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第5课时　创新思维——测量电阻常用的6种方法
　　大多数电学实验都关系到“电阻的测量”这一问题,且“电阻的测量”往往是整个实验的关键环节或解题突破点,破解了这一环节也就找到了解题的“命门”。伏安法是测量电阻的最基本方法,在一定的实验条件下,由伏安法又衍生出了一些测量电阻的其他方法:伏伏法、安安法、半偏法、等效替代法、电桥法等。
方法(一)　伏安法测电阻
　　伏安法是利用电流表、电压表与滑动变阻器的组合测量电阻的方法,是电阻测量的基础方法,是高考考查的热点。它渗透在电学实验的各个环节中,如测未知电阻、测电阻率、测各种电表内阻等,本质上都是伏安法测电阻在不同情境下的具体应用。主要涉及电压表、电流表的选择以及实物连线等。
　　[例1]　某同学用伏安法测量一阻值为几十欧姆的电阻Rx,所用电压表的内阻为1 kΩ,电流表内阻为0.5 Ω。该同学采用两种测量方案,一种是将电压表跨接在图(a)所示电路的O、P两点之间,另一种是跨接在O、Q两点之间。测量得到如图(b)所示的两条U I图线,其中U与I分别为电压表和电流表的示数。回答下列问题:
(1)图(b)中标记为Ⅱ的图线是采用电压表跨接在　　　　(填“O、P”或“O、Q”)两点的方案测量得到的。
(2)根据所用实验器材和图(b)可判断,由图线　　(填“Ⅰ”或“Ⅱ”)得到的结果更接近待测电阻的真实值,结果为　　　　Ω(保留1位小数)。
(3)考虑到实验中电表内阻的影响,需对(2)中得到的结果进行修正,修正后待测电阻的阻值为　　　Ω(保留1位小数)。
方法(二)　伏伏法(电压差值法)测电阻
　　伏伏法又称电压差值法,是利用两个电压表的组合测量电压表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。
(1)条件:电压表V2的量程必须大于电压表V1的量程且能搭配使用。
(2)技巧:已知内阻值的电压表可当作电流表使用。在缺少合适的电流表的情况下,常用电压表代替电流表使用,这是设计电路中的常用技巧,也是高考的热点之一。
(3)原理:①图甲中,电压表V1、V2的读数分别为U1、U2 ,根据电路知识有U2=U1+R0,则如果R0已知,可求出电压表V1的内阻r1=R0 ;如果r1已知,可以求出R0=r1。②图乙中,如果电压表V1的内阻r1、电阻R0已知,电压表V1、V2的读数分别为U1、U2 ,根据电路知识可知流过被测电阻Rx的电流为I=+=,则被测电阻为Rx==。同理,如果R0、Rx已知,可以由上面的关系求出电压表V1的内阻r1。
　　[例2]　(2025·南京模拟)某兴趣小组想要精确测量电压表V1的内阻,该电压表量程为3 V,内阻大约为2 kΩ,除此以外提供的器材有:
A.电源E(电动势9 V,内阻忽略不计)
B.电压表V2(量程15 V,内阻约为5 kΩ)
C.滑动变阻器R1(阻值范围为0~10 Ω)
D.定值电阻R2=5 kΩ
E.定值电阻R3=500 Ω
F.开关一个,导线若干
(1)实验过程中为了减小实验误差,需多次测量且要求电表示数至少要达到量程的,则定值电阻应该选　　　　(填器材前的字母代号);
(2)请在虚线框内画出实验电路图;
(3)将电压表V1的示数记为U1,将另一个电压表的示数记为U2,将所选定值电阻的阻值记为R,在获得多组U1、U2的值后建立坐标系,绘制U1 U2图像,拟合得到的直线斜率为k,则电压表V1的内阻为　　　　(用k和R表示)。
方法(三)　安安法(电流差值法)测电阻
　　安安法又称电流差值法,是利用两个电流表的组合测量电流表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。
(1)条件:电流表A2的量程必须大于电流表A1的量程且能搭配使用。
(2)技巧:已知内阻值的电流表可当作电压表使用。在缺少合适的电压表的情况下,常用电流表代替电压表使用,这是设计电路中的常用技巧,也是高考的热点之一。
(3)原理:电流表A1、A2的读数分别为I1、I2 ,电流表A1的内阻为r1。则:
①图甲中,根据电路知识有I1(r1+R0)=(I2-I1)Rx,则如果r1、R0已知,可求出Rx的阻值;如果R0、Rx已知,可以求出电流表A1的内阻r1。
②图乙中,根据电路知识有I1(r1+Rx)=(I2-I1)R0,则如果r1、R0已知,可求出Rx的阻值;如果R0、Rx已知,可以求出电流表A1的内阻r1。
　　[例3]　某实验小组要测量一种新型导电材料的电阻率,取一块厚度均匀的正方形此导电材料,如图甲所示。
(1)实验小组先用多用电表的电阻挡粗测AB边与CD边之间的电阻Rx,选择“×10”电阻挡,机械调零、欧姆调零后,按正确的操作步骤来测量,表盘的示数如图乙所示,则阻值Rx=　　　　Ω。
(2)实验小组想要精确测量电阻Rx,选用实验器材及其符号和规格如下:
A.电池组(E=1.5 V,内阻不计)
B.定值电阻(R1=295 Ω)
C.定值电阻(R2=995 Ω)
D.电流表A1(量程为5 mA,内阻为r1=5 Ω)
E.电流表A2(量程为15 mA,内阻约为1 Ω)
