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第1讲　机械振动(基础落实课)
一、简谐运动
1.定义:如果物体的位移与时间的关系遵从　　　　　的规律,即它的振动图像(x t图像)是一条正弦曲线,这样的振动是一种简谐运动。做简谐运动的物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比,并且总是指向　　　　　。
2.两点理解
平衡位置 物体在振动过程中　　　　为零的位置
回复力 ①定义:使物体在　　　　　附近做往复运动的力叫回复力。 ②表达式:回复力F=　　　。负号表示回复力的方向与位移方向始终相反,回复力的大小与位移的大小成　　　。 ③属于效果力,可以由某一个力提供,也可以由几个力的合力或某个力的分力提供。 注意:回复力等于做简谐运动的物体指向平衡位置的合外力,而不一定是物体受到的合外力
3.两种描述
表达式描述 ①动力学表达式:F=　　　,其中“-”表示回复力与位移的方向相反 ②运动学表达式:x=　　　　　,其中A代表振幅,ω=2πf表示简谐运动的快慢,ωt+φ代表简谐运动的相位,φ叫作　　　
图像描述 ①从　　　　 开始计时,振动表达式为x=Asin ωt,图像如图甲所示 ②从　　　　 处开始计时,振动表达式为x=Acos ωt,图像如图乙所示 注意:简谐运动的x t图像是一条正弦或余弦曲线,不是振子的运动轨迹,振子的运动轨迹是一条线段
二、受迫振动　共振
1.受迫振动
定义 系统在周期性　　　　作用下的振动
特点 物体做受迫振动的周期(或频率)等于　　　　的周期(或频率),与物体的固有周期(或固有频率)　　　
2.共振
(1)定义:做受迫振动的物体受到的驱动力的频率与其固有频率越接近,其振幅就　　　,当二者　　　时,振幅达到最大,这就是共振现象。
(2)共振曲线:如图所示。
微点判断
1.简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。 (　 )
2.(鲁科选择性必修1P39T3·改编)关于简谐运动,判断下列说法的正误:
①物体所受的回复力始终指向平衡位置,方向不变。 (　 )
②物体的加速度方向和速度方向有时相同,有时相反。 (　 )
3.做简谐运动的质点,速度增大时,其加速度一定减小。 (　 )
4.振动物体经过半个周期,路程等于2倍振幅;经过个周期,路程等于振幅。 (　 )
5.简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 (　 )
6.当单摆的摆球运动到最低点时,回复力为零,所受合力为零。 (　 )
7.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。 (　 )
8.物体做受迫振动时,其振动频率与固有频率有关。 (　 )
9.驱动力的频率越大,物体做受迫振动的振幅越大。 (　 )
逐点清(一)　简谐运动的规律
简谐运动的五个特征
受力 特征 回复力F=-kx,F(或a)的大小与x的大小成正比,方向相反
运动 特征 衡位置时,a、F、x都减小,v增大;远离平衡位置时,a、F、x都增大,v减小
能量 特征 振幅越大,能量越大。在运动过程中,系统的动能和势能相互转化,机械能守恒
周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化,变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化,其变化周期为
对称性特征 (1)如图所示, 做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P'(OP=OP')时,速度的大小、动能、势能相等,相对于平衡位置的位移大小相等 (2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用时间,即tPO=tOP' (3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等,即tOP=tPO (4)相隔或(n为正整数)的两个时刻,物体位置关于平衡位置对称,位移、速度、加速度大小相等,方向相反
[考法全训]
考法1　描述简谐运动的物理量
1.(人教版教材选择性必修1,P47做一做)如图所示,细线下悬挂一个除去了柱塞的注射器,注射器内装上墨汁。当注射器摆动时,沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板,观察喷在木板上的墨汁图样。
2.(2024·河北高考)如图,一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动,轻杆一端固定在电动机的转轴上,另一端悬挂一紫外光笔,转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上,沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸,感光纸上就画出了描述光点振动的x t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m,电动机转速为12 r/min。该振动的圆频率和光点在12.5 s内通过的路程分别为 (　　)
A.0.2 rad/s,1.0 m　　 B.0.2 rad/s,1.25 m
C.1.26 rad/s,1.0 m D.1.26 rad/s,1.25 m
|考|教|衔|接| 　
　　人教版教材用拉动木板、2024年河北高考题用拉动感光纸的形式延长时间轴,教材研究的是单摆模型,河北高考题考查了简谐运动圆频率和光点通过的路程,均是研究简谐运动的周期问题,二者具有异曲同工之妙。利用原有实验原理,改变实验器材,是高考题创作的重要途径。
考法2　简谐运动中各物理量的动态分析
3.如图所示,小球在BC之间做简谐运动,当小球位于O点时,弹簧处于原长,在小球从C运动到O的过程中 (　　)
A.动能不断增大,加速度不断减小
B.回复力不断增大,系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小,加速度不断增大
D.弹性势能不断增大,加速度不断减小
考法3　简谐运动的对称性和周期性
4.(2023·山东高考)(多选)如图所示,沿水平方向做简谐振动的质点,依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半,B点位移大小是A点的倍,质点经过A点时开始计时,t时刻第二次经过B点,该振动的振幅和周期可能是 (　　)
A.,3t B.,4t
C.,t D.,t
逐点清(二)　简谐运动的两种模型
两种模型的比较
模型 弹簧振子(水平) 单摆
示 意 图
简谐 运动 条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦力等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线 ②无空气阻力等阻力 ③最大摆角小于等于5°
平衡 位置 弹簧处于原长处 最低点
受力 特征 回复力:由弹簧的弹力提供 回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力。 向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力
周期 与振幅无关 T=2π
能量 转化 弹性势能与动能的相互转化,机械能守恒 重力势能与动能的相互转化,机械能守恒
[考法全训]
考法1　弹簧振子模型
1.如图所示,弹簧振子在A、B之间做简谐运动,O为平衡位置,测得A、B间距为6 cm,小球完成30次全振动所用时间为60 s,则 (　　)
A.该振子振动周期是2 s,振幅是6 cm
B.该振子振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O点时开始计时,3 s内通过的路程为24 cm
考法2　单摆模型
2.(2025·北京顺义一模)如图甲所示,O点为单摆的固定悬点,将力传感器固定在O点。现将摆球拉到A点,释放摆球并开始计时,摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动,其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是 (　　)
A.单摆的振动周期为0.2π s
B.单摆的摆长为0.1 m
C.摆球的质量为0.05 kg
D.摆球运动过程中的最大速度0.08 m/s
考法3　等效摆长问题
3.(2024·浙江6月选考)如图所示,不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球,两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上,间距为1.5 m。小球平衡时,A端细线与杆垂直;当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时,等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆,重力加速度g=10 m/s2,则 (　　)
A.摆角变小,周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时,A端拉力为 N
D.小球平衡时,A端拉力小于B端拉力
考法4　等效重力加速度问题
