可知,系统减少的重力势能等于系统增加的动能,有=mv2+m-m,可得运动员在B点时,其速度大小为v=,故D正确。
9.解析:(1)设小球A到达D点时细线中的张力大小为F
对小球A,有F=ma
对小球B,有mg-F=ma
联立解得F=0.5mg。
(2)小球A到达D点时,小球B回到原位置,系统机械能守恒,有mgR=m+m
此时两小球速度大小相等,有vA=vB
联立解得vB=。
(3)小球A过D点后沿杆向左运动,小球B上升,直到两者速度为零。假设小球B上升的距离为x,由机械能守恒定律可知mgR=mgx,解得x=R
小球A恰好经过OC与圆环的交点处,此时小球B下降的高度hB=R-=R
由于系统机械能守恒,系统做周期性运动,在小球A运动一个周期的过程中,小球B的路程为s=2(2hB+x)=R。
答案:(1)0.5mg (2) (3)R
10.解析:(1)设弹簧的劲度系数为k,初始时,弹簧被压缩,设压缩量为x1,对小球B有kx1=mg
当小球A运动到P2处时,小球C恰好离开地面,此时弹簧处于伸长状态,设伸长量为x2,对小球C有kx2=mg
根据几何关系可得x1+x2=-L=L,解得k=。
(2)设小球A在P2点时的速度大小为v,则此时vB=vcos 37°
小球A在P1和P2处,弹簧的弹性势能不变,根据机械能守恒定律有
F·=mg(x1+x2)+mv2+m
解得v=。
答案:(1) (2)
11.解析:(1)当外力F作用在A球上时,对B球受力分析可知,B球受重力和环对B球竖直向上的弹力处于平衡状态,则杆对A、B两球均无作用力,A球受重力和外力处于平衡状态,则F=4mg。(2)
当B球上升到最大高度时,如图所示
由系统机械能守恒有
4mgR=3mgR(1+sin θ)+4mgR(1-cos θ)
解得sin θ=
B球重力势能的最大值Epm=3mgR(1+sin θ)=mgR。
(3)
当轻杆运动至平衡位置时,A、B两球速度最大且相等,设为v,
对A球,由相似三角形可知=
对B球,由相似三角形可知=
可得=
可得AO1=
设OA与竖直方向夹角为α,由正弦定理有
=
可得tan α=
由机械能守恒定律有
4mgRcos α-3mg(R-Rsin α)=×4mv2+×3mv2
加速度a=
解得a=g。
答案:(1)4mg (2)mgR (3)g
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