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第1讲　静电场中力的性质(基础落实课)
　　　　　　　　　　　　　　　　
一、元电荷、点电荷
1.元电荷:e=　　　　 C,所有带电体的电荷量都是元电荷的　　　倍。
2.点电荷:代表带电体的有一定电荷量的点,忽略带电体的　　　　及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响的理想化模型。
二、电荷守恒定律
1.内容:电荷既不会创生,也不会消灭,它只能从一个物体　　　到另一个物体,或者从物体的一部分　　　到另一部分;在转移过程中,电荷的总量保持　　　。
2.起电方式:　　　　　、　　　　　、感应起电。
3.带电实质:物体带电的实质是　　　　　。
4.电荷的分配原则:两个形状、大小相同且带同种电荷的导体,接触后再分开,二者带　　　　　电荷,若两导体原来带异种电荷,则电荷先　　　,余下的电荷再　　　。公式:q1'=q2'=。
三、库仑定律
内容 　　　中两个静止　　　　之间的相互作用力,与它们的　　　　　　　成正比,与它们的距离的　　　　成反比,作用力的方向在它们的连线上
表达式 F=　 　　　,式中k=　　 　 N·m2/C2,叫作静电力常量
说明:①F=k,r指两点电荷间的距离。对于可视为点电荷的两个均匀带电绝缘球体,r为两球的球心间距。
②当两个带电体间的距离r→0时,带电体不能视为点电荷,它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
四、电场强度
1.定义:放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的　　　　之比。
2.定义式:E=　　　。单位:N/C或V/m。
3.点电荷的电场强度:E=　　　。
4.方向:规定　　　　在电场中某点所受的　　　　的方向为该点的电场强度方向。
5.电场强度的叠加:电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的　　　和,遵从　　　　　　　 定则。
五、电场线
1.定义:为了形象地描述电场中各点电场强度的　　　及　　　,在电场中画出一条条有方向的曲线,曲线上每点的　　　　　表示该点的电场强度方向,曲线的　　　表示电场强度的大小。
2.电场线的特点
①电场线起始于　　　　(或无穷远处),终止于无穷远处(或负电荷),电场线不闭合;②电场中的电场线不相交;③同一电场中,电场线密的地方　　　　　大;④电场线上某点的切线方向表示该点的　　　　　方向;⑤沿电场线方向电势　　　;
⑥电场线和等势面在相交处　　　。
微点判断
1.(人教必修3P5T4·改编)关于电荷,判断下列说法的正误:
①电荷量很小的电荷就是元电荷。 (　 )
②物体所带的电荷量可以是任意的。 (　 )
2.(2024·湖北高考T8A)一个与外界没有电荷交换的系统,电荷的代数和保持不变。 (　 )
3.电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。 (　 )
4.富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量。 (　 )
5.根据公式F=k,当r→0 时,F→∞。 (　 )
6.在点电荷产生的电场中,以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。 (　 )
7.如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。 (　 )
8.由E=知,当试探电荷的电荷量q变为一半时,电场强度E变为2倍。 (　 )
9.(鲁科必修3 P18 T3·改编)判断下列说法的正误:
①正电荷仅受电场力的作用从静止开始运动,其轨迹必定与电场线重合。 (　 )
②静电场中某点电场强度的方向,就是放在该点的电荷所受电场力的方向。 (　 )
10.电场线不是电荷的运动轨迹,但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度的方向。 (　 )
逐点清(一)　库仑定律及其应用
|题|点|全|练|
1.[静电力的计算]
(人教版教材必修3,P10T3改编)真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B(均可看作点电荷),分别固定在两处,两球间的静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触,再与B接触,然后移开C,再将A、B间距离增大为原来的2倍,则A、B间的静电力大小为 (　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
2.[自由电荷的平衡问题]
(2025·哈尔滨模拟)如图,在真空中有两个点电荷Q1=4.0×10-8 C、Q2=-1.0×10-8 C,分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上,在Q1、Q2连线上某位置再放置一点电荷,使其仅在Q1、Q2作用下处于平衡状态,则下列说法中正确的是 (　　)
A.该位置处于Q1、Q2之间
B.该位置处于Q1左侧
C.该位置在x=4 cm处
D.该位置在x=12 cm处
3.[带电体的平衡问题]
(1)(人教版教材必修3,P23T3)如图所示,用两根同样长的细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。两小球的质量相等,球A所带的电荷量大于球B所带的电荷量。两小球静止时,悬线与竖直方向的偏角分别为α和β,请判断二者的关系并说明原因。
(2)(2024·新课标卷)如图,两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上,下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中,平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则 (　　)
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
|考|教|衔|接| 　
　　人教版教材中的练习题和2024年新课标卷均研究带电小球的平衡问题,人教版教材中两个带同种电荷的小球在彼此静电力的作用下处于平衡状态,定性分析角度α和β的大小关系;新课标卷中两个小球除了受到彼此的静电力,还受到匀强电场的电场力,需利用力的合成与分解综合分析。“源于教材,高于教材”是高考命题一贯坚持的原则。
|精|要|点|拨|
1.静电力作用下的平衡问题
涉及静电力的平衡问题,其解题思路与力学中的平衡问题一样,只是在原来受力的基础上多了静电力,具体步骤如下:
2.三个自由点电荷的平衡条件及规律
平衡 条件 每个点电荷受另外两个点电荷的合静电力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷的合电场强度为零的位置
平衡 规律
逐点清(二)　电场强度的理解与计算
1.电场强度的性质
矢量性 规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的,它的大小和方向与放入该点的电荷q无关,它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场,那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2.电场强度的三个计算公式
公式 适用条件 说明
定义式 E= 任何电场 某点的电场强度为确定值,大小及方向与q无关
决定式 E=k 真空中静止点电荷的电场 E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式 E= 匀强电场 d是沿电场方向的距离
[考法全训]
考法1　对电场强度的理解
1.关于电场强度,以下认识中正确的是 (　　)
A.若在电场中的P点不放试探电荷,则P点的电场强度为0
B.点电荷的电场强度公式E=k表明,点电荷周围某点电场强度的大小,与该点到场源电荷距离r的二次方成反比
C.电场强度公式E=表明,电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比
D.匀强电场中电场强度处处相同,所以任何电荷在其中受力都相同
考法2　电场强度的计算
2.(2024·江苏高考)在静电场中有a、b两点,试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系,请问a、b两点的场强大小等于 (　　)
A.1∶1　　　　　　　　 B.2∶1
C.3∶1 D.4∶1
考法3　电场强度的叠加
3.(2025·河北邯郸高三检测)如图所示,水平直线上有A、O、B三点,BO=2AO,空间存在着竖直方向上的匀强电场(图中未画出)。若将一个电荷量为-Q的点电荷放在A点,则O点的场强大小为E1;若将这个电荷量为-Q的点电荷放在B点,则O点的场强大小变为E2。则匀强电场的场强大小为 (　　)
A.E= B.E=
C.E= D.E=
逐点清(三)　电场强度的求解四法
方法1　等效法
　　在保证效果相同的前提下,将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
　　例如,一个点电荷+q与一个无限大薄金属板之间形成的电场,可等效为两个等量异种点电荷形成的电场,如图甲、乙所示。
1.(多选)如图所示,在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN,在MN右侧与其相距2d的P点放置一电荷量为Q的正点电荷,如果从P点作MN的垂线,则O为垂足,A为O、P连线的中点,B为OP延长线上的一点,PB=d。静电力常量为k,关于各点的电场强度,下列说法正确的是 (　　)
A.O点场强大小为
B.A点场强大小为
C.B点场强大小为
D.A、B两点场强大小相等,方向相反
方法2　对称法
　　利用空间中对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点,使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
2.(2024·河北高考)如图,真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷,分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心,沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆,电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a,M点的电场强度为0,静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为 (　　)
