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第2讲 静电场中能的性质(基础落实课)
一、静电力做功 电势能 电势 等势面
1.静电力做功
特点 静电力做功与 无关,只与初、末位置有关
计算 方法 (1)W=qEd,只适用于匀强电场,其中d为沿 的距离 (2)WAB=qUAB,适用于
2.电势能
(1)定义:电荷在 中具有的势能,数值上等于将电荷从该点移到 位置时静电力所做的功。
(2)静电力做功与电势能变化的关系:静电力做的功等于 的减少量,即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
(3)电势能的相对性:电势能是 的,通常把电荷在离场源电荷 处的电势能规定为0,或把电荷在大地 的电势能规定为0。
3.电势
定义 电荷在电场中某点具有的 与它的 之比
定义 式 φ=,电势是 ,其正(负)表示该点电势比 高(低)
相对 性 电势具有相对性,同一点的电势因选取零电势点的不同而不同
4.等势面的特点
(1)等势面一定与 垂直。
(2)在同一 上移动电荷时电场力不做功。
(3)电场线方向总是从 的等势面指向 的等势面。
(4)等差等势面越密的地方电场强度 ,反之 。
二、电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差
(1)定义式:UAB=。
(2)电势差与电势的关系:UAB= ,UAB=-UBA。
(3)影响因素:电势差UAB由电场本身的性质决定,与移动的电荷q及电场力做的功WAB ,与零电势点的选取 。
2.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿 方向的距离的乘积。即UAB= ,也可以写作E=。
(2)公式UAB=Ed的适用范围: 。
微点判断
1.电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
2.电场中电势降低的方向就是电场强度的方向。 ( )
3.(鲁科必修3P44T1·改编)电场中某点电势的高低只与产生电场的电荷和该点在电场中的位置有关。 ( )
4.A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 ( )
5.由于静电力做功跟移动电荷的路径无关,所以电势差也跟移动电荷的路径无关,只跟这两点的位置有关。 ( )
6.等差等势线越密的地方,电场线越密,电场强度越大。 ( )
7.(2024·湖北高考T8·改编)关于电荷和静电场,判断下列说法的正误:
①电场线与等势面垂直,且由电势低的等势面指向电势高的等势面。 ( )
②点电荷仅在电场力作用下从静止释放,该点电荷的电势能将减小。 ( )
③点电荷仅在电场力作用下从静止释放,将从高电势的地方向低电势的地方运动。 ( )
8.UAB=Ed中的d指匀强电场中A和B两点间的距离。 ( )
逐点清(一) 电场力做功、电势高低及电势能大小的比较
|题|点|全|练|
1.[电场力做功与电势能变化分析]
在O点处固定一个正点电荷,P点在O点左上方。从P点由静止释放一个带电的小球,小球仅在重力和电场力作用下在竖直面内运动,其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点,OP>OM=ON,则小球 ( )
A.带负电荷
B.在M点的机械能小于在N点的机械能
C.在P点的电势能小于在N点的电势能
D.从M点运动到N点的过程中,电场力始终不做功
2.[电场力做功、电势能、电势的计算](多选)在匀强电场中把电荷量为-2×10-9 C的点电荷Q从A点移动到B点,克服静电力做的功为1.6×10-7 J。再把这个点电荷从B点移动到C点,静电力做的功为4.0×10-7 J。取B点电势为零,则下列说法正确的是 ( )
A.A点电势为φA=80 V
B.A、C两点间的电势差UAC=-120 V
C.点电荷Q在C点的电势能为EpC=4.0×10-7 J
D.点电荷Q从A点移动到C点,静电力做功为WAC=5.6×10-7 J
3.[电势高低与电势能大小的比较]如图所示,真空中有两个固定的正点电荷A、B,一个带正电的试探电荷置于二者连线上的O点时,仅在电场力的作用下恰好保持静止状态,过O点作两正点电荷连线的垂线,以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d,则 ( )
A.点电荷A的电荷量小于B的电荷量
B.a、b、c、d四点电势相同
C.该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D.把该试探电荷从b沿直线移动到d,电场力先做正功再做负功
|精|要|点|拨|
1.静电力做功的计算方法
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷 的正负 取无穷远处电势为零,正电荷周围电势为正值,负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高,靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB=,将WAB、q的正负号代入,由UAB的正负判断φA、φB的高低
注意:电势的高低与电场强度的大小没有联系。
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ,计算得到的值越大,电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大,负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功,电势能减小;静电力做负功,电势能增加
能量 守恒法 在电场中,若只有静电力做功时,电荷的动能和电势能相互转化,动能增加,电势能减小,反之,动能减小,电势能增加
逐点清(二) 电势差与电场强度的关系
细作1 匀强电场中电场强度与电势差的关系
1.(多选)如图所示,某平面内存在方向未知的匀强电场,有一半径R=0.2 m的圆,点a、b、c、d、e、f将圆六等分,电势φb=2 V,φc=1 V,φf=-1 V。下列说法正确的是 ( )
A.a点电势φa=3 V
B.场强大小为10 V/m
C.场强方向沿c、f连线方向
D.电子沿圆运动一周,在e处电势能最大
2.(2025·济南调研)(多选)如图所示,纸面内有一边长为L的等边三角形abc,d为ac边上一点,ad间的距离为。空间存在与纸面平行的匀强电场,a点处有一粒子源,在纸面内朝各个方向发射动能均为E0的同种带正电粒子,到达b处的粒子动能为4E0,到达d处的粒子动能为2E0,已知带正电粒子的电荷量为q,不计粒子重力及粒子间的相互作用,下列说法正确的是 ( )
A.a点电势高于d点电势
B.b点电势高于c点电势
C.电场强度的大小为
D.电场强度的大小为
一点一过 由E=可推出的两个重要推论
推论1 匀强电场中的任一线段AB的中点C的电势φC=,如图所示
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD,且AB=CD,则UAB=UCD(或φA-φB=φC-φD),如图所示
细作2 非匀强电场中电场强度与电势差的关系
3.如图所示为某一不规则带电体及其电场中的两条电场线,已知ab=bc=ef,Uab=50 V,则下列选项正确的是 ( )
A.Ubc=50 V B.Ubc>50 V
C.Uef=50 V D.Uef>50 V
4.(2025·岳阳模拟)如图所示,空间有一等边三角形OAB,C为AB的中点,E为OA的中点,F为AE的中点,在顶点O处固定一负的点电荷,下列说法正确的是 ( )
A.E、A两点的电场强度大小之比为2∶1
B.F点的电势比C点电势低
C.将一正的试探电荷从A点沿直线移到B点,其电势能先增大后减小
D.若A点电势为φ1,E点电势为φ2,则F点的电势为
一点一过 E=在非匀强电场中的两点妙用
