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第2讲　带电粒子在磁场中的运动(基础落实课)
一、洛伦兹力
1.定义:　　　　　在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2.方向
(1)判定方法:左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心;
四指——指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向);
拇指——指向运动的正电荷(或负电荷)所受洛伦兹力的方向。
(2)方向特点:F⊥B,F⊥v,即F垂直于B和v决定的　　　。
3.大小
(1)v∥B时,洛伦兹力F=0(θ=0°或180°)。
(2)v⊥B时,洛伦兹力F=　　　(θ=90°)。
(3)v=0时,洛伦兹力F=　　。
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B,带电粒子不受洛伦兹力,在匀强磁场中做　　　　　运动。
2.若v⊥B,带电粒子仅受洛伦兹力作用,洛伦兹力提供向心力,在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做　　　　　运动。
3.半径和周期公式:(v⊥B)
微点判断
1.若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零,则该点的磁感应强度一定为零。 (　 )
2.带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大,则A点的磁感应强度比B点的大。 (　 )
3.带电粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。 (　 )
4.带电粒子在磁场中运动时,一定受到洛伦兹力的作用。 (　 )
5.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,若只增大磁场的磁感应强度,电子运动半径变大。 (　 )
6.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,若只增大磁场的磁感应强度,电子运动周期变小。 (　 )
7.洛伦兹力对运动的电子做正功。 (　 )
8.(鲁科选择性必修2P28T2·改编)在赤道的上空,设想有一束自东向西运动的电子流,因受地磁场的作用,它将向下偏转。 (　 )
9.(人教选择性必修2P21T6·改编)质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动,质子和α粒子的动能之比为1∶2。 (　 )
逐点清(一)　洛伦兹力的理解与计算
|题|点|全|练|
1.[对洛伦兹力的理解](2023·海南高考)如图所示,带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场,关于小球运动和受力的说法正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
2.[洛伦兹力的大小计算]
真空中竖直放置一通电长直细导线,俯视图如图所示。以导线为圆心作圆,光滑绝缘管ab水平放置,两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中,下列说法正确的是 (　　)
A.小球先加速后减速
B.小球受到的洛伦兹力始终为零
C.小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D.小球受到洛伦兹力时,洛伦兹力方向竖直向下
3.[洛伦兹力与电场力的比较](多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出,能够到达的最大高度为h1;若加上水平方向的匀强磁场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h2;若加上水平方向的匀强电场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h3;若加上竖直向上的匀强电场,且保持初速度仍为v0,小球上升的最大高度为h4,如图所示。不计空气阻力,则 (　　)
A.一定有h1=h3 　B.一定有h1C.h2与h4无法比较 　D.h1与h2无法比较
|精|要|点|拨|
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向,注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时,洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
2.洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生 条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场方向相同,负电荷受力与电场方向相反
做功 情况 任何情况下都不做功 可能做正功,可能做负功,也可能不做功
逐点清(二)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
　　解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的基本思路为:定圆心→画轨迹→找几何关系→算半径→代入公式求解未知量。具体方法如下:
1.圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向,分别确定两点处洛伦兹力F的方向,其交点即为圆心,如图甲。
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向,弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心,如图乙。
(3)若已知粒子轨迹上某点的速度方向,又能根据r=计算出轨迹半径r,则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心,如图丙。
2.半径的计算方法
方法一:由R=求得。
方法二:画出半径构造三角形,由数学方法解三角形或由勾股定理求得。
例如:如图甲,R=或由R2=L2+(R-d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角,如图乙,φ=α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半,如图乙,θ=α。
3.时间的计算方法
方法一:利用圆心角、周期求得t=T。
方法二:利用弧长、线速度求得t=。
类型1直线边界的磁场
1.粒子进出直线边界的磁场时,常见情形如图所示:
2.带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性:
(1)对称性:进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性:比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场,则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆,两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
1.如图所示,在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点,零时刻粒子源同时向纸面内各个方向发射速度大小均为v、质量均为m、带电荷量均为-q的粒子,有两个粒子先后经过边界上另外一点P,OP的长度为,粒子重力和粒子间的相互作用忽略不计,则下列说法正确的是 (　　)
A.这两个粒子运动的加速度大小不相等
B.这两个粒子运动轨迹的半径不相等
C.这两个粒子分别从O点到达P点所用时间的差为
D.这两个粒子分别从O点到达P点时的动量变化量相同
类型2平行直线边界的磁场
1.粒子进出平行直线边界的磁场时,常见情形如图所示:
2.粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件,如图a、c、d所示。
3.各图中粒子在磁场中的运动时间:
(1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1=,t2==。
(2)图b中粒子在磁场中运动的时间t=。
(3)图c中粒子在磁场中运动的时间
t=T==。
(4)图d中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
2.如图所示,平行边界区域内存在匀强磁场,比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入,经磁场偏转后从右边界射出,带电粒子a和b射出磁场时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°,不计粒子的重力,下列判断正确的是 (　　)