A. B.
C. D.
方法3　补偿法
　　将有缺口的带电圆环补全为圆环,或将半球面补全为球面,然后再应用对称的特点进行分析,有时还要用到微元思想。
3.(2025·荆州模拟)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示,在绝缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷,总电荷量为q;在剩余球面AB上均匀分布负电荷,总电荷量为q。球半径为R,球心为O,CD为球面AA1B1B的对称轴,在轴线上有M、N两点,且OM=ON=2R,A1A=B1B,A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点产生的场强大小为E,静电力常量为k,则N点的场强大小为 (　　)
A. B.
C.+E D.+2E
方法4　微元法
　　将带电体分成许多电荷元,每个电荷元看成点电荷,先求出每个电荷元在某点的场强,再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
4.(2025·南昌一模)如图所示,电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上,O为圆环的圆心,在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P,它与O点的距离OP=2R,在P点也有一带电荷量为+q的点电荷,A点为OP的中点。随着R的改变,下列图像中,A点的场强与相关物理量之间关系正确的是 (　　)
逐点清(四)　电场线的理解与应用
细作1　常见电场的电场线分布
1.(多选)用电场线能很直观、很方便地比较各点的电场强弱。图甲是等量异种点电荷产生电场的电场线,图乙是该电场中的一些点:O是电荷连线的中点,E、F是电荷连线中垂线上关于O对称的两点,B、C和A、D也关于O对称,则下列说法正确的是 (　　)
A.B、C两点电场强度大小相等,方向相反
B.A、D两点电场强度大小和方向都相同
C.从E到F过程中电场强度先增大后减小
D.从B到C过程中电场强度先增大后减小
一点一过　等量点电荷电场特点对比
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线 分布图
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小,但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大,向外逐渐减小 O点最小,向外先变大后变小
关于O点中心对称位置的电场强度 等大同向 等大反向
细作2　电场线的应用
2.某电场的电场线分布如图所示,则 (　　)
A.P带负电
B.a点的电势低于b点的电势
C.a点的电场强度大于b点的电场强度
D.从c处由静止释放一个正电荷,仅在电场力的作用下,可以沿着电场线运动到d点
一点一过　电场线的妙用
判断电场 强度的大小 电场线密处电场强度大,电场线疏处电场强度小,进而可判断电荷受电场力的大小和加速度的大小。(如第2题中判断a、b两点的电场强度的大小)
判断电场 力的方向 正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同,负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。(如第2题中根据电场线判断正电荷在电场中所受电场力的方向,进而判断正电荷的运动轨迹)
判断电势 的高低 沿电场线的方向电势降低最快,且电场线密的地方比疏的地方降低更快
判断等势 面的疏密 电场线越密的地方,等差等势面越密集;电场线越疏的地方,等差等势面越稀疏
第1讲
课前基础先行
一、1.1.60×10-19　整数　2.大小、形状
二、1.转移　转移　不变　2.摩擦起电　接触起电　3.得失电子　4.等量同种　中和　平分
三、真空　点电荷　电荷量的乘积　二次方　k　9.0×109
四、1.电荷量q　2.　3.k　4.正电荷　静电力　5.矢量　平行四边形
五、1.大小　方向　切线方向　疏密　
2.①正电荷　③电场强度　④电场强度
⑤降低　⑥垂直
[微点判断]　1.①×　②×　2.√　3.×
4.×　5.×　6.×　7.√　8.×　9.①×　②×　10.√
逐点清(一)
1.选B　设A、B原来所带电荷量分别为+Q、-Q,A、B间的静电力大小F=,将不带电的同样的金属球C先与A接触,再与B接触后,A所带电荷量变为+,B所带电荷量变为-,再将A、B间距离增大为原来的2倍,A、B间的静电力大小F'=k==F,B正确。
2.选D　若点电荷位于Q1的左侧,则Q1对点电荷的作用力总大于Q2对点电荷的作用力,显然不能达到平衡状态,如果在Q1、Q2之间,则Q1、Q2对点电荷的库仑力方向相同,不能平衡,如果在Q2右侧,Q1、Q2对点电荷的库仑力方向相反,大小可能满足相等关系,A、B错误;在Q1、Q2连线上某位置放置一点电荷,使其处于平衡状态,设其坐标为x,则有k=k,解得x=12 cm,C错误,D正确。
3.(1)提示:虽然A、B两球所带的电荷量不同,但它们之间相互作用的静电力的大小相等。A、B两球质量相等,所受重力相同,根据对称性可判定α=β。
(2)选B　设匀强电场场强为E,Q和P两球之间静电力为F,绳子的拉力分别为T1、T2,两球质量分别为m1、m2,电荷量分别为q1、q2,T1、T2与竖直方向的夹角均为θ,对于小球Q有q1E+T1sin θ=F,T1cos θ=m1g,对于小球P有q2E+F=T2sin θ,T2cos θ=m2g,整理有q1E=F-T1sin θ>0,q2E=T2sin θ-F>0,可得T2>T1,又因为=,可知m2>m1,即P的质量一定大于Q的质量,两小球的电荷量大小关系无法判断,故选B。
逐点清(二)
1.选B　电场强度取决于电场本身,与有无试探电荷无关,故A错误;点电荷的电场强度公式E=k表明,点电荷周围某点电场强度的大小与点电荷的电荷量Q成正比,与该点到场源电荷距离r的二次方成反比,故B正确;场强公式E=,只是为了研究电场方便,采用比值法下的定义,电场强度的大小与试探电荷的电荷量q以及试探电荷所受的电场力大小均无关,故C错误;匀强电场中电场强度处处相同,所带电荷量不同时,根据F=Eq可知所受的电场力也不同,故D错误。
2.选D　设F q图像的横坐标单位长度电荷量为q0,纵坐标单位长度力的大小为F0,根据E=,可知F q图像斜率表示电场强度,由题图可知Ea=,Eb==,可得=4∶1。故选D。
3.选C　电荷量为-Q的点电荷放在A点时,设它在O点产生的场强大小为E0, 设AO=r,则根据库仑定律得E0=k,由题意可知E1=,点电荷放在B点时,由于BO=2AO=2r,根据库仑定律,则它在O点产生的场强大小为E0'=k=,由题意可知E2=,联立可得E=,故选C。
逐点清(三)
1.选AC　系统达到稳定后,因为金属板接地,电势为零,所以电场线分布如图所示,金属板右侧的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同,故O点场强大小为EO=k+k=,A点场强大小为EA=k+k=,B点场强大小为EB=k-k=,A、B两点场强方向相反,故A、C正确,B、D错误。