(1)判断电势差的大小及电势的高低:距离相等的两点间的电势差,E越大,U越大,进而判断电势的高低。
(2)判断电场强度的大小:已知电场线分布时,电场线越密处,电场强度越大;已知等差等势线分布时,等势线越密处,电场强度越大。
自主空间:
逐点清(三) 电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹问题
1.几种典型电场的等势面
电场 等势面 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种 点电荷的 电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种 (正)点电荷 的电场 两点电荷连线上,中点的电势最低;在中垂线上,中点的电势最高
2.电场线结合运动轨迹的求解方法
(1)首先根据带电粒子运动轨迹弯曲的方向判断出受力的方向,带电粒子所受的静电力方向沿电场线指向运动轨迹的凹侧,再根据粒子的电性判断电场强度的方向。
(2)根据电场线的疏密,判断加速度的大小关系。
(3)带电粒子的轨迹的切线方向为该处的速度方向。
(4)根据静电力的方向与速度方向的夹角是锐角还是钝角判断静电力的做功情况。
3.等势面(线)结合运动轨迹的求解方法
根据带电粒子在不同的等势面(线)之间移动,结合题意确定静电力是做正功还是做负功、电势能的变化情况或等势面(线)的电势高低,垂直等势面(线)画出电场线来分析。
注意:“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向,是此类试题中相互制约的三个方面。若已知其中的任一个,可顺次分析判定各待求量;若三个都不知,则要用“假设法”分别讨论各种情况。
[考法全训]
考法1 对等势面的理解
1.(2024·广东高考)(多选)污水中的污泥絮体经处理后带负电,可利用电泳技术对其进行沉淀去污,基本原理如图所示。涂有绝缘层的金属圆盘和金属棒分别接电源正、负极,金属圆盘置于底部,金属棒插入污水中,形成如图所示的电场分布,其中实线为电场线,虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上,M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有 ( )
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点,电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
2.如图所示,真空中固定两个等量异种点电荷M和N,M、N连线中点为O,在M、N所形成的电场中,现有以O点为几何中心的矩形abcd,矩形eghf为abcd的中垂面,O是ef边的中点,下列说法正确的是 ( )
A.在a、b、c、d、e、f六个点中找不到任何两个点的电势相同
B.将一电荷由e点沿eghf移到f点,电场力先做正功后做负功
C.将一电荷由a点移到eghf平面内各点,电势能变化量都相同
D.将一电荷由e点沿线段eOf移到f点,电场力先减小后增大
考法2 电场线与运动轨迹问题
3.(2025·乐山高三质检)(多选)电子透镜是通过静电场来使电子束聚焦的装置。电子透镜两极间的电场线分布如图中带箭头的实线。现有一电子仅在电场力作用下从M运动到N,运动轨迹如图虚线所示。则下列说法正确的是 ( )
A.电子在M点的加速度最大
B.P点的电势高于M点的电势
C.从M点到N点电子的动能一直增大
D.从M点到N点电子的电势能先增大后减小
考法3 等势面与电势能变化问题
4.(人教版教材必修3,P50T1)如图表示某电场等势面的分布情况。
(1)如果把电子从b等势面移动到e等势面,静电力做功是多少
(2)在电场中的A、B两点放置电荷量相等的试探电荷,试比较它们所受静电力的大小和电势能的大小。
5.(2024·甘肃高考)(多选)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示,虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹,M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点,下列说法正确的是 ( )
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
|考|教|衔|接|
人教版教材习题考查对等势面特点的理解,定量计算静电力做功和比较静电力、电势能的大小;2024年甘肃高考题将等势面与带电粒子的运动轨迹结合,考查对等势面特点的理解,定性判断静电力做功和电势能的变化情况。题目的考查情境、知识点类似,这启示我们要学通、学透教材,深挖教材习题的考评价值。
自主空间:
第2讲
课前基础先行
一、1.路径 (1)电场方向 (2)任何电场
2.(1)电场 零势能 (2)电势能 (3)相对 无限远 表面
3.电势能Ep 电荷量q 标量 零电势
4.(1)电场线 (2)等势面 (3)电势高 电势低
(4)越大 越小
二、1.(2)φA-φB (3)无关 无关
2.(1)电场 Ed (2)匀强电场
[微点判断] 1.× 2.× 3.× 4.× 5.√ 6.√ 7.①× ②√ ③× 8.×
逐点清(一)
1.选C 带电小球所受合力指向轨迹的凹侧,由题图可知,小球所受电场力的方向大致指向左方,所以小球带正电,故A错误;由于OP>OM=ON,根据正点电荷的电势分布情况可知φM=φN>φP,根据Ep=qφ,可知EpP2.选AB 根据静电力做的功与电势差的关系,A、B间的电势差UAB==φA-φB,B、C间的电势差UBC==φB-φC,解得φA=80 V,φC=200 V,A、C两点间的电势差为UAC=φA-φC=-120 V,故A、B正确;点电荷Q在C点的电势能为EpC=qφC=-4.0×10-7 J,故C错误;点电荷Q从A点移动到C点,静电力做功为WAC=qUAC=2.4×10-7 J,故D错误。
3.选C 由试探电荷在O点恰好静止可知,O点电场强度为零,则k=k,又因为rA>rB,所以qA>qB,故A错误;因O点场强为零,则aO间场强方向由a指向O,根据沿电场线方向电势降低可知,φa>φO,根据点电荷的电势分布规律可知,在A点电荷的电场中,O、b、d三点的电势关系为φOA>φbA=φdA,在B点电荷的电场中,O、b、d三点的电势关系为φOB>φbB=φdB,由电势的叠加可知,φO>φb=φd,则φa>φb=φd,故B错误;由Ep=qφ和φa>φb可知,该正试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能,故C正确;由以上分析可知,从b沿直线到d,电势先升高再降低,故把该正试探电荷从b沿直线移动到d,电势能先增大后减小,电场力先做负功再做正功,故D错误。
逐点清(二)
1.选BD
如图,圆心O为cf的中点,所以O点电势为0,g为bO的中点,g点电势为1 V,a、g、c三点共线且电势相等,ac为等势线,φa=1 V,故A错误;电场线与等势线垂直,且指向电势低的地方,故场强方向为b、e连线方向且由b指向e,故C错误;场强大小E===10 V/m,故B正确;电子沿圆运动一周,圆周e处电势最低,为-2 V,又电子带负电,所以在e处电势能最大,故D正确。
2.选AC
从a点到d点,粒子的动能增加,可知电场力做正功,则粒子电势能减少,又粒子带正电,所以a点电势高于d点电势,A正确;粒子从a点到b点的过程,由动能定理有qUab=4E0-E0,从a点到d点的过程,由动能定理有qUad=2E0-E0,解得Uab=3Uad,把ab段三等分,三等分点从左到右依次是e点、f点,Uab=3Uae,解得Uad=Uae,则有φd=φe,d、e两点连线为一等势线,根据电场线与等势线的关系,画出电场线如图所示,根据上述分析可知ad=ae=,由几何关系得连线de与直线bc平行,所以bc为等势线,则b点电势等于c点电势,B错误;根据匀强电场中场强与电势差的关系得E==,C正确,D错误。
3.