F.滑动变阻器R(最大阻值10 Ω,允许通过的最大电流为0.5 A)
G.开关、导线若干
为了减小实验误差,要求电表的测量值在量程的以上,定值电阻应该选择　　　　(选填“R1”或“R2”),在虚线框中画出合适的电路图,并标上各器材的符号。
(3)若实验中电流表A1、A2的示数分别为I1、I2,则待测电阻Rx=　　　　　　(用实验测得的物理量符号和题设中给出的物理量符号来表示);若材料的厚度为d,可得导电材料的电阻率为　　　　 (用Rx和测得的物理量符号表示)。
方法(四) 　
半偏法测电阻
　　利用半偏法测量电流表或电压表内阻时,先不连接电阻箱或将电阻箱阻值调为零,将电流表或电压表的指针调至满偏,然后再并联或串联上电阻箱,调节电阻箱的阻值,使电表示数为满偏刻度的一半,则认为电阻箱的阻值与待测的电流表或电压表内阻相等。
　　半偏法测电表内阻可以分为两种情况:
项目 电流表半偏法 电压表半偏法
实验 电路图
实验 步骤 (1)按如图所示连接实验电路 (2)断开S2,闭合S1,调节R1,使电流表满偏 (3)保持R1不变,闭合S2,调节R2,使电流表半偏,然后读出R2的值,则RA=R2 (1)按如图所示连接实验电路 (2)将R2的值调为零,闭合S,调节R1的滑片,使电压表满偏 (3)保持R1的滑片不动,调节R2,使电压表半偏,然后读出R2的值,则RV=R2
实验 条件 R1 RA R1 RV
测量 结果 RA测=R2RV
误差 分析 当闭合S2时,总电阻减小,总电流增大,大于原电流表的满偏电流,所以当电流表半偏时,流经R2的电流比电流表所在支路的电流大,R2的电阻比电流表的电阻小,从而造成RA的测量值偏小 当R2的值由零逐渐增大时,R2与电压表两端的电压也逐渐增大,因此电压表读数等于Um时,R2两端的电压大于Um,使R2>RV,从而造成RV的测量值偏大
　　[例4·电流表半偏法]　用如图甲所示的电路测量一个量程为100 μA、内阻约为2 000 Ω的微安表头的内阻,所用电源的电动势约为12 V,有两个电阻箱可选,R1(0~9 999.9 Ω),R2(0~99 999.9 Ω)。
(1)RM应选　　　　,RN应选　　　　。
(2)根据电路图甲,请把实物图乙连线补充完整。
(3)下列操作顺序合理排列是　　　　。
①将变阻器滑片P移至最左端,将RN调至最大值;
②闭合开关S2,调节RM,使微安表半偏,并读出RM的阻值;
③断开S2,闭合S1,调节滑片P至某位置再调节RN使表头满偏;
④断开S1、S2,拆除导线,整理好器材
(4)如图丙是RM调节后的面板,则待测表头的内阻为　　　　　,该测量值　　　　(填“大于”“小于”“等于”)真实值。
(5)将该微安表改装成量程为2 V的电压表后,某次测量指针指在图丁所示位置,则待测电压为　　　 　V(保留3位有效数字)。
(6)某次半偏法测量表头内阻的实验中,S2断开,电表满偏时读出RN的值,在滑片P不变的情况下,S2闭合后调节电阻箱RM,使电表半偏时读出RM,若认为OP间电压不变,则微安表内阻为　　　　(用RM、RN表示)。
　　[例5·电压表半偏法]　某同学为测量电压表的内阻,实验室仅提供了以下器材:
A.待测电压表(量程为3 V,内阻约为30 kΩ)
B.电源E1(电动势为6.0 V,内阻不能忽略)
C.电源E2(电动势为3.0 V,内阻不能忽略)
D.滑动变阻器R1(最大阻值为10 kΩ)
E.滑动变阻器R2(最大阻值为10 Ω)
F.电阻箱R'(满足实验要求)
G.开关,导线若干
　　该同学利用上述器材连接了如图电路后,进行了下述操作:
①先将滑动变阻器R的滑片调到最左端,电阻箱R'的阻值调为零;
②闭合开关,调节滑动变阻器R的滑片,使电压表指针满偏;
③保持滑动变阻器R的滑片不动,调节电阻箱R',使电压表指针偏转到满刻度的一半,读出电阻箱R'的读数为29 kΩ。
(1)电源应选用　　　,滑动变阻器选用　　　。(填写对应序号)
(2)在虚线框中画出电路图。
(3)待测电压表内阻为　　　,测量值　　　　真实值(填“大于”“等于”或“小于”)。
方法(五)　等效替代法测电阻
　　测量某电阻(或电表的内阻)时,用电阻箱替换待测电阻,若二者对电路所起的作用相同(如电流或电压相等),则电阻箱与待测电阻是等效的。故电阻箱的读数即为待测电阻的阻值。
　　等效替代法有如下两种情况:
项目 电流等效替代 电压等效替代
实验电路图
实验步骤 (1)按如图电路图连接好电路,并将电阻箱R0的阻值调至最大,滑动变阻器的滑片P置于a端 (2)闭合S1、S2,调节滑片P,使电流表指针指在适当的位置,记下此时电流表的示数为I (3)断开S2,再闭合S3,保持滑动变阻器滑片P位置不变,调节电阻箱,使电流表的示数仍为I (4)此时电阻箱接入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效,即Rx=R0 (1)按如图电路图连接好电路,并将电阻箱R0的阻值调至最大,滑动变阻器的滑片P置于a端 (2)闭合S1、S2,调节滑片P,使电压表指针指在适当的位置,记下此时电压表的示数为U (3)断开S2,再闭合S3,保持滑动变阻器滑片P位置不变,调节电阻箱,使电压表的示数仍为U (4)此时电阻箱接入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效,即Rx=R0
