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第3讲　用单摆测量重力加速度(基础实验)
一、实验知能/系统归纳
一、理清原理与操作
原 理 装 置 图 (1)摆角很小时,单摆做简谐运动,周期T=2π 。 (2)由g=l可知,只要测出l、T即可计算出当地重力加速度的大小
操 作 要 领 (1)做单摆:用约1 m长的细线穿过小球上的小孔,并打一个比孔大的结,把细线另一端固定在铁架台上。 (2)测摆长:用毫米刻度尺测摆线长l',用游标卡尺测小球直径D,则摆长l=l'+。 (3)测周期:让摆球偏离一个角度(小于5°),释放后让单摆自由摆动,测出单摆全振动30~50次的总时间,求出周期,反复测量三次,求出周期的平均值
二、掌握数据处理方法
公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g=中算出重力加速度g的值,再算出g的平均值,即为当地重力加速度的大小
图像法 由单摆的周期公式T=2π ,可得l=T2,因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l T2图像是一条过原点的直线,如图所示,求出斜率k,即可求出g值。g=4π2k,k==
三、注意实验细节
1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线,长度一般在1 m左右,小球应选用密度较大的金属球,直径应较小,最好不超过2 cm。
2.单摆摆线的上端不可随意卷在铁架台的杆上,应夹紧在铁夹中,以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角要小于5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4.摆球振动时,要使之保持在同一个竖直平面内,不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的振动次数时,应从摆球通过平衡位置时开始计时。为便于计时,可在摆球平衡位置的正下方作一标记,以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数,且在数“0”的同时按下秒表,开始计时计数。
四、做好误差分析
系统 误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定,摆球是否可视为质点,球、线是否符合要求,振幅是否足够小,摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动,以及测量哪段长度作为摆长等
偶然 误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此,要注意测准时间(周期),要从摆球通过平衡位置开始计时,并采用倒计时计数的方法,即4、3、2、1、0、1、2、…,在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差,应多次测量后取平均值
二、应用发展/练中融通　　
1.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时,在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中,选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
(2)用游标卡尺测量摆球直径,测得读数如图丙,则摆球直径为　　　　cm。
(3)若将一个周期为T的单摆,从平衡位置拉开5°的角度释放,忽略空气阻力,摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g,以释放时刻作为计时起点,则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为 　。
2.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、
细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题:
(1)实验时,将细线的一端连接摆球,另一端固定在铁架台上O点,如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置,使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°),由静止释放摆球,让单摆开始摆动。为了减小计时误差,应该在摆球摆至　　　　(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时,测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长,求得重力加速度大小为　　　　m/s2(取π2=9.870,结果保留3位有效数字)。