选D 由带电体电荷分布的特征可知越尖锐的地方电荷的密度越大,电场强度越大,电场线分布越密,等差等势面也越密。画出题中带电体电场线和等差等势面的剖面图,如图所示,根据U=Ed,可知Uab>Ubc,Uef>Uab,则Ubc<50 V,Uef>50 V,故A、B、C错误,D正确。
4.选B 由点电荷场强公式知E=k,E、A两点的电场强度大小之比为EE∶EA=k∶k=4∶1,A错误;由于F点比C点离负电荷更近,所以F点电势更低,B正确;从A点沿直线移到B点,电势先降低后升高,所以正试探电荷的电势能先减小后增大,C错误;如果电场为匀强电场,若A点电势为φ1,E点电势为φ2,则F点的电势为,而实际电场为点电荷的电场,因此F点的电势不等于,D错误。
逐点清(三)
1.选AC 根据沿着电场线方向电势降低可知,M点的电势比N点的低,污泥絮体带负电,根据Ep=qφ可知,污泥絮体在M点的电势能比其在N点的电势能大,污泥絮体从M点移到N点,电势能减小,电场力对其做正功,故A、C正确;根据电场线的疏密程度反映电场强度大小可知,N点的电场强度比P点的小,故B错误;M点和P点在同一等势面上,则污泥絮体在M点的电势能与其在P点的电势能相等,综上分析可知,污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大,故D错误。
2.选C 距离两电荷相等的点电势相同,所以a、b电势相同、c、d电势相同、e、f电势相同,故A错误;矩形eghf是一个等势面,所以将一电荷由e点沿eghf移到f点,电场力不做功,故B错误;由于eghf平面内各点电势均相等,所以将一电荷由a点移到eghf平面内各点时,电场力做功相同,则电势能的变化量相同,故C正确;由e点沿线段eOf到f点,电场强度先增大后减小,则电场力先增大后减小,故D错误。
3.选BC 电场线的疏密程度反映电场的强弱,由题图可知,M点的电场线比P点稀疏,电场强度比P点小,电场力比P点小,加速度比P点小,故A错误;沿电场线方向电势降低,则P点的电势高于M点的电势,故B正确;电场方向沿电场线的切线方向,电子带负电,则电子所受电场力方向与电场方向相反,由题图可知,电场力方向一直与速度方向成锐角,可知电场力一直做正功,电子的动能一直增大,电势能一直减小,故C正确,D错误。
4.解析:(1)把电子从b等势面移到e等势面,静电力做功为Wbe=-e(φb-φe)=15 eV。
(2)由于A点的等势面比B点密集,故A点的电场强度比B点的大,电荷量相等的试探电荷在A点所受的静电力比在B点所受的静电力大。A、B在同一个等势面上,电荷量相等的试探电荷在这两点的电势能相等。
答案:(1)15 eV (2)见解析
5.选BCD 根据等势面分布可知,带电体带正电,根据粒子所受电场力指向运动轨迹的凹侧可知,粒子受排斥力,带电粒子带正电,故A错误;等差等势面越密集的地方场强越大,故M点的电场强度比N点的小,故B正确;粒子带正电,因为M点的电势大于N点的电势,故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能,由于带电粒子仅在电场作用下运动,根据能量守恒定律可知,电势能与动能总和不变,故可知当电势能最大时动能最小,故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小,故C、D正确。
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静电场中能的性质(基础落实课)
第 2 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一) 电场力做功、电势高低及电 势能大小的比较
CONTENTS
目录
4
逐点清(三) 电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹问题
5
课时跟踪检测
3
逐点清(二) 电势差与电场强度的关系
课前基础先行
一、静电力做功 电势能 电势 等势面
1.静电力做功
特点 静电力做功与_____无关，只与初、末位置有关
计算 方法 (1)W=qEd，只适用于匀强电场，其中d为沿__________的距离
(2)WAB=qUAB，适用于__________
路径
电场方向
任何电场
2.电势能
(1)定义:电荷在_____中具有的势能，数值上等于将电荷从该点移到__________位置时静电力所做的功。
(2)静电力做功与电势能变化的关系:静电力做的功等于_________的减少量，即WAB=EpA-EpB=-ΔEp。
(3)电势能的相对性:电势能是_____的，通常把电荷在离场源电荷__________处的电势能规定为0，或把电荷在大地_______的电势能规定为0。
电场
零势能
电势能
相对
无限远
表面
3.电势
定义 电荷在电场中某点具有的__________与它的________之比
定义式 φ=，电势是_____，其正(负)表示该点电势比_______高(低)
相对性 电势具有相对性，同一点的电势因选取零电势点的不同而不同
电势能Ep
电荷量q
标量
零电势
4.等势面的特点
(1)等势面一定与________垂直。
(2)在同一________上移动电荷时电场力不做功。
(3)电场线方向总是从_______的等势面指向________的等势面。
(4)等差等势面越密的地方电场强度______，反之______。
电场线
等势面
电势高
电势低
越大
越小
二、电势差 匀强电场中电势差与电场强度的关系
1.电势差
(1)定义式:UAB=。
(2)电势差与电势的关系:UAB=________，UAB=-UBA。
(3)影响因素:电势差UAB由电场本身的性质决定，与移动的电荷q及电场力做的功WAB________，与零电势点的选取______。
φA-φB
无关
无关
2.匀强电场中电势差与电场强度的关系
(1)电势差与电场强度的关系:匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿______方向的距离的乘积。即UAB=____，也可以写作E=。
(2)公式UAB=Ed的适用范围:__________。
电场
Ed
匀强电场
1.电场中电场强度为零的地方电势一定为零。 ( )
2.电场中电势降低的方向就是电场强度的方向。 ( )
3.(鲁科必修3P44T1·改编)电场中某点电势的高低只与产生电场的电荷和该点在电场中的位置有关。 ( )
4.A、B两点间的电势差等于将正电荷从A点移到B点时静电力所做的功。 ( )
微点判断
×
×
×
×
5.由于静电力做功跟移动电荷的路径无关，所以电势差也跟移动电荷的路径无关，只跟这两点的位置有关。 ( )
6.等差等势线越密的地方，电场线越密，电场强度越大。 ( )
√
√
7.(2024·湖北高考T8·改编)关于电荷和静电场，判断下列说法的正误:
①电场线与等势面垂直，且由电势低的等势面指向电势高的等势面。 ( )
②点电荷仅在电场力作用下从静止释放，该点电荷的电势能将减小。 ( )
③点电荷仅在电场力作用下从静止释放，将从高电势的地方向低电势的地方运动。 ( )
8.UAB=Ed中的d指匀强电场中A和B两点间的距离。 ( )
×
√
×
×
逐点清(一) 电场力做功、电势高低及电势能大小的比较
课
堂
题点全练
1.[电场力做功与电势能变化分析]
在O点处固定一个正点电荷，P点在O点左上方。从P点由静止释放一个带电的小球，小球仅在重力和电场力作用下在竖直面内运动，其一段轨迹如图所示。M、N是轨迹上的两点，OP>OM=ON，则小球( )
A.带负电荷
B.在M点的机械能小于在N点的机械能
C.在P点的电势能小于在N点的电势能
D.从M点运动到N点的过程中，电场力始终不做功
√
解析:带电小球所受合力指向轨迹的凹侧，由题图可知，小球所受电场力的方向大致指向左方，所以小球带正电，故A错误;由于OP>OM=ON，根据正点电荷的电势分布情况可知φM=φN>φP，根据Ep=qφ，可知EpP2.[电场力做功、电势能、电势的计算]
(多选)在匀强电场中把电荷量为-2×10-9 C的点电荷Q从A点移动到B点，克服静电力做的功为1.6×10-7 J。再把这个点电荷从B点移动到C点，静电力做的功为4.0×10-7 J。取B点电势为零，则下列说法正确的是( )
A.A点电势为φA=80 V
B.A、C两点间的电势差UAC=-120 V
C.点电荷Q在C点的电势能为EpC=4.0×10-7 J
D.点电荷Q从A点移动到C点，静电力做功为WAC=5.6×10-7 J
√
√