　　[例6·电流等效替代]为了测量一额定电压为220 V 的灯泡正常工作时的电阻值Rx,某同学设计了如
图所示的电路。A是理想电流表,R0和R分别是电阻箱和已知阻值的固定电阻,S是单刀双掷开关,电源是电压有效值为220 V的交流电。请完成下列实验步骤:
(1)将S拨向接点1,使灯泡工作一段时间,观察电流表,电流稳定后,记下此时电流表的读数I;
(2)然后将S拨向接点2,调节　　　　,使　　　　,记下此时R0的读数;
(3)多次重复上述过程,计算R0读数的平均值,则灯泡正常工作时的电阻值Rx为　　　　。
　　[例7·电压等效替代]　现要组装一个酒精测试仪,它利用一种二氧化锡半导体型酒精气体传感器,此传感器的电阻Rx随酒精气体浓度的变化而变化,规律如图甲所示。目前国际公认的酒驾标准是“0.2 mg·mL-1≤酒精气体浓度<0.8 mg·mL-1”,醉驾标准是“酒精气体浓度≥0.8 mg·mL-1”。提供的器材有:
A.二氧化锡半导体型酒精气体传感器Rx
B.直流电源(电动势为4 V,内阻不计)
C.电压表(量程为3 V,内阻非常大,作为浓度表使用)
D.电阻箱R0(最大阻值为999.9 Ω)
E.定值电阻R1(阻值为50 Ω)
F.定值电阻R2(阻值为10 Ω)
G.单刀双掷开关一个,导线若干
(1)图乙是酒精测试仪电路图,请在图丙中完成实物连线。
(2)电路中R应选用定值电阻　　　(填“R1”或“R2”)。
(3)为便于识别,按照下列步骤调节此测试仪:
①电路接通前,先将电阻箱调为30.0 Ω,然后开关向　　　　(填“a”或“b”)端闭合,将电压表此时指针对应的刻度线标记为0.2 mg·mL-1;
②逐步减小电阻箱的阻值,电压表的示数不断变大,按照甲图数据将电压表上“电压”刻度线标为“酒精气体浓度”,此浓度表刻度线上对应的浓度值是　　　　　(填“均匀”或“非均匀”)变化的;
③将开关向另一端闭合,测试仪即可正常使用。
(4)某同学将调试好的酒精测试仪靠近酒精瓶口,发现电压表读数为1 V,则测量的酒精气体浓度　　　　(填“有”或“没有”)达到醉驾标准。
(5)使用一段时间后,由于电源的电动势略微变小,内阻变大,其测量结果　　　　(填“偏大”“偏小”或“准确”)。
方法(六)　电桥法测电阻
　　电桥法是测量电阻的一种特殊方法,其测量原理电路如图所示,实验中调节电阻箱R3,当A、B两点的电势相等时,IG=0,R1和R3两端的电压相等,设为U1;同时R2和Rx两端的电压也相等,设为U2。根据欧姆定律有=,=,由以上两式解得R1Rx=R2R3或者=,这就是电桥平衡的条件。如果R1、R2、R3已知,由该平衡条件可求出被测电阻Rx的阻值。
　　[例8]　某同学用图甲所示的电路测量
电阻Rx的阻值。实验步骤如下:
ⅰ.按照电路图连接好电路,将滑片P置于电阻丝R0上的适当位置,闭合开关S1;
ⅱ.将双刀双掷开关S2(中间连杆为绝缘材料)掷于触点1、2,调节电阻箱R,使灵敏电流计G的指针指零,读出电阻箱阻值,记为R1;
ⅲ.保持滑片P的位置不动,将S2掷于触点3、4,调节电阻箱R,仍使灵敏电流计G的指针指零,读出电阻箱阻值,记为R2;
ⅳ.断开开关,整理器材。
回答下列问题:
(1)实验过程中,　　　　(填“需要”或“不需要”)测量滑片P两侧电阻丝的长度。
(2)关于实验对电阻丝规格的要求,下列说法正确的是　　　　。
A.总电阻必须已知,粗细必须均匀
B.总电阻必须已知,粗细无须均匀
C.总电阻无须已知,粗细必须均匀
D.总电阻无须已知,粗细无须均匀
(3)某次测量中,R1=70 Ω,如图乙是电阻箱指示的R2的阻值,则待测电阻的测量值Rx=　　　　Ω(结果保留3位有效数字)。
(4)若在步骤ⅱ后、步骤ⅲ之前,误将滑片P向右移动了少许,继续进行测量,则Rx的测量值　　　　(填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
第5课时　创新思维——测量电阻常用的6种方法
[例1]　解析:(1)当用电流表内接法时,测量值为Rx1=Rx+RA>Rx,当用电流表外接法时,测量值为Rx2=(2)由图线可得Rx约为50.0 Ω,可知Rx>,所以用电流表内接法测量的结果误差较小,即由图线Ⅰ得到的结果更接近待测电阻的真实值,测量结果Rx1==50.5 Ω。
(3)因为Rx1=Rx+RA,所以Rx=Rx1-RA=50.0 Ω。
答案:(1)O、P　(2)Ⅰ　50.5(50.0~51.0均可)　(3)50.0(49.5~50.5均可)
[例2]　解析:(1)由于器材中没有电流表,所以可以用定值电阻与V1串联,将量程更大的电压表V2与它们并联,为了使电表示数至少达到量程的,且V1两端电压不超过其量程,定值电阻应该选阻值较大的R2,即选D。
(2)由于滑动变阻器最大阻值远小于待测电压表内阻,则滑动变阻器应采用分压接法,实验电路图如图所示。
(3)根据欧姆定律可得U2=(RV+R),整理可得U1=U2,可知U1 U2图像的斜率为k=,解得电压表V1的内阻为RV=。
答案:(1)D　(2)见解析图　(3)