4.(2025·衡阳模拟)“滑水”是近些年兴起的一项热门运动。摩托艇后面拉着一根绳子,后面的人手拉绳子、脚踩冲浪板。摩托艇行驶起来后,人就可以借助冲浪板“滑水”。有人注意到摩托艇匀速行驶时,冲浪板相对于摩托艇并不是静止,而是做简谐运动。在俯视图中建立xOy坐标系,已知摩托艇的速度为v,绳长为L,绳上的最大拉力为F,人和冲浪板的总质量为m。水的阻力仅存在于x轴方向,且正比于速度沿x轴的分量,比例系数为k。下列说法正确的是 (　　)
A.当绳子与x轴方向达到最大倾角θ时,绳上拉力为0
B.人和冲浪板做简谐运动时机械能守恒
C.人和冲浪板做简谐运动的周期为2π
D.人和冲浪板做简谐运动的周期为2π
逐点清(三)　简谐运动的表达式和图像
1.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)
根据简谐运动表达式中质点相对平衡位置的位移x、振幅A、圆频率ω、初相位φ所表示的物理意义,能写出质点做简谐运动的表达式。由简谐运动的表达式能画出其图像,或由简谐运动的图像能写出其表达式。
2.由图像可获取的五个信息
(1)判定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
(2)判定振动物体在某一时刻的位移。
(3)判定某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向,斜率为正时表示质点的速度沿x轴正方向,斜率为负时表示质点的速度沿x轴负方向。速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
从图像读取x大小及方向F的大小及方向a的大小及方向
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大,它所具有的势能越大,动能则越小。
[考法全训]
考法1　对简谐运动图像的理解
1.(2024·福建高考)如图(a),装有砂粒的试管竖直静浮于水中,将其提起一小段距离后释放,一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向,以某时刻作为计时起点,试管振动图像如图(b)所示,则试管 (　　)
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
考法2　两个简谐运动图像的对比
2.(2025·杭州高三质检)如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像,下列说法正确的是 (　　)
A.两弹簧振子的初相位不同
B.甲系统的机械能比乙系统的大
C.甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D.t=2 s时,甲具有负方向最大速度,乙具有正方向最大位移
考法3　简谐运动图像与方程的综合
3.(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况,以向上为正方向,得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线,如图乙所示。下列说法正确的是 (　　)
A.t=0时,弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时,手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s,手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
逐点清(四)　受迫振动和共振
|题|点|全|练|
1.[对受迫振动和共振的理解]如图所示,振动桩锤是桩基础施工的重要设备之一。桩锤工作时引起桩身周围土体振动,使桩身和土体间的粘合度降低,从而减小沉桩阻力。下列说法正确的是 (　　)
A.针对不同土体,最有利于沉桩的桩锤振动频率都相同
B.针对同种土体,桩锤的振动频率越大,桩身周围土体的振动幅度越大
C.桩锤稳定工作后,桩身周围无论哪种土体,其振动频率都与桩锤的振动频率相同
D.为保障打桩机机身稳定,桩锤的振动频率应尽量接近机身的固有频率
2.[对共振曲线的理解](2025·哈尔滨模拟)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系),g取10 m/s2,则下列说法正确的是 (　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.若摆长变小,共振曲线的峰将左移
C.若保持摆长不变,将该单摆移至月球表面上做受迫振动,则共振曲线的峰将左移
D.此单摆的摆长约为3 m
3.[共振现象的应用](多选)中国工程院院士、华中科技大学教授陈学东及其团队攻克了光刻机减振器研发瓶颈,为我国实现重大装备自主可控作出了重要贡献。下列说法正确的是 (　　)
A.光刻机工作时的振动频率一定等于其自身的固有频率
B.光刻机工作时的振动振幅不受自身结构以及质量的影响
C.光刻机系统的固有频率要尽量远离周围可能存在的振源的振动频率
D.若减振装置的弹性力与外来驱动力的方向始终相反,将有助于减振
|精|要|点|拨|
三种振动的比较
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身性质决定,即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定,即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或 f驱=f0
振动能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
第1讲
课前基础先行
一、1.正弦函数　平衡位置　2.回复力　平衡位置　-kx　正比　
3.-kx　Asin(ωt+φ)　初相　平衡位置　最大位移　
二、1.驱动力　驱动力　无关　2.(1)越大　相等
[微点判断]　1.×　2.①×　②√　3.√
4.×　5.×　6.×　7.×　8.×　9.×
逐点清(一)
1.提示:图样满足正弦关系,木板在垂直摆动方向做匀速运动,分析可知注射器做简谐运动。
2.选C　紫外光在感光纸上的投影做的是简谐运动,电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s,因此圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s,周期为T==5 s。简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m,12.5 s内通过的路程为s=×4A=1 m。故选C。
3.选A　做简谐运动的小球,从C到O的过程中逐渐衡位置,速度方向指向平衡位置,弹簧弹力充当回复力,也指向平衡位置,故速度方向与受力方向相同,所以合外力做正功,动能增大,同时由于偏离平衡位置的位移减小,由回复力公式F=-kx可知,回复力逐渐减小,根据牛顿第二定律可知 F=-kx=ma,故加速度不断减小,故A正确;由上述分析可知回复力不断减小,整个系统只有系统内的弹簧弹力做功,故系统的机械能守恒,故B错误;在小球从C到O的过程中,弹簧形变量逐渐减小,故弹性势能逐渐减小,同时由上述分析可知,加速度也逐渐减小,故C、D错误。
4.
选BC　根据题意质点有以下四种运动情况:①A、B位于平衡位置两侧,质点先从A点向右运动到右侧最大位移处,再向左运动到B点,运动示意图如图甲所示,+=L,得A=,A→O用时,O→右侧最大位移处用时,右侧最大位移处到B用时,故++=t,得T=t,故C正确;②A、B位于平衡位置两侧,
质点先从A点向左运动到左侧最大位移处,再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点,运动示意图如图乙所示,+=L,得A=,用时++=t,得T=t,D错误;③A、B位于平衡位置同侧,质点先从A点向右运动到右侧最大位移处,再向左运动到B点,运动示意图如图丙所示,
-=L,得A=,用时+=t,得T=4t,B正确;④A、B位于平衡位置同侧,质点先从A点向左运动到左侧最大位移处,再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点,运动示意图如图丁所示,
-=L,得A=,用时+++=t,得T=t,A错误。
逐点清(二)
1.选C　由题意可知周期T= s=2 s,振幅A= cm=3 cm,A错误;频率f==0.5 Hz,B错误;小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍,即s0=4×3 cm=12 cm,C正确;小球在3 s内通过的路程为s=×4A=×4×3 cm=18 cm,D错误。
2.选C　单摆每个周期经过两次最低点,即每个周期细线的拉力出现两次最大值,由题图乙可知,单摆的周期为0.4π s,故A错误;由单摆周期公式T=2π,代入数据解得l=0.4 m,故B错误;设摆球在最高点时摆线与竖直方向的夹角为θ,则在最高点时有mgcos θ=0.495 N,在最低点时有mg+m=0.510 N,从最高点到最低点,由动能定理得mgl(1-cos θ)=mv2,联立解得m=0.05 kg,v=0.2 m/s,故C正确,D错误。
3.选B　
根据单摆的周期公式T=2π可知,周期与摆角无关,故A错误;同一根绳中,A端拉力等于B端拉力,平衡时对小球受力分析如图,可得2FAcos 30°=mg,解得FA=FB== N,故C、D错误;根据几何知识可知,摆长为L==1 m,故小球摆动周期为T=2π≈2 s,故B正确。