解析:根据静电力做的功与电势差的关系，A、B间的电势差UAB==φA-φB，B、C间的电势差UBC==φB-φC，解得φA=80 V，φC=200 V，A、C两点间的电势差为UAC=φA-φC=-120 V，故A、B正确;点电荷Q在C点的电势能为EpC=qφC=-4.0×10-7 J，故C错误;点电荷Q从A点移动到C点，静电力做功为WAC=qUAC=2.4×10-7 J，故D错误。
3.[电势高低与电势能大小的比较]
如图所示，真空中有两个固定的正点电荷A、B，一个带正电的试探电荷置于二者连线上的O点时，仅在电场力的作用下恰好保持静止状态，过O点作两正点电荷连线的垂线，以O点为圆心的圆与连线和垂线分别交于a、c和b、d，则( )
A.点电荷A的电荷量小于B的电荷量
B.a、b、c、d四点电势相同
C.该试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能
D.把该试探电荷从b沿直线移动到d，电场力先做正功再做负功
解析:由试探电荷在O点恰好静止可知，O点电场强度为零，则k=k，又因为rA>rB，所以qA>qB，故A错误;因O点场强为零，则aO间场强方向由a指向O，根据沿电场线方向电势降低可知，
√
φa>φO，根据点电荷的电势分布规律可知，在A点电荷的电场中，O、b、d三点的电势关系为φOA>φbA=φdA，在B点电荷的电场中，O、b、d三点的电势关系为φOB>φbB=φdB，由电势的叠加可知，φO>φb=φd，则φa>φb=φd，故B错误;由Ep=qφ和φa>φb可知，该正试探电荷在a点的电势能大于在b点的电势能，故C正确;由以上分析可知，从b沿直线到d，电势先升高再降低，故把该正试探电荷从b沿直线移动到d，电势能先增大后减小，电场力先做负功再做正功，故D错误。
1.静电力做功的计算方法
精要点拨
2.电势高低的判断
判断依据 判断方法
电场线方向 沿电场线方向电势逐渐降低
场源电荷 的正负 取无穷远处电势为零，正电荷周围电势为正值，负电荷周围电势为负值;靠近正电荷处电势高，靠近负电荷处电势低
静电力做功 根据UAB=，将WAB、q的正负号代入，由UAB的正负判断φA、φB的高低
注意:电势的高低与电场强度的大小没有联系。
3.电势能大小的判断
判断方法 方法解读
公式法 将电荷量、电势连同正负号一起代入公式Ep=qφ，计算得到的值越大，电势能越大
电势法 正电荷在电势高的地方电势能大，负电荷在电势低的地方电势能大
做功法 静电力做正功，电势能减小;静电力做负功，电势能增加
能量 守恒法 在电场中，若只有静电力做功时，电荷的动能和电势能相互转化，动能增加，电势能减小，反之，动能减小，电势能增加
逐点清(二) 电势差与电场强度的关系
课
堂
细作1 匀强电场中电场强度与电势差的关系
1.(多选)如图所示，某平面内存在方向未知的匀强电场，有一半径R=0.2 m的圆，点a、b、c、d、e、f将圆六等分，电势φb=2 V，φc= 1 V，φf=-1 V。下列说法正确的是( )
A.a点电势φa=3 V
B.场强大小为10 V/m
C.场强方向沿c、f连线方向
D.电子沿圆运动一周，在e处电势能最大
√
√
解析:如图，圆心O为cf的中点，所以O点电势
为0，g为bO的中点，g点电势为1 V，a、g、c三点
共线且电势相等，ac为等势线，φa=1 V，故A错误;
电场线与等势线垂直，且指向电势低的地方，故场
强方向为b、e连线方向且由b指向e，故C错误;场强大小E===10 V/m，故B正确;电子沿圆运动一周，圆周e处电势最低，为-2 V，又电子带负电，所以在e处电势能最大，故D正确。
2.(2025·济南调研)(多选)如图所示，纸面内有一边长为L的等边三角形abc，d为ac边上一点，ad间的距离为。空间存在与纸面平行的匀强电场，a点处有一粒子源，在纸面内朝各个方向发射动能均为E0的同种带正电粒子，到达b处的粒子动能为4E0，到达d处的粒子动能为2E0，已知带正电粒子的电荷量为q，不计
粒子重力及粒子间的相互作用，下列说法
正确的是( )
A.a点电势高于d点电势 B.b点电势高于c点电势
C.电场强度的大小为 D.电场强度的大小为
解析:从a点到d点，粒子的动能增加，可知电场力做正功，则粒子电势能减少，又粒子带正电，所以a点电势高于d点电势，A正确;粒子从a点到b点的过程，由动能定理有qUab=4E0-E0，从a点到d点的过程，由动能定理有qUad=2E0-E0，解得Uab=3Uad，把ab段三等分，三
√
√
等分点从左到右依次是e点、f点，Uab=3Uae，解
得Uad=Uae，则有φd=φe，d、e两点连线为一等势
线，根据电场线与等势线的关系，画出电场线如
图所示，根据上述分析可知ad=ae=，由几何关
系得连线de与直线bc平行，所以bc为等势线，则
b点电势等于c点电势，B错误;根据匀强电场中场强与电势差的关系得E==，C正确，D错误。
一点一过 由E=可推出的两个重要推论
推论1
匀强电场中的任一线段AB的中点C
的电势φC=，如图所示
推论2 匀强电场中若两线段AB∥CD，
且AB=CD，则UAB=UCD(或φA-
φB=φC-φD)，如图所示
细作2 非匀强电场中电场强度与电势差的关系
3.如图所示为某一不规则带电体及其电场中的两条电场线，已知ab=bc=ef，Uab=50 V，则下列选项正确的是( )
A.Ubc=50 V B.Ubc>50 V
C.Uef=50 V D.Uef>50 V
√
解析:由带电体电荷分布的特征可知越尖锐的地方电荷的密度越大，电场强度越大，电场线分布越密，等差等势面也越密。画出题中带电体电场线和等差等势面的剖面图，如图所示，根据U=Ed，可知Uab>Ubc，Uef>Uab，则Ubc<50 V，Uef>50 V，故A、B、C错误，D正确。
4.(2025·岳阳模拟)如图所示，空间有一等边三角形OAB，C为AB的中点，E为OA的中点，F为AE的中点，在顶点O处固定一负的点电荷，下列说法正确的是 ( )
A.E、A两点的电场强度大小之比为2∶1
B.F点的电势比C点电势低
C.将一正的试探电荷从A点沿直线移到B点，其电势能先增大后减小
D.若A点电势为φ1，E点电势为φ2，则F点的电势为
√
解析:由点电荷场强公式知E=k，E、A两点的电场强度大小之比为EE∶EA=k∶k=4∶1，A错误;由于F点比C点离负电荷更近，所以F点电势更低，B正确;从A点沿直线移到B点，电势先降低后升高，所以正试探电荷的电势能先减小后增大，C错误;如果电场为匀强电场，若A点电势为φ1，E点电势为φ2，则F点的电势为，而实际电场为点电荷的电场，因此F点的电势不等于，D错误。
一点一过 E=在非匀强电场中的两点妙用
(1)判断电势差的大小及电势的高低:距离相等的两点间的电势差，E越大，U越大，进而判断电势的高低。
(2)判断电场强度的大小:已知电场线分布时，电场线越密处，电场强度越大;已知等差等势线分布时，等势线越密处，电场强度越大。
逐点清(三) 电场线、等势面与带电粒子的运动轨迹问题
课
堂
1.几种典型电场的等势面
电场 等势面 重要描述
匀强电场 垂直于电场线的一簇平面
点电荷 的电场 以点电荷为球心的一簇球面
等量异种 点电荷的 电场 连线的中垂线上电势处处为零
等量同种 (正)点电荷 的电场 两点电荷连线上，中点的电势最低;在中垂线上，中点的电势最高
续表
2.电场线结合运动轨迹的求解方法
(1)首先根据带电粒子运动轨迹弯曲的方向判断出受力的方向，带电粒子所受的静电力方向沿电场线指向运动轨迹的凹侧，再根据粒子的电性判断电场强度的方向。
(2)根据电场线的疏密，判断加速度的大小关系。
(3)带电粒子的轨迹的切线方向为该处的速度方向。
(4)根据静电力的方向与速度方向的夹角是锐角还是钝角判断静电力的做功情况。
3.等势面(线)结合运动轨迹的求解方法
根据带电粒子在不同的等势面(线)之间移动，结合题意确定静电力是做正功还是做负功、电势能的变化情况或等势面(线)的电势高低，垂直等势面(线)画出电场线来分析。
注意:“三不知时要假设”——电荷的正负、场强的方向(或等势面电势的高低)、电荷运动的方向，是此类试题中相互制约的三个方面。若已知其中的任一个，可顺次分析判定各待求量;若三个都不知，则要用“假设法”分别讨论各种情况。
考法1 对等势面的理解
1.(2024·广东高考)(多选)污水中的污泥絮体
经处理后带负电，可利用电泳技术对其进行沉
淀去污，基本原理如图所示。涂有绝缘层的金
属圆盘和金属棒分别接电源正、负极，金属圆
盘置于底部，金属棒插入污水中，形成如图所示的电场分布，其中实线为电场线，虚线为等势面。M点和N点在同一电场线上，M点和P点在同一等势面上。下列说法正确的有( )
考法全训
A.M点的电势比N点的低
B.N点的电场强度比P点的大
C.污泥絮体从M点移到N点，电场力对其做正功