[例3]　解析:(1)选择“×10”电阻挡,由题图乙可知待测电阻阻值为15×10 Ω=150 Ω。
(2)实验器材中没有电压表,电流表A1的内阻已知,所以用电流表A1与定值电阻串联改装成电压表,电源的电动势为1.5 V,串联的电阻为R=-r1=295 Ω,所以定值电阻应选择R1,电流表A2内阻未知,所以应用外接法,滑动变阻器最大阻值远小于待测电阻,所以应用分压接法,电路图如图所示。
(3)根据并联电路的特点和欧姆定律,待测电阻两端的电压U=I1,则待测电阻Rx=;设该正方形导电材料的边长为a,根据电阻定律有Rx=ρ=ρ=ρ,解得该正方形导电材料电阻率ρ=Rxd。
答案:(1)150　(2)R1　见解析图　(3)　Rxd
[例4]　解析:(1)根据半偏法的测量原理可知,RM与微安表头的内阻相当,当闭合S2之后,通过RN的电流应基本不变,就需要RN较大,对下方分压电路影响甚微,故RM应选R1,RN应选R2。
(2)根据电路图连接实物图如图1所示。
(3)半偏法测电阻的实验步骤应为:①将变阻器滑片P移至最左端,将RN调至最大值;③断开S2,闭合S1,调节滑片P至某位置再调节RN使表头满偏;②闭合开关S2,调节RM,使微安表半偏,并读出RM的阻值;④断开S1、S2,拆除导线,整理好器材。
(4)RM调节后的面板读数为1 998.0 Ω,根据半偏法可知,待测表头的内阻为1 998.0 Ω。当闭合S2后,原电路可看成如图2所示电路。
闭合S2后,相当于RM由无穷大变成有限值,电路总电阻变小,则流过RN的电流大于原来的电流,则流过RM的电流大于,故待测表头的内阻的测量值小于真实值。
(5)将该微安表改装成量程为2 V的电压表,则需要串联一个电阻R0,则有U=Ig(Rg+R0),此时的电压读数有U'=I'(Rg+R0),其中U=2 V,Ig=100 μA,I'=64 μA,联立解得U'=1.28 V。
(6)根据题意OP间电压不变,可得I(RA+RN)=+RN+·RA,解得RA=。
答案:(1)R1　R2　(2)见解析图1　(3)①③②④　(4)1 998.0 Ω　小于　(5)1.28　(6)
[例5]　解析:(1)由于电源内阻不能忽略,则其路端电压小于电源电动势,由于电压表要满偏,达到3 V,故电动势为3 V的电源不能满足要求,故选电源电动势为6 V的B;由于电压表满偏和半偏时认为电压表和电阻箱两端电压之和不变,故只有滑动变阻器最大阻值远小于电压表内阻时才成立,故选择最大阻值为10 Ω 的E。
(2)该实验为用半偏法测电压表的内阻,按实物连线画电路图如图所示。
(3)滑动变阻器保持不变,可以认为总电压不变,再调节电阻箱使电压表半偏,那么电阻箱的电压与电压表相同,所以RV=R箱=29 kΩ,实际上,由于电阻箱与电压表串联后接入电路增加了总电阻,则滑动变阻器的分压将增大,这样当电压表半偏时,电阻箱的电压比电压表大,所以测量值大于真实值。
答案:(1)B　E　(2)见解析图　(3)29 kΩ　大于
[例6]　解析:(2)根据电路特点可知,当S接2时,要使电流表的读数仍为I,从而可以把Rx的阻值用R和R0的总阻值代替,所以此时应调节电阻箱R0,以确保电流表的读数不变。
(3)根据上述实验步骤,每次电流表的读数不变,故灯泡的电阻就等于R和R0串联后的电阻之和,故Rx=+R。
答案:(2)R0(或电阻箱的阻值)　电流表(或A)的读数仍为I　(3)+R
[例7]　解析:(1)根据电路图连接实物图,如图所示。
(2)在题图乙中,根据闭合电路欧姆定律,电压表的读数为UR=R,因为电压表的量程为3 V,所以UR≤3 V,联立解得R≤3Rx,由题图甲知当Rx=10 Ω时,则R≤30 Ω,故选R2。
(3)①电路接通前,先将电阻箱调为30.0 Ω,然后开关向a端闭合,将电压表此时指针对应的刻度线标记为0.2 mg·mL-1;
②由闭合电路欧姆定律,电压UR与电阻箱、电阻R2的关系式为UR=R2,可知UR与R0成非线性关系,所以此浓度表刻度线上对应的浓度值是非均匀变化的。
(4)电压表读数为1 V,根据UR=R2,解得Rx=30.0 Ω,通过题图甲可知,此时酒精气体浓度未达到醉驾标准。
(5)使用一段时间后,由于电源的电动势略微变小,内阻变大,电路中电流将减小,电压表示数将偏小,故其测量结果将偏小。
答案:(1)见解析图　(2)R2　(3)①a　②非均匀　(4)没有　(5)偏小
[例8]　解析:(1)设滑片左、右两侧电阻丝的电阻值分别为R左、R右,由步骤ⅱ结合电桥电路可知=,同理由步骤ⅲ得=,解得Rx=,显然实验时不需要测量电阻丝的长度。
(2)由Rx=可知,求解Rx用不到电阻丝的具体数值,所以实验中对电阻丝的要求是电阻丝的粗细无须均匀,电阻丝的总电阻无须已知,D正确。
(3)由电阻箱的读数规则可知R2=558 Ω,则Rx== Ω≈198 Ω。
(4)若在步骤ⅱ后、步骤ⅲ之前,误将滑片P向右移动了少许,则有=,=,其中R左R右',所以有<,解得Rx真<,又Rx测=,所以Rx的测量值大于真实值。
答案:(1)不需要　(2)D　(3)198　(4)大于
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创新思维——测量电阻常用的6种
方法
第5课时