A.粒子a带负电,粒子b带正电
B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶
C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1
D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
类型3圆形边界的磁场
　　带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点:
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方向射入磁场,则粒子一定沿着另一半径方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的速度的反向延长线一定过磁场区域的圆心),如图甲所示。
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ,则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ,如图乙所示。
3.(2024·广西二模)(多选)如图所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B,圆形区域半径为R,圆心为O,圆形边界上有A、B、C三点,其中A、B两点连线为直径,OA与OC间的夹角为60°。现有大量带负电的粒子以大小不同的速度从A点射入圆形区域,入射方向相同(如图,均与OA成θ=30°),带电粒子的质量为m、电荷量为-q,不计粒子重力,要让粒子从不同位置射出磁场区域,则下列说法正确的是 (　　)
A.从B点射出磁场区域的粒子,在磁场中运动的时间为
B.垂直AB连线方向射出磁场区域的粒子,出射点到AB连线的垂直距离为R
C.从C点射出磁场区域的粒子,速度大小为
D.射出磁场区域时速度方向恰好改变90°的粒子,速度大小为
类型4多边形边界的磁场
　　带电粒子在多边形边界的磁场中运动时可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
4.(2025·合肥调研)(多选)如图所示,用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一束比荷(电荷量与质量之比)为k的带电粒子从A点沿AE方向射入磁场区域,粒子速率均匀分布在≤v0≤2kBa范围之内。若不计粒子重力及粒子间相互作用力,粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被吸收并导走。则 (　　)
A.若粒子带正电,DE屏(除D点外)会发光
B.若粒子带正电,磁场中有粒子经过的区域的面积为a2
C.若粒子带负电,AF屏上会发光的长度为
D.若粒子带负电,在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半
逐点清(三)　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
类型1　带电粒子的电性不确定形成多解
如果粒子的电性不确定,带电粒子可能带正电荷,也可能带负电荷,在相同的初速度下,正、负粒子在磁场中运动轨迹不同,形成多解。如图所示,带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a;若带负电,其轨迹为b。
[例1]　(多选)如图所示,真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场,匀强磁场的磁感应强度大小为B,磁场方向垂直于纸面向里,MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、电荷量为q的粒子(不计粒子重力),在竖直平面内沿着与MN夹角为θ=30°的方向射入磁场中。则下列说法正确的是 (　　)
A.若带电粒子带负电,入射速度只要大于,粒子就会从PQ射出
B.粒子在磁场中运动的最长时间可能是
C.MN边界上,从入射点下方射出的所有粒子,在磁场中运动的时间均为
D.MN边界上,从入射点上方射出的所有粒子,在磁场中运动的时间均为
听课记录:
类型2　临界状态不唯一形成多解
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去,也可能转过180°从入射界面反向飞出,从而形成多解,如图所示。
　　[例2]　(多选)如图所示,长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离也为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是 (　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度听课记录:
类型3　运动轨迹的不确定形成多解
　　带电粒子在磁场中运动时,虽然知道粒子经过的几个特殊点,但不能确定具体的运动轨迹和圆周运动的半径,从而形成多解。
　　[例3]　(多选)在如图所示的平面内,分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分,一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场,另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B,SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子,离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。已知离子比荷为k,不计重力。若离子从P点射出,设出射方向与入射方向的夹角为θ,则离子的入射速度和对应θ角的可能组合为 (　　)
A.kBL,0°　　　　 B.kBL,0°
C.kBL,60° D.2kBL,60°
听课记录:
类型4　磁场的周期性变化形成多解
　　带电粒子在磁场中运动时,因磁场的方向随时间周期性变化,粒子运动轨迹也发生周期性变化,从而形成多解。
　　[例4]　如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O'正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。求:
(1)磁感应强度B0的大小。
(2)要使正离子从O'垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
第2讲
课前基础先行
一、1.运动电荷　2.(2)平面　3.(2)qvB　(3)0　
二、1.匀速直线　2.匀速圆周
[微点判断]　1.×　2.×　3.×　4.×　5.×　6.√　7.×　8.×　9.×
逐点清(一)
1.选A　根据左手定则,可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右,A正确;小球受洛伦兹力和重力作用,合力不为零且时刻变化,则小球运动过程中的速度、加速度都改变,B、C错误;洛伦兹力永不做功,D错误。
2.选C　根据安培定则可知,通电直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示,洛伦兹力始终与小球运动方向垂直,故不做功,小球速率不变,A错误;当小球运动到ab中点时,磁感线切线方向与速度方向平行,所受洛伦兹力为零,自a端到中点过程洛伦兹力竖直向下,从中点至b端过程洛伦兹力竖直向上,B、D错误,C正确。
3.选AC　第1个图:由竖直上抛运动的最大高度公式得h1=。第3个图:当加上水平方向的匀强电场时,由运动的分解可知,在竖直方向上有=2gh3,所以h1=h3,A正确。第2个图:洛伦兹力只改变速度的方向,当小球在磁场中运动到最高点时,小球有水平速度,设此时球的动能为Ek,则由能量守恒定律得mgh2+Ek=m,又由于m=mgh1,所以h1>h2,D错误。第4个图:因不知道小球电性和小球所受电场力方向,则h4可能大于h1,也可能小于h1,h2与h4无法比较,B错误,C正确。
逐点清(二)
1.选D　根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m=mr=ma,可得r=,T=,a=,由题意知两个粒子的m、q、v、B大小均相同,则r、a大小均相同,故A、B错误;作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示,劣弧和优弧均以OP为弦,由题意可知OP的长度为,可知t劣=T,t优=T,时间差为Δt=T=,结合图乙可以得出两个粒子的动量变化量的大小和方向均相同,C错误,D正确。
2.选B　粒子a向上偏转,由左手定则得,粒子a带正电,粒子b向下偏转,粒子b带负电,故A错误;由几何关系可知,磁场水平距离x=Rasin 60°=Rbsin 30°,Ra∶Rb=1∶,故B正确;由qvB=m,得v=,两粒子比荷相同,磁场相同,则va∶vb=Ra∶Rb=1∶,故C错误;粒子运动周期T=,a、b运动周期相等,a运动时间ta=T=T,b运动时间tb=T=T,故ta∶tb=2∶1,故D错误。