D.污泥絮体在N点的电势能比其在P点的大
√
√
解析:根据沿着电场线方向电势降低可知，M点的电势比N点的低，污泥絮体带负电，根据Ep=qφ可知，污泥絮体在M点的电势能比其在N点的电势能大，污泥絮体从M点移到N点，电势能减小，电场力对其做正功，故A、C正确;根据电场线的疏密程度反映电场强度大小可知，N点的电场强度比P点的小，故B错误;M点和P点在同一等势面上，则污泥絮体在M点的电势能与其在P点的电势能相等，综上分析可知，污泥絮体在P点的电势能比其在N点的大，故D错误。
2.如图所示，真空中固定两个等量异种点电荷M和N，M、N连线中点为O，在M、N所形成的电场中，现有以O点为几何中心的矩形abcd，矩形eghf为abcd的中垂面，O是ef边的中点，下列说法正确的是 ( )
A.在a、b、c、d、e、f六个点中找不到任何两个点的电势相同
B.将一电荷由e点沿eghf移到f点，电场力先做正功后做负功
C.将一电荷由a点移到eghf平面内各点，电势能变化量都相同
D.将一电荷由e点沿线段eOf移到f点，电场力先减小后增大
√
解析:距离两电荷相等的点电势相同，所以a、b电势相同、c、d电势相同、e、f电势相同，故A错误;矩形eghf是一个等势面，所以将一电荷由e点沿eghf移到f点，电场力不做功，故B错误;由于eghf平面内各点电势均相等，所以将一电荷由a点移到eghf平面内各点时，电场力做功相同，则电势能的变化量相同，故C正确;由e点沿线段eOf到f点，电场强度先增大后减小，则电场力先增大后减小，故D错误。
考法2 电场线与运动轨迹问题
3.(2025·乐山高三质检)(多选)电子透镜是通过静电场来使电子束聚焦的装置。电子透镜两极间的电场线分布如图中带箭头的实线。现有一电子仅在电场力作用下从M运动到N，运动轨迹如图虚线所示。则下列说法正确的是( )
A.电子在M点的加速度最大
B.P点的电势高于M点的电势
C.从M点到N点电子的动能一直增大
D.从M点到N点电子的电势能先增大后减小
√
√
解析:电场线的疏密程度反映电场的强弱，由题图可知，M点的电场线比P点稀疏，电场强度比P点小，电场力比P点小，加速度比P点小，故A错误;沿电场线方向电势降低，则P点的电势高于M点的电势，故B正确;电场方向沿电场线的切线方向，电子带负电，则电子所受电场力方向与电场方向相反，由题图可知，电场力方向一直与速度方向成锐角，可知电场力一直做正功，电子的动能一直增大，电势能一直减小，故C正确，D错误。
考法3 等势面与电势能变化问题
4.(人教版教材必修3，P50T1)如图表示某电场等势面的分布情况。
(1)如果把电子从b等势面移动到e等势面，静电力做功是多少
答案:15 eV
解析:把电子从b等势面移到e等势面，静电力做功为Wbe=-e(φb-φe)=15 eV。
(2)在电场中的A、B两点放置电荷量相等的试探电荷，试比较它们所受静电力的大小和电势能的大小。
答案:见解析
解析:由于A点的等势面比B点密集，故A点的电场强度比B点的大，电荷量相等的试探电荷在A点所受的静电力比在B点所受的静电力大。A、B在同一个等势面上，电荷量相等的试探电荷在这两点的电势能相等。
5.(2024·甘肃高考)(多选)某带电体产生电场的等势面分布如图中实线所示，虚线是一带电粒子仅在此电场作用下的运动轨迹，M、N分别是运动轨迹与等势面b、a的交点，
下列说法正确的是( )
A.粒子带负电荷
B.M点的电场强度比N点的小
C.粒子在运动轨迹上存在动能最小的点
D.粒子在M点的电势能大于在N点的电势能
√
√
√
解析:根据等势面分布可知，带电体带正电，根据粒子所受电场力指向运动轨迹的凹侧可知，粒子受排斥力，带电粒子带正电，故A错误;等差等势面越密集的地方场强越大，故M点的电场强度比N点的小，故B正确;粒子带正电，因为M点的电势大于N点的电势，故粒子在M点的电势能大于在N点的电势能，由于带电粒子仅在电场作用下运动，根据能量守恒定律可知，电势能与动能总和不变，故可知当电势能最大时动能最小，故粒子在运动轨迹上到达最大电势处时动能最小，故C、D正确。
人教版教材习题考查对等势面特点的理解，定量计算静电力做功和比较静电力、电势能的大小;2024年甘肃高考题将等势面与带电粒子的运动轨迹结合，考查对等势面特点的理解，定性判断静电力做功和电势能的变化情况。题目的考查情境、知识点类似，这启示我们要学通、学透教材，深挖教材习题的考评价值。
考教衔接
课时跟踪检测
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一、单项选择题
1.(2024·黑吉辽高考)在水平方向的匀强电场中，一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图，若小球的初速度方向沿虚线，则其运动轨迹为直线;若小球的初速度方向垂直于虚线，则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中( )
A.动能减小，电势能增大
B.动能增大，电势能增大
C.动能减小，电势能减小
D.动能增大，电势能减小
√
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解析:根据题意可知，小球所受合力方向沿虚线向下，则其所受电场力方向水平向右，小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动，小球的速度增大，动能增大，由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角，则电场力做正功，小球的电势能减小，A、B、C错误，D正确。
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2.在研究心脏电性质时，当兴奋在心肌传播，在人体的体表可以测出与之对应的电势变化，可等效为两等量电荷产生的电场。如图是人体表面的瞬时电势分布图，图中实线为等差等势
面，标在等势面上的数值表示该等势面的电势，
a、b、c、d为等势面上的点，a、b为两电荷连
线上关于中垂线对称的两点，c、d为两电荷连
线中垂线上对称的两点。则下列说法正确的
是 ( )
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A.负电荷从b点移到d点，电势能增大
B.d、a两点的电势差Uda=1.5 mV
C.a、b两点的电场强度等大反向
D.c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上电场强度先变大后变小
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解析:从b点移到d点，电势升高，负电荷电势能减小，故A错误;d、a两点的电势差为Uda=φd-φa=0-1.5 mV=-1.5 mV，故B错误;根据电势的分布情况可知，此电场相当于等量异种电荷产生的电场，左侧为负电荷，右侧为正电荷，由对称性可知，a、b两点的电场强度等大同向，故C错误;c、d两点的电场强度相同，从c到d的直线上，等差等势面先密集后稀疏，电场强度先变大后变小，故D正确。
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3.(2025年1月·八省联考四川卷)X、Y、Z为大小相同的导体小球，X、Y所带电荷量均为+q，Z所带电荷量为-5q(图中未画出)。X、Y均放置在光滑绝缘水平面上，Y固定在P点，X与绝缘轻弹簧右端相连，弹簧另一端固定，此时X静止在平衡位置O点，如图所示，将较远处的Z移近，先与X接触，然后与Y接触，再移回较远处，在此过程中，一直保持不变的是 ( )
A.X的平衡位置 B.Z的电荷种类
C.Y对X的库仑力方向 D.X、Y系统的电势能
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解析:设X、Y两带电小球间距离为r，开始时，X、Y间的库仑力大小为F=k，X受到的库仑力方向水平向左，由于X静止在平衡位置O点，则弹簧的弹力大小为F弹=k，方向水平向右;将Z先与X接触，根据电荷分配原理可知，此时qX'=qZ'=-2q，X、Y间的库仑力大小为F'=k，X受到的库仑力方向水平向右，X的平衡位置发生了变化，X、Y系统的电势能发生了变化;将Z再与Y接触，根据电荷分配原理可知，此时qY'=qZ″=-，整个过程中Z始终带负电荷。故选B。