4.选D　当绳子与x轴方向达到最大倾角θ时,绳上的拉力在x轴方向的分力与水的阻力大小相等,故A错误;人和冲浪板做简谐运动时重力势能不变,动能不断变化,机械能不守恒,故B错误;人和冲浪板的简谐运动类似单摆的运动,由单摆的周期公式T=2π,等效重力加速度为g'=,可得人和冲浪板做简谐运动的周期为T'=2π=2π,故C错误,D正确。
逐点清(三)
1.选B　根据题图(b)可知,振幅为1.0 cm,周期为T=0.4 s,则振动频率为f== Hz=2.5 Hz,故A错误,B正确;根据题图(b)可知,t=0.1 s时质点处于平衡位置,此时速度最大,故C错误;根据题图(b)可知,t=0.2 s时质点处于负向最大位移处,此时加速度方向竖直向上,故D错误。
2.选D　由题图可知两弹簧振子的周期不相等,初相位相同,故A错误;由题图可知甲的振幅大,由于甲、乙两弹簧振子的质量、弹簧的劲度系数未知,无法判断甲、乙两系统的机械能大小,故B错误;甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相同,沿x轴负方向,故C错误;x t图像斜率的绝对值表示速度大小,t=2 s时,甲图像斜率的绝对值最大,且斜率为负,甲具有负方向最大速度,由x t图像可知此时乙具有正方向最大位移,故D正确。
3.选D　由题图乙知,t=0时,手机加速度为0,手机位于平衡位置,由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小,A错误;由题图乙知,t=0.2 s时,手机的加速度为正值,则手机受到的合力向上,手机位于平衡位置下方,B错误;由题图乙知,从t=0至t=0.2 s,手机的加速度增大,手机从平衡位置向最大位移处运动,速度减小,动能减小,C错误;由题图乙知,装置振动的周期T=0.8 s,则圆频率ω==2.5π rad/s,则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2,D正确。
逐点清(四)
1.选C　针对不同土体,由于土体的固有频率可能不同,所以最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同,故A错误;根据共振条件可知,当驱动力频率等于固有频率时,做受迫振动的振幅最大,则针对同种土体,桩锤的振动频率越大,桩身周围土体的振动幅度不一定越大,故B错误;做受迫振动的频率等于驱动力的频率,可知桩锤稳定工作后,桩身周围无论哪种土体,其振动频率都与桩锤的振动频率相同,故C正确;为保障打桩机机身的稳定,桩锤的振动频率应尽量远离机身的固有频率,故D错误。
2.选C　由题图知,当驱动力频率为0.5 Hz时振幅最大,说明此单摆的固有频率为0.5 Hz,则固有周期为T= s=2 s,故A错误;根据f== ,若摆长变小,固有频率增大,共振曲线的峰将右移,故B错误;若保持摆长不变,将该单摆移至月球表面上,重力加速度减小,则固有频率减小,则共振曲线的峰将左移,故C正确;根据f===0.5 Hz,解得l≈1 m,故D错误。
3.选CD　光刻机做受迫振动,其振动频率等于外来驱动力频率,不一定等于其自身的固有频率,光刻机自身结构以及质量影响其自身的固有频率,若固有频率等于外来驱动力频率时,发生共振现象,振幅最大,所以光刻机工作时的振动振幅受自身结构以及质量的影响,故A、B错误;为了防止发生共振现象,所以光刻机系统的固有频率要尽量远离周围可能存在的振源的振动频率,若减振装置的弹性力与外来驱动力的方向始终相反,将有助于减振,故C、D正确。
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机械振动(基础落实课)
第 1 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一)　简谐运动的规律
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　简谐运动的表达式和图像
6
课时跟踪检测
3
逐点清(二)　简谐运动的两种模型
5
逐点清(四)　受迫振动和共振
课前基础先行
一、简谐运动
1.定义:如果物体的位移与时间的关系遵从___________的规律，即它的振动图像(x t图像)是一条正弦曲线，这样的振动是一种简谐运动。做简谐运动的物体在运动方向上所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向____________。
正弦函数
平衡位置
2.两点理解
平衡位置 物体在振动过程中_________为零的位置
回 复 力 ①定义:使物体在__________附近做往复运动的力叫回复力。
②表达式:回复力F=____。负号表示回复力的方向与位移方向始终相反，回复力的大小与位移的大小成______。
③属于效果力，可以由某一个力提供，也可以由几个力的合力或某个力的分力提供。
注意:回复力等于做简谐运动的物体指向平衡位置的合外力，而不一定是物体受到的合外力
回复力
平衡位置
-kx
正比
3.两种描述
表达式描述 ①动力学表达式:F=_____，其中“-”表示回复力与位移的方向相反
②运动学表达式:x=__________，其中A代表振幅，ω= 2πf表示简谐运动的快慢，ωt+φ代表简谐运动的相位，φ叫作_______
-kx
Asin(ωt+φ)
初相
图像描述
①从___________开始计时，振动表达式为x=Asin ωt，图像如图甲所示
②从___________处开始计时，振动表达式为x=Acos ωt，图像如图乙所示
注意:简谐运动的x t图像是一条正弦或余弦曲线，不是振子的运动轨迹，振子的运动轨迹是一条线段
平衡位置
最大位移
续表
二、受迫振动　共振
1.受迫振动
定义 系统在周期性__________作用下的振动
特点 物体做受迫振动的周期(或频率)等于________的周期(或频率)，与物体的固有周期(或固有频率)_____
驱动力
驱动力
无关
2.共振
(1)定义:做受迫振动的物体受到的驱动力的频率与其固有频率越接近，其振幅就_____，当二者_____时，振幅达到最大，这就是共振现象。
(2)共振曲线:如图所示。
越大
相等
1.简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。 ( )
2.(鲁科选择性必修1P39T3·改编)关于简谐运动，判断下列说法的正误:
①物体所受的回复力始终指向平衡位置，方向不变。 ( )
②物体的加速度方向和速度方向有时相同，有时相反。 ( )
3.做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。 ( )
微点判断
×
×
√
√
4.振动物体经过半个周期，路程等于2倍振幅;经过个周期，路程等于振幅。 ( )
5.简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。 ( )
6.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，所受合力为零。 ( )
7.单摆的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定。 ( )
8.物体做受迫振动时，其振动频率与固有频率有关。 ( )
9.驱动力的频率越大，物体做受迫振动的振幅越大。 ( )
×
×
×
×
×
×
逐点清(一)　简谐运动的规律
课
堂
简谐运动的五个特征
受力特征 回复力F=-kx，F(或a)的大小与x的大小成正比，方向相反
运动 特征 衡位置时，a、F、x都减小，v增大;远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小
能量 特征 振幅越大，能量越大。在运动过程中，系统的动能和势能相互转化，机械能守恒
周期性 特征 质点的位移、回复力、加速度和速度随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T;动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为
对称性 特征 (1)如图所示，
做简谐运动的物体经过关于平衡位置O对称的两点P、P'(OP=OP')时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等
(2)物体由P到O所用的时间等于由O到P'所用时间，即tPO=tOP'
(3)物体往复过程中通过同一段路程(如OP段)所用时间相等，即tOP=tPO
(4)相隔或(n为正整数)的两个时刻，物体位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反
续表
考法全训
考法1　描述简谐运动的物理量
1.(人教版教材选择性必修1，P47做一做)
如图所示，细线下悬挂一个除去了柱塞的注射
器，注射器内装上墨汁。当注射器摆动时，沿
着垂直于摆动的方向匀速拖动木板，观察喷在
木板上的墨汁图样。
提示:图样满足正弦关系，木板在垂直摆动方向做匀速运动，分析可知注射器做简谐运动。
2.(2024·河北高考)如图，一电动机带动轻杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的x t图像。已知轻杆在竖直面内长0.1 m，电动机
转速为12 r/min。该振动的圆频率和光
点在12.5 s内通过的路程分别为 (　　)
A.0.2 rad/s，1.0 m　　　 B.0.2 rad/s，1.25 m
C.1.26 rad/s，1.0 m D.1.26 rad/s，1.25 m