3.选AD　根据洛伦兹力提供向心力可知qvB==mr,可得r=,T=。从B点射出磁场区域的粒子,画出其轨迹图如图甲所示,可知粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为60°,所以粒子在磁场中运动的时间为t1=T=,A正确;垂直AB连线方向射出磁场区域的粒子,画出其轨迹如图乙所示,由图可知,轨迹所对应圆心角为120°,则∠BAP=30°,根据几何关系可知AP=2Rcos 30°=R,出射点到AB连线的垂直距离为APsin 30°=R,B错误;从C点射出磁场区域的粒子,画出其轨迹如图丙所示,圆心在AC中点,所以轨迹半径为r3=R,根据r=,可知v3=,C错误;射出磁场区域时速度方向恰好改变90°的粒子,画出其轨迹如图丁所示,∠QAO4=45°,则∠BAQ=15°,则2cos 45°·r4=2R·cos 15°,结合r=,可得v4=,D正确。
4.选BC　粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,而粒子速率的范围为≤v0≤2kBa,代入可得粒子的半径≤r≤2a。若粒子带正电,由左手定则可以判断,粒子向右偏转,由几何关系可知粒子轨迹如图所示,由图可知速度最大时从D点射出,DE屏(除D点外)不会发光故A错误;由图可知,有粒子经过的区域的面积为S=π(2a)2-·a2·cos 30°-π=a2,故B正确;若粒子带负电,粒子将向左偏转,最小速度对应的轨迹如图中半圆O3在六边形中部分,
由几何关系可知,AF屏上会发光的长度为,故C正确;打在AF屏上的带负电粒子在磁场中运动时间相等,粒子最小运动半径为,打到F点时运动半径最大,由几何关系可知rm=a,其速度vm==kBa,综上所述,在磁场中运动时间相等的粒子速度范围为≤v≤kBa,占总数目的,故D错误。
逐点清(三)
[例1]　选BC　若带电粒子带负电,粒子恰好不从PQ射出,轨迹如图甲所示,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,由几何关系得r cos θ+l=r,解得粒子入射速度v==,入射速度只要大于,粒子就会从PQ射出,A错误;若带电
粒子带正电,且从MN边射出,粒子在磁场中运动的时间最长,对应轨迹如图乙所示,由洛伦兹力提供向心力得qv'B=m,运动时间t=T=·==,粒子在磁场中运动的最长时间可能是,B正确;MN边界上,从入射点下方射出的所有粒子(带负电),在磁场中运动的时间均为t=·==,C正确;MN边界上,从入射点上方射出的所有粒子(带正电),在磁场中运动的时间均为,D错误。
[例2]　选AB　带电粒子可能的轨迹临界情况如图所示,若带电粒子刚好经过极板右边缘,有=r1-2+l2,又因为r1=,解得v1=;若粒子刚好经过极板左边缘时,有r2==,解得v2=;只有粒子速度v>v1或v[例3]　选BC　若离子通过下部分磁场直接到达P点,如图甲,根据几何关系有R=L,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,可得v==kBL,根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上,故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当离子运动轨迹如图乙所示时,
因为两部分磁场的磁感应强度均为B,则根据对称性有R'=L,根据洛伦兹力提供向心力有qv'B=m,可得v'==kBL,此时出射方向与入射方向相同,即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知,当离子从下部分磁场射出时,需满足v==kBL(n=1,2,3,…),此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°;当离子从上部分磁场射出时,需满足v==kBL(n=1,2,3,…),此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确,A、D错误。
[例4]　解析:(1)正离子射入磁场,洛伦兹力提供向心力,则B0qv0=,正离子做匀速圆周运动的周期T0=,联立解得磁感应强度大小B0=。
(2)设垂直于纸面向里为磁场的正方向。要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场,正离子的运动轨迹如图所示,在两板之间正离子运动n个周期时,有R=(n=1,2,3,…)
联立解得正离子的速度的可能值为v0==(n=1,2,3,…)。
同理,设垂直于纸面向外为磁场的正方向,同样有v0=(n=1,2,3,…)。
答案:(1)　(2)(n=1,2,3,…)
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带电粒子在磁场中的运动
(基础落实课)
第 2 讲
1
课前基础先行
2
逐点清(一)　洛伦兹力的理解与计算
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4
逐点清(三)　带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题
5
课时跟踪检测
3
逐点清(二)　带电粒子在有界匀强磁场中的运动
课前基础先行
一、洛伦兹力
1.定义： _________在磁场中受到的力称为洛伦兹力。
2.方向
(1)判定方法：左手定则
掌心——磁感线垂直穿入掌心；
四指——指向正电荷运动的方向(或负电荷运动的反方向)；
拇指——指向运动的正电荷(或负电荷)所受洛伦兹力的方向。
(2)方向特点：F⊥B，F⊥v，即F垂直于B和v决定的______。
运动电荷
平面
3.大小
(1)v∥B时，洛伦兹力F=0(θ=0°或180°)。
(2)v⊥B时，洛伦兹力F=_______ (θ=90°)。
(3)v=0时，洛伦兹力F=_______。
qvB
0
二、带电粒子在匀强磁场中的运动
1.若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做_________运动。
2.若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，洛伦兹力提供向心力，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做__________运动。
匀速直线
匀速圆周
3.半径和周期公式：(v⊥B)
1.若带电粒子经过磁场中某点时所受洛伦兹力为零，则该点的磁感应强度一定为零。 ( )
2.带电粒子在A点受到的洛伦兹力比在B点大，则A点的磁感应强度比B点的大。 ( )
3.带电粒子在只受洛伦兹力作用时运动的速度不变。 ( )
4.带电粒子在磁场中运动时，一定受到洛伦兹力的作用。 ( )
5.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，若只增大磁场的磁感应强度，电子运动半径变大。 ( )
微点判断
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6.电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，若只增大磁场的磁感应强度，电子运动周期变小。 ( )
7.洛伦兹力对运动的电子做正功。 ( )
8.(鲁科选择性必修2P28T2·改编)在赤道的上空，设想有一束自东向西运动的电子流，因受地磁场的作用，它将向下偏转。 ( )
9.(人教选择性必修2P21T6·改编)质子和α粒子在同一匀强磁场中做半径相同的圆周运动，质子和α粒子的动能之比为1∶2。 ( )
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逐点清(一)　洛伦兹力的理
解与计算
课
堂
题点全练
1.[对洛伦兹力的理解](2023·海南高考)如图所示，带正电的小球竖直向下射入垂直纸面向里的匀强磁场，关于小球运动和受力的说法正确的是 (　　)
A.小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右
B.小球运动过程中的速度不变
C.小球运动过程中的加速度保持不变
D.小球受到的洛伦兹力对小球做正功
√
解析：根据左手定则，可知小球刚进入磁场时受到的洛伦兹力水平向右，A正确；小球受洛伦兹力和重力作用，合力不为零且时刻变化，则小球运动过程中的速度、加速度都改变，B、C错误；洛伦兹力永不做功，D错误。
2.[洛伦兹力的大小计算]真空中竖直放置一通电长直细导线，俯视图如图所示。以导线为圆心作圆，光滑绝缘管ab水平放置，两端恰好落在圆周上。半径略小于绝缘管半径的带正电小球自a端以速度v0向b端运动过程中，下列说法正确的是 (　　)
A.小球先加速后减速
B.小球受到的洛伦兹力始终为零
C.小球在ab中点受到的洛伦兹力为零
D.小球受到洛伦兹力时，洛伦兹力方向竖直向下
√
解析：根据安培定则可知，通电直导线产生的磁场的磁感线如图中虚线所示，洛伦兹力始终与小球运动方向垂直，故不做功，小球速率不变，A错误；当小球运动到ab中点时，
磁感线切线方向与速度方向平行，所受洛
伦兹力为零，自a端到中点过程洛伦兹力竖
直向下，从中点至b端过程洛伦兹力竖直向
上，B、D错误，C正确。