2.选D　B点、C点的电荷在M点产生的合场强大小为E=2cos 60°=,因M点的合场强为零,因此带电细杆在M点产生的场强大小为EM=E,由对称性可知带电细杆在A点产生的场强大小为EA=EM=E,方向竖直向上,因此A点的合场强大小为E合=EA+2cos 30°=,故选D。
3.选B　将AB部分补上,使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳,完整球壳带正电荷量为Q=q,为保证电荷量不变,球面AB带负电荷量为q,则该球壳带正电的部分在M点产生的场强大小为EM==,根据对称性可知,完整球壳带正电的部分在N点产生的场强大小为EN=,方向由O指向N,由题可知带电荷量为q的A1B1在M点产生的场强大小为E,则球面AB带负电的部分在N点产生的场强大小为2E,方向由N指向O,则N点的场强大小为EN'=,故选B。
4.选A　根据题意,将圆环分成n个微元电荷,设每个微元电荷的电荷量为Δq,由几何关系可知,微元电荷到A点的距离为R,微元电荷和A点连线与水平方向的夹角为45°,根据点电荷场强公式和场强叠加原理可得,圆环在A点产生的电场强度大小为E1=ncos 45°=,方向由O指向A,P点的点电荷在A点产生的电场强度大小为E2=,方向由P指向A,则A点的电场强度为E=E2-E1=,可知A点的场强E与成正比。故选A。
逐点清(四)
1.选BC　根据等量异种点电荷形成电场的对称性,结合电场线的疏密程度表示电场强度的大小及电场线的切线方向表示电场强度的方向,可以看出B、C两点电场强度大小和方向都相同,A、D两点电场强度大小和方向都相同,从E到F过程中电场强度先增大后减小,从B到C过程中电场强度先减小后增大,故B、C正确,A、D错误。
2.选B　根据电场线方向可知P带正电,故A错误;沿电场线方向电势降低,所以a点的电势低于b点的电势,故B正确;电场线越密集的位置电场强度越大,所以a点的电场强度小于b点的电场强度,故C错误;由于电场线不是直线,所以正电荷所受电场力方向会时刻变化,正电荷将做曲线运动,其所受电场力将指向轨迹的凹侧,且沿电场线切线方向,所以从c处由静止释放一个正电荷,仅在电场力的作用下,不可能沿着电场线运动到d点,故D错误。
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静电场中力的性质(基础落实课)
第 1 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一)　库仑定律及其应用
CONTENTS
目录
4
逐点清(三)　电场强度的求解四法
6
课时跟踪检测
3
逐点清(二)　电场强度的理解与计算
5
逐点清(四)　电场线的理解与应用
课前基础先行
一、元电荷、点电荷
1.元电荷:e=___________ C，所有带电体的电荷量都是元电荷的_____倍。
2.点电荷:代表带电体的有一定电荷量的点，忽略带电体的____________及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响的理想化 模型。
1.60×10-19
整数
大小、形状
二、电荷守恒定律
1.内容:电荷既不会创生，也不会消灭，它只能从一个物体_____到另一个物体，或者从物体的一部分_____到另一部分;在转移过程中，电荷的总量保持_____。
2.起电方式:_________、_________、感应起电。
3.带电实质:物体带电的实质是____________。
转移
转移
不变
摩擦起电
接触起电
得失电子
4.电荷的分配原则:两个形状、大小相同且带同种电荷的导体，接触后再分开，二者带_________电荷，若两导体原来带异种电荷，则电荷先_____，余下的电荷再________。公式:q1'=q2'=。
等量同种
中和
平分
三、库仑定律
内容 ______中两个静止_______之间的相互作用力，与它们的_______________成正比，与它们的距离的_______成反比，作用力的方向在它们的连线上
表达式 F=_______，式中k=_________N·m2/C2，叫作静电力常量
真空
点电荷
电荷量的乘积
二次方
k
9.0×109
说明:①F=k，r指两点电荷间的距离。对于可视为点电荷的两个均匀带电绝缘球体，r为两球的球心间距。
②当两个带电体间的距离r→0时，带电体不能视为点电荷，它们之间的静电力不能认为趋于无限大。
四、电场强度
1.定义:放入电场中某点的电荷受到的静电力F与它的________之比。
2.定义式:E=____。单位:N/C或V/m。
3.点电荷的电场强度:E=______。
4.方向:规定________在电场中某点所受的________的方向为该点的电场强度方向。
5.电场强度的叠加:电场中某点的电场强度等于各个点电荷单独在该点产生的电场强度的_______和，遵从______________定则。
电荷量q
k
正电荷
静电力
矢量
平行四边形
五、电场线
1.定义:为了形象地描述电场中各点电场强度的_____及_____，在电场中画出一条条有方向的曲线，曲线上每点的__________表示该点的电场强度方向，曲线的_____表示电场强度的大小。
大小
方向
切线方向
疏密
2.电场线的特点
①电场线起始于_________ (或无穷远处)，终止于无穷远处(或负电荷)，电场线不闭合;②电场中的电场线不相交;③同一电场中，电场线密的地方____________大;④电场线上某点的切线方向表示该点的___________方向;⑤沿电场线方向电势______;⑥电场线和等势面在相交处_______。
正电荷
电场强度
电场强度
降低
垂直
1.(人教必修3P5T4·改编)关于电荷，判断下列说法的正误:
①电荷量很小的电荷就是元电荷。 ( )
②物体所带的电荷量可以是任意的。 ( )
2.(2024·湖北高考T8A)一个与外界没有电荷交换的系统，电荷的代数和保持不变。 ( )
3.电场中某点的电场强度与试探电荷在该点所受的静电力成正比。( )
微点判断
×
×
√
×
4.富兰克林用油滴实验比较准确地测定了电子的电荷量。 ( )
5.根据公式F=k，当r→0 时，F→∞。 ( )
6.在点电荷产生的电场中，以点电荷为球心的同一球面上各点的电场强度都相同。 ( )
7.如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和。( )
×
×
×
√
8.由E=知，当试探电荷的电荷量q变为一半时，电场强度E变为2倍。 ( )
9.(鲁科必修3P18T3·改编)判断下列说法的正误:
①正电荷仅受电场力的作用从静止开始运动，其轨迹必定与电场线重合。 ( )
②静电场中某点电场强度的方向，就是放在该点的电荷所受电场力的方向。 ( )
10.电场线不是电荷的运动轨迹，但根据电场线的方向能确定已知电荷的加速度的方向。 ( )
×
×
×
√
逐点清(一)　库仑定律及其应用
课
堂
√
题点全练
1.[静电力的计算](人教版教材必修3，P10T3改编)真空中两个相同的带等量异种电荷的金属小球A和B(均可看作点电荷)，分别固定在两处，两球间的静电力大小为F。现用一个不带电的同样的金属小球C先与A接触，再与B接触，然后移开C，再将A、B间距离增大为原来的2倍，则A、B间的静电力大小为(　　)