解析:紫外光在感光纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速为n=12 r/min=0.2 r/s，因此圆频率ω=2πn=0.4π rad/s≈1.26 rad/s，周期为T==5 s。简谐运动的振幅即为轻杆的长度A=0.1 m，12.5 s内通过的路程为s=×4A=1 m。故选C。
√
人教版教材用拉动木板、2024年河北高考题用拉动感光纸的形式延长时间轴，教材研究的是单摆模型，河北高考题考查了简谐运动圆频率和光点通过的路程，均是研究简谐运动的周期问题，二者具有异曲同工之妙。利用原有实验原理，改变实验器材，是高考题创作的重要途径。
考教衔接
考法2　简谐运动中各物理量的动态分析
3.如图所示，小球在BC之间做简谐运动，当小球位于O点时，弹簧处于原长，在小球从C运动到O的过程中(　　)
A.动能不断增大，加速度不断减小
B.回复力不断增大，系统机械能守恒
C.弹性势能不断减小，加速度不断增大
D.弹性势能不断增大，加速度不断减小
√
解析:做简谐运动的小球，从C到O的过程中逐渐衡位置，速度方向指向平衡位置，弹簧弹力充当回复力，也指向平衡位置，故速度方向与受力方向相同，所以合外力做正功，动能增大，同时由于偏离平衡位置的位移减小，由回复力公式F=-kx可知，回复力逐渐减小，根据牛顿第二定律可知 F=-kx=ma，故加速度不断减小，故A正确;由上述分析可知回复力不断减小，整个系统只有系统内的弹簧弹力做功，故系统的机械能守恒，故B错误;在小球从C到O的过程中，弹簧形变量逐渐减小，故弹性势能逐渐减小，同时由上述分析可知，加速度也逐渐减小，故C、D错误。
考法3　简谐运动的对称性和周期性
4.(2023·山东高考)(多选)如图所示，沿水平方向做简谐振动的质点，依次通过相距L的A、B两点。已知质点在A点的位移大小为振幅的一半，B点位移大小是A点的倍，质点经过A点时开始计时，t时刻第二次经过B点，该振动的振幅和周期可能是(　　)
A.，3t B.，4t
C.t D.t
解析:根据题意质点有以下四种运动情况:①A、B位于平衡位置两侧，质点先从A点向右运动到右侧最大位移处，再向左运动到B点，运动示意图如图甲所示，+=L，得A=，A→O用时，O→右侧最大位移处用时，右侧最大位移处到B用时，故++=t，得T=t，故C正确;
√
√
②A、B位于平衡位置两侧，质点先从A点向左运动到左侧最大位移处，再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点，运动示意图如图乙所示，+=L，得A=，用时++=t，得T=t，D错误;
③A、B位于平衡位置同侧，质点先从A点向右运动到右侧最大位移处，再向左运动到B点，运动示意图如图丙所示，-=L，得A=，用时+=t，得T=4t，B正确;④A、B位于平衡位置同侧，质点先从A点向左运动到左侧最大位移处，再向右运动到右侧最大位移处后向左运动到B点，运动示意图如图丁所示，-=L，得A=，用时+++=t，得T=t，A错误。
逐点清(二)　简谐运动的两种模型
课
堂
两种模型的比较
模型 弹簧振子(水平) 单摆
示意图
简谐 运动 条件 ①弹簧质量要忽略 ②无摩擦力等阻力 ③在弹簧弹性限度内 ①摆线为不可伸缩的轻细线
②无空气阻力等阻力
③最大摆角小于等于5°
平衡位置 弹簧处于原长处 最低点
受力 特征 回复力:由弹簧的弹力提供 回复力:摆球重力沿与摆线垂直方向的分力。
向心力:摆线的拉力和摆球重力沿摆线方向分力的合力
周期 与振幅无关 T=2π
能量 转化 弹性势能与动能的相互转化，机械能守恒 重力势能与动能的相互转化，机械能守恒
续表
考法1　弹簧振子模型
1.如图所示，弹簧振子在A、B之间做简谐运动，O为平衡位置，测得A、B间距为6 cm，小球完成30次全振动所用时间为60 s，则(　　)
A.该振子振动周期是2 s，振幅是6 cm
B.该振子振动频率是2 Hz
C.小球完成一次全振动通过的路程是12 cm
D.小球过O点时开始计时，3 s内通过的路程为24 cm
√
考法全训
解析:由题意可知周期T= s=2 s，振幅A= cm=3 cm，A错误;频率f==0.5 Hz，B错误;小球完成一次全振动通过的路程为振幅的4倍，即s0=4×3 cm=12 cm，C正确;小球在3 s内通过的路程为s=×4A=×4×3 cm=18 cm，D错误。
考法2　单摆模型
2.(2025·北京顺义一模)如图甲所
示，O点为单摆的固定悬点，将力传感
器固定在O点。现将摆球拉到A点，释
放摆球并开始计时，摆球将在竖直面
内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，重力加速度g取10 m/s2 。下列说法正确的是(　　)
A.单摆的振动周期为0.2π s
B.单摆的摆长为0.1 m
C.摆球的质量为0.05 kg
D.摆球运动过程中的最大速度0.08 m/s
√
解析:单摆每个周期经过两次最低点，即每个周期细线的拉力出现两次最大值，由题图乙可知，单摆的周期为0.4π s，故A错误;由单摆周期公式T=2π，代入数据解得l=0.4 m，故B错误;设摆球在最高点时摆线与竖直方向的夹角为θ，则在最高点时有mgcos θ=0.495 N，在最低点时有mg+m=0.510 N，从最高点到最低点，由动能定理得mgl(1-cos θ)=mv2，联立解得m=0.05 kg，v=0.2 m/s，故C正确，D错误。
考法3　等效摆长问题
3.(2024·浙江6月选考)如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1 kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为30°的固定斜杆上，间距为1.5 m。小球平衡时，A端细线与杆垂直;当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度g=10 m/s2，则(　　)
A.摆角变小，周期变大
B.小球摆动周期约为2 s
C.小球平衡时，A端拉力为 N
D.小球平衡时，A端拉力小于B端拉力
√
解析:根据单摆的周期公式T=2π可知，周期与摆角无关，故A错误;同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图，可得2FAcos 30°=mg，解得FA=FB== N，故C、D错误;根据几何知识可知，摆长为L==1 m，故小球摆动周期为T=2π≈2 s，故B正确。
考法4　等效重力加速度问题
4.(2025·衡阳模拟)“滑水”是近些年兴起的一项热门运动。摩托艇后面拉着一根绳子，后面的人手拉绳子、脚踩冲浪板。摩托艇行驶起来后，人就可以借助冲浪板“滑水”。有人注意到摩托艇匀速行驶时，冲浪板相对于摩托艇并不是静止，而是做简谐运动。在俯视图中建立xOy坐标系，已知摩托艇的速度为v，绳长为L，绳上的最大拉力为F，人和冲浪板的总质量为m。水的阻力仅存在于x轴方向，且正比于速度沿x轴的分量，比例系数为k。下列说法正确的是(　　)
A.当绳子与x轴方向达到最大倾角θ时，绳上拉力为0
B.人和冲浪板做简谐运动时机械能守恒
C.人和冲浪板做简谐运动的周期为2π
D.人和冲浪板做简谐运动的周期为2π
√
解析:当绳子与x轴方向达到最大倾角θ时，绳上的拉力在x轴方向的分力与水的阻力大小相等，故A错误;人和冲浪板做简谐运动时重力势能不变，动能不断变化，机械能不守恒，故B错误;人和冲浪板的简谐运动类似单摆的运动，由单摆的周期公式T=2π，等效重力加速度为g'=，可得人和冲浪板做简谐运动的周期为T'=2π=2π，故C错误，D正确。
逐点清(三)　简谐运动的表达式和图像
课
堂
1.简谐运动的表达式x=Asin(ωt+φ)
根据简谐运动表达式中质点相对平衡位置的位移x、振幅A、圆频率ω、初相位φ所表示的物理意义，能写出质点做简谐运动的表达式。由简谐运动的表达式能画出其图像，或由简谐运动的图像能写出其表达式。
2.由图像可获取的五个信息
(1)判定振动的振幅A和周期T。(如图所示)
(2)判定振动物体在某一时刻的位移。
(3)判定某时刻质点速度的大小和方向:曲线上各点切线的斜率的大小(即此切点的导数)和正负分别表示各时刻质点的速度大小和方向，斜率为正时表示质点的速度沿x轴正方向，斜率为负时表示质点的速度沿x轴负方向。速度的方向也可根据下一相邻时刻质点的位移的变化来确定。
(4)判定某时刻质点的加速度(回复力)的大小和方向。
(5)比较不同时刻质点的势能和动能的大小。质点的位移越大，它所具有的势能越大，动能则越小。
考法1　对简谐运动图像的理解
1.(2024·福建高考)如图(a)，装有砂粒的试管竖直静浮于水中，将其提起一小段距离后释放，一段时间内试管在竖直方向的振动可视为简谐运动。取竖直向上为正方向，以某时刻作为计时起点，试管振动图像如图(b)所示，则试管(　　)
考法全训
A.振幅为2.0 cm
B.振动频率为2.5 Hz
C.在t=0.1 s时速度为零
D.在t=0.2 s时加速度方向竖直向下
√
解析:根据题图(b)可知，振幅为1.0 cm，周期为T=0.4 s，则振动频率为f== Hz=2.5 Hz，故A错误，B正确;根据题图(b)可知，t=0.1 s时质点处于平衡位置，此时速度最大，故C错误;根据题图(b)可知，t=0.2 s时质点处于负向最大位移处，此时加速度方向竖直向上，故D错误。
考法2　两个简谐运动图像的对比
2.(2025·杭州高三质检)如图所示为甲、乙弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是(　　)
A.两弹簧振子的初相位不同
B.甲系统的机械能比乙系统的大
C.甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相反
D.t=2 s时，甲具有负方向最大速度，乙具有正方向最大位移
√