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4.(2025·荆州调研)如图所示，三条实线为电场线，带电粒子a沿虚线轨迹1从A运动到B，带电粒子b沿轨迹2从C运动到D。若两带电粒子运动过程中，均仅受电场力作用。下列说法正确的是 ( )
A.a粒子带正电，b粒子带负电
B.a粒子带负电，b粒子带正电
C.运动过程中，粒子a和粒子b的速度一直减小
D.粒子a在A、B两点的电势能EpB>EpA，粒子b在C、D两点的电势能EpD>EpC
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解析:粒子的受力指向轨迹的内侧，因此a所受电场力向左，b所受电场力向右，由于电场线方向未知，无法判断两粒子电性，故A、B错误;运动过程中，电场力对两粒子都是先做负功后正功，粒子a和粒子b的速度都是先减小后增大，故C错误;由题图可得，粒子a在A、B两点运动时，电势差先增大后减小，到B点时电势差还未减小到零，所以电场力做负功，电势能增加，即EpB>EpA，同理可得EpD>EpC，故D正确。
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5.(2025·武汉模拟)如图所示，一等腰梯形ABCD处于匀强电场中，电场强度方向平行于等腰梯形所在平面，已知∠DAB=∠CBA=60°，AB=2 m，AD=1 m，A、D、C三点的电势分别为1 V、3 V、5 V。下列说法正确的是 ( )
A.B点的电势为6 V
B.电场强度大小为 V/m
C.一质子在梯形区域内的电势能不一定大于零
D.一电子从D点移到AB的中点，电场力做正功
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解析:取AB中点为F，由几何关系可知四边形AFCD为平行四边形，故φC-φD=φF-φA=2 V，解得φF=3 V，即DF连线为3 V的等势线，垂直DF连线作出电场线如图，所以B点的电势为φB=φC=5 V，电场强度大小为E=== V/m= V/m，故A错误，B正确;由图可知，在梯形区域内电势最高为5 V，电势最低为1 V，
根据Ep=qφ可知一质子在梯形区域内的电势
能一定大于零，故C错误;因为φD=φF，所以
一电子从D点移到AB的中点，电场力不做功，
故D错误。
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6.(2025·北京海淀一模)空间内有一与纸面平行的匀强电场，为研究该电场，在纸面内建立直角坐标系。规定坐标原点的电势为0，测得x 轴和y 轴上各点的电势如图1、2所示。下列说法正确的是 ( )
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A.电场强度的大小为160 V/m
B.电场强度的方向与x 轴负方向夹角的正切值为
C.点(10 cm，10 cm)处的电势为20 V
D.纸面内距离坐标原点10 cm的各点电势最高为20 V
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解析:由图像可知电场在x 轴和y 轴方向上的分电场强度大小分别为Ex= V/m=160 V/m，Ey= V/m=120 V/m，则电场强度大小为E==200 V/m，故A错误;电场强度的方向与x 轴负方向夹角的正切值为tan α==，故B错误;规定坐标原点的电势为0，点(10 cm，10 cm)处的电势为φ=Ed=200×10cos(45°-α)×10-2 V=28 V，故C错误;纸面内距离坐标原点10 cm的各点电势最高为φ'=Ed'=200×10×10-2 V=20 V，D正确。
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7.(2024·广西高考)如图，将不计重力、电荷量为q、带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上，半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为27Q和64Q的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放，小圆环先后经过图上P1点和P2点，已知sin θ=，则小圆环从P1点运动到P2点的过程中( )
A.静电力做正功
B.静电力做负功
C.静电力先做正功再做负功
D.静电力先做负功再做正功
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解析:设小圆环在某点P时所受合力为零，PM与MN的夹角为α，根据平衡条件可得kcos α=ksin α，解得tan α=，根据几何知识可知P位于P2点。在P2点右侧，静电力沿速度方向的分量始终沿圆弧切线方向向左，则小圆环从P1点运动到P2点的过程中静电力始终做正功。故选A。
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二、多项选择题
8.(2025·长沙高三模拟)太极图的含义丰富而复杂，它体现了中国古代哲学的智慧。如图所示，O为大圆的圆心，O1为上侧阳半圆的圆心，O2为下侧阴半圆的圆心，O、O1、O2在同一直线
上，AB为大圆的直径且与O1O2连线垂直，C、D
为关于O点对称的两点，在O1、O2两点分别固定
电荷量大小相等的异种点电荷，整个空间只有
O1、O2处点电荷产生的电场。下列说法正确的是( )
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A.C、D两点电场强度相同
B.把电子由A沿直线移到B的过程中，电子的电势能先增大后减小
C.把质子由A沿直线移到B的过程中，质子所受电场力先增大后减小
D.将一电子(不计重力)从A点由静止释放，电子可以沿直线在AB间做往返运动
解析:根据等量异种点电荷的电场特点可知，C点、D点电场强度大小相等、方向相同，故A正确;AB为等量异种电荷连线的中垂线，根据等量异种电荷电势分布特点可知，中垂线为一等势线，所以把电子
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由A沿直线移到B的过程中，电子的电势能保持不变，故B错误;根据等量异种电荷连线的中垂线上电场分布特点可知，O点为中垂线上场强最大的点，则把质子由A沿直线移到B的过程中，场强先变大后变小，质子所受电场力先增大后减小，故C正确;由于等量异种电荷中垂线上的场强方向与中垂线垂直，所以将一电子从A点由静止释放，在A处受到的电场力与AB直线垂直，电子不可能沿直线在AB间做往返运动，故D错误。
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9.纸面内存在沿某方向的匀强电场，在电场中取O点为坐标原点建立x轴，以O点为圆心、以R为半径作圆，a、b、c、d是圆周上的4个等分点，实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹，如图(a)所示。测量出圆上各点的电势φ、半径与x轴正方向的夹角θ，描绘出φ θ图像如图(b)所示，下列说法正确的是 ( )
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A.粒子带负电
B.粒子从e点运动到f点的过程中电势能逐渐增大
C.O点的电势为
D.电场强度的大小为
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√
√
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解析:根据题图(b)可知，圆周上电势最高点和最低点所在半径与x轴正方向夹角分别为和，设圆周上电势最高点为m，圆周上电势最低点为n，则mn直径方向为电场线方向，实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹，粒子受力方向与电场方向一致，故粒子带正电，故A错误;粒子受力方向与电场方向一致，粒子从e点运动到f点的过程中电场力做正功，电势能逐渐减小，故B错误;O点的电势为φO==，故C正确;电场强度的大小为E==，故D正确。
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10.如图所示，匀强电场中有A、B、C三点，已知A、B两点间的距离为AB =5 cm，A、C两点间的距离为AC=8 cm，∠BAC =37°，匀强电场方向平行于A、B、C所确定的平面。现把电荷量为q=-5×10-9 C的点电荷由A点移到B点的过程中，电场力做功W1=5×10-8 J，当将该点电荷由A点移到C点时电场力做功W2=1×10-7 J，若取A点电势为零，则(sin 37°=0.6，cos 37°=0.8) ( )