A.　　　B.　　　C.　　　D.
解析:设A、B原来所带电荷量分别为+Q、-Q，A、B间的静电力大小F=，将不带电的同样的金属球C先与A接触，再与B接触后，A所带电荷量变为+，B所带电荷量变为-，再将A、B间距离增大为原来的2倍，A、B间的静电力大小F'=k==F，B正确。
2.[自由电荷的平衡问题](2025·哈尔滨模拟)如图，在真空中有两个点电荷Q1=4.0×10-8 C、Q2=-1.0×10-8 C，分别固定在x轴的坐标为0和6 cm的位置上，在Q1、Q2连线上某位置再放置一点电荷，使其仅在Q1、Q2作用下处于平衡状态，则下列说法中正确的是(　　)
A.该位置处于Q1、Q2之间 B.该位置处于Q1左侧
C.该位置在x=4 cm处 D.该位置在x=12 cm处
√
解析:若点电荷位于Q1的左侧，则Q1对点电荷的作用力总大于Q2对点电荷的作用力，显然不能达到平衡状态，如果在Q1、Q2之间，则Q1、Q2对点电荷的库仑力方向相同，不能平衡，如果在Q2右侧，Q1、Q2对点电荷的库仑力方向相反，大小可能满足相等关系，A、B错误;在Q1、Q2连线上某位置放置一点电荷，使其处于平衡状态，设其坐标为x，则有k=k，解得x=12 cm，C错误，D正确。
3.[带电体的平衡问题]
(1)(人教版教材必修3，P23T3)如图所示，用两根同样长的细绳把两个带同种电荷的小球悬挂在一点。两小球的质量相等，球A所带的电荷量大于球B所带的电荷量。两小球静止时，悬线与竖直方向的偏角分别为α和β，请判断二者的关系并说明原因。
提示:虽然A、B两球所带的电荷量不同，但它们之间相互作用的静电力的大小相等。A、B两球质量相等，所受重力相同，根据对称性可判定α=β。
(2)(2024·新课标卷)如图，两根不可伸长的等长绝缘细绳的上端均系在天花板的O点上，下端分别系有均带正电荷的小球P、Q;小球处在某一方向水平向右的匀强电场中，平衡时两细绳与竖直方向的夹角大小相等。则 (　　)
A.两绳中的张力大小一定相等
B.P的质量一定大于Q的质量
C.P的电荷量一定小于Q的电荷量
D.P的电荷量一定大于Q的电荷量
√
解析:设匀强电场场强为E，Q和P两球之间静电力为F，绳子的拉力分别为T1、T2，两球质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2，T1、T2与竖直方向的夹角均为θ，对于小球Q有q1E+T1sin θ=F，T1cos θ=m1g，对于小球P有q2E+F=T2sin θ，T2cos θ=m2g，整理有q1E=F-T1sin θ>0，q2E=T2sin θ-F>0，可得T2>T1，又因为=，可知m2>m1，即P的质量一定大于Q的质量，两小球的电荷量大小关系无法判断，故选B。
人教版教材中的练习题和2024年新课标卷均研究带电小球的平衡问题，人教版教材中两个带同种电荷的小球在彼此静电力的作用下处于平衡状态，定性分析角度α和β的大小关系;新课标卷中两个小球除了受到彼此的静电力，还受到匀强电场的电场力，需利用力的合成与分解综合分析。“源于教材，高于教材”是高考命题一贯坚持的原则。
考教衔接
1.静电力作用下的平衡问题
涉及静电力的平衡问题，其解题思路与力学中的平衡问题一样，只是在原来受力的基础上多了静电力，具体步骤如下:
精要点拨
2.三个自由点电荷的平衡条件及规律
平衡 条件 每个点电荷受另外两个点电荷的合静电力为零或每个点电荷处于另外两个点电荷的合电场强度为零的位置
平衡 规律
逐点清(二)　电场强度的理解与计算
课
堂
1.电场强度的性质
矢量性 规定正电荷在电场中某点所受电场力的方向为该点电场强度的方向
唯一性 电场中某一点的电场强度E是唯一的，它的大小和方向与放入该点的电荷q无关，它决定于形成电场的电荷(场源电荷)及空间位置
叠加性 如果有几个静止点电荷在空间同时产生电场，那么空间某点的电场强度是各场源电荷单独存在时在该点所产生的电场强度的矢量和
2.电场强度的三个计算公式
公式 适用条件 说明
定义式 E= 任何电场 某点的电场强度为确定值，大小及方向与q无关
决定式 E=k 真空中静止点电荷的电场 E由场源电荷Q和场源电荷到某点的距离r决定
关系式 E= 匀强电场 d是沿电场方向的距离
考法1　对电场强度的理解
1.关于电场强度，以下认识中正确的是(　　)
A.若在电场中的P点不放试探电荷，则P点的电场强度为0
B.点电荷的电场强度公式E=k表明，点电荷周围某点电场强度的大小，与该点到场源电荷距离r的二次方成反比
C.电场强度公式E=表明，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q成反比
D.匀强电场中电场强度处处相同，所以任何电荷在其中受力都相同
√
考法全训
解析:电场强度取决于电场本身，与有无试探电荷无关，故A错误;点电荷的电场强度公式E=k表明，点电荷周围某点电场强度的大小与点电荷的电荷量Q成正比，与该点到场源电荷距离r的二次方成反比，故B正确;场强公式E=，只是为了研究电场方便，采用比值法下的定义，电场强度的大小与试探电荷的电荷量q以及试探电荷所受的电场力大小均无关，故C错误;匀强电场中电场强度处处相同，所带电荷量不同时，根据F=Eq可知所受的电场力也不同，故D错误。
考法2　电场强度的计算
2.(2024·江苏高考)在静电场中有a、b两点，试探电荷在两点的静电力F与电荷量q满足如图所示的关系，请问a、b两点的场强大小等于(　　)
A.1∶1　 B.2∶1
C.3∶1 D.4∶1
√
解析:设F q图像的横坐标单位长度电荷量为q0，纵坐标单位长度力的大小为F0，根据E=，可知F q图像斜率表示电场强度，由题图可知Ea=，Eb==，可得=4∶1。故选D。
考法3　电场强度的叠加
3.(2025·河北邯郸高三检测)如图所示，水平直线上有A、O、B三点，BO=2AO，空间存在着竖直方向上的匀强电场(图中未画出)。若将一个电荷量为-Q的点电荷放在A点，则O点的场强大小为E1;若将这个电荷量为-Q的点电荷放在B点，则O点的场强大小变为E2。则匀强电场的场强大小为(　　)
A.E= 　　B.E=
C.E= 　　D.E=
√
解析:电荷量为-Q的点电荷放在A点时，设它在O点产生的场强大小为E0， 设AO=r，则根据库仑定律得E0=k，由题意可知E1=，点电荷放在B点时，由于BO=2AO=2r，根据库仑定律，则它在O点产生的场强大小为E0'=k=，由题意可知E2=，联立可得E=，故选C。
逐点清(三)　
电场强度的求解四法
课
堂
在保证效果相同的前提下，将复杂的电场情境变换为简单的或熟悉的电场情境。
例如，一个点电荷+q与一个无限
大薄金属板之间形成的电场，可等效
为两个等量异种点电荷形成的电场，
如图甲、乙所示。
方法1　等效法
1.(多选)如图所示，在真空中某竖直平面内固定一足够大的接地金属板MN，在MN右侧与其相距2d的P点放置一电荷量为Q的正点电荷，如果从P点作MN的垂线，则O为垂足，A为O、P连线的中点，B为OP延长线上的一点，PB=d。静电力常量为k，关于各点的电场强度，下列说法正确的是 (　　)
A.O点场强大小为
B.A点场强大小为
C.B点场强大小为
D.A、B两点场强大小相等，方向相反
√
√
解析:系统达到稳定后，因为金属板接地，电势为零，所以电场线分布如图所示，金属板右侧的电场线分布与等量异种点电荷连线的中垂线右侧的电场线分布相同，故O点场强大小为EO=k+k=，A点场强大小为EA=k+k=，B点场强大小为EB=k-k=，A、B两点场强方向相反，故A、C正确，B、D错误。
利用空间中对称分布的电荷形成的电场具有对称性的特点，使复杂电场的叠加计算问题大为简化。
方法2　对称法
2.(2024·河北高考)如图，真空中有两个电荷量均为q(q>0)的点电荷，分别固定在正三角形ABC的顶点B、C。M为三角形ABC的中心，沿AM的中垂线对称放置一根与三角形共面的均匀带电细杆，电荷量为。已知正三角形ABC的边长为a，M点的电场强度为0，静电力常量为k。顶点A处的电场强度大小为(　　)
