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第3讲　动态圆、磁聚焦和磁发散问题(综合融通课)
　　带电粒子在匀强磁场中的动态圆、磁聚焦和磁发散问题属于高考中的高频考点,在分析带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题、多解问题时会经常用到,利用动态圆、磁聚焦的方法可以非常迅速地画出正确的运动轨迹,找到几何关系,极大地提高解题的效率和准确度。高考中常以选择题和计算题的形式出现,题目难度较大。
(一) 带电粒子在磁场中运动的动态圆问题
模型(一)　“平移圆”模型
适用 条件 粒子源发射出速度大小、方向一定, 入射点不同但在同一直线上的同种带电粒子,带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同,若入射速度大小为v0,则半径R=,如图所示
圆心 共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上,该直线与入射点的连线平行
界定 方法 将半径为R=的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件,这种方法叫“平移圆”法
[例1]　如图所示是带电粒子收集器的示意图,直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场,AC边长为L,∠A=30°。一束带正电的粒子流以相同速度在CD范围内垂直AC边射入,从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间为3t,在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t,则 (　　)
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨道半径为L
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.这束粒子在磁场中扫过的面积为L2
听课记录:
　　[针对训练]
1.如图所示,在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场,线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面向里。不考虑粒子间的相互作用,不计粒子受到的重力。所有从不同位置进入磁场的粒子中,在磁场中运动的时间最长为 (　　)
A. B.
C. D.
模型(二)　“放缩圆”模型
适用 条件 粒子源发射出速度方向一定、大小不同的同种带电粒子,带电粒子垂直进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心 共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
界定 方法 以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩作轨迹圆,从而探索出临界条件,这种方法称为“放缩圆”法
　　[例2]　(多选)如图所示,在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量为m、电荷量为q,不计粒子受到的重力以及粒子间的相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子在磁场中运动的最长时间为
B.若粒子恰好从圆弧边界离开磁场,则粒子的速度大小为
C.若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场,则粒子的速度大小为
D.选择合适的速度,粒子可能从M点离开磁场
听课记录:
　　[针对训练]
2.(多选)如图所示,磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里,图中虚线为磁场的边界,其中bc段是半径为R的四分之一圆弧,ab、cd的延长线通过圆弧的圆心,Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子,在纸面内以不同的速率从O点垂直ab射入磁场,已知所有粒子均从圆弧边界射出,其中M、N是圆弧边界上的两点,不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析中正确的是 (　　)
A.从M点射出的粒子的速率一定小于从N点射出的粒子的速率
B.从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点射出的粒子所用时间
C.所有粒子所用最短时间为
D.所有粒子所用最短时间为
模型(三)　“旋转圆”模型
适用 条件
粒子源发射出速度大小一定、方向不同的同种带电粒子,带电粒子垂直进入匀强磁场时,它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同,若入射初速度大小为v0,则圆周运动轨迹半径为R=,如图所示
圆心 共圆 如图,带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点P为圆心、半径R=的圆上
界定 方法 将一半径为R=的圆以入射点为圆心进行旋转,从而探索出临界条件,这种方法称为“旋转圆”法
　　 [例3]　(多选)如图所示,在荧光板MN的上方分布着水平方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直纸面向里。距荧光板为d处有一粒子源S,能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v=、电荷量为q、质量为m的带正电粒子,不计粒子的重力,已知粒子源发射粒子的总个数为N,则 (　　)
A.粒子能打到板上的区域长度为2d
B.打到板上的粒子数为N
C.从粒子源出发到打到板上的最短时间为
D.同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
听课记录:
　　[针对训练]
3.如图,x轴上的P(l,0)点处有一正离子源,在xOy平面内向第一象限各个方向发射速率相同的同种离子。当离子沿与x轴正方向成θ=30°角方向射入第一象限内的匀强磁场时,将从y轴上的D点(未画出)离开磁场,在所有离子轨迹与y轴的交点中,D点距离O点最远。若θ= 90°,离子将从C点(未画出)离开磁场。不计离子重力及离子间的相互作用,DC的长为 (　　)
A.(2-)l B.(-1)l
C.(-1)l D.(2-)l
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临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时,弧长(或劣弧的弦长)越长,则圆心角越大,带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中,当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径,且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。
(二) 磁聚焦和磁发散问题
模型(一)　磁聚焦
　　电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子从磁场边界上同一点射出,该点切线与入射方向平行,其轨迹如图所示。
[例1]　如图所示,有一圆形区域匀强磁场,半径为R,方向垂直纸面向外,磁感应强度大小为B1,在其右侧有一与其右端相切的正方形磁场区域,正方形磁场的边长足够长,方向垂直纸面向里,磁感应强度大小为B2。有一簇质量为m、电荷量为+q的粒子,以相同的速度v0=沿图示方向平行射入磁场,不计粒子的重力及粒子之间的相互作用,则粒子在正方形磁场区域中可能经过的面积为 (　　)
A.S=R2 B.S=R2
C.S=(π+1)R2 D.S=R2
听课记录:
　　[针对训练]
1.带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图,真空中半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场,一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为e、进入磁场的速度为v,不计电子重力及电子间的相互作用,则磁感应强度的大小为 (　　)