3.[洛伦兹力与电场力的比较](多选)带电小球以一定的初速度v0竖直向上抛出，能够到达的最大高度为h1；若加上水平方向的匀强磁场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h2；若加上水平方向的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h3；若加上竖直向上的匀强电场，且保持初速度仍为v0，小球上升的最大高度为h4，如图所示。不计空气阻力，则 (　　)
A.一定有h1=h3 　 B.一定有h1C.h2与h4无法比较 　 D.h1与h2无法比较
解析：第1个图：由竖直上抛运动的最大高度公式得h1=。第3个图：当加上水平方向的匀强电场时，由运动的分解可知，在竖直方向上有=2gh3，所以h1=h3，A正确。第2个图：洛伦兹力只改变速
√
√
度的方向，当小球在磁场中运动到最高点时，小球有水平速度，设此时球的动能为Ek，则由能量守恒定律得mgh2+Ek=m，又由于m=mgh1，所以h1>h2，D错误。第4个图：因不知道小球电性和小球所受电场力方向，则h4可能大于h1，也可能小于h1，h2与h4无法比较，B错误，C正确。
1.洛伦兹力的特点
(1)利用左手定则判断洛伦兹力的方向，注意区分正、负电荷。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)运动电荷在磁场中不一定受洛伦兹力作用。
(4)洛伦兹力永不做功。
精要点拨
2.洛伦兹力与电场力的比较
洛伦兹力 电场力
产生条件 v≠0且v不与B平行 电荷处在电场中
大小 F=qvB(v⊥B) F=qE
方向 F⊥B且F⊥v 正电荷受力与电场方向相同，负电荷受力与电场方向相反
做功情况 任何情况下都不做功 可能做正功，可能做负功，也可能不做功
逐点清(二) 带电粒子在有界匀
强磁场中的运动
课
堂
解决带电粒子在有界匀强磁场中的运动问题的基本思路为：定圆心→画轨迹→找几何关系→算半径→代入公式求解未知量。具体方法如下：
1.圆心的确定方法
(1)若已知粒子轨迹上的两点的速度方向，分别确定两点处洛伦兹力F的方向，其交点即为圆心，如图甲。
(2)若已知粒子运动轨迹上的两点和其中某一点的速度方向，弦的中垂线与速度垂线的交点即为圆心，如图乙。
(3)若已知粒子轨迹上某点的速度方向，又能根据r=计算出轨迹半径r，则在该点沿洛伦兹力方向距离为r的位置为圆心，如图丙。
2.半径的计算方法
方法一：由R=求得。
方法二：画出半径构造三角形，由数学方法解三角形或由勾股定理求得。
例如：如图甲，R=或由R2=L2+(R-d)2求得。
常用到的几何关系
①粒子的偏转角等于半径扫过的圆心角，如图乙，φ=α。
②弦切角等于弦所对应圆心角一半，如图乙，θ=α。
3.时间的计算方法
方法一：利用圆心角、周期求得t=T。
方法二：利用弧长、线速度求得t=。
1.粒子进出直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
类型1　直线边界的磁场
2.带电粒子(不计重力)在直线边界匀强磁场中运动时具有两个特性：
(1)对称性：进入磁场和离开磁场时速度方向与边界的夹角相等。
(2)完整性：比荷相等的正、负带电粒子以相同速度进入同一匀强磁场，则它们运动的半径相等而且两个圆弧轨迹恰好构成一个完整的圆，两圆弧所对应的圆心角之和等于2π。
1.如图所示，在一直线边界上方存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场。直线边界上有一粒子源位于O点，零时刻粒子源同时向纸面内各个方向发射速度大小均为v、质量均为m、带电荷量均为-q的粒子，有两个粒子先后经过边界上另外一点P，OP的长度为，粒子重力和粒子间的相互作用
忽略不计，则下列说法正确的是(　　)
A.这两个粒子运动的加速度大小不相等
B.这两个粒子运动轨迹的半径不相等
C.这两个粒子分别从O点到达P点所用时间的差为
D.这两个粒子分别从O点到达P点时的动量变化量相同
√
解析：根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m=mr=ma，可得r=，T=，a=，由题意知两个粒子的m、q、v、B大小均相同，则r、a大小均相同，故A、B错误；作出两个粒子的运动轨迹如图甲所示，劣弧和优弧均以OP为弦，由题意可知OP的长度为，
可知t劣=T，t优=T，时间差为Δt=T=，结合图乙可以得出两个粒子的动量变化量的大小和方向均相同，C错误，D正确。
1.粒子进出平行直线边界的磁场时，常见情形如图所示：
类型2　平行直线边界的磁场
2.粒子在平行直线边界的磁场中运动时存在临界条件，如图a、c、d所示。
3.各图中粒子在磁场中的运动时间：
(1)图a中粒子在磁场中运动的时间t1=，t2==。
(2)图b中粒子在磁场中运动的时间t=。
(3)图c中粒子在磁场中运动的时间
t=T==。
(4)图d中粒子在磁场中运动的时间t=T=。
2.如图所示，平行边界区域内存在匀强磁场，比荷相同的带电粒子a和b依次从O点垂直于磁场的左边界射入，经磁
场偏转后从右边界射出，带电粒子a和b射出磁场
时与磁场右边界的夹角分别为30°和60°，不计
粒子的重力，下列判断正确的是 (　　)
A.粒子a带负电，粒子b带正电
B.粒子a和b在磁场中运动的半径之比为1∶
C.粒子a和b在磁场中运动的速率之比为∶1
D.粒子a和b在磁场中运动的时间之比为1∶2
√
解析：粒子a向上偏转，由左手定则得，粒子a带正电，粒子b向下偏转，粒子b带负电，故A错误；由几何关系可知，磁场水平距离x=Rasin 60°= Rbsin 30°，Ra∶Rb=1∶，故B正确；由qvB=m，得v=
，两粒子比荷相同，磁场相同，则va∶vb=Ra∶Rb=1∶
，故C错误；粒子运动周期T=，a、b运动周期相等，
a运动时间ta=T=T，b运动时间tb=T=T，故ta∶tb=
2∶1，故D错误。
带电粒子在圆形边界的磁场中运动的两个特点：
(1)若粒子沿着边界圆的某一半径方
向射入磁场，则粒子一定沿着另一半径
方向射出磁场(或者说粒子射出磁场的
速度的反向延长线一定过磁场区域的
圆心)，如图甲所示。
类型3　圆形边界的磁场
(2)若粒子射入磁场时速度方向与入射点对应半径夹角为θ，则粒子射出磁场时速度方向与出射点对应半径夹角一定也为θ，如图乙所示。
3.(2024·广西二模)(多选)如图所示的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，圆形区域半径为R，圆心为O，圆形边界上有A、B、C三点，其中A、B两点连线为直径，OA与OC间的夹角为60°。现有大量带负电的粒子以大小不同的速度从A点射入圆形区域，入射方向相同(如图，均与OA成θ=30°)，
带电粒子的质量为m、电荷量为-q，不计粒子重力，
要让粒子从不同位置射出磁场区域，则下列说法
正确的是 (　　)
A.从B点射出磁场区域的粒子，在磁场中运动的时间为
B.垂直AB连线方向射出磁场区域的粒子，出射点到AB连线的垂直距离为R
C.从C点射出磁场区域的粒子，速度大小为
D.射出磁场区域时速度方向恰好改变90°的粒子，速度大小为
√
√
解析：根据洛伦兹力提供向心力可知qvB==mr，可得r=，T=。从B点射出磁场区域的粒子，画出其轨迹图如图甲所示，可知粒子在磁场中的轨迹对应的圆心角为60°，所以粒子在磁场中运动的时间为t1=T=，A正确；垂直AB连线方向射出磁场区域的粒子，画出其轨迹如图乙所示，由图可知，轨迹所对应圆心角为120°，则∠BAP =
30°，根据几何关系可知AP=2Rcos 30°=R，出射点到AB连线的垂直距离为APsin 30°=R，B错误；从C点射出磁场区域的粒子，画出其轨迹如图丙所示，圆心在AC中点，所以轨迹半径为r3=R，根据r=，可知v3=，C错误；射出磁场区域时速度方向恰好改变90°的粒子，
画出其轨迹如图丁所示，∠QAO4=45°，则∠BAQ=15°，则2cos 45°·r4=2R·cos 15°，结合r=，可得v4=，D正确。
带电粒子在多边形边界的磁场中运动时可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
类型4　多边形边界的磁场
4.(2025·合肥调研)(多选)如图所示，用边长为a的六块荧光屏组成的正六边形ABCDEF区域内存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一束比荷(电荷量与质量之比)为k的带电粒子从A点沿AE方向射入磁场区域，粒子速率均匀分布在≤v0
≤2kBa范围之内。若不计粒子重力及粒子间相互
作用力，粒子打在荧光屏上会使其感光且粒子被
吸收并导走。则(　　)
A.若粒子带正电，DE屏(除D点外)会发光
B.若粒子带正电，磁场中有粒子经过的区域的面积为a2
C.若粒子带负电，AF屏上会发光的长度为
D.若粒子带负电，在磁场中运动时间相等的粒子数目占总粒子数的一半
√
√
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，而粒子速率的范围为≤v0≤2kBa，代入可得粒子的半径≤r≤2a。若粒子带正电，由左手定则可以判断，粒子向右偏转，由几何关系可知粒子轨迹如图所示，由图可知速度最大时从D点射出，DE屏(除D点外)不会发光故A错误；由图可知，有粒子经过的区域的面积为S=π(2a)2-·a2·cos 30°-π=a2，故B正确；若粒子带