A. B.
C. D.
√
解析:B点、C点的电荷在M点产生的合场强大小为E=2cos 60°=，因M点的合场强为零，因此带电细杆在M点产生的场强大小为EM=E，由对称性可知带电细杆在A点产生的场强大小为EA=EM=E，方向竖直向上，因此A点的合场强大小为E合=EA+2cos 30°=，故选D。
将有缺口的带电圆环补全为圆环，或将半球面补全为球面，然后再应用对称的特点进行分析，有时还要用到微元思想。
方法3　补偿法
3.(2025·荆州模拟)均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处的点电荷产生的电场。如图所示，在绝缘球球面AA1B1B上均匀分布正电荷，总电荷量为q;在剩余球面AB上均匀分布负电荷，总电荷量为q。球半径为R，球心为O，CD为球面AA1B1B的对称轴，在轴线上有M、N两点，且OM=ON=2R，A1A=B1B，A1A∥B1B∥CD。已知球面A1B1在M点产生的场强大小为E，静电力常量为k，则N点的场强大小为(　　)
A. B.
C.+E D.+2E
√
解析:将AB部分补上，使球壳变成一个均匀带正电的完整的球壳，完整球壳带正电荷量为Q=q，为保证电荷量不变，球面AB带负电荷量为q，则该球壳带正电的部分在M点产生的场强大小为EM==，根据对称性可知，完整球壳带正电的部分在N点产生的场强大小为EN=，方向由O指向N，由题可知带电荷量为q的A1B1在M点产生的场强大小为E，则球面AB带负电的部分在N点产生的场强大小为2E，方向由N指向O，则N点的场强大小为EN'=，故选B。
将带电体分成许多电荷元，每个电荷元看成点电荷，先求出每个电荷元在某点的场强，再结合对称性和场强叠加原理求出合场强。
方法4　微元法
4.(2025·南昌一模)如图所示，电荷量为+q的电荷均匀地分布在半径为R的绝缘环上，O为圆环的圆心，在过O点垂直于圆环平面的轴上有一点P，它与O点的距离OP=2R，在P点也有一带电荷量为+q的点电荷，A点为OP的中点。随着R的改变，下列图像中，A点的场强与相关物理量之间关系正确的是 (　　)
√
解析:根据题意，将圆环分成n个微元电荷，设每个微元电荷的电荷量为Δq，由几何关系可知，微元电荷到A点的距离为R，微元电荷和A点连线与水平方向的夹角为45°，根据点电荷场强公式和场强叠加原理可得，圆环在A点产生的电场强度大小为E1=ncos 45°=，方向由O指向A，P点的点电荷在A点产生的电场强度大小为E2=，方向由P指向A，则A点的电场强度为E=E2-E1=，可知A点的场强E与成正比。故选A。
逐点清(四)　电场线的理解与应用
课
堂
细作1　常见电场的电场线分布
1.(多选)用电场线能很直观、很方便地比较各点的电场强弱。图甲是等量异种点电荷产生电场的电场线，图乙是该电场中的一些点:O是电荷连线的中点，E、F是电荷连线中垂线上关于O对称的两点，B、C和A、D也关于O对称，则下列说法正确的是(　　)
A.B、C两点电场强度大小相等，方向相反
B.A、D两点电场强度大小和方向都相同
C.从E到F过程中电场强度先增大后减小
D.从B到C过程中电场强度先增大后减小
√
√
解析:根据等量异种点电荷形成电场的对称性，结合电场线的疏密程度表示电场强度的大小及电场线的切线方向表示电场强度的方向，可以看出B、C两点电场强度大小和方向都相同，A、D两点电场强度大小和方向都相同，从E到F过程中电场强度先增大后减小，从B到C过程中电场强度先减小后增大，故B、C正确，A、D错误。
一点一过　等量点电荷电场特点对比
等量异种点电荷 等量同种点电荷
电场线 分布图
电荷连线上的电场强度 沿连线先变小后变大
O点最小，但不为零 O点为零
中垂线上的电场强度 O点最大，向外逐渐减小 O点最小，向外先变大后变小
关于O点中心对称位置的电场强度 等大同向 等大反向
续表
细作2　电场线的应用
2.某电场的电场线分布如图所示，则(　　)
A.P带负电
B.a点的电势低于b点的电势
C.a点的电场强度大于b点的电场强度
D.从c处由静止释放一个正电荷，仅在电场力的作用下，可以沿着电场线运动到d点
√
解析:根据电场线方向可知P带正电，故A错误;沿电场线方向电势降低，所以a点的电势低于b点的电势，故B正确;电场线越密集的位置电场强度越大，所以a点的电场强度小于b点的电场强度，故C错误;由于电场线不是直线，所以正电荷所受电场力方向会时刻变化，正电荷将做曲线运动，其所受电场力将指向轨迹的凹侧，且沿电场线切线方向，所以从c处由静止释放一个正电荷，仅在电场力的作用下，不可能沿着电场线运动到d点，故D错误。
一点一过　电场线的妙用
判断电场 强度的大小 电场线密处电场强度大，电场线疏处电场强度小，进而可判断电荷受电场力的大小和加速度的大小。
(如第2题中判断a、b两点的电场强度的大小)
判断电场 力的方向 正电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相同，负电荷的受力方向和电场线在该点切线方向相反。
(如第2题中根据电场线判断正电荷在电场中所受电场力的方向，进而判断正电荷的运动轨迹)
判断电势 的高低 沿电场线的方向电势降低最快，且电场线密的地方比疏的地方降低更快
判断等势 面的疏密 电场线越密的地方，等差等势面越密集;电场线越疏的地方，等差等势面越稀疏
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(说明:标★的为推荐讲评题目)
一、单项选择题
1.如图所示，内置金属网的高压静电防护服接
地，O为防护服内的一点，把一带电量为+Q的金
属小球移动到距离O点为r处。金属小球可视为点
电荷，静电力常量为k，无穷远处电势为0，下列
说法正确的是(　　)
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A.金属小球激发的电场在防护服内不存在
B.金属小球与O点连线中点P处的电势为0
C.感应电荷在O点产生的场强大小等于k
D.防护服内金属网左侧外表面带负电，右侧内表面带正电
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解析:金属小球和防护服内置金属网在防护服内产生的合场强为零，金属小球+Q在O点产生的场强与感应电荷在该处产生的场强大小相等、方向相反，感应电荷在O点产生的场强大小为E=，故A错误，C正确;金属小球与O点之间的场强方向向右，防护服接地，电势为零，沿场强方向电势逐渐降低，P处的电势大于零，故B错误;防护服接地，由静电感应原理可以知道，防护服内金属网左侧外表面带负电，大地的无限远处带正电，故D错误。
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2.(2023·重庆高考)真空中固定有两个点电荷，负电荷Q1位于坐标原点处，正电荷Q2位于x轴上，Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0，则Q1、Q2相距 (　　)
A.x0 B.(2-1)x0
C.2x0 D.(2+1)x0
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解析:依题意，两点电荷电性相反，且Q2的电荷量较大，所以Q2的位置应该在x轴的负半轴，设两点电荷相距L，根据点电荷场强公式可得=，又Q2=8Q1，解得L=x0，故选B。
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3.(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)静电悬浮技
术是利用静电场对带电物体的电场力来平衡重力，
从而实现材料悬浮无容器处理的一种先进技术，