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验,相关数据汇总在下表中,在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线,如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k,则重力加速度可表示为g=　　　　　　(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为　　　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,原因是_________________________________。
3.科技文化节中,某兴趣小组做了“利用单摆测量重力加速度”实验,实验操作如下:
(1)使用游标卡尺测量实心钢球的直径为d;
(2)将器材按甲图方式连接,用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照乙图方式运动,摆角小于5°,钢球第1次经过最低点处开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则重力加速度g=　　　　　　;(用测得的物理量表示)
(3)若钢球实际按图丙方式在水平面内做圆周运动,但仍然视作单摆,则测量出的重力加速度值　　　　(填“偏大”或“偏小”)。
(4)另一位同学直接用米尺和三角板测量了单摆的摆长,如图丁所示,则单摆摆长是　　　　m。
4.(2025·合肥高三调研)如图(a)所示,某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有:智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等。实验操作如下:
①用夹子将细线上端固定在铁架台上,将小球竖直悬挂;
②用刻度尺测出摆线的长度为l,用游标卡尺测出小球直径为d;
③将智能手机置于小球平衡位置的正下方,启用手机软件的“近距秒表”功能;
④将小球由平衡位置拉开一个角度(θ<5°),保持摆线伸直由静止释放,软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像,如图(b)所示。
请回答下列问题:
(1)根据图(b)可知,单摆的周期T=　　　　s。
(2)重力加速度g的表达式为　　　　(用测得的物理量符号表示);
(3)改变摆线长度l,重复步骤②、③、④的操作,可以得到多组T和l的值,进一步描绘出如图(c)的图像,则该图像以　　　　为横轴,若图线的斜率为k,则重力加速度的测量值为　　　　。
5.在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图,用一个磁性小球代替原先的摆球,在单摆下方放置一个磁传感器,其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。使单摆做小角度摆动,当磁感应强度测量值最大时,磁性小球位于　　　　(选填“最高点”或“最低点”)。若测得连续50个(开始计时记为第1个)磁感应强度最大值之间的时间间隔为t,则单摆周期的测量值为　　　　(不考虑地磁场影响)。
(2)多次改变摆长,使单摆做小角度摆动,测量摆长L及相应的周期T。此后,甲同学得到的T2 L图线斜率为k,则当地重力加速度g为　　　　;乙同学分别取L和T的对数,所得到的lg T lg L图线为　　　　　(选填“直线”“对数曲线”或“指数曲线”)。
6.(2025·岳阳高三检测)某次实验课上,为测量重力加速度,小组设计了如下实验:如图甲所示,细绳一端连接金属小球,另一端固定于O点,O点处有力传感器(图中未画出)可测出细绳的拉力大小。将小球拉至图示位置处,由静止释放,发现细绳的拉力大小在小球摆动的过程中做周期性变化,如图乙所示。由图乙可读出拉力大小的变化周期为T,拉力的最大值为F1,最小值为F2。就接下来的实验,小组内展开了讨论。
(1)小王同学认为:若小球摆动的角度较小,则还需测量摆长L,结合拉力大小的变化周期T,算出重力加速度g=　　　　(用L、T表示);
(2)小王同学用刻度尺测量了摆线长,用游标卡尺测量了小球直径如图丙所示,小球直径为　　　　 mm;
(3)小李同学认为:无论小球摆动的角度大小,都只需测量小球的质量m,再结合拉力的最大值F1、最小值F2,算出重力加速度g=　　　　(用m、F1、F2表示);
(4)小李同学测量出数据:m=40.0 g,F1=0.56 N,F2=0.30 N,可计算出重力加速度g=　　　　 m/s2(保留两位有效数字)。
第3讲
1.解析:(1)选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
(2)摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
(3)根据单摆的周期公式T=2π,可得单摆的摆长为L=,从平衡位置拉开5°的角度释放,可得振幅为A=Lsin 5°,以该位置为计时起点,根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos (ωt)=cos。