A.　　B.　　C.　　D.
模型(二)　磁发散
　　带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场半径相等,则粒子出射方向与入射点的切线方向平行,其轨迹如图所示。
　　[例2]　(多选)如图所示,在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r=0.1 m的圆形磁场区域,磁感应强度为B=1 T,方向垂直纸面向里,该区域同时与x轴、y轴相切,切点分别为C、A。现有大量质量为1×10-18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10-10 C、速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁场进入第一象限,速度方向与y轴正方向夹角为θ,且0<θ<180°,则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等
B.这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等
C.部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限
D.粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆
听课记录:
　　[针对训练]
2.(多选)如图所示,一圆形区域的圆心为O,半径为R,P为边界上的一点,区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出),磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速度v=射入磁场,粒子a正对圆心射入,粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入磁场时的速度方向成θ角,已知粒子a与粒子b在磁场中运动的时间之比为3∶4,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
B.θ=60°
C.θ=30°
D.a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
第3讲
(一)　[例1]　选C　从BC边垂直射出的粒子的运动时间为3t=,解得运动周期T=12t,根据洛伦兹力提供向心力得qvB=,T=,可知T=,解得=,故A错误;在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示,4t=T,轨迹所对应圆心角θ=×360°=120°,由几何关系得Rsin 30°+=L,解得R=L,故B错误;由qvB=,解得v=,故C正确;粒子在磁场中扫过的面积如图中灰色部分所示,则S=R·Rsin 30°+=L2,故D错误。
[针对训练]
1.选C　粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,解得r=2R,如图所示,当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时,粒子在磁场中运动的时间最长,由于sin α=,要使圆心角α最大,则FE最长,经分析可知,当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射出磁场时,粒子在磁场中运动的时间最长,有sin αm==,解得αm=,则tm=·=,故选C。
[例2]　选AC　当粒子的速度较小时,粒子从MN边界离开磁场,其轨迹对应的圆心角为300°,此时粒子在磁场中运动的时间最长,最长时间t=×=,故A正确;如图所示,当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(切点为Q),粒子恰好从圆弧边界射出,根据几何知识可知,此时粒子的轨迹半径r1=,设粒子的速度大小为v1,由洛伦兹力提供向心力有qv1B=m,解得v1=,故B错误;当粒子恰好从P点离开磁场时,设粒子的轨迹半径为r2,根据几何关系有r2cos 30°=,设粒子的速度大小为v2,有qv2B=m,解得v2=,故C正确;当粒子的速度大于时,粒子从Q点右侧离开磁场,当粒子的速度小于时,粒子从MN边界离开磁场,即粒子不可能从M点离开磁场,故D错误。
[针对训练]
2.选AD　粒子运动轨迹如图所示,可以看出,粒子落在b点到c点的过程中,运动半径越来越大,则由r=可知,速度越来越大,所以从M点射出的粒子的速率一定小于从N点射出的粒子的速率。因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比,且由几何关系知,弦切角等于圆心角的一半,所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短,如图所示,当弦与bc圆弧相切时,弦切角最小,因为Ob长为R,所以由几何关系知,此时弦切角为θ=60°,圆心角为α=120°,所以最短运动时间为tmin=×=,而M点与N点具体位置未知,则从M点射出的粒子在磁场中运动的时间与从N点射出的粒子所用时间大小不能确定。故选A、D。
[例3]　选BC　粒子受到的洛伦兹力提供向心力,粒子运动的半径R==d,粒子运动到荧光板的两种临界情况如图甲所示,
设SC垂直于MN交于C点,由几何关系可知,左侧最远处与S之间的距离恰好是轨迹圆的直径,则左侧最远处A离C点的距离为d,右侧最远处D离C点的距离为d,所以粒子能打在板上的区域长度是(+1)d,A错误;当粒子的发射速度方向是沿着SC的反方向即垂直MN向上时,其轨迹在SC左侧与MN相切,当发射速度方向是垂直MN向下时,其轨迹在SC右侧与MN相切,发射速度方向在这两速度方向之间的粒子都能打在荧光板上,角度范围为180°,所以有一半的粒子能打到荧光板上,粒子源发射粒子的总个数为N,则打到板上的粒子数为N,故B正确;能打到荧光板的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图乙所示,粒子做整个圆周运动的周期T==,由几何关系可知最短时间t2=T=,最长时间t1=T=,所以Δt=t1-t2=,C正确,D错误。
[针对训练]
3.选B　当离子沿与x轴正方向成θ=30°角方向射入第一象限内的匀强磁场时,运动轨迹如图所示,根据几何关系,粒子做圆周运动的半径为R=l,OD=l;若θ=90°,离子将从C点离开磁场,根据动态圆法,可知OC=l(等于粒子在磁场中做圆周运动的半径),则DC=OD-OC=(-1)l,故选B。