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A.该点电荷在B点的电势能为5×10-8 J
B.A、B两点的电势差UAB=-10 V
C.C点电势为20 V
D.匀强电场的电场强度大小为125 V/m
解析:从A到B电场力做正功，电势能减小，因在A点的电势能为零，可知该点电荷在B点的电势能为-5×10-8 J，A错误;AB间的电势差为UAB== V=-10 V，B正确;
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√
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因为UAC== V=-20 V，UAC=φA-φC，又φA=0，可得C点电势为φC=20 V，C正确;UAB=φA-φB=-10 V，解得φB=10 V，设D是A、C连线的中点，由匀强电场的性质可知UAD=UAC=-10 V，可得φD=φB=10 V，所以B、D连线就是匀强电场中的一条等势线，由于AD=AC=4 cm，AB=5 cm，∠BAC=37°，可得∠ADB=90°，故电场强度的方向由C指向A，电场强度的大小为E== V/m=250 V/m，D错误。
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11.(2024·山东高考)如图所示，带电量为+q 的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是 ( )
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A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C，静电力对小滑块做功W=-mgS
D.AC之间的电势差UAC=-
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√
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解析:由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析，沿斜面方向有mgsin 30°=cos 30°，解得l=，A正确，B错误;因为小滑块滑到C点时速度为零，则从A到C的过程，根据动能定理有W+mgSsin 30°=0，解得静电力对小滑块做的功为W=-，故C错误;根据电势差与静电力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-，故D正确。
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三、计算题
12.(8分)(2024·河北高考)如图，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球，在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点，A点为最低点，B点与O点等高。当小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0，已知小球的电荷量为q、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度大小为g，求:
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(1)电场强度E的大小。(2分)
答案:
解析:在匀强电场中，A、B两点间的电势差为U，沿电场方向的距离为L，则电场强度大小为E=。
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(2)小球在A、B两点的速度大小。(6分)
答案:
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解析:在A点细线对小球的拉力为0，根据牛顿第二定律得Eq-mg=m
从A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=mvB2-mvA2
联立解得vA=
vB=。
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4课时跟踪检测(四十五) 静电场中能的性质
一、单项选择题
1.(2024·黑吉辽高考)在水平方向的匀强电场中,一带电小球仅在重力和电场力作用下于竖直面(纸面)内运动。如图,若小球的初速度方向沿虚线,则其运动轨迹为直线;若小球的初速度方向垂直于虚线,则其从O点出发运动到与O点等高处的过程中 ( )
A.动能减小,电势能增大
B.动能增大,电势能增大
C.动能减小,电势能减小
D.动能增大,电势能减小
2.在研究心脏电性质时,当兴奋在心肌传播,在人体的体表可以测出与之对应的电势变化,可等效为两等量电荷产生的电场。如图是人体表面的瞬时电势分布图,图中实线为等差等势面,标在等势面上的数值表示该等势面的电势,a、b、c、d为等势面上的点,a、b为两电荷连线上关于中垂线对称的两点,c、d为两电荷连线中垂线上对称的两点。则下列说法正确的是 ( )
A.负电荷从b点移到d点,电势能增大
B.d、a两点的电势差Uda=1.5 mV
C.a、b两点的电场强度等大反向
D.c、d两点的电场强度相同,从c到d的直线上电场强度先变大后变小
3.(2025年1月·八省联考四川卷)X、Y、Z为大小相同的导体小球,X、Y所带电荷量均为+q,Z所带电荷量为-5q(图中未画出)。X、Y均放置在光滑绝缘水平面上,Y固定在P点,X与绝缘轻弹簧右端相连,弹簧另一端固定,此时X静止在平衡位置O点,如图所示,将较远处的Z移近,先与X接触,然后与Y接触,再移回较远处,在此过程中,一直保持不变的是 ( )
A.X的平衡位置 B.Z的电荷种类
C.Y对X的库仑力方向 D.X、Y系统的电势能
4.(2025·荆州调研)如图所示,三条实线为电场线,带电粒子a沿虚线轨迹1从A运动到B,带电粒子b沿轨迹2从C运动到D。若两带电粒子运动过程中,均仅受电场力作用。下列说法正确的是 ( )
A.a粒子带正电,b粒子带负电
B.a粒子带负电,b粒子带正电
C.运动过程中,粒子a和粒子b的速度一直减小
D.粒子a在A、B两点的电势能EpB>EpA,粒子b在C、D两点的电势能EpD>EpC
5.(2025·武汉模拟)如图所示,一等腰梯形ABCD处于匀强电场中,电场强度方向平行于等腰梯形所在平面,已知∠DAB=∠CBA=60°,AB=2 m,AD=1 m,A、D、C三点的电势分别为1 V、3 V、5 V。下列说法正确的是 ( )
A.B点的电势为6 V
B.电场强度大小为 V/m
C.一质子在梯形区域内的电势能不一定大于零
D.一电子从D点移到AB的中点,电场力做正功
6.(2025·北京海淀一模)空间内有一与纸面平行的匀强电场,为研究该电场,在纸面内建立直角坐标系。规定坐标原点的电势为0,测得x 轴和y 轴上各点的电势如图1、2所示。下列说法正确的是 ( )
A.电场强度的大小为160 V/m
B.电场强度的方向与x 轴负方向夹角的正切值为
C.点(10 cm,10 cm)处的电势为20 V
D.纸面内距离坐标原点10 cm的各点电势最高为20 V
7.(2024·广西高考)如图,将不计重力、电荷量为q、带负电的小圆环套在半径为R的光滑绝缘半圆弧上,半圆弧直径两端的M点和N点分别固定电荷量为27Q和64Q的负点电荷。将小圆环从靠近N点处静止释放,小圆环先后经过图上P1点和P2点,已知sin θ=,则小圆环从P1点运动到P2点的过程中 ( )
A.静电力做正功
B.静电力做负功
C.静电力先做正功再做负功
D.静电力先做负功再做正功
二、多项选择题
8.(2025·长沙高三模拟)太极图的含义丰富而复杂,它体现了中国古代哲学的智慧。如图所示,O为大圆的圆心,O1为上侧阳半圆的圆心,O2为下侧阴半圆的圆心,O、O1、O2在同一直线上,AB为大圆的直径且与O1O2连线垂直,C、D为关于O点对称的两点,在O1、O2两点分别固定电荷量大小相等的异种点电荷,整个空间只有O1、O2处点电荷产生的电场。下列说法正确的是 ( )
A.C、D两点电场强度相同