大多数电学实验都关系到“电阻的测量”这一问题，且“电阻的测量”往往是整个实验的关键环节或解题突破点，破解了这一环节也就找到了解题的“命门”。伏安法是测量电阻的最基本方法，在一定的实验条件下，由伏安法又衍生出了一些测量电阻的其他方法：伏伏法、安安法、半偏法、等效替代法、电桥法等。
1
方法(一) 伏安法测电阻
2
方法(二) 伏伏法(电压差值法)测电阻
CONTENTS
目录
4
方法(四) 半偏法测电阻
6
方法(六) 电桥法测电阻
3
方法(三)　安安法(电流差值法)测电阻
5
方法(五) 等效替代法测电阻
方法(一) 伏安法测电阻
伏安法是利用电流表、电压表与滑动变阻器的组合测量电阻的方法，是电阻测量的基础方法，是高考考查的热点。它渗透在电学实验的各个环节中，如测未知电阻、测电阻率、测各种电表内阻等，本质上都是伏安法测电阻在不同情境下的具体应用。主要涉及电压表、电流表的选择以及实物连线等。
[例1]　某同学用伏安法测量一阻值为几十欧姆的电阻Rx，所用电压表的内阻为1 kΩ，电流表内阻为0.5 Ω。该同学采用两种测量方案，一种是将电压表跨接在图(a)所示电路的O、P两点之间，另一种是跨接在O、Q两点之间。测量得到如图(b)所示的两条U I图线，其中U与I分别为电压表和电流表的示数。回答下列问题：
(1)图(b)中标记为Ⅱ的图线是采用电压表跨接在________ (填“O、P”或“O、Q”)两点的方案测量得到的。
[解析]　当用电流表内接法时，测量值为Rx1=Rx+RA>Rx，当用电流表外接法时，测量值为Rx2=O、P
(2)根据所用实验器材和图(b)可判断，由图线________ (填“Ⅰ”或“Ⅱ”)得到的结果更接近待测电阻的真实值，结果为___________________ Ω(保留1位小数)。
[解析]　由图线可得Rx约为50.0 Ω，可知Rx>，所以用电流表内接法测量的结果误差较小，即由图线Ⅰ得到的结果更接近待测电阻的真实值，测量结果Rx1==50.5 Ω。
Ⅰ
50.5(50.0~51.0均可)
(3)考虑到实验中电表内阻的影响，需对(2)中得到的结果进行修正，修正后待测电阻的阻值为____________________Ω(保留1位小数)。
[解析]　 因为Rx1=Rx+RA，所以Rx=Rx1-RA=50.0 Ω。
50.0(49.5~50.5均可)
方法(二) 伏伏法(电压差值法)
测电阻
伏伏法又称电压差值法，是利用两个电压表的组合测量电压表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。
(1)条件：电压表V2的量程必须大于电压表V1的量程且能搭配使用。
(2)技巧：已知内阻值的电压表可当作电流表使用。在缺少合适的电流表的情况下，常用电压表代替电流表使用，这是设计电路中的常用技巧，也是高考的热点之一。
(3)原理：①图甲中，电压表V1、V2的读数分别为U1、U2 ，根据电路知识有U2=U1+R0，则如果R0已知，可求出电压表V1的内阻r1=R0 ；如果r1已知，可以求出R0=r1。②图乙中，如果电压表V1的内阻r1、电阻R0已知，电压表V1、V2的读数分别为U1、U2 ，根据电路知识可知流过被测电阻Rx的电流为I=+=，则被测电阻为Rx==。同理，如果R0、Rx已知，可以由上面的关系求出电压表V1的内阻r1。
[例2]　(2025·南京模拟)某兴趣小组想要精确测量电压表V1的内阻，该电压表量程为3 V，内阻大约为2 kΩ，除此以外提供的器材有：
A.电源E(电动势9 V，内阻忽略不计)
B.电压表V2(量程15 V，内阻约为5 kΩ)
C.滑动变阻器R1(阻值范围为0~10 Ω)
D.定值电阻R2=5 kΩ
E.定值电阻R3=500 Ω
F.开关一个，导线若干
(1)实验过程中为了减小实验误差，需多次测量且要求电表示数至少要达到量程的，则定值电阻应该选______(填器材前的字母代号)；
[解析]　由于器材中没有电流表，所以可以用定值电阻与V1串联，将量程更大的电压表V2与它们并联，为了使电表示数至少达到量程的，且V1两端电压不超过其量程，定值电阻应该选阻值较大的R2，即选D。
D
(2)请在虚线框内画出实验电路图；
[答案]　见解析图
[解析] 　由于滑动变阻器最大阻值
远小于待测电压表内阻，则滑动变阻器
应采用分压接法，实验电路图如图所示。
(3)将电压表V1的示数记为U1，将另一个电压表的示数记为U2，将所选定值电阻的阻值记为R，在获得多组U1、U2的值后建立坐标系，绘制U1 U2图像，拟合得到的直线斜率为k，则电压表V1的内阻为
_______(用k和R表示)。
[解析]　根据欧姆定律可得U2=(RV+R)，整理可得U1=U2，可知U1 U2图像的斜率为k=，解得电压表V1的内阻为RV=。
方法(三) 安安法(电流差值法)
测电阻
安安法又称电流差值法，是利用两个电流表的组合测量电流表的内阻或其他电阻的方法。常见电路如图甲、乙所示。
(1)条件：电流表A2的量程必须大于电流表A1的量程且能搭配使用。
(2)技巧：已知内阻值的电流表可当作电压表使用。在缺少合适的电压表的情况下，常用电流表代替电压表使用，这是设计电路中的常用技巧，也是高考的热点之一。