解析:由题图可知两弹簧振子的周期不相等，初相位相同，故A错误;由题图可知甲的振幅大，由于甲、乙两弹簧振子的质量、弹簧的劲度系数未知，无法判断甲、乙两系统的机械能大小，故B错误;甲、乙两个弹簧振子在前2 s内加速度方向相同，沿x轴负方向，故C错误;x t图像斜率的绝对值表示速度大小，t=2 s时，甲图像斜率的绝对值最大，且斜率为负，甲具有负方向最大速度，由x t图像可知此时乙具有正方向最大位移，故D正确。
考法3　简谐运动图像与方程的综合
3.(2024·北京高考)图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速度a随时间t变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是(　　)
A.t=0时，弹簧弹力为0
B.t=0.2 s时，手机位于平衡位置上方
C.从t=0至t=0.2 s，手机的动能增大
D.a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2
√
解析:由题图乙知，t=0时，手机加速度为0，手机位于平衡位置，由平衡条件得弹簧弹力大小等于手机重力大小，A错误;由题图乙知，t=0.2 s时，手机的加速度为正值，则手机受到的合力向上，手机位于平衡位置下方，B错误;由题图乙知，从t=0至t=0.2 s，手机的加速度增大，手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误;由题图乙知，装置振动的周期T=0.8 s，则圆频率ω==2.5π rad/s，则a随t变化的关系式为a=4sin(2.5πt)m/s2，D正确。
逐点清(四)　受迫振动和共振
课
堂
1.[对受迫振动和共振的理解]
如图所示，振动桩锤是桩基础施工的重要设备之一。桩锤工作时引起桩身周围土体振动，使桩身和土体间的粘合度降低，从而减小沉桩阻力。下列说法正确的是(　　)
题点全练
A.针对不同土体，最有利于沉桩的桩锤振动频率都相同
B.针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度越大
C.桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同
D.为保障打桩机机身稳定，桩锤的振动频率应尽量接近机身的固有频率
√
解析:针对不同土体，由于土体的固有频率可能不同，所以最有利于沉桩的桩锤振动频率可能不同，故A错误;根据共振条件可知，当驱动力频率等于固有频率时，做受迫振动的振幅最大，则针对同种土体，桩锤的振动频率越大，桩身周围土体的振动幅度不一定越大，故B错误;做受迫振动的频率等于驱动力的频率，可知桩锤稳定工作后，桩身周围无论哪种土体，其振动频率都与桩锤的振动频率相同，故C正确;为保障打桩机机身的稳定，桩锤的振动频率应尽量远离机身的固有频率，故D错误。
2.[对共振曲线的理解]
(2025·哈尔滨模拟)如图所示为一个单摆在地面上做受迫振动的共振曲线(振幅A与驱动力频率f的关系)，g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.若摆长变小，共振曲线的峰将左移
C.若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上做受迫振动，则共振曲线的峰将左移
D.此单摆的摆长约为3 m
√
解析:由题图知，当驱动力频率为0.5 Hz时振幅最大，说明此单摆的固有频率为0.5 Hz，则固有周期为T= s=2 s，故A错误;根据f== ，若摆长变小，固有频率增大，共振曲线的峰将右移，故B错误;若保持摆长不变，将该单摆移至月球表面上，重力加速度减小，则固有频率减小，则共振曲线的峰将左移，故C正确;根据f===0.5 Hz，解得l≈1 m，故D错误。
3.[共振现象的应用]
(多选)中国工程院院士、华中科技大学教授陈学东及其团队攻克了光刻机减振器研发瓶颈，为我国实现重大装备自主可控作出了重要贡献。下列说法正确的是(　　)
A.光刻机工作时的振动频率一定等于其自身的固有频率
B.光刻机工作时的振动振幅不受自身结构以及质量的影响
C.光刻机系统的固有频率要尽量远离周围可能存在的振源的振动频率
D.若减振装置的弹性力与外来驱动力的方向始终相反，将有助于减振
√
√
解析:光刻机做受迫振动，其振动频率等于外来驱动力频率，不一定等于其自身的固有频率，光刻机自身结构以及质量影响其自身的固有频率，若固有频率等于外来驱动力频率时，发生共振现象，振幅最大，所以光刻机工作时的振动振幅受自身结构以及质量的影响，故A、B错误;为了防止发生共振现象，所以光刻机系统的固有频率要尽量远离周围可能存在的振源的振动频率，若减振装置的弹性力与外来驱动力的方向始终相反，将有助于减振，故C、D正确。
三种振动的比较
精要点拨
振动类型 自由振动 受迫振动 共振
受力情况 仅受回复力 受驱动力 受驱动力
振动周期 或频率 由系统本身性质决定，即固有周期T0或固有频率f0 由驱动力的周期或频率决定，即T=T驱或f=f驱 T驱=T0或
f驱=f0
振动 能量 振动物体的机械能不变 由产生驱动力的物体提供 振动物体获得的能量最大
常见例子 弹簧振子或单摆(θ≤5°) 机械工作时底座发生的振动 共振筛、声音的共鸣等
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一、单项选择题
1.(2025·武汉一模)“喷水鱼洗”是我国
珍贵的古代文物，具有很高的科学价值、历
史价值和艺术价值。鱼洗最早是在先秦时期
使用的一种金属制盥洗用具，它的大小像一个洗脸盆，底部是扁平的，盆沿左右各有一个把柄，称为双耳。鱼洗最奇妙的地方是，用双手快速且有节奏地摩擦盆边双耳，盆内水波荡漾，摩擦得法，可喷出水柱。下列说法正确的是(　　)
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A.该现象是波的衍射形成的
B.鱼洗中的水位越低，振动越明显，喷出的水柱越高
C.鱼洗做受迫振动，当摩擦力引起的振动频率和鱼洗壁固有频率相等或十分接近时，鱼洗产生了共振而使水剧烈震荡
D.鱼洗中的水做受迫振动，当摩擦力引起的振动频率和水波振动的频率相等或十分接近时，水产生了共振而剧烈震荡
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解析:用双手快速且有节奏地摩擦鱼洗盆边双耳时，可产生两个频率相同的波源，产生的机械波在水中传播，发生了波的干涉，故A错误;鱼洗做受迫振动，当摩擦力引起的振动频率和鱼洗壁固有频率相等或十分接近时，鱼洗壁产生了共振，从而使鱼洗中的水剧烈震荡，鱼洗中的水位越低，水与鱼洗壁接触部分越少，水的振动越不明显，则越不容易喷出水柱，故B、D错误，C正确。
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2.(2025·长春模拟)对于一个在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子，下列说法中正确的是 (　　)
A.振子相对平衡位置的位移增大，则其加速度减小
B.从任意时刻开始的四分之一周期时间内，路程等于振幅
C.振子相对平衡位置的位移的方向与速度的方向相反，则其速度的大小正在增大
D.从任意时刻开始的二分之一周期时间内，合力的冲量为零
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解析:弹簧振子做简谐运动，其回复力满足F=-kx，结合牛顿第二定律F=ma，可知振子相对平衡位置的位移增大，则其加速度增大，且可知当振子相对平衡位置的位移与速度方向相反时，回复力方向与速度方向相同，则其速度正在增大，故A错误，C正确;仅从平衡位置或位移最大的位置开始计时，四分之一周期内的路程才等于振幅，故B错误;从平衡位置开始二分之一周期内速度大小不变，方向反向，则合力的冲量不为零，故D错误。
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3.(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是 (　　)
A.摆长为1.6 m，起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m，起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m，A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m，A、B点的速度相同
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解析:根据题图可知，该单摆的振动周期为T=0.8π s，由单摆的周期公式T=2π，得摆长为l==1.6 m。x t图像的斜率表示速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相等、方向不同，C正确。
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4.如图所示，弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动，其平衡位置为O点。已知B、C相距50 cm。从小球经过O点时开始计时，经过0.3 s首次到达B点。取向右为正方向，下列说法正确的是 (　　)
A.小球振动的周期一定为1.2 s
B.小球振动的振幅为0.5 m
C.弹簧振子振动方程可能为x=-0.25sin(5πt)m
D.0.6 s末，小球可能不在平衡位置