其原理示意图如图所示。若两平行金属极板间电势差为U，间距为d。质量为m的金属微粒悬浮于其中，重力加速度大小为g，则金属微粒所带电荷的电性和电荷量q分别为 (　　)
A.负电荷，q=　　　 B.负电荷，q=
C.正电荷，q= D.正电荷，q=
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解析:由题图可知，两极板间电场强度方向竖直向上，微粒受电场力方向竖直向上，可知微粒带正电，由平衡条件可知q=mg，解得q=，故选C。
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4.(2025·绵阳高三质检)如图所示，在光滑绝缘水平面上固定有电荷量分别为+2Q和-Q的点电荷A、B，间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置，自由释放另一电荷量为+q的点电荷C，释放瞬间加速度为a1;将A、B接触，电荷平均分配后放回原处，再从相同位置自由释放C，释放瞬间加速度为a2。则 (　　)
A.a1、a2的方向均水平向右 B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于 D.a1与a2大小之比等于
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解析:在A、B接触前，由于B对C的吸引力大于A对C的排斥力，所以a1的方向水平向左，根据库仑定律和牛顿第二定律可得k-k=ma1;在A、B接触后，点电荷A、B的电荷量先中和再平分，二者所带电荷量均为+0.5Q，由于A、B都带正电，所以C受到的都是排斥力，则a2的方向水平向右，根据库仑定律和牛顿第二定律可得k+k=ma2，联立两式可得a1与a2大小之比为=，故选C。
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5.(2025·晋中模拟)如图所示，真空中A、B、C三点的连线构成一个边长L=1 m的等边三角形，AD为BC连线的中垂线，D为BC连线中点。若将电荷量均为q=+1×10-6 C的两点电荷分别固定在B、C点，已知静电力常量k=9×109 N·m2/C2，则 (　　)
A.两点电荷间的库仑力大小为9×103 N
B.将一负点电荷放在D点受到的电场力最大
C.A点的电场强度的大小为9×103 N/C
D.从D到A电势逐渐升高
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解析:两点电荷间的库仑力大小为F=k=9×109× N=9×10-3 N，故A错误;在D点的负点电荷受到B、C两点的
正点电荷的电场力等大反向，合力为零，合力最小，故B错
误;A点的电场方向如图所示，则A点的电场强度的大小为
E=cos 30°=× N/C=9×103 N/C，
故C正确;在BC连线的中垂线上，电场线由连线中点指向外侧，可知从D到A电势逐渐降低，故D错误。
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6.如图所示，M、N为两个等量同种正点电荷，在其连线的中垂线上P点由静止释放一带负电的试探电荷q，不计重力，
下列说法正确的是 (　　)
A.电荷q从P到O的过程中，加速度一定减小
B.电荷q运动到O点时加速度为零，速度达到最大值
C.电荷q越过O点后，速度越来越小，加速度越来越大，直到粒子速度为零
D.无论如何改变电荷q的初速度，电荷q在该电场中都不可能做匀速圆周运动
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解析:如图所示，根据电场叠加原理及等量同
种正点电荷中垂线上电场线的分布特点可知，O点
场强为零，从O点沿中垂线向外，场强先变大后变
小，电荷q从P→O的过程中，由于P点位置的不确
定性，受到的电场力可能是先变大后变小，也可能是一直变小，所以加速度可能先变大后变小，也可能一直变小，故A错误;电荷q带负电，在到达O点之前，受到的电场力沿着PO方向指向O，电场力一直与速度同
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向，电荷q一直加速，速度一定是一直变大的，到达O点时加速度为零，速度达到最大，故B正确;该电场关于直线MN对称，电荷q越过O点后，由于电场力的方向向上，速度一定越来越小，直到减为0，但其加速度的变化在这个过程中可能是先增大后减小，也可能是一直增大，故C错误;如果改变电荷q的初速度，使电荷q在P点的速度方向垂直纸面向外，此时受到的电场力指向O点，且刚好提供电荷q绕O点做匀速圆周运动的向心力，则电荷q在该电场中可以做匀速圆周运动，故D错误。
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7.(2025·长沙模拟)如图所示，一足够大的空间内有一无限长的均匀带正电的导体棒水平放置，导体棒所在的竖直平面内放有三个质量相同、电荷量分别为q、2q、3q的微粒，通过多次摆放发现，当三个微粒均静止时，它们距导体棒的距离之比总是1∶2∶3，不考虑微粒间的相互作用。现撤去三个微粒，在导体棒所在的竖直平面内距导体棒1.5h、2.5h处分别放有电子A、B(不计重力)，给它们各自一个速度使其以导体棒为轴做匀速圆周运动，则A、
B做圆周运动的线速度之比为(　　)
A.1∶1 B.3∶5
C.1∶2 D.5∶3
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解析:设q、2q、3q所在位置对应的电场强度为E1、E2、E3，由平衡条件得E1=，E2=，E3=，即E1∶E2∶E3=∶∶，而它们距导体棒的距离之比总是1∶2∶3，可知某点电场强度的大小与该点到导体棒的距离成反比，则任意一点的电场强度大小可写成E=(k为常量)。由于电子绕导体棒做匀速圆周运动，则e=m，e=m，解得=，故选A。
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8.(2023·海南高考)如图所示，一光滑绝缘轨道水
平放置，直径上有A、B两点，AO=2 cm，OB=4 cm，
在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电
荷，现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球
可视为点电荷)，已知AP∶BP=n∶1，则Q1∶Q2是 (　　)
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
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解析:对小球受力分析如图所示，由正弦定理有=，其中∠CPH=∠OPB，∠CHP=∠HPD=∠APO，对△APO由正弦定理有=，同理有=，
设带正电的小球电荷量为q，则FA=k，
FB=k，联立有Q1∶Q2=2n3∶1。
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二、多项选择题
9.如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图，图中两点电荷连线长度为2r，左侧点电荷带电荷量为+2q，右侧点电荷带电荷量为-q，P、Q两点关于两电荷连线对称。由图可知(　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度大于N点的电场强度
C.把同一试探电荷放在N点，其所受电场力大
于放在M点所受的电场力