(3)原理：电流表A1、A2的读数分别为I1、I2 ，电流表A1的内阻为r1。则：
①图甲中，根据电路知识有I1(r1+R0)=(I2-I1)Rx，则如果r1、R0已知，可求出Rx的阻值；如果R0、Rx已知，可以求出电流表A1的内阻r1。
②图乙中，根据电路知识有I1(r1+Rx)=(I2-I1)R0，则如果r1、R0已知，可求出Rx的阻值；如果R0、Rx已知，可以求出电流表A1的内阻r1。
[例3]　某实验小组要测量一种新型导电材料的电阻率，取一块厚度均匀的正方形此导电材料，如图甲所示。
(1)实验小组先用多用电表的电阻挡粗测AB边与CD边之间的电阻Rx，选择“×10”电阻挡，机械调零、欧姆调零后，按正确的操作步骤来测量，表盘的示数如图乙所示，则阻值Rx=_______Ω。
150
[解析]　选择“×10”电阻挡，由题图乙可知待测电阻阻值为15×10 Ω=150 Ω。
(2)实验小组想要精确测量电阻Rx，选用实验器材及其符号和规格如下：
A.电池组(E=1.5 V，内阻不计)
B.定值电阻(R1=295 Ω)
C.定值电阻(R2=995 Ω)
D.电流表A1(量程为5 mA，内阻为r1=5 Ω)
E.电流表A2(量程为15 mA，内阻约为1 Ω)
F.滑动变阻器R(最大阻值10 Ω，允许通过的最大电流为0.5 A)
G.开关、导线若干
为了减小实验误差，要求电表的测量值在量程的以上，定值电阻应该选择________ (选填“R1”或“R2”)，在虚线框中画出合适的电路图，并标上各器材的符号。
R1
[解析]　 实验器材中没有电压表，电流表A1的内阻已知，所以用电流表A1与定值电阻串联改装成电压表，电源的电动势为1.5 V，串联的电阻为R=-r1=295 Ω，所以定值电阻应选择
R1，电流表A2内阻未知，所以应用外接法，滑动
变阻器最大阻值远小于待测电阻，所以应用分压
接法，电路图如图所示。
(3)若实验中电流表A1、A2的示数分别为I1、I2，则待测电阻Rx=
________(用实验测得的物理量符号和题设中给出的物理量符号来表示)；若材料的厚度为d，可得导电材料的电阻率为________(用Rx和测得的物理量符号表示)。
　
Rxd
[解析] 根据并联电路的特点和欧姆定律，待测电阻两端的电压U=I1，则待测电阻Rx=；设该正方形导电材料的边长为a，根据电阻定律有Rx=ρ=ρ=ρ，解得该正方形导电材料电阻率ρ=Rxd。
方法(四) 半偏法测电阻
利用半偏法测量电流表或电压表内阻时，先不连接电阻箱或将电阻箱阻值调为零，将电流表或电压表的指针调至满偏，然后再并联或串联上电阻箱，调节电阻箱的阻值，使电表示数为满偏刻度的一半，则认为电阻箱的阻值与待测的电流表或电压表内阻相等。
半偏法测电表内阻可以分为两种情况：
项目 电流表半偏法 电压表半偏法
实验 电路图
实验步骤 (1)按如图所示连接实验电路 (2)断开S2，闭合S1，调节R1，使电流表满偏 (3)保持R1不变，闭合S2，调节R2，使电流表半偏，然后读出R2的值，则RA=R2 (1)按如图所示连接实验电路
(2)将R2的值调为零，闭合S，调节R1的滑片，使电压表满偏
(3)保持R1的滑片不动，调节R2，使电压表半偏，然后读出R2的值，则RV=R2
实验条件 R1 RA R1 RV
测量结果 RA测=R2RV
续表
误差分析 当闭合S2时，总电阻减小，总电流增大，大于原电流表的满偏电流，所以当电流表半偏时，流经R2的电流比电流表所在支路的电流大，R2的电阻比电流表的电阻小，从而造成RA的测量值偏小
续表
[例4·电流表半偏法]　用如图甲所示的电路测量一个量程为100 μA、内阻约为2 000 Ω的微安表头的内阻，所用电源的电动势约为12 V，有两个电阻箱可选，R1(0~9 999.9 Ω)，R2(0~99 999.9 Ω)。
(1)RM应选________，RN应选________ 。
[解析]　根据半偏法的测量原理可知，RM与微安表头的内阻相当，当闭合S2之后，通过RN的电流应基本不变，就需要RN较大，对下方分压电路影响甚微，故RM应选R1，RN应选R2。
R1
R2
(2)根据电路图甲，请把实物图乙连线补充完整。
[答案]　见解析图1
[解析]　根据电路图连接实物图如图1所示。
(3)下列操作顺序合理排列是_________。
①将变阻器滑片P移至最左端，将RN调至最大值；
②闭合开关S2，调节RM，使微安表半偏，并读出RM的阻值；
③断开S2，闭合S1，调节滑片P至某位置再调节RN使表头满偏；
④断开S1、S2，拆除导线，整理好器材
①③②④
[解析]　 半偏法测电阻的实验步骤应为：①将变阻器滑片P移至最左端，将RN调至最大值；③断开S2，闭合S1，调节滑片P至某位置再调节RN使表头满偏；②闭合开关S2，调节RM，使微安表半偏，并读出RM的阻值；④断开S1、S2，拆除导线，整理好器材。
(4)如图丙是RM调节后的面板，则待测表头的内阻为__________，该测量值_________(填“大于”“小于”“等于”)真实值。
1 998.0 Ω
小于
[解析] RM调节后的面板读数为1 998.0 Ω，根据半偏法可知，待测表头的内阻为1 998.0 Ω。当闭合
S2后，原电路可看成如图2所示电路。