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解析:小球经过O点时开始计时，经过0.3 s 首次到达B点，若开始计时小球是向右运动，则小球振动的周期T=4×0.3 s=1.2 s，若开始计时小球是向左运动，则T=0.3 s，小球振动的周期T=0.4 s，小球振动的周期可能为1.2 s或0.4 s，A错误;由题意可知2A=50 cm，小球振动的振幅为A=0.25 m，B错误;当T=0.4 s时，有ω==5π rad/s，可知弹簧振子的振动方程为x=-0.25sin(5πt)m，C正确;无论周期是0.4 s还是1.2 s，0.6 s末小球都在平衡位置，D错误。
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5.如图，质量均为m的物块甲、乙静止于
倾角为θ的固定光滑斜面上，二者间用平行于
斜面的轻质弹簧相连，乙紧靠在垂直于斜面
的挡板上。给甲一个沿斜面向上的初速度，
此后运动过程中乙始终不脱离挡板，且挡板对乙的弹力最小值为0，重力加速度为g。挡板对乙的弹力最大值为 (　　)
A.2mgsin θ B.3mgsin θ
C.4mgsin θ D.5mgsin θ
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解析:物块甲运动至最高点时，挡板对乙的弹力最小值为0，对乙有F弹1=mgsin θ，对甲有F弹1+mgsin θ=ma，物块甲运动至最低点时，根据对称性有F弹2-mgsin θ=ma，对乙受力分析，挡板对乙的弹力最大值为FN=F弹2+mgsin θ=4mgsin θ，故选C。
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6.(2024·浙江1月选考)如图1所示，质量相等的小球和点光源，分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上，间距为l，竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l，小球和光源做小振幅运动时，在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向，小球和光源的振动图像如图2所示，则 (　　)
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A.t1时刻小球向上运动 B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π D.t3时刻影子的位移为5A
解析:以竖直向上为正方向，根据题图2可知，t1时刻小球位于平衡位置，随后位移为负值，且位移增大，可知t1时刻小球向下运动，故A错误;以竖直向上为正方向，t2时刻光源的位移为正值，光源振动图像为正弦式，表明其做简谐运动，根据F回=-kx=ma可知，其加速度方向与位移方向相反，位移方向向上，则加速度方向向下，故B错误;
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根据题图2可知，小球与光源的振动步调总是相反，由于影子是光源发出的光被小球遮挡后在屏上留下的阴影，可知影子与小球的振动步调总是相同，即t2时刻小球与影子相位差为0，故C错误;根据题图2可知，t3时刻，光源位于最低点，小球位于最高点，根据光沿直线传播可知在屏上影子的位置也处于最高点，影子位于正方向上的最大位移处，根据几何关系有=，解得x影子=5A，即t3时刻影子的位移为5A，故D正确。
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7.(2025·福州一模)如图甲所示，质量为m的物体B放在水平面上，通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接，现在竖直方向给物体A一初速度，当物体A运动到最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时，物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是 (　　)
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A.s~s时间内，物体A的速度与加速度方向相反
B.物体A在任意一个1.25 s内通过的路程均为50 cm
C.物体A的振动方程为y=0.1sinm
D.物体B对水平面的最大压力为6mg
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解析:s~s时间内，物体A由负的最大位移处向平衡位置运动，回复力指向平衡位置，即物体A的速度与加速度方向均沿y轴正方向，故A错误;由题图乙知，周期T=1 s，物体A由特殊位置(平衡位置或最大位移处)开始计时，在一个1.25 s=T内质点通过的路程等于振幅的5倍，除此外在1.25 s的时间内通过的路程不等于振幅的5倍，故B错误;由题图乙可知振幅为A=10 cm，圆频率为ω==2π rad/s，t=0时刻位移为0.05 m，且正在向y轴正方向运动，所以初相为φ0=，
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则物体A的振动方程为y=0.1sinm，故C错误;当物体A在最高点时，物体B与水平面间的作用力刚好为零，此时弹簧的拉力为F=mg，对于物体A有F+2mg=2ma，解得a=1.5g，当物体A运动到最低点时，物体B对水平面的压力最大，由简谐运动的对称性可知，物体A在最低点时加速度向上，且大小等于1.5g，由牛顿第二定律得F'-2mg=2ma，解得F'=5mg，由物体B受力平衡可知，物体B对水平面的最大压力为FN=F'+mg=6mg，故D正确。
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二、多项选择题
8.图示为地球表面上甲、乙单摆的振动图像。以向右作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，地球上的自由落体加速度为10 m/s2，月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，下列说法正确的是(　　)
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A.甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
B.甲单摆在月球上做简谐运动的周期为5 s
C.甲单摆的摆长约为4 m
D.乙单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=2sincm
解析:由题图可知，在地球上甲单摆的周期为2 s，乙单摆的周期为 4 s，甲、乙两单摆的周期之比为1∶2，根据单摆的周期公式T=2π，
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可得L=T2，甲、乙两单摆的摆长之比为1∶4，A错误;根据单摆的周期公式T=2π，可知==，在地球上甲单摆的周期为2 s，可得甲单摆在月球上做简谐运动的周期为5 s，B正确;甲单摆的周期为2 s，根据单摆的周期公式T=2π，可得摆长为L甲≈1 m，C错误;由题图可知乙单摆的振幅为2 cm，周期为4 s，可得ω乙==0.5π rad/s，t=0时位移为正向最大，所以初相位为φ0=，根据简谐运动位移随时间变化的关系x=Asin(ωt+φ0)，可得乙单摆位移x随时间t变化的关系式为x=2sincm，D正确。
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9.(2025·沧州高三调研)如图所示，沿水平方向做简谐运动的质点，经A点后向右运动，从质点经过A点时开始计时，t1=1 s时质点经过B点，t2=3 s时质点也经过B点，已知A、B两点相距0.2 m且关于质点的平衡位置对称，则下列说法正确的是 (　　)
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A.该振动的振幅和周期可能是0.1 m、1 s
B.该振动的振幅和周期可能是0.1 m、0.4 s
C.若t1、t2时刻均向左经过B点，则振幅和周期可能为0.2 m、0.4 s
D.若t1、t2时刻分别向右、向左经过B点，则振幅和周期可能为0.2 m、 s
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解析:若振幅A1=0.1 m，在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT1=1 s(n=0，1，2，…)，在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n'T1=2 s，当T1=0.4 s时，n=2，n'=5，满足题意，周期为1 s时不同时满足上述两个公式，故A错误，B正确;若振幅A2=0.2 m， 且质点t1时刻向右经过B点、t2时刻向左经过B点，在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT2=1 s，