负电，粒子将向左偏转，最小速度对应的轨迹如图中半圆O3在六边形中部分，由几何关系可知，AF屏上会发光的长度为，故C正确；打在AF屏上的带负电粒子在磁场中运动时间相等，粒子最小运动半径为，打到F点时运动半径最大，由几何关系可知rm=a，其速度vm= =kBa，综上所述，在磁场中运动时间相等的粒
子速度范围为≤v≤kBa，占总数目的，故D错误。
逐点清(三)　带电粒子在匀强
磁场中运动的多
解问题
课
堂
如果粒子的电性不确定，带电粒子可能带正电荷，也可能带负电荷，在相同的初速度下，正、负粒子在磁场中运动轨迹不同，形成多解。如图所示，带电粒子以速度v垂直进入
匀强磁场，若带正电，其轨迹为a；若
带负电，其轨迹为b。
类型1　带电粒子的电性不确定形成多解
[例1]　(多选)如图所示，真空区域有左右宽度为l、上下足够长的匀强磁场，匀强磁场的磁感应强度大小为B，磁场方向垂直于纸面向里，MN、PQ是磁场的左右竖直边界。一质量为m、
电荷量为q的粒子(不计粒子重力)，在竖直平面内沿
着与MN夹角为θ=30°的方向射入磁场中。则下列
说法正确的是 (　　)
A.若带电粒子带负电，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出
B.粒子在磁场中运动的最长时间可能是
C.MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子，在磁场中运动的时间均为
D.MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子，在磁场中运动的时间均为
√
√
[解析]　若带电粒子带负电，粒子恰好不从PQ射出，轨迹如图甲所示，由洛伦兹力提供向心力得qvB=m，由几何关系得r cos θ+l=r，解得粒子入射速度v==，入射速度只要大于，粒子就会从PQ射出，A错误；若带电粒子带正电，且从
MN边射出，粒子在磁场中运动的时间最长，对应轨迹如图乙所示，
由洛伦兹力提供向心力得qv'B=m，运动时间t=T==·=
=，粒子在磁场中运动的最长时间可能是，B正确；MN边界上，从入射点下方射出的所有粒子(带负电)，在磁场中运动的时间均为t=·==，C正确；
MN边界上，从入射点上方射出的所有粒子(带正电)，在磁场中运动的时间均为，D错误。
带电粒子在洛伦兹力作用下在有界磁场中运动时，由于粒子运动轨迹是圆弧状，因此，它可能穿过去，也可能转过180°从入射界面反向飞出，从而形成多解，如图所示。
类型2　临界状态不唯一形成多解
[例2]　(多选)如图所示，长为l的水平极板间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B，板间距离也为l，极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从
左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射
入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的
办法是 (　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度√
√
[解析]　带电粒子可能的轨迹临界情况如图所示，若带电粒子刚好经过极板右边缘，有= +l2，又因为r1=，解得v1=；若粒子刚好经过极板左边缘时，有r2==，
解得v2=；只有粒子速度v>v1或v不打到极板，故A、B正确。
带电粒子在磁场中运动时，虽然知道粒子经过的几个特殊点，但不能确定具体的运动轨迹和圆周运动的半径，从而形成多解。
类型3　运动轨迹的不确定形成多解
[例3]　(多选)在如图所示的平面内，分界线SP将宽度为L的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为B，SP与磁场左右边界垂直。离子源从S处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与SP成30°角。
已知离子比荷为k，不计重力。若离子从P点射出，
设出射方向与入射方向的夹角为θ，则离子的入射
速度和对应θ角的可能组合为 (　　)
A.kBL，0°　　　　 B.kBL，0°
C.kBL，60° D.2kBL，60°
[解析]　若离子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲，根据几何关系有R=L，由洛伦兹力提供向心力得qvB=m，可得v==kBL，根据对称性可知出射速度与SP成30°角斜向上，故出射方向与入射方向的夹角为θ=60°。当离子运动轨迹如图乙所示时，因为两部分磁场
√
√
的磁感应强度均为B，则根据对称性有R'=L，根据洛伦兹力提供向心力有qv'B=m，可得v'==kBL，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。通过以上分析可知，当离子从下部分磁场射出时，需满足v==KbL (n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=60°；当离子从上部分磁场射出时，
需满足v==kBL(n=1，2，3，…)，此时出射方向与入射方向的夹角为θ=0°。故B、C正确，A、D错误。
带电粒子在磁场中运动时，因磁场的方向随时间周期性变化，粒子运动轨迹也发生周期性变化，从而形成多解。
类型4　磁场的周期性变化形成多解
[例4]　如图甲所示，M、N为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为d，两板中央各有一个小孔O、O'正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、电荷量为q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力。求：
(1)磁感应强度B0的大小。
[答案]　　
[解析]　正离子射入磁场，洛伦兹力提供向心力，则B0qv0=，正离子做匀速圆周运动的周期T0=，联立解得磁感应强度大小B0=。
(2)要使正离子从O'垂直于N板射出磁场，正离子射入磁场时的速度v0的可能值。
[答案]　(n=1，2，3，…)
[解析]　设垂直于纸面向里为磁场的正方向。
要使正离子从O'孔垂直于N板射出磁场，正
离子的运动轨迹如图所示，在两板之间正离
子运动n个周期时，有R=(n=1，2，3，…)
联立解得正离子的速度的可能值为v0==(n=1，2，3，…)。
同理，设垂直于纸面向外为磁场的正方向，
同样有v0=(n=1，2，3，…)。
课时跟踪检测
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一、单项选择题
1.空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场(方向未知)，一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示，由于空气阻力的
作用，使得粒子的轨迹不是圆周，假设粒子运动过
程中电荷量不变。下列说法正确的是(　　)
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A.粒子的运动方向为c→b→a
B.粒子所受的洛伦兹力大小不变
C.粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向
D.磁场的方向垂直纸面向里
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解析：由于空气阻力做负功，粒子运动过程中速度逐渐减小，由qvB=m，解得R=，所以粒子运动的轨道半径逐渐减小，粒子的运动方向为a→b→c，A错误；由f=qvB可知，速度减小，粒子所受的洛伦兹力逐渐减小，B错误；粒子所受的洛伦兹力与速度方向垂直，方向指向弯曲轨迹的内侧，所以粒子在b点的洛伦兹力垂直于轨迹切线方向，C错误；由左手定则可知，匀强磁场的方向垂直纸面向里，D正确。
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2.如图，在B=2 T的匀强磁场中，一质量m=1 kg、带正电q=1 C的物体沿光滑的绝缘水平面以初速度v0=10 m/s向左运动，g=10 m/s2，运动过程中物体受地面给的支持力的大小为 (　　)
A.10 N B.20 N C.30 N D.0
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解析：物体受洛伦兹力的大小为F=qv0B=1×10×2 N=20 N，由左手定则可知洛伦兹力的方向竖直向下，运动过程中物体受地面给的支持力的大小为FN=mg+F=1×10 N+20 N=30 N，故选C。
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3.(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子，以初速度v从O点沿x轴正向开始运动，粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°，交点为P。不计粒子重力，则P点至O点的距离为 (　　)
A. B.
C.(1+) D.