答案:(1)摆长　(2)1.06
(3)x=cos
2.解析:(1)摆球经过最低点时速度最大,在相等的距离误差上引起的时间误差最小,测得周期的误差最小,所以为了减小计时误差,应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s,根据单摆周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入数据解得g≈9.68 m/s2。
(3)根据单摆周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2图线的斜率k=,则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,其原因是用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球的半径,l T2图像的斜率均为,对重力加速度g的测量没有影响。
答案:(1)最低点　(2)9.68　(3)4π2k　9.69
(4)见解析
3.解析:(2)根据题意可知,单摆的摆长为L=l+,钢球第1次经过最低点处开始计时,第n次经过最低点时的总时间为t,则T=t,由单摆的周期公式T=2π,联立解得g=。
(3)设细线与中心线的夹角为θ,由牛顿第二定律有mgtan θ=mLsin θ,解得圆锥摆的周期为T1=2π(4)米尺的最小分度为0.1 cm,读数时需要估读到下一位,则单摆摆长是90.00 cm=0.900 0 m。
答案:(2)　(3)偏大
(4)0.900 0
4.解析:(1)根据单摆的运动规律,一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值,由题图(b)可得出,单摆的周期为T=2 s。
(2)根据T=2π,解得重力加速度g的表达式为g=。
(3)由重力加速度的表达式可得l=T2-,结合题图(c)的图像,可知该图像以T2为横轴。若图线的斜率为k,则k=,可知重力加速度的测量值为g=4π2k。
答案:(1)2　(2)　(3)T2　4π2k
5.解析:(1)单摆做小角度摆动,当磁感应强度测量值最大时,磁性小球距离传感器最近,磁性小球位于最低点。若测得连续50个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t,则单摆的周期为T==。
(2)根据T=2π,解得T2=L,结合T2 L图线斜率为k,可得=k,可得g=。由上面分析可得lg T=lg+lg L,即lg T lg L图线为直线。
答案:(1)最低点　　(2) 　直线
6.解析:(1)依题意,单摆的周期为2T,由2T=2π,解得g=。
(2)小球直径为21 mm+3×0.1 mm=21.3 mm。
(3)小球在最高点时速度为零,可得F2=mgcos θ,小球在最低点时,由牛顿第二定律可得F1-mg=m,小球从最高点运动到最低点过程,根据机械能守恒定律可得mgL=mv2,联立解得g=。
(4)根据g=,代入数据可得g≈9.7 m/s2。
答案:(1)　(2)21.3　(3)
(4)9.7
6 / 7(共44张PPT)
用单摆测量重力加速度
(基础实验)
第 3 讲
1
一、实验知能/系统归纳
2
二、应用发展/练中融通
CONTENTS
目录
一、实验知能/系统归纳
一、理清原理与操作
原理 装置图
(1)摆角很小时，单摆做简谐运动，
周期T=2π 。
(2)由g=l可知，只要测出l、T即可
计算出当地重力加速度的大小
操 作 要 领 (1)做单摆:用约1 m长的细线穿过小球上的小孔，并打一个比孔大的结，把细线另一端固定在铁架台上。
(2)测摆长:用毫米刻度尺测摆线长l'，用游标卡尺测小球直径D，则摆长l=l'+。
(3)测周期:让摆球偏离一个角度(小于5°)，释放后让单摆自由摆动，测出单摆全振动30~50次的总时间，求出周期，反复测量三次，求出周期的平均值
续表
二、掌握数据处理方法
公式法 将测得的几组周期T和摆长l代入公式g=中算出重力加速度g的值，再算出g的平均值，即为当地重力加速度的大小
图像法 由单摆的周期公式T=2π ，可得l=T2，
因此以摆长l为纵轴、以T2为横轴作出的l T2
图像是一条过原点的直线，如图所示，
求出斜率k，即可求出g值。g=4π2k，k==
三、注意实验细节
1.选择材料时应选择细、轻又不易伸长的线，长度一般在1 m左右，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过2 cm。
2.单摆摆线的上端不可随意卷在铁架台的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆长改变的现象。
3.注意摆动时控制摆线偏离竖直方向的夹角要小于5°。可通过估算振幅的办法掌握。
4.摆球振动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆。
5.计算单摆的振动次数时，应从摆球通过平衡位置时开始计时。为便于计时，可在摆球平衡位置的正下方作一标记，以后摆球每次从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，开始计时计数。