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为
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解析:P、Q两点的电场强度大小相同，方向不相同，故A错误;M点的电场线比N点的电场线密，所以M点的电场强度大于N点的电场强度，把同一试探电荷放在N点，其所受电场力小于放在M点所受的电场力，故B正确，C错误;左侧点电荷在两点电荷连线的中点处产生的电场强度方向指向右侧，大小为E1=k，右侧点电荷在两点电荷连线的中点处产生的电场强度方向指向右侧，大小为E2=k，合场强为E=E1+E2=，故D正确。
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10.在水平面上某点固定一个点电荷，在此平面内建立直角坐标系，如图所示，测得A点处电场强度EA方向与x轴正方向的夹角为30°，大小EA=90 N/C，B点处电场强度EB方向与y轴正方向重合。已知A点坐标为，B点坐标为。下列说法正确的是(　　)
A.点电荷所在坐标为
B.点电荷在坐标原点处
C.EB=67.5 N/C
D.EB=40 N/C
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解析:根据点电荷电场的特征知A、B两点的场强反向延长线相交于一点，此点就是点电荷所在的位置，由几何关系知此点的坐标为，A正确，B错误;根据点电荷电场强度公式EA=，EB=，其中rA=2 m，rB=3 m，联立解得EB=40 N/C，C错误，D正确。
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11.如图所示，真空中有三个点电荷q1、q2和q3，q1=-q和q2=-q(q>0)分别固定在Rt△OAB的顶点O(0，0)和顶点A(2a，0)上。若B点的电场强度为零，α=60°，则可能(　　)
A.q3=q，位于点(a，0)
B.q3=q，位于点(a，0)
C.q3=-q，位于点(0，a)
D.q3=-q，位于点(0，a)
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解析:如图所示，点电荷q1在B点产生的场强方向指向q1，大小为E1=k=，点电荷q2在B点产生的场强方向指向q2，大小为E2=k=，则有=，则点电荷q1和q2在B点产生的合场强方向指向OA的中点C，
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大小为E==。B点的电场场强为0，若q3位于点(a，0)，即图中C点，则q3带正电，且E3=k=E=，解得q3=q，若q3位于点(0，a)，即图中D点，则q3带负电，且E3=k=E=，解得q3=-q，故选A、C。
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三、计算题
12.(12分)(2023·全国乙卷)如图，等边三角形△ABC位于竖直平面内，AB边水平，顶点C在AB边上方，3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下，BC边中点N处的电场强度方向竖直向上，A点处点电荷的电荷量的绝对值为q，求:
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(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负;(6分)
答案:q　A、B、C均为正电荷　
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解析:因为M点的电场强度竖直向下，则C为正电荷，根据场强叠加原理，可知A、B两点的点电荷在M点产生的电场强度大小相等、方向相反，则B点处点电荷的电荷量的绝对值为q，电性与A相同，又N点的电场强度竖直向上，故A、B两处的点电荷在N点产生的电场强度有向上的分量，可得A处点电荷在N点产生的场强垂直BC沿AN连线指向右上方，如图甲所示，可知A处点电荷为正电荷，所以A、B、C均为正电荷。
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(2)C点处点电荷的电荷量。(6分)
答案:q
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解析:对N点的电场进行分解，如图乙所示，由几何关系
EA'=EBC·tan 30°
即=
其中AN=BN=CN
解得qC=q。
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4课时跟踪检测(四十四)　静电场中力的性质
一、单项选择题
1.如图所示,内置金属网的高压静电防护服接地,O为防护服内的一点,把一带电量为+Q的金属小球移动到距离O点为r处。金属小球可视为点电荷,静电力常量为k,无穷远处电势为0,下列说法正确的是 (　　)
A.金属小球激发的电场在防护服内不存在
B.金属小球与O点连线中点P处的电势为0
C.感应电荷在O点产生的场强大小等于k
D.防护服内金属网左侧外表面带负电,右侧内表面带正电
2.(2023·重庆高考)真空中固定有两个点电荷,负电荷Q1位于坐标原点处,正电荷Q2位于x轴上,Q2的电荷量大小为Q1的8倍。若这两点电荷在x轴正半轴的x=x0处产生的合电场强度为0,则Q1、Q2相距 (　　)
A.x0 B.(2-1)x0
C.2x0 D.(2+1)x0
3.(2025年1月·八省联考陕晋宁青卷)静电悬浮技术是利用静电场对带电物体的电场力来平衡重力,从而实现材料悬浮无容器处理的一种先进技术,其原理示意图如图所示。若两平行金属极板间电势差为U,间距为d。质量为m的金属微粒悬浮于其中,重力加速度大小为g,则金属微粒所带电荷的电性和电荷量q分别为 (　　)
A.负电荷,q=　　　 B.负电荷,q=
C.正电荷,q= D.正电荷,q=
4.(2025·绵阳高三质检)如图所示,在光滑绝缘水平面上固定有电荷量分别为+2Q和-Q的点电荷A、B,间距为L。在A、B延长线上距离B为L的位置,自由释放另一电荷量为+q的点电荷C,释放瞬间加速度为a1;将A、B接触,电荷平均分配后放回原处,再从相同位置自由释放C,释放瞬间加速度为a2。则 (　　)
A.a1、a2的方向均水平向右
B.a1、a2的方向均水平向左
C.a1与a2大小之比等于
D.a1与a2大小之比等于
5.(2025·晋中模拟)如图所示,真空中A、B、C三点的连线构成一个边长L=1 m的等边三角形,AD为BC连线的中垂线,D为BC连线中点。若将电荷量均为q=+1×10-6 C的两点电荷分别固定在B、C点,已知静电力常量k=9×109 N·m2/C2,则 (　　)
A.两点电荷间的库仑力大小为9×103 N
B.将一负点电荷放在D点受到的电场力最大
C.A点的电场强度的大小为9×103 N/C
D.从D到A电势逐渐升高
6.如图所示,M、N为两个等量同种正点电荷,在其连线的中垂线上P点由静止释放一带负电的试探电荷q,不计重力,下列说法正确的是 (　　)
A.电荷q从P到O的过程中,加速度一定减小
B.电荷q运动到O点时加速度为零,速度达到最大值
C.电荷q越过O点后,速度越来越小,加速度越来越大,直到粒子速度为零
D.无论如何改变电荷q的初速度,电荷q在该电场中都不可能做匀速圆周运动