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在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有+n'T2=2 s(n'=0，1，2，…)，当T2= s时，n=1，n'=2，满足题意，故D正确;若振幅A2=0.2 m，且t1、t2时刻均向左经过B点，在0~1 s 时间内根据简谐运动的周期性有+nT3=1 s，在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n'T3=2 s，当T3=0.4 s时，n=2，n'=5，满足题意，故C正确。
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10.(2025·曲靖一模)惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论，某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示，在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面，把摆线固定于斜面上的O点，使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点，静止释放后，摆球在ABC之间做简谐运动，摆角为α。摆球自然悬垂时，通过力传感器(图中未画出)测得摆线的拉力为F1，摆球摆动过程中，力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示，其中F2、F3、T0均已知。当地的重力加速度为g。下列结论正确的是 (　　)
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A.多次改变图1中θ角的大小，即可获得不同的等效重力加速度
B.单摆n次全振动的时间为nT0
C.多次改变摆角α，只要得出T∝就可以验证该结论成立
D.在图2的测量过程中，满足F3=3F1-2F2的关系
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解析:对摆球进行受力分析可知，摆球重力垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡，设等效重力加速度为g0，则有mgsin θ=mg0，解得g0=gsin θ，可知多次改变题图1中θ角的大小，即可获得不同的等效重力加速度，故A正确;单摆运动过程中，在A、C两位置摆线的拉力最小，则相邻两个摆线拉力最小的位置的时间间隔为半个周期，根据题图2可知，单摆n次全振动的时间为t=nT=2nT0，故B错误;
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根据单摆周期公式有T=2π，可知多次改变斜面倾角θ，只要得出T∝就可以验证该结论成立，故C错误;摆球自然悬垂时，通过力传感器测得摆线的拉力为F1，根据平衡条件有F1=mgsin θ，在摆动过程中，摆球在A位置有F2=mgsin θcos α，摆球在B位置有F3-mgsin θ=，摆球从A位置运动到B位置过程有mgsin θ=mv2，解得F3=3F1-2F2，故D正确。
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三、计算题
11.(12分)(2025·济南模拟)如图所示，足
够大的光滑水平桌面上，劲度系数为k的轻弹
簧一端固定在桌面左端，另一端与小球甲拴
接。开始时，小球甲用细线跨过光滑的定滑轮
连接小球乙，桌面上方的细线与桌面平行，系统处于静止状态，此时小球甲的位置记为O，甲、乙两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球甲至弹簧恢复原长后释放，在小球甲向右运动至最远点时细线断裂。
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已知弹簧振子的振动周期T=2π，弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量)，重力加速度为g，空气阻力不计，弹簧始终在弹性限度内。求:
(1)细线断裂前瞬间的张力大小FT;(4分)
答案:mg　
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解析:小球甲静止于O点平衡时，有kx0=mg
小球甲、乙做简谐运动的振幅为A=x0=
由对称性可知，小球甲向右运动至最远点时，由牛顿第二定律有
k·2x0-FT=ma
对小球乙有FT-mg=ma
联立解得FT=mg。
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(2)从细线断裂开始计时，小球甲第一次返回O点所用的时间t;(4分)
答案:　
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解析:细线断裂后甲球单独做简谐运动，振幅变为A'=2x0=
则甲球单独做简谐运动的振动方程为
x甲=A'cos t=cos t
当小球甲第一次返回O点时，有
x甲'=cos t=x0=
可得t==。
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(3)细线断裂后，小球甲到达O点时的速度大小。(4分)
答案:
解析:细线断裂后，小球甲到达O点时，由动能定理有
m=k-k
解得v0=。
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4课时跟踪检测(四十二)　机械振动
一、单项选择题
1.(2025·武汉一模)“喷水鱼洗”是我国珍贵的古代文物,具有很高的科学价值、历史价值和艺术价值。鱼洗最早是在先秦时期使用的一种金属制盥洗用具,它的大小像一个洗脸盆,底部是扁平的,盆沿左右各有一个把柄,称为双耳。鱼洗最奇妙的地方是,用双手快速且有节奏地摩擦盆边双耳,盆内水波荡漾,摩擦得法,可喷出水柱。下列说法正确的是 (　　)
A.该现象是波的衍射形成的
B.鱼洗中的水位越低,振动越明显,喷出的水柱越高
C.鱼洗做受迫振动,当摩擦力引起的振动频率和鱼洗壁固有频率相等或十分接近时,鱼洗产生了共振而使水剧烈震荡
D.鱼洗中的水做受迫振动,当摩擦力引起的振动频率和水波振动的频率相等或十分接近时,水产生了共振而剧烈震荡
2.(2025·长春模拟)对于一个在光滑水平面上做简谐运动的弹簧振子,下列说法中正确的是 (　　)
A.振子相对平衡位置的位移增大,则其加速度减小
B.从任意时刻开始的四分之一周期时间内,路程等于振幅
C.振子相对平衡位置的位移的方向与速度的方向相反,则其速度的大小正在增大
D.从任意时刻开始的二分之一周期时间内,合力的冲量为零
3.(2024·甘肃高考)如图为某单摆的振动图像,重力加速度g取10 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.摆长为1.6 m,起始时刻速度最大
B.摆长为2.5 m,起始时刻速度为零
C.摆长为1.6 m,A、C点的速度相同
D.摆长为2.5 m,A、B点的速度相同
4.如图所示,弹簧振子在B、C两点之间做简谐运动,其平衡位置为O点。已知B、C相距50 cm。从小球经过O点时开始计时,经过0.3 s首次到达B点。取向右为正方向,下列说法正确的是 (　　)
A.小球振动的周期一定为1.2 s
B.小球振动的振幅为0.5 m
C.弹簧振子振动方程可能为x=-0.25sin(5πt)m
D.0.6 s末,小球可能不在平衡位置
5.如图,质量均为m的物块甲、乙静止于倾角为θ的固定光滑斜面上,二者间用平行于斜面的轻质弹簧相连,乙紧靠在垂直于斜面的挡板上。给甲一个沿斜面向上的初速度,此后运动过程中乙始终不脱离挡板,且挡板对乙的弹力最小值为0,重力加速度为g。挡板对乙的弹力最大值为 (　　)
A.2mgsin θ B.3mgsin θ
C.4mgsin θ D.5mgsin θ
6.(2024·浙江1月选考)如图1所示,质量相等的小球和点光源,分别用相同的弹簧竖直悬挂于同一水平杆上,间距为l,竖直悬挂的观测屏与小球水平间距为2l,小球和光源做小振幅运动时,在观测屏上可观测小球影子的运动。以竖直向上为正方向,小球和光源的振动图像如图2所示,则 (　　)
A.t1时刻小球向上运动
B.t2时刻光源的加速度向上
C.t2时刻小球与影子相位差为π
D.t3时刻影子的位移为5A
7.(2025·福州一模)如图甲所示,质量为m的物体B放在水平面上,通过轻弹簧与质量为2m的物体A连接,现在竖直方向给物体A一初速度,当物体A运动到最高点时,物体B与水平面间的作用力刚好为零。从某时刻开始计时,物体A的位移随时间的变化规律如图乙所示,已知重力加速度为g,则下列说法正确的是 (　　)
A.s~s时间内,物体A的速度与加速度方向相反
B.物体A在任意一个1.25 s内通过的路程均为50 cm
C.物体A的振动方程为y=0.1sinm
D.物体B对水平面的最大压力为6mg
二、多项选择题
8.图示为地球表面上甲、乙单摆的振动图像。以向右作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向,地球上的自由落体加速度为10 m/s2,月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2,下列说法正确的是 (　　)
A.甲、乙两个单摆的摆长之比为4∶1
B.甲单摆在月球上做简谐运动的周期为5 s
C.甲单摆的摆长约为4 m
D.乙单摆的位移x随时间t变化的关系式为x=2sincm