四、做好误差分析
系统 误差 主要来源于单摆模型本身是否符合要求。即:悬点是否固定，摆球是否可视为质点，球、线是否符合要求，振幅是否足够小，摆动是圆锥摆还是在同一竖直平面内振动，以及测量哪段长度作为摆长等
偶然 误差 主要来自时间(即单摆周期)的测量。因此，要注意测准时间(周期)，要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒计时计数的方法，即4、3、2、1、0、1、2、…，在数“0”的同时按下秒表开始计时。不能多计或漏计振动次数。为了减小偶然误差，应多次测量后取平均值
二、应用发展/练中融通
1.(2024·广西高考)单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
(1)制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式的目的是要保持摆动中　　　　不变。
解析:选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
摆长
(2)用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为
　　　　cm。
解析:摆球直径为d=1.0 cm+6×0.1 mm=1.06 cm。
1.06
(3)若将一个周期为T的单摆，从平衡位置拉开5°的角度释放，忽略空气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为g，以释放时刻作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关
系为__________________________。
x=cos
解析:根据单摆的周期公式T=2π，可得单摆的摆长为L=，从平衡位置拉开5°的角度释放，可得振幅为A=Lsin 5°，以该位置为计时起点，根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移x与时间t的关系为x=Acos (ωt)=cos。
2.(2025年1月·八省联考河南卷)学生实验小组利用单摆测量当地的重力加速度。实验器材有:铁架台、细线、摆球、秒表、卷尺等。完成下列问题:
(1)实验时，将细线的一端连接摆球，另一端固定在铁架台上O点，如图1所示。然后将摆球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成夹角θ(θ<5°)，由静止释放摆球，让单摆开始摆动。为了减小计时误差，应该在摆球摆至　　　　(填“最低点”或“最高点”)时开始计时。
最低点
解析:摆球经过最低点时速度最大,在相等的距离误差上引起的时间误差最小,测得周期的误差最小,所以为了减小计时误差,应该在摆球摆至最低点时开始计时。
(2)选取摆线长度为100.0 cm时，测得摆球摆动30个完整周期的时间(t)为60.60 s。若将摆线长度视为摆长，求得重力加速度大小为　　　m/s2
(取π2=9.870，结果保留3位有效数字)。
解析:根据题意可知摆球摆动的周期T==2.02 s,根据单摆周期公式T=2π,其中L=100.0 cm=1.000 m,代入数据解得g≈9.68 m/s2。
9.68
(3)选取不同的摆线长度重复上述实验，相关数据汇总在下表中，在坐标纸上作出摆线长度(l)和单摆周期的二次方(T2)的关系曲线，如图2所示。
l(m) t(s) T2(s2)
0.800 54.17 3.26
0.900 57.54 3.68
1.000 60.60 4.08
1.100 63.55 4.49
1.200 66.34 4.89
设直线斜率为k，则重力加速度可表示为g=　　　　(用k表示)。由图2求得当地的重力加速度大小为
　　　　m/s2(结果保留3位有效数字)。

9.69
4π2k
解析:根据单摆周期公式T=2π,整理可得l=·T2-r,可知l T2图线的斜率k=,则重力加速度可表示为g=4π2k;由题图2求得当地的重力加速度大小为g=4π2× m/s2≈9.69 m/s2。
(4)用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确，原因是______________________。
答案:见解析
解析:用图像法得到的重力加速度数值要比(2)中得到的结果更精确,其原因是用图像法处理数据时,无论是否考虑摆球的半径,l T2图像的斜率均为,对重力加速度g的测量没有影响。
3.科技文化节中，某兴趣小组做了“利用单摆测量重力加速度”实验，实验操作如下:
(1)使用游标卡尺测量实心钢球的直径为d;
(2)将器材按甲图方式连接，用刻度尺测量出悬点与钢球最上端间细线长度为l;使钢球按照乙图方式运动，摆角小于5°，钢球第1次经过最低点处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则重力加速
度g=　　　　　　　;(用测得的物理量表示)
解析:根据题意可知，单摆的摆长为L=l+，钢球第1次经过最低点处开始计时，第n次经过最低点时的总时间为t，则T=t，由单摆的周期公式T=2π，联立解得g=。