闭合S2后，相当于RM由无穷大变成
有限值，电路总电阻变小，则流过
RN的电流大于原来的电流，则流过RM的电流大于，故待测表头的内阻的测量值小于真实值。
(5)将该微安表改装成量程为2 V的电压表后，某次测量指针指在图丁所示位置，则待测电压为________V(保留3位有效数字)。
[解析]　 将该微安表改装成量程为2 V的电压表，则需要串联一个电阻R0，则有U=Ig(Rg+R0)，此时的电压读数有U'=I'(Rg+R0)，其中U=2 V，Ig=100 μA，I'=64 μA，联立解得U'=1.28 V。
1.28
(6)某次半偏法测量表头内阻的实验中，S2断开，电表满偏时读出RN的值，在滑片P不变的情况下，S2闭合后调节电阻箱RM，使电表半
偏时读出RM，若认为OP间电压不变，则微安表内阻为___________ (用RM、RN表示)。
[解析]　 根据题意OP间电压不变，可得I(RA+RN)= RN+ ·RA，解得RA=。
[例5·电压表半偏法]　某同学为测量电压表的内阻，实验室仅提供了以下器材：
A.待测电压表(量程为3 V，内阻约为30 kΩ)
B.电源E1(电动势为6.0 V，内阻不能忽略)
C.电源E2(电动势为3.0 V，内阻不能忽略)
D.滑动变阻器R1(最大阻值为10 kΩ)
E.滑动变阻器R2(最大阻值为10 Ω)
F.电阻箱R'(满足实验要求)
G.开关，导线若干
该同学利用上述器材连接了如图电路后，进行了下述操作：
①先将滑动变阻器R的滑片调到最左端，电阻箱R'的阻值调为零；
②闭合开关，调节滑动变阻器R的滑片，使电压表指针满偏；
③保持滑动变阻器R的滑片不动，调节电阻箱R'，使电压表指针偏转到满刻度的一半，读出电阻箱R'的读数为29 kΩ。
(1)电源应选用_____ ，滑动变阻器选用_____。(填写对应序号)
[解析]　由于电源内阻不能忽略，则其路端电压小于电源电动势，由于电压表要满偏，达到3 V，故电动势为3 V的电源不能满足要求，故选电源电动势为6 V的B；由于电压表满偏和半偏时认为电压表和电阻箱两端电压之和不变，故只有滑动变阻器最大阻值远小于电压表内阻时才成立，故选择最大阻值为10 Ω 的E。
B
E
(2)在虚线框中画出电路图。
[答案]　见解析图
[解析]　 该实验为用半偏法测电压表的内阻，按实物连线画电路图如图所示。
(3)待测电压表内阻为________，测量值________真实值(填“大于”“等于”或“小于”)。
[解析]　 滑动变阻器保持不变，可以认为总电压不变，再调节电阻箱使电压表半偏，那么电阻箱的电压与电压表相同，所以RV=R箱=29 kΩ，实际上，由于电阻箱与电压表串联后接入电路增加了总电阻，则滑动变阻器的分压将增大，这样当电压表半偏时，电阻箱的电压比电压表大，所以测量值大于真实值。
29 kΩ
大于
方法(五) 等效替代法测电阻
测量某电阻(或电表的内阻)时，用电阻箱替换待测电阻，若二者对电路所起的作用相同(如电流或电压相等)，则电阻箱与待测电阻是等效的。故电阻箱的读数即为待测电阻的阻值。
等效替代法有如下两种情况：
项目 电流等效替代 电压等效替代
实验电路图
续表
项目 电流等效替代
实验 步骤 (1)按如图电路图连接好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，滑动变阻器的滑片P置于a端
(2)闭合S1、S2，调节滑片P，使电流表指针指在适当的位置，
记下此时电流表的示数为I
(3)断开S2，再闭合S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节
电阻箱，使电流表的示数仍为I
(4)此时电阻箱接入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，
即Rx=R0
续表
项目 电压等效替代
实验 步骤 (1)按如图电路图连接好电路，并将电阻箱R0的阻值调至最大，
滑动变阻器的滑片P置于a端
(2)闭合S1、S2，调节滑片P，使电压表指针指在适当的位置，
记下此时电压表的示数为U
(3)断开S2，再闭合S3，保持滑动变阻器滑片P位置不变，调节
电阻箱，使电压表的示数仍为U
(4)此时电阻箱接入电路的阻值R0与未知电阻Rx的阻值等效，
即Rx=R0
[例6·电流等效替代]为了测量一额定电压为220 V 的灯泡正常工作时的电阻值Rx，某同学设计了如图所示的电路。A是理想电流表，R0和R分别是电阻箱和已知阻值的固定电阻，S是单刀双掷开关，电源是电压有效值为220 V的交流电。请完成下列实验步骤：
(1)将S拨向接点1，使灯泡工作一段时间，观察电流表，电流稳定后，记下此时电流表的读数I；
(2)然后将S拨向接点2，调节___________________ ，使________________________ ，记下此时R0的读数；
[解析]　根据电路特点可知，当S接2时，要使电流表的读数仍为I，从而可以把Rx的阻值用R和R0的总阻值代替，所以此时应调节电阻箱R0，以确保电流表的读数不变。
R0(或电阻箱的阻值)
电流表(或A)的读数仍为I
(3)多次重复上述过程，计算R0读数的平均值，则灯泡正常工作时的电阻值Rx为__________。