B.把电子由A沿直线移到B的过程中,电子的电势能先增大后减小
C.把质子由A沿直线移到B的过程中,质子所受电场力先增大后减小
D.将一电子(不计重力)从A点由静止释放,电子可以沿直线在AB间做往返运动
9.纸面内存在沿某方向的匀强电场,在电场中取O点为坐标原点建立x轴,以O点为圆心、以R为半径作圆,a、b、c、d是圆周上的4个等分点,实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹,如图(a)所示。测量出圆上各点的电势φ、半径与x轴正方向的夹角θ,描绘出φ θ图像如图(b)所示,下列说法正确的是 ( )
A.粒子带负电
B.粒子从e点运动到f点的过程中电势能逐渐增大
C.O点的电势为
D.电场强度的大小为
10.如图所示,匀强电场中有A、B、C三点,已知A、B两点间的距离为AB =5 cm,A、C两点间的距离为AC=8 cm,∠BAC =37°,匀强电场方向平行于A、B、C所确定的平面。现把电荷量为q=-5×10-9 C的点电荷由A点移到B点的过程中,电场力做功W1=5×10-8 J,当将该点电荷由A点移到C点时电场力做功W2=1×10-7 J,若取A点电势为零,则(sin 37°=0.6,cos 37°=0.8) ( )
A.该点电荷在B点的电势能为5×10-8 J
B.A、B两点的电势差UAB=-10 V
C.C点电势为20 V
D.匀强电场的电场强度大小为125 V/m
11.(2024·山东高考)如图所示,带电量为+q 的小球被绝缘棒固定在O点,右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放,滑到与小球等高的B点时加速度为零,滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S,重力加速度大小为g,静电力常量为k,下列说法正确的是 ( )
A.OB的距离l=
B.OB的距离l=
C.从A到C,静电力对小滑块做功W=-mgS
D.AC之间的电势差UAC=-
三、计算题
12.(8分)(2024·河北高考)如图,竖直向上的匀强电场中,用长为L的绝缘细线系住一带电小球,在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两点,A点为最低点,B点与O点等高。当小球运动到A点时,细线对小球的拉力恰好为0,已知小球的电荷量为q、质量为m,A、B两点间的电势差为U,重力加速度大小为g,求:
(1)电场强度E的大小。(2分)
(2)小球在A、B两点的速度大小。(6分)
课时跟踪检测(四十五)
1.选D 根据题意可知,小球所受合力方向沿虚线向下,则其所受电场力方向水平向右,小球从O点运动到与O点等高处的过程做类平抛运动,小球的速度增大,动能增大,由于小球所受电场力与小球速度的夹角一直为锐角,则电场力做正功,小球的电势能减小,A、B、C错误,D正确。
2.选D 从b点移到d点,电势升高,负电荷电势能减小,故A错误;d、a两点的电势差为Uda=φd-φa=0-1.5 mV=-1.5 mV,故B错误;根据电势的分布情况可知,此电场相当于等量异种电荷产生的电场,左侧为负电荷,右侧为正电荷,由对称性可知,a、b两点的电场强度等大同向,故C错误;c、d两点的电场强度相同,从c到d的直线上,等差等势面先密集后稀疏,电场强度先变大后变小,故D正确。
3.选B 设X、Y两带电小球间距离为r,开始时,X、Y间的库仑力大小为F=k,X受到的库仑力方向水平向左,由于X静止在平衡位置O点,则弹簧的弹力大小为F弹=k,方向水平向右;将Z先与X接触,根据电荷分配原理可知,此时qX'=qZ'=-2q,X、Y间的库仑力大小为F'=k,X受到的库仑力方向水平向右,X的平衡位置发生了变化,X、Y系统的电势能发生了变化;将Z再与Y接触,根据电荷分配原理可知,此时qY'=qZ″=-,整个过程中Z始终带负电荷。故选B。
4.选D 粒子的受力指向轨迹的内侧,因此a所受电场力向左,b所受电场力向右,由于电场线方向未知,无法判断两粒子电性,故A、B错误;运动过程中,电场力对两粒子都是先做负功后正功,粒子a和粒子b的速度都是先减小后增大,故C错误;由题图可得,粒子a在A、B两点运动时,电势差先增大后减小,到B点时电势差还未减小到零,所以电场力做负功,电势能增加,即EpB>EpA,同理可得EpD>EpC,故D正确。
5.选B 取AB中点为F,由几何关系可知四边形AFCD为平行四边形,故φC-φD=φF-
φA=2 V,解得φF=3 V,即DF连线为3 V的等势线,垂直DF连线作出电场线如图,所以B点的电势为φB=φC=5 V,电场强度大小为E=== V/m= V/m,故A错误,B正确;由图可知,在梯形区域内电势最高为5 V,电势最低为1 V,根据Ep=qφ可知一质子在梯形区域内的电势能一定大于零,故C错误;因为φD=φF,所以一电子从D点移到AB的中点,电场力不做功,故D错误。
6.选D 由图像可知电场在x 轴和y 轴方向上的分电场强度大小分别为Ex= V/m=160 V/m,Ey= V/m=120 V/m,则电场强度大小为E==200 V/m,故A错误;电场强度的方向与x 轴负方向夹角的正切值为tan α==,故B错误;规定坐标原点的电势为0,点(10 cm,10 cm)处的电势为φ=Ed=200×10cos(45°-α)×10-2 V=28 V,故C错误;纸面内距离坐标原点10 cm的各点电势最高为φ'=Ed'=200×10×10-2 V=20 V,D正确。
7.选A 设小圆环在某点P时所受合力为零,PM与MN的夹角为α,根据平衡条件可得kcos α=ksin α,解得tan α=,根据几何知识可知P位于P2点。在P2点右侧,静电力沿速度方向的分量始终沿圆弧切线方向向左,则小圆环从P1点运动到P2点的过程中静电力始终做正功。故选A。
8.选AC 根据等量异种点电荷的电场特点可知,C点、D点电场强度大小相等、方向相同,故A正确;AB为等量异种电荷连线的中垂线,根据等量异种电荷电势分布特点可知,中垂线为一等势线,所以把电子由A沿直线移到B的过程中,电子的电势能保持不变,故B错误;根据等量异种电荷连线的中垂线上电场分布特点可知,O点为中垂线上场强最大的点,则把质子由A沿直线移到B的过程中,场强先变大后变小,质子所受电场力先增大后减小,故C正确;由于等量异种电荷中垂线上的场强方向与中垂线垂直,所以将一电子从A点由静止释放,在A处受到的电场力与AB直线垂直,电子不可能沿直线在AB间做往返运动,故D错误。
9.选CD 根据题图(b)可知,圆周上电势最高点和最低点所在半径与x轴正方向夹角分别为和,设圆周上电势最高点为m,圆周上电势最低点为n,则mn直径方向为电场线方向,实线ef为一带电粒子在电场中从e点运动到f点的运动轨迹,粒子受力方向与电场方向一致,故粒子带正电,故A错误;粒子受力方向与电场方向一致,粒子从e点运动到f点的过程中电场力做正功,电势能逐渐减小,故B错误;O点的电势为φO==,故C正确;电场强度的大小为E==,故D正确。
10.选BC 从A到B电场力做正功,电势能减小,因在A点的电势能为零,可知该点电荷在B点的电势能为-5×10-8 J,A错误;AB间的电势差为UAB== V=-10 V,B正确;因为UAC== V=-20 V,UAC=φA-φC,又φA=0,可得C点电势为φC=20 V,C正确;UAB=φA-φB=-10 V,解得φB=10 V,设D是A、C连线的中点,由匀强电场的性质可知UAD=UAC=-10 V,可得φD=φB=10 V,所以B、D连线就是匀强电场中的一条等势线,由于AD=AC=4 cm,AB=5 cm,∠BAC=37°,可得∠ADB=90°,故电场强度的方向由C指向A,电场强度的大小为E== V/m=250 V/m,D错误。
11.选AD 由题意知小滑块在B点处的加速度为零,则根据受力分析,沿斜面方向有mgsin 30°=cos 30°,解得l=,A正确,B错误;因为小滑块滑到C点时速度为零,则从A到C的过程,根据动能定理有W+mgSsin 30°=0,解得静电力对小滑块做的功为W=-,故C错误;根据电势差与静电力做功的关系可知AC之间的电势差UAC==-,故D正确。
12.解析:(1)在匀强电场中,A、B两点间的电势差为U,沿电场方向的距离为L,则电场强度大小为E=。
(2)在A点细线对小球的拉力为0,根据牛顿第二定律得Eq-mg=m
从A到B过程根据动能定理得
qU-mgL=mvB2-mvA2
联立解得vA=
vB=。
答案:(1) (2)
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