9.(2025·沧州高三调研)如图所示,沿水平方向做简谐运动的质点,经A点后向右运动,从质点经过A点时开始计时,t1=1 s时质点经过B点,t2=3 s时质点也经过B点,已知A、B两点相距0.2 m且关于质点的平衡位置对称,则下列说法正确的是 (　　)
A.该振动的振幅和周期可能是0.1 m、1 s
B.该振动的振幅和周期可能是0.1 m、0.4 s
C.若t1、t2时刻均向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m、0.4 s
D.若t1、t2时刻分别向右、向左经过B点,则振幅和周期可能为0.2 m、 s
10.(2025·曲靖一模)惠更斯发现“单摆做简谐运动的周期T与重力加速度的二次方根成反比”。为了通过实验验证这一结论,某同学创设了“重力加速度”可以人为调节的实验环境。如图1所示,在水平地面上固定一倾角θ可调的光滑斜面,把摆线固定于斜面上的O点,使摆线平行于斜面。拉开摆球至A点,静止释放后,摆球在ABC之间做简谐运动,摆角为α。摆球自然悬垂时,通过力传感器(图中未画出)测得摆线的拉力为F1,摆球摆动过程中,力传感器测出摆线的拉力随时间变化的关系如图2所示,其中F2、F3、T0均已知。当地的重力加速度为g。下列结论正确的是 (　　)
A.多次改变图1中θ角的大小,即可获得不同的等效重力加速度
B.单摆n次全振动的时间为nT0
C.多次改变摆角α,只要得出T∝就可以验证该结论成立
D.在图2的测量过程中,满足F3=3F1-2F2的关系
三、计算题
11.(12分)(2025·济南模拟)如图所示,足够大的光滑水平桌面上,劲度系数为k的轻弹簧一端固定在桌面左端,另一端与小球甲拴接。开始时,小球甲用细线跨过光滑的定滑轮连接小球乙,桌面上方的细线与桌面平行,系统处于静止状态,此时小球甲的位置记为O,甲、乙两小球质量均为m。现用外力缓慢推小球甲至弹簧恢复原长后释放,在小球甲向右运动至最远点时细线断裂。已知弹簧振子的振动周期T=2π,弹簧的弹性势能Ep=kx2(x为弹簧的形变量),重力加速度为g,空气阻力不计,弹簧始终在弹性限度内。求:
(1)细线断裂前瞬间的张力大小FT;(4分)
(2)从细线断裂开始计时,小球甲第一次返回O点所用的时间t;(4分)
(3)细线断裂后,小球甲到达O点时的速度大小。(4分)
课时跟踪检测(四十二)
1.选C　用双手快速且有节奏地摩擦鱼洗盆边双耳时,可产生两个频率相同的波源,产生的机械波在水中传播,发生了波的干涉,故A错误;鱼洗做受迫振动,当摩擦力引起的振动频率和鱼洗壁固有频率相等或十分接近时,鱼洗壁产生了共振,从而使鱼洗中的水剧烈震荡,鱼洗中的水位越低,水与鱼洗壁接触部分越少,水的振动越不明显,则越不容易喷出水柱,故B、D错误,C正确。
2.选C　弹簧振子做简谐运动,其回复力满足F=-kx,结合牛顿第二定律F=ma,可知振子相对平衡位置的位移增大,则其加速度增大,且可知当振子相对平衡位置的位移与速度方向相反时,回复力方向与速度方向相同,则其速度正在增大,故A错误,C正确;仅从平衡位置或位移最大的位置开始计时,四分之一周期内的路程才等于振幅,故B错误;从平衡位置开始二分之一周期内速度大小不变,方向反向,则合力的冲量不为零,故D错误。
3.选C　根据题图可知,该单摆的振动周期为T=0.8π s,由单摆的周期公式T=2π,得摆长为l==1.6 m。x t图像的斜率表示速度,故起始时刻速度为零,且A、C点的速度相同,A、B点的速度大小相等、方向不同,C正确。
4.选C　小球经过O点时开始计时,经过0.3 s 首次到达B点,若开始计时小球是向右运动,则小球振动的周期T=4×0.3 s=1.2 s,若开始计时小球是向左运动,则T=0.3 s,小球振动的周期T=0.4 s,小球振动的周期可能为1.2 s或0.4 s,A错误;由题意可知2A=50 cm,小球振动的振幅为A=0.25 m,B错误;当T=0.4 s时,有ω==5π rad/s,可知弹簧振子的振动方程为x=-0.25sin(5πt)m,C正确;无论周期是0.4 s还是1.2 s,0.6 s末小球都在平衡位置,D错误。
5.选C　物块甲运动至最高点时,挡板对乙的弹力最小值为0,对乙有F弹1=mgsin θ,对甲有F弹1+mgsin θ=ma,物块甲运动至最低点时,根据对称性有F弹2-mgsin θ=ma,对乙受力分析,挡板对乙的弹力最大值为FN=F弹2+mgsin θ=4mgsin θ,故选C。
6.选D　以竖直向上为正方向,根据题图2可知,t1时刻小球位于平衡位置,随后位移为负值,且位移增大,可知t1时刻小球向下运动,故A错误;以竖直向上为正方向,t2时刻光源的位移为正值,光源振动图像为正弦式,表明其做简谐运动,根据F回=-kx=ma可知,其加速度方向与位移方向相反,位移方向向上,则加速度方向向下,故B错误;根据题图2可知,小球与光源的振动步调总是相反,由于影子是光源发出的光被小球遮挡后在屏上留下的阴影,可知影子与小球的振动步调总是相同,即t2时刻小球与影子相位差为0,故C错误;根据题图2可知,t3时刻,光源位于最低点,小球位于最高点,根据光沿直线传播可知在屏上影子的位置也处于最高点,影子位于正方向上的最大位移处,根据几何关系有=,解得x影子=5A,即t3时刻影子的位移为5A,故D正确。
7.选D　s~s时间内,物体A由负的最大位移处向平衡位置运动,回复力指向平衡位置,即物体A的速度与加速度方向均沿y轴正方向,故A错误;由题图乙知,周期T=1 s,物体A由特殊位置(平衡位置或最大位移处)开始计时,在一个1.25 s=T内质点通过的路程等于振幅的5倍,除此外在1.25 s的时间内通过的路程不等于振幅的5倍,故B错误;由题图乙可知振幅为A=10 cm,圆频率为ω==2π rad/s,t=0时刻位移为0.05 m,且正在向y轴正方向运动,所以初相为φ0=,则物体A的振动方程为y=0.1sinm,故C错误;当物体A在最高点时,物体B与水平面间的作用力刚好为零,此时弹簧的拉力为F=mg,对于物体A有F+2mg=2ma,解得a=1.5g,当物体A运动到最低点时,物体B对水平面的压力最大,由简谐运动的对称性可知,物体A在最低点时加速度向上,且大小等于1.5g,由牛顿第二定律得F'-2mg=2ma,解得F'=5mg,由物体B受力平衡可知,物体B对水平面的最大压力为FN=F'+mg=6mg,故D正确。
8.选BD　由题图可知,在地球上甲单摆的周期为2 s,乙单摆的周期为4 s,甲、乙两单摆的周期之比为1∶2,根据单摆的周期公式T=2π,可得L=T2,甲、乙两单摆的摆长之比为1∶4,A错误;根据单摆的周期公式T=2π,可知==,在地球上甲单摆的周期为2 s,可得甲单摆在月球上做简谐运动的周期为5 s,B正确;甲单摆的周期为2 s,根据单摆的周期公式T=2π,可得摆长为L甲≈1 m,C错误;由题图可知乙单摆的振幅为2 cm,周期为4 s,可得ω乙==0.5π rad/s,t=0时位移为正向最大,所以初相位为φ0=,根据简谐运动位移随时间变化的关系x=Asin(ωt+φ0),可得乙单摆位移x随时间t变化的关系式为x=2sincm,D正确。
9.选BCD　若振幅A1=0.1 m,在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT1=1 s(n=0,1,2,…),在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n'T1=2 s,当T1=0.4 s时,n=2,n'=5,满足题意,周期为1 s时不同时满足上述两个公式,故A错误,B正确;若振幅A2=0.2 m, 且质点t1时刻向右经过B点、t2时刻向左经过B点,在0~1 s时间内根据简谐运动的周期性有+nT2=1 s,在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有+n'T2=2 s(n'=0,1,2,…),当T2= s时,n=1,n'=2,满足题意,故D正确;若振幅A2=0.2 m,且t1、t2时刻均向左经过B点,在0~1 s 时间内根据简谐运动的周期性有+nT3=1 s,在1~3 s时间内根据简谐运动的周期性有n'T3=2 s,当T3=0.4 s时,n=2,n'=5,满足题意,故C正确。
10.选AD　对摆球进行受力分析可知,摆球重力垂直于斜面的分力始终与斜面的支持力平衡,设等效重力加速度为g0,则有mgsin θ=mg0,解得g0=gsin θ,可知多次改变题图1中θ角的大小,即可获得不同的等效重力加速度,故A正确;单摆运动过程中,在A、C两位置摆线的拉力最小,则相邻两个摆线拉力最小的位置的时间间隔为半个周期,根据题图2可知,单摆n次全振动的时间为t=nT=2nT0,故B错误;根据单摆周期公式有T=2π,可知多次改变斜面倾角θ,只要得出T∝就可以验证该结论成立,故C错误;摆球自然悬垂时,通过力传感器测得摆线的拉力为F1,根据平衡条件有F1=mgsin θ,在摆动过程中,摆球在A位置有F2=mgsin θcos α,摆球在B位置有F3-mgsin θ=,摆球从A位置运动到B位置过程有mgsin θ=mv2,解得F3=3F1-2F2,故D正确。
11.解析:(1)小球甲静止于O点平衡时,有kx0=mg
小球甲、乙做简谐运动的振幅为A=x0=
由对称性可知,小球甲向右运动至最远点时,由牛顿第二定律有
k·2x0-FT=ma
对小球乙有FT-mg=ma
联立解得FT=mg。
(2)细线断裂后甲球单独做简谐运动,振幅变为A'=2x0=
则甲球单独做简谐运动的振动方程为
x甲=A'cos t=cos t
当小球甲第一次返回O点时,有
x甲'=cos t=x0=
可得t==。
(3)细线断裂后,小球甲到达O点时,由动能定理有
m=k-k
解得v0=。
答案:(1)mg　(2)　(3)
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