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解析：粒子运动轨迹如图所示，在磁场中，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得粒子做圆周运动的半径
r=，根据几何关系可得P点至O点的距离
LPO=r+=(1+)。故选C。
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4.(2024·辽宁大连调研)如图所示，匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第Ⅰ象限内，磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里，一质量为m、电荷量绝对值为q、不计重力的粒子，
以某速度从O点沿着与y轴夹角为30°的
方向进入磁场，运动到A点时，粒子速度
沿x轴正方向，下列判断正确的是 (　　)
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A.粒子带正电
B.粒子由O到A经历的时间为t=
C.若已知A点到x轴的距离为d，则粒子速度大小为
D.离开第Ⅰ象限时，粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为30°
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解析：根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示，根据左手定则判断知，此粒子带负电，故A错误；粒子由O运动到A时速度方向改变了60°角，所以粒子轨迹对应的圆心角为θ=60°，则粒子由O到A运动的时间为t=T=·=，故B错误；根据图中几何关系有cos 60°=
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，解得R=2d，根据R=，解得v==，
故C正确；根据对称性可知，离开第一象限时，
粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为60°，
故D错误。
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5.如图所示，在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场，磁感应强度大小为B，磁场的宽度为d，磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子，从原点O
射入磁场，速度方向与x轴正方向成30°角，粒子
恰好不从右边界射出，经磁场偏转后从y轴上的某
点离开磁场。忽略粒子重力。关于该粒子在磁场
中的运动情况，下列说法正确的是 (　　)
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A.它的轨迹半径为d
B.它进入磁场时的速度为
C.它在磁场中运动的时间为
D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
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解析：粒子运动轨迹如图所示，由几何关系得r+rsin 30°=d，解得粒子运动轨迹半径为r=d，故A错误；由qvB=m，r=d，联立解得粒子进入磁场时的速度为v==，故B正确；运动周期
T==，由几何关系知t=T，解得粒子在磁场中
运动的时间为t=，故C错误；粒子运动轨迹与y轴
交点的纵坐标为y=-2rcos 30°=-d，故D错误。
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6.(2024·湖北高考)如图所示，在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。
一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径
AC方向从A点射入圆形区域。不计重力，下列
说法正确的是 (　　)
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A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，粒子运动的速度大小为
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解析：在圆形匀强磁场区域内，沿着半径方向射入的粒子，总是沿着半径方向射出，根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点，故A、B错误；若粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域用时最短，则根据对称性可知粒子运动轨迹如图甲所示，则最短时间t=2T=，故C错误；若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短，则粒子运动轨迹
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如图乙所示，设粒子在磁场中运动的半径为r，根据几何关系可知r=，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，可得v=，故D正确。
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7.如图所示，边长为L的正方形区域ABCD内存在着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场，速度方向与CD边夹角为60°，垂直BC边射出磁场，则下列说法正确的是(　　)
A.粒子一定带正电
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.减小粒子的速度，粒子不可能从CD边射出
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解析：由题图可知，粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下，根据左手定则可知粒子带负电，故A错误；作出粒子运动半径如图所示，根据几何关系可得，粒子做圆周运动的半径r==L，根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m，联立解得粒子的比荷=，故B错误；
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由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为60°，粒子在磁场中的运动时间t=×=，故C正确；
根据qv'B=m，可得r'=，可知速度减小，粒子
在磁场中做圆周运动的半径减小，可知当速度减小
到一定值时，粒子可以从CD边射出，故D错误。
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二、多项选择题
8.如图所示，A、C两点分别位于x轴和y轴上，∠OCA=30°，OA的长度为L。在△OCA区域内(包括边界)有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电粒子，以不同的速度垂
直OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时，恰好垂
直于OC边射出磁场，且粒子在磁场中运动的时间为
2t0。不计粒子重力，下列说法正确的是(　　)
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A.带电粒子带负电
B.磁场的磁感应强度的大小为
C.从OA中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射
D.能从OA边射出的带电粒子的最大射入速度是πL
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解析：由左手定则可知带电粒子带正电，故A错误；粒子在磁场中做匀速圆周运动，在时间2t0内其速度方向改变了90°，故其运动周期T=8t0，设磁感应强度大小为B，粒子速度为v，圆周运动的半径为r，由洛伦兹力提供向心力得qvB=m，匀速圆周运动的速度满足v=，解得B=，故B正确；由题给条件可知，若带电粒子从C点出射，则C为运
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动轨迹与AC边的切点，如图甲所示，由几何关系可知，粒子的轨迹半径为2L，AM的距离为3L+L=4L，入射点到A点的距离为(4-2)L，不是OA中点，故C错误；由题给条件可知，从OA边射出的粒子在磁场区域中的轨迹与AC边、OC边相切时，粒子的轨迹半径最大，此时粒子的射入速度最大，如图乙所示，设O'为圆弧的圆心，圆弧的半径为r0，
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由几何关系可知r0+=L，设粒子最大射入速度大小为vm，由洛伦兹力提供向心力有qvmB=m，联立解得vm=πL，故D正确。
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9.(2024·河北高考)如图，真空区域有同心正方形ABCD和abcd，其各对应边平行，ABCD的边长一定，abcd的边长可调，两正方形之间充满恒定匀强磁场，方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源，可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子，粒子沿AD方向
进入磁场。调整abcd的边长，可使速度大小合适的
粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足
前述条件的粒子，下列说法正确的是 (　　)