(3)若钢球实际按图丙方式在水平面内做圆周运动，但仍然视作单摆，则测量出的重力加速度值　　　　(填“偏大”或“偏小”)。
偏大
解析:设细线与中心线的夹角为θ，由牛顿第二定律有mgtan θ=mLsin θ，解得圆锥摆的周期为T1=2π(4)另一位同学直接用米尺和三角板测量了单摆的摆长，如图丁所示，则单摆摆长是　　　　m。
解析:米尺的最小分度为0.1 cm，读数时需要估读到下一位，则单摆摆长是90.00 cm=0.900 0 m。
0.900 0
4.(2025·合肥高三调研)如图(a)所示，某兴趣小组用单摆测量重力加速度。选用的实验器材有:智能手机、小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺等。实验操作如下:
①用夹子将细线上端固定在铁架台上，将小
球竖直悬挂;
②用刻度尺测出摆线的长度为l，用游标卡尺
测出小球直径为d;
③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用手机软件的“近距秒表”功能;
④将小球由平衡位置拉开一个角度(θ<5°)，保持摆线伸直由静止释放，软件同时描绘出小球与手机间距离随时间变化的图像，如图(b)所示。
请回答下列问题:
(1)根据图(b)可知，单摆的周期T=　　　　s。
解析:根据单摆的运动规律，一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最小值，由题图(b)可得出，单摆的周期为T=2 s。
2
(2)重力加速度g的表达式为　　　　(用测得的物理量符号表示);
解析:根据T=2π，解得重力加速度g的表达式为g=。
(3)改变摆线长度l，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组T和l的值，进一步描绘出如图(c)的图像，则该图像以　　　　为横轴，若图线的斜率为k，则重力加速度的测量值为　　　　。
　
T2
4π2k
解析:由重力加速度的表达式可得l=T2-，结合题图(c)的图像，可知该图像以T2为横轴。若图线的斜率为k，则k=，可知重力加速度的测量值为g=4π2k。
5.在“利用单摆测重力加速度”的实验中。
(1)某同学尝试用DIS测量周期。如图，用一个磁性小球代替原先的摆球，在单摆下方放置一个磁传感器，其轴线恰好位于单摆悬挂点正下方。使单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球位于　　　　(选填“最高点”或“最低点”)。若测得连续50个(开始计时记为第1个)磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆周期的测量值为　　　　(不考虑地磁场影响)。
最低点
解析:单摆做小角度摆动，当磁感应强度测量值最大时，磁性小球距离传感器最近，磁性小球位于最低点。若测得连续50个磁感应强度最大值之间的时间间隔为t，则单摆的周期为T==。
(2)多次改变摆长，使单摆做小角度摆动，测量摆长L及相应的周期T。此后，甲同学得到的T2 L图线斜率为k，则当地重力加速度g为　　　　;乙同学分别取L和T的对数，所得到的lg T lg L图线为
　　　　(选填“直线”“对数曲线”或“指数曲线”)。
直线
解析:根据T=2π，解得T2=L，结合T2 L图线斜率为k，可得=k，可得g=。由上面分析可得lg T=lg+lg L，即lg T lg L图线为直线。
6.(2025·岳阳高三检测)某次实验课上，为测量重力加速度，小组设计了如下实验:如图甲所示，细绳一端连接金属小球，另一端固定于O点，O点处有力传感器(图中未画出)可测出细绳的拉力大小。将小球拉至图示位置处，由静止释放，发现细绳的拉力大小在小球摆动的过程中做周期性变化，如图乙所示。由图乙可读出拉力大小的变化周期为T，拉力的最大值为F1，最小值为F2。就接下来的实验，小组内展开了讨论。
(1)小王同学认为:若小球摆动的角度较小，则还需测量摆长L，结合拉力大小的变化周期T，算出重力加速度g=　　　　(用L、T表示);
解析:依题意，单摆的周期为2T，由2T=2π，解得g=。
(2)小王同学用刻度尺测量了摆线长，用游标卡尺测量了小球直径如图丙所示，小球直径为　　　　 mm;
解析:小球直径为21 mm+3×0.1 mm=21.3 mm。
21.3
(3)小李同学认为:无论小球摆动的角度大小，都只需测量小球的质量m，再结合拉力的最大值F1、最小值F2，算出重力加速度g=
　　　　(用m、F1、F2表示);
解析:小球在最高点时速度为零，可得F2=mgcos θ，小球在最低点时，由牛顿第二定律可得F1-mg=m，小球从最高点运动到最低点过程，根据机械能守恒定律可得mgL=mv2，联立解得g=。
(4)小李同学测量出数据:m=40.0 g，F1=0.56 N，F2=0.30 N，可计算出重力加速度g=　　　　 m/s2(保留两位有效数字)。
解析:根据g=，代入数据可得g≈9.7 m/s2。
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