[解析]　 根据上述实验步骤，每次电流表的读数不变，故灯泡的电阻就等于R和R0串联后的电阻之和，故Rx=+R。
+R
[例7·电压等效替代]　现要组装一个酒精测试仪，它利用一种二氧化锡半导体型酒精气体传感器，此传感器的电阻Rx随酒精气体浓度的变化而变化，规律如图甲所示。目前国际公认的酒驾标准是“0.2 mg·mL-1≤酒精气体浓度<0.8 mg·mL-1”，醉驾标准是“酒精气体浓度≥0.8 mg·mL-1”。提供的器材有：
A.二氧化锡半导体型酒精气体传感器Rx
B.直流电源(电动势为4 V，内阻不计)
C.电压表(量程为3 V，内阻非常大，作为浓度表使用)
D.电阻箱R0(最大阻值为999.9 Ω)
E.定值电阻R1(阻值为50 Ω)
F.定值电阻R2(阻值为10 Ω)
G.单刀双掷开关一个，导线若干
(1)图乙是酒精测试仪电路图，请在图丙中完成实物连线。
[答案]　见解析图
[解析]　根据电路图连接实物图，如图所示。
(2)电路中R应选用定值电阻_________ (填“R1”或“R2”)。
[解析]　 在题图乙中，根据闭合电路欧姆定律，电压表的读数为UR=R，因为电压表的量程为3 V，所以UR≤3 V，联立解得R≤3Rx，由题图甲知当Rx=10 Ω时，则R≤30 Ω，故选R2。
R2
(3)为便于识别，按照下列步骤调节此测试仪：
①电路接通前，先将电阻箱调为30.0 Ω，然后开关向________ (填“a”或“b”)端闭合，将电压表此时指针对应的刻度线标记为0.2 mg·mL-1；
②逐步减小电阻箱的阻值，电压表的示数不断变大，按照甲图数据将电压表上“电压”刻度线标为“酒精气体浓度”，此浓度表刻度线上对应的浓度值是________(填“均匀”或“非均匀”)变化的；
③将开关向另一端闭合，测试仪即可正常使用。
a
非均匀
[解析]　①电路接通前，先将电阻箱调为30.0 Ω，然后开关向a端闭合，将电压表此时指针对应的刻度线标记为0.2 mg·mL-1；
②由闭合电路欧姆定律，电压UR与电阻箱、电阻R2的关系式为UR=R2，可知UR与R0成非线性关系，所以此浓度表刻度线上对应的浓度值是非均匀变化的。
(4)某同学将调试好的酒精测试仪靠近酒精瓶口，发现电压表读数为1 V，则测量的酒精气体浓度_________ (填“有”或“没有”)达到醉驾标准。
[解析]　电压表读数为1 V，根据UR=R2，解得Rx=30.0 Ω，通过题图甲可知，此时酒精气体浓度未达到醉驾标准。
没有
(5)使用一段时间后，由于电源的电动势略微变小，内阻变大，其测量结果________ (填“偏大”“偏小”或“准确”)。
[解析]　使用一段时间后，由于电源的电动势略微变小，内阻变大，电路中电流将减小，电压表示数将偏小，故其测量结果将偏小。
偏小
方法(六) 电桥法测电阻
电桥法是测量电阻的一种特殊方法，其测量原理电路如图所示，实验中调节电阻箱R3，当A、B两点的电势相等时，IG=0，R1和R3两端的电压相等，设为U1；同时R2和Rx两端的电压也相等，设为U2。根据欧姆定律有==，由以上两式
解得R1Rx=R2R3或者=，这就是电桥平衡
的条件。如果R1、R2、R3已知，由该平衡条
件可求出被测电阻Rx的阻值。
[例8]　某同学用图甲所示的电路测量电阻Rx的阻值。实验步骤如下：
ⅰ.按照电路图连接好电路，将滑片P置于电阻丝R0上的适当位置，闭合开关S1；
ⅱ.将双刀双掷开关S2(中间连杆为绝缘材料)掷于触点1、2，调节电阻箱R，使灵敏电流计G的指针指零，读出电阻箱阻值，记为R1；
ⅲ.保持滑片P的位置不动，将S2掷于触点3、4，调节电阻箱R，仍使灵敏电流计G的指针指零，读出电阻箱阻值，记为R2；
ⅳ.断开开关，整理器材。
回答下列问题：
(1)实验过程中，__________ (填“需要”或“不需要”)测量滑片P两侧电阻丝的长度。
[解析]　设滑片左、右两侧电阻丝的电阻值分别为R左、R右，由步骤ⅱ结合电桥电路可知=，同理由步骤ⅲ得=，解得Rx=，显然实验时不需要测量电阻丝的长度。
不需要
(2)关于实验对电阻丝规格的要求，下列说法正确的是_______。
A.总电阻必须已知，粗细必须均匀
B.总电阻必须已知，粗细无须均匀
C.总电阻无须已知，粗细必须均匀
D.总电阻无须已知，粗细无须均匀
D
[解析]　由Rx=可知，求解Rx用不到电阻丝的具体数值，所以实验中对电阻丝的要求是电阻丝的粗细无须均匀，电阻丝的总电阻无须已知，D正确。
(3)某次测量中，R1=70 Ω，如图乙是电阻箱指示的R2的阻值，则待测电阻的测量值Rx=________Ω(结果保留3位有效数字)。
198
[解析]　 由电阻箱的读数规则可知R2=558 Ω，则Rx== Ω≈198 Ω。
(4)若在步骤ⅱ后、步骤ⅲ之前，误将滑片P向右移动了少许，继续进行测量，则Rx的测量值__________ (填“大于”“小于”或“等于”)真实值。
[解析]　 若在步骤ⅱ后、步骤ⅲ之前，误将滑片P向右移动了少许，则有==，其中R左R右'，所以有<，解得Rx真<，又Rx测=，所以Rx的测量值大于真实值。
大于

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