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A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°，则粒子必垂直BC射出
B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°，则粒子必垂直BC射出
C.若粒子经cd边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
D.若粒子经bc边垂直BC射出，则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
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√
√
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解析：根据题意可知，粒子一定从ad边进入无磁场区。当粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°时，由几何关系可知其一定穿过dc边进入磁场，然后由BC边射出，则其运动轨迹如图1所示，由对称性可知，该粒子垂直BC射出，A正确；当粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时，若其从cd边射出无磁场区，假设其能垂直BC射出，则其运动轨迹如图2所示，根据几何关系可知r(1-cos 60°)2
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1-cos 60°=矛盾，显然假设不成立，该粒子不能垂直BC射出，B错误；若粒子经cd边垂直BC射出，其运动轨迹如图3所示，则由几何关系可知，该运动轨迹关于BD连线对称，所以两段圆弧轨迹所对应圆心角相等，又两圆心角的和为90°，所以粒子穿过ad边时速度方向与ad边的夹角为45°，C正确；若粒子经bc边垂直BC射出，其运动轨迹如图4所示，
由几何关系有r(1-cos θ1)=rsin θ2，又θ1+θ2 =90°，解得粒子穿过ad边时速度方向与ad边的夹角为60°，D正确。
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三、计算题
10.(12分)(2024·重庆高考)有人设计了一种粒子收集装置，如图所示。比荷为的带正电的粒子，由固定于M点的发射枪以不同的速率射出后，沿射线MN方向运动，能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点，O在MN上，且KO垂直于MN。若打开磁场开关，空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场，
速率为v0的粒子运动到O点时，打开磁场开关，
该粒子全被收集，不计粒子重力，忽略磁场突变的影响。
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(1)求OK间的距离；(3分)
答案：　
解析：当粒子到达O点时，打开磁场开关，
粒子做匀速圆周运动，设轨迹半径为r1，
运动轨迹如图1所示，由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m
则OK=2r1=。
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(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关，该粒子仍被收集，求MO间的距离；(4分)
答案：
解析：速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场
开关，则粒子在磁场中运动的轨迹半径r2=4r1
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运动轨迹如图2所示，
由几何关系有(4r1-2r1)2+MO2=(4r1)2
解得MO=2r1=。
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(3)速率为4v0的粒子射出后，运动一段时间再打开磁场开关，该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时0点，求打开磁场的那一时刻。(5分)
答案：
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解析：速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点，要使粒子仍然经过K点，则N点在O点右侧，运动轨迹如图3所示，
由几何关系有(4r1-2r1)2+ON2=(4r1)2
解得ON=2r1=
粒子在打开磁场开关前运动时间为t=
解得t=。
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11.(14分)在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场，磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L，规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。
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(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。(4分)
答案：
解析：带电粒子做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
可得qvB0=m又T0=
联立解得 T0=
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(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场，求磁感应强度的变化周期T的最大值。(4分)
答案：
解析：如图1所示，
若带电粒子恰好不能从Oa边射出，
则有sin α= ，解得α=30°
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在磁场变化的半个周期内，
粒子在磁场中旋转150°角，
运动时间为t=T0==
磁感应强度的变化周期的最大值Tm=
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(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场，求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。(6分)
答案：　
解析：若要使粒子从b点沿着ab方向射出磁场，
轨迹如图2所示
在磁场变化的半个周期内，粒子在磁场中旋转的
角度为2β，其中β=45°，即=
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满足这一条件的磁感应强度变化的周期T1=
每一个圆弧对应的弦长为s=
圆弧半径为R==(n=2，4，6，…)
又qv0B0=m
联立解得v0=。
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4课时跟踪检测(五十四)　带电粒子在磁场中的运动
一、单项选择题
1.空间内有一垂直纸面方向的匀强磁场(方向未知),一带正电的粒子在空气中运动的轨迹如图所示,由于空气阻力的作用,使得粒子的轨迹不是圆周,假设粒子运动过程中电荷量不变。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的运动方向为c→b→a
B.粒子所受的洛伦兹力大小不变
C.粒子在b点的洛伦兹力方向沿轨迹切线方向
D.磁场的方向垂直纸面向里
2.如图,在B=2 T的匀强磁场中,一质量m=1 kg、带正电q=1 C的物体沿光滑的绝缘水平面以初速度v0=10 m/s向左运动,g=10 m/s2,运动过程中物体受地面给的支持力的大小为 (　　)
A.10 N B.20 N
C.30 N D.0
3.(2024·广西高考)Oxy坐标平面内一有界匀强磁场区域如图所示,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。质量为m、电荷量为+q的粒子,以初速度v从O点沿x轴正向开始运动,粒子过y轴时速度与y轴正向夹角为45°,交点为P。不计粒子重力,则P点至O点的距离为 (　　)
A. B.
C.(1+) D.
4.(2024·辽宁大连调研)如图所示,匀强磁场分布在平面直角坐标系的整个第Ⅰ象限内,磁感应强度为B、方向垂直于纸面向里,一质量为m、电荷量绝对值为q、不计重力的粒子,以某速度从O点沿着与y轴夹角为30°的方向进入磁场,运动到A点时,粒子速度沿x轴正方向,下列判断正确的是 (　　)
A.粒子带正电
B.粒子由O到A经历的时间为t=
C.若已知A点到x轴的距离为d,则粒子速度大小为
D.离开第Ⅰ象限时,粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为30°
5.如图所示,在坐标系的y轴右侧存在有理想边界的匀强磁场,磁感应强度大小为B,磁场的宽度为d,磁场方向垂直于xOy平面向里。一个质量为m、电荷量为-q(q>0)的带电粒子,从原点O射入磁场,速度方向与x轴正方向成30°角,粒子恰好不从右边界射出,经磁场偏转后从y轴上的某点离开磁场。忽略粒子重力。关于该粒子在磁场中的运动情况,下列说法正确的是 (　　)
A.它的轨迹半径为d
B.它进入磁场时的速度为
C.它在磁场中运动的时间为
D.它的运动轨迹与y轴交点的纵坐标为d
6.(2024·湖北高考)如图所示,在以O点为圆心、半径为R的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度大小为B。圆形区域外有大小相等、方向相反、范围足够大的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子沿直径AC方向从A点射入圆形区域。不计重力,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的运动轨迹可能经过O点