7.(2025·长沙模拟)如图所示,一足够大的空间内有一无限长的均匀带正电的导体棒水平放置,导体棒所在的竖直平面内放有三个质量相同、电荷量分别为q、2q、3q的微粒,通过多次摆放发现,当三个微粒均静止时,它们距导体棒的距离之比总是1∶2∶3,不考虑微粒间的相互作用。现撤去三个微粒,在导体棒所在的竖直平面内距导体棒1.5h、2.5h处分别放有电子A、B(不计重力),给它们各自一个速度使其以导体棒为轴做匀速圆周运动,则A、B做圆周运动的线速度之比为 (　　)
A.1∶1 B.3∶5
C.1∶2 D.5∶3
8.(2023·海南高考)如图所示,一光滑绝缘轨道水平放置,直径上有A、B两点,AO=2 cm,OB=4 cm,在A、B两点固定两个带电荷量分别为Q1、Q2的正电荷,现有一个带正电的小球静置于轨道内侧P点(小球可视为点电荷),已知AP∶BP=n∶1,则Q1∶Q2是 (　　)
A.2n2∶1 B.4n2∶1
C.2n3∶1 D.4n3∶1
二、多项选择题
9.如图所示是一对不等量异种点电荷的电场线分布图,图中两点电荷连线长度为2r,左侧点电荷带电荷量为+2q,右侧点电荷带电荷量为-q,P、Q两点关于两电荷连线对称。由图可知 (　　)
A.P、Q两点的电场强度相同
B.M点的电场强度大于N点的电场强度
C.把同一试探电荷放在N点,其所受电场力大于放在M点所受的电场力
D.两点电荷连线的中点处的电场强度大小为
10.在水平面上某点固定一个点电荷,在此平面内建立直角坐标系,如图所示,测得A点处电场强度EA方向与x轴正方向的夹角为30°,大小EA=90 N/C,B点处电场强度EB方向与y轴正方向重合。已知A点坐标为,B点坐标为。下列说法正确的是 (　　)
A.点电荷所在坐标为
B.点电荷在坐标原点处
C.EB=67.5 N/C
D.EB=40 N/C
11.如图所示,真空中有三个点电荷q1、q2和q3,q1=-q和q2=-q(q>0)分别固定在Rt△OAB的顶点O(0,0)和顶点A(2a,0)上。若B点的电场强度为零,α=60°,则可能 (　　)
A.q3=q,位于点(a,0)
B.q3=q,位于点(a,0)
C.q3=-q,位于点(0,a)
D.q3=-q,位于点(0,a)
三、计算题
12.(12分)(2023·全国乙卷)如图,等边三角形△ABC位于竖直平面内,AB边水平,顶点C在AB边上方,3个点电荷分别固定在三角形的三个顶点上。已知AB边中点M处的电场强度方向竖直向下,BC边中点N处的电场强度方向竖直向上,A点处点电荷的电荷量的绝对值为q,求:
(1)B点处点电荷的电荷量的绝对值并判断3个点电荷的正负;(6分)
(2)C点处点电荷的电荷量。(6分)
课时跟踪检测(四十四)
1.选C　金属小球和防护服内置金属网在防护服内产生的合场强为零,金属小球+Q在O点产生的场强与感应电荷在该处产生的场强大小相等、方向相反,感应电荷在O点产生的场强大小为E=,故A错误,C正确;金属小球与O点之间的场强方向向右,防护服接地,电势为零,沿场强方向电势逐渐降低,P处的电势大于零,故B错误;防护服接地,由静电感应原理可以知道,防护服内金属网左侧外表面带负电,大地的无限远处带正电,故D错误。
2.选B　依题意,两点电荷电性相反,且Q2的电荷量较大,所以Q2的位置应该在x轴的负半轴,设两点电荷相距L,根据点电荷场强公式可得=,又Q2=8Q1,解得L=x0,故选B。
3.选C　由题图可知,两极板间电场强度方向竖直向上,微粒受电场力方向竖直向上,可知微粒带正电,由平衡条件可知q=mg,解得q=,故选C。
4.选C　在A、B接触前,由于B对C的吸引力大于A对C的排斥力,所以a1的方向水平向左,根据库仑定律和牛顿第二定律可得k-k=ma1;在A、B接触后,点电荷A、B的电荷量先中和再平分,二者所带电荷量均为+0.5Q,由于A、B都带正电,所以C受到的都是排斥力,则a2的方向水平向右,根据库仑定律和牛顿第二定律可得k+k=ma2,联立两式可得a1与a2大小之比为=,故选C。
5.选C　两点电荷间的库仑力大小为F=k=9×109× N=9×10-3 N,故A错误;在D点的负点电荷受到B、C两点的正点电荷的电场力等大反向,合力为零,合力最小,故B错误;A点的电场方向如图所示,则A点的电场强度的大小为E=cos 30°=× N/C=9×103 N/C,故C正确;在BC连线的中垂线上,电场线由连线中点指向外侧,可知从D到A电势逐渐降低,故D错误。
6.选B　如图所示,根据电场叠加原理及等量同种正点电荷中垂线上电场线的分布特点可知,O点场强为零,从O点沿中垂线向外,场强先变大后变小,电荷q从P→O的过程中,由于P点位置的不确定性,受到的电场力可能是先变大后变小,也可能是一直变小,所以加速度可能先变大后变小,也可能一直变小,故A错误;电荷q带负电,在到达O点之前,受到的电场力沿着PO方向指向O,电场力一直与速度同向,电荷q一直加速,速度一定是一直变大的,到达O点时加速度为零,速度达到最大,故B正确;该电场关于直线MN对称,电荷q越过O点后,由于电场力的方向向上,速度一定越来越小,直到减为0,但其加速度的变化在这个过程中可能是先增大后减小,也可能是一直增大,故C错误;如果改变电荷q的初速度,使电荷q在P点的速度方向垂直纸面向外,此时受到的电场力指向O点,且刚好提供电荷q绕O点做匀速圆周运动的向心力,则电荷q在该电场中可以做匀速圆周运动,故D错误。
7.选A　设q、2q、3q所在位置对应的电场强度为E1、E2、E3,由平衡条件得E1=,E2=,E3=,即E1∶E2∶E3=∶∶,而它们距导体棒的距离之比总是1∶2∶3,可知某点电场强度的大小与该点到导体棒的距离成反比,则任意一点的电场强度大小可写成E=(k为常量)。由于电子绕导体棒做匀速圆周运动,则e=m,e=m,解得=,故选A。
8.选C　对小球受力分析如图所示,
由正弦定理有=,其中∠CPH=∠OPB,∠CHP=∠HPD=∠APO,对△APO由正弦定理有=,同理有=,设带正电的小球电荷量为q,则FA=k,FB=k,联立有Q1∶Q2=2n3∶1。
9.选BD　P、Q两点的电场强度大小相同,方向不相同,故A错误;M点的电场线比N点的电场线密,所以M点的电场强度大于N点的电场强度,把同一试探电荷放在N点,其所受电场力小于放在M点所受的电场力,故B正确,C错误;左侧点电荷在两点电荷连线的中点处产生的电场强度方向指向右侧,大小为E1=k,右侧点电荷在两点电荷连线的中点处产生的电场强度方向指向右侧,大小为E2=k,合场强为E=E1+E2=,故D正确。
10.选AD　根据点电荷电场的特征知A、B两点的场强反向延长线相交于一点,此点就是点电荷所在的位置,由几何关系知此点的坐标为,A正确,B错误;根据点电荷电场强度公式EA=,EB=,其中rA=2 m,rB=3 m,联立解得EB=40 N/C,C错误,D正确。
11.选AC　如图所示,
点电荷q1在B点产生的场强方向指向q1,大小为E1=k=,点电荷q2在B点产生的场强方向指向q2,大小为E2=k=,则有=,则点电荷q1和q2在B点产生的合场强方向指向OA的中点C,大小为E==。B点的电场场强为0,若q3位于点(a,0),即图中C点,则q3带正电,且E3=k=E=,解得q3=q,若q3位于点(0,a),即图中D点,则q3带负电,且E3=k=E=,解得q3=-q,故选A、C。
12.解析:(1)因为M点的电场强度竖直向下,则C为正电荷,
根据场强叠加原理,可知A、B两点的点电荷在M点产生的电场强度大小相等、方向相反,则B点处点电荷的电荷量的绝对值为q,电性与A相同,又N点的电场强度竖直向上,故A、B两处的点电荷在N点产生的电场强度有向上的分量,可得A处点电荷在N点产生的场强垂直BC沿AN连线指向右上方,如图甲所示,可知A处点电荷为正电荷,所以A、B、C均为正电荷。
(2)
对N点的电场进行分解,如图乙所示,由几何关系EA'=EBC·tan 30°
即=
其中AN=BN=CN
解得qC=q。
答案:(1)q　A、B、C均为正电荷　(2)q
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