B.粒子射出圆形区域时的速度方向不一定沿该区域的半径方向
C.粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域的最小时间间隔为
D.若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,粒子运动的速度大小为
7.如图所示,边长为L的正方形区域ABCD内存在着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B。一带电粒子以速度v从D点射入磁场,速度方向与CD边夹角为60°,垂直BC边射出磁场,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子一定带正电
B.粒子的比荷为
C.粒子在磁场中的运动时间为
D.减小粒子的速度,粒子不可能从CD边射出
二、多项选择题
8.如图所示,A、C两点分别位于x轴和y轴上,∠OCA=30°,OA的长度为L。在△OCA区域内(包括边界)有垂直于xOy平面向里的匀强磁场。质量为m、电荷量为q的带电粒子,以不同的速度垂直OA边射入磁场。已知粒子从某点射入时,恰好垂直于OC边射出磁场,且粒子在磁场中运动的时间为2t0。不计粒子重力,下列说法正确的是 (　　)
A.带电粒子带负电
B.磁场的磁感应强度的大小为
C.从OA中点射入磁场的带电粒子可以从C点出射
D.能从OA边射出的带电粒子的最大射入速度是πL
9.(2024·河北高考)如图,真空区域有同心正方形ABCD和abcd,其各对应边平行,ABCD的边长一定,abcd的边长可调,两正方形之间充满恒定匀强磁场,方向垂直于正方形所在平面。A处有一个粒子源,可逐个发射速度不等、比荷相等的粒子,粒子沿AD方向进入磁场。调整abcd的边长,可使速度大小合适的粒子经ad边穿过无磁场区后由BC边射出。对满足前述条件的粒子,下列说法正确的是 (　　)
A.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°,则粒子必垂直BC射出
B.若粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°,则粒子必垂直BC射出
C.若粒子经cd边垂直BC射出,则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为45°
D.若粒子经bc边垂直BC射出,则粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角必为60°
三、计算题
10.(12分)(2024·重庆高考)有人设计了一种粒子收集装置,如图所示。比荷为的带正电的粒子,由固定于M点的发射枪以不同的速率射出后,沿射线MN方向运动,能收集各方向粒子的收集器固定在MN上方的K点,O在MN上,且KO垂直于MN。若打开磁场开关,空间将充满磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场,速率为v0的粒子运动到O点时,打开磁场开关,该粒子全被收集,不计粒子重力,忽略磁场突变的影响。
(1)求OK间的距离;(3分)
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关,该粒子仍被收集,求MO间的距离;(4分)
(3)速率为4v0的粒子射出后,运动一段时间再打开磁场开关,该粒子也能被收集。以粒子射出的时刻为计时0点,求打开磁场的那一时刻。(5分)
11.(14分)在如图甲所示的正方形平面Oabc内存在着垂直于该平面的匀强磁场,磁感应强度的变化规律如图乙所示。一个质量为m、带电荷量为+q的粒子(不计重力)在t=0时刻沿Oc边从O点射入磁场中。已知正方形边长为L,规定垂直于纸面向外为磁场的正方向。
(1)求带电粒子在磁场中做圆周运动的周期T0。(4分)
(2)若带电粒子不能从Oa边界射出磁场,求磁感应强度的变化周期T的最大值。(4分)
(3)要使带电粒子从b点沿着ab方向射出磁场,求满足这一条件的磁感应强度变化的周期T及粒子射入磁场时的速度大小。(6分)
课时跟踪检测(五十四)
1.选D　由于空气阻力做负功,粒子运动过程中速度逐渐减小,由qvB=m,解得R=,所以粒子运动的轨道半径逐渐减小,粒子的运动方向为a→b→c,A错误;由f=qvB可知,速度减小,粒子所受的洛伦兹力逐渐减小,B错误;粒子所受的洛伦兹力与速度方向垂直,方向指向弯曲轨迹的内侧,所以粒子在b点的洛伦兹力垂直于轨迹切线方向,C错误;由左手定则可知,匀强磁场的方向垂直纸面向里,D正确。
2.选C　物体受洛伦兹力的大小为F=qv0B=1×10×2 N=20 N,由左手定则可知洛伦兹力的方向竖直向下,运动过程中物体受地面给的支持力的大小为FN=mg+F=1×10 N+20 N=30 N,故选C。
3.选C　粒子运动轨迹如图所示,
在磁场中,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得粒子做圆周运动的半径r=,根据几何关系可得P点至O点的距离LPO=r+=(1+)。故选C。
4.选C　
根据题意作出粒子运动的轨迹如图所示,根据左手定则判断知,此粒子带负电,故A错误;粒子由O运动到A时速度方向改变了60°角,所以粒子轨迹对应的圆心角为θ=60°,则粒子由O到A运动的时间为t=T=·=,故B错误;根据图中几何关系有cos 60°=,解得R=2d,根据R=,解得v==,故C正确;根据对称性可知,离开第一象限时,粒子的速度方向与x轴正方向的夹角为60°,故D错误。
5.选B　粒子运动轨迹如图所示,
由几何关系得r+rsin 30°=d,解得粒子运动轨迹半径为r=d,故A错误;由qvB=m,r=d,联立解得粒子进入磁场时的速度为v==,故B正确;运动周期T==,由几何关系知t=T,解得粒子在磁场中运动的时间为t=,故C错误;粒子运动轨迹与y轴交点的纵坐标为y=-2rcos 30°=-d,故D错误。
6.选D　在圆形匀强磁场区域内,沿着半径方向射入的粒子,总是沿着半径方向射出,根据圆的特点可知粒子的运动轨迹不可能经过O点,故A、B错误;若粒子连续两次由A点沿AC方向射入圆形区域用时最短,则根据对称性可知粒子运动轨迹如图甲所示,
则最短时间t=2T=,故C错误;若粒子从A点射入到从C点射出圆形区域用时最短,则粒子运动轨迹如图乙所示,设粒子在磁场中运动的半径为r,根据几何关系可知
r=,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得v=,故D正确。
7.选C　
由题图可知,粒子所受洛伦兹力垂直速度方向向下,根据左手定则可知粒子带负电,故A错误;作出粒子运动半径如图所示,根据几何关系可得,粒子做圆周运动的半径r==L,根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,联立解得粒子的比荷=,故B错误;由几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动转过的圆心角为60°,粒子在磁场中的运动时间t=×=,故C正确;根据qv'B=m,可得r'=,可知速度减小,粒子在磁场中做圆周运动的半径减小,可知当速度减小到一定值时,粒子可以从CD边射出,故D错误。
8.选BD　由左手定则可知带电粒子带正电,故A错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动,在时间2t0内其速度方向改变了90°,故其运动周期T=8t0,设磁感应强度大小为B,粒子速度为v,圆周运动的半径为r,由洛伦兹力提供向心力得qvB=m,匀速圆周运动的速度满足v=,解得B=,故B正确;由题给
条件可知,若带电粒子从C点出射,则C为运动轨迹与AC边的切点,如图甲所示,由几何关系可知,粒子的轨迹半径为2L,AM的距离为3L+L=4L,入射点到A点的距离为(4-2)L,不是OA中点,故C错误;由题给条件可知,从OA边射出的粒子在磁场区域中的轨迹与AC边、OC边相切时,粒子的轨迹半径最大,此时粒子的射入速度最大,如图乙所示,设O'为圆弧的圆心,圆弧的半径为r0,由几何关系可知r0+=L,设粒子最大射入速度大小为vm,由洛伦兹力提供向心力有qvmB=m,联立解得vm=πL,故D正确。
9.选ACD　根据题意可知,粒子一定从ad边进入无磁场区。当粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为45°时,由几何关系可知其一定穿过dc边进入磁场,然后由BC边射出,则其运动轨迹如图1所示,由对称性可知,该粒子垂直BC射出,A正确;当粒子穿过ad边时速度方向与ad边夹角为60°时,若其从cd边射出无磁场区,假设其能垂直BC射出,则其运动轨迹如图2所示,根据几何关系可知r(1-cos 60°)10.解析:(1)当粒子到达O点时,打开磁场开关,粒子
做匀速圆周运动,设轨迹半径为r1,运动轨迹如图1所示,
由洛伦兹力提供向心力得qv0B=m
则OK=2r1=。
(2)速率为4v0的粒子射出瞬间打开磁场开关,则粒子在磁场中运动的轨迹半径r2=4r1
运动轨迹如图2所示,
由几何关系有(4r1-2r1)2+MO2=(4r1)2
解得MO=2r1=。
(3)速率为4v0的粒子射出一段时间t到达N点,要使粒子仍然经过K点,则N点在O点右侧,运动轨迹如图3所示,
由几何关系有(4r1-2r1)2+ON2=(4r1)2
解得ON=2r1=
粒子在打开磁场开关前运动时间为t=,解得t=。
答案:(1)　(2)　(3)
11.解析:(1)带电粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,可得qvB0=m
又T0=
联立解得 T0=
(2)如图1所示,
若带电粒子恰好不能从Oa边射出,
则有sin α=
解得α=30°
在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转150°角,运动时间为t=T0==
磁感应强度的变化周期的最大值Tm=
(3)若要使粒子从b点沿着ab方向射出磁场,轨迹如图2所示
在磁场变化的半个周期内,粒子在磁场中旋转的角度为2β,其中β=45°,即=
满足这一条件的磁感应强度变化的周期T1=
每一个圆弧对应的弦长为
s=
圆弧半径为R==(n=2,4,6,…)
又qv0B0=m
联立解得v0=。
答案:(1)　(2)
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