(二)　[例1]　选C　由v0=,则知粒子在圆形磁场区域经历磁聚焦,聚于两区域相切点,而后进入正方形区域,图形如图,图中阴影部分面积即为所求面积,则r==R,空白区域面积S白=2×=r2,空白加阴影的总面积S总=π(2r)2+πr2=πr2,则S阴=S总-S白=(π+1)R2,故选C。
[针对训练]
1.选C　由题可知,从左侧任选一束电子流A,经磁场偏转后通过坐标原点O,如图所示,由于电子沿水平方向射入磁场,半径O1O与速度方向垂直,可知AO2∥O1O,由几何关系可知,平行四边形AO2OO1为菱形,因此电子在磁场中运动的轨道半径R=r,又由于evB=,解得磁感应强度的大小为B=,故选C。
[例2]　选ABD　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,根据qvB=m,解得R=0.1 m=r,故A正确;由题意得,粒子的轨迹相当于把半径R=0.1 m的圆以A点为轴转动,粒子轨迹圆心构成的圆的圆心在A点,半径与磁场的半径相等,且粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆,故B、D正确;由于粒子做圆周运动的半径与磁场的半径相等,符合磁发散的条件,根据磁发散的特点,粒子离开磁场后速度都竖直向下,不可能进入到第二象限,故C错误。
[针对训练]
2.选AC　粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=,代入v=,解得r=R ,A正确;因a正对圆心射入,又r=R,故a粒子在磁场中的运动时间为T,运动轨迹的圆心角为90°,两粒子在磁场中运动的周期相等,均为T=,运动时间之比为3∶4,故b粒子在磁场中的运动时间为T,即运动轨迹的圆心角为120°,运动轨迹的圆心、O、P三点的连线构成等边三角形,故θ=30°,B错误,C正确;由“磁发散”模型可知,a、b粒子离开磁场时速度方向平行,D错误。
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动态圆、磁聚焦和磁发散问题
(综合融通课)
第 3 讲
带电粒子在匀强磁场中的动态圆、磁聚焦和磁发散问题属于高考中的高频考点，在分析带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题、多解问题时会经常用到，利用动态圆、磁聚焦的方法可以非常迅速地画出正确的运动轨迹，找到几何关系，极大地提高解题的效率和准确度。高考中常以选择题和计算题的形式出现，题目难度较大。
1
(一) 带电粒子在磁场中运动的动态圆问题
2
(二) 磁聚焦和磁发散问题
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3
课时跟踪检测
(一) 带电粒子在磁场中运动的
动态圆问题
适用条件
模型(一)　“平移圆”模型
圆心共线 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同一直线上，该直线与入射点的连线平行
界定方法
续表
[例1]　如图所示是带电粒子收集器的示意图，直角三角形ABC区域内有垂直于纸面向外、磁感应强度大小为B的匀强磁场，AC边长为L，∠A=30°。一束带正电的粒子流以相同速度在CD范围内垂直AC边射入，从D点射入的粒子恰好不能从AB边射出。
已知从BC边垂直射出的粒子在磁场中运动的时间
为3t，在磁场中运动时间最长的粒子所用时间为4t，
则 (　　)
A.粒子的比荷为
B.粒子运动的轨道半径为L
C.粒子射入磁场的速度大小为
D.这束粒子在磁场中扫过的面积为L2
√
[解析]　从BC边垂直射出的粒子的运动时间为3t=，解得运动周期T=12t，根据洛伦兹力提供向心力得qvB=，T=，可知T=，解得=，故A错误；在磁场中运动时间最长的粒子轨迹如图所示，4t=T，轨迹所对应圆心角θ=×360°=120°，
由几何关系得Rsin 30°+=L，解得R=L，
故B错误；由qvB=，解得v=，故C正确；
粒子在磁场中扫过的面积如图中灰色部分所示，
则S=R·Rsin 30°+=L2，故D错误。
1.如图所示，在xOy平面的第Ⅰ、Ⅳ象限内有一圆心为O、半径为R的半圆形匀强磁场，线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为m、电荷量为q、速度大小为v0的带正电粒子。磁场的磁感应强度大小为、方向垂直xOy平面向里。不考虑
粒子间的相互作用，不计粒子受到的重力。所有
从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的
时间最长为(　　)
针对训练
A. B.
C. D.
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，解得r=2R，如图所示，当粒子在磁场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sin α=，
√
要使圆心角α最大，则FE最长，经分析可知，
当粒子从y轴上的D'点射入、从x轴上的E'点射
出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，
有sin αm==，解得αm=，则tm=·=，
故选C。
适用条件 粒子源发射出速度方向一定、大小不同的同种带电粒子，带电粒子垂直进入匀强磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变化
圆心共线 如图所示(图中只画出粒子带正电的情境)，
速度v越大，运动半径也越大。可以发现
这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹
的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上
模型(二)　“放缩圆”模型
界定方法 以入射点P为定点，圆心位于PP'直线上，将半径放缩作轨迹圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法
续表
[例2]　(多选)如图所示，在圆心为O、半径为R的半圆形区域内(不含边界)有磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，MN为直径。大量带正电荷的同种粒子以不同的速率从O点在纸面内沿与ON成30°角的方向射入磁场。粒子的质量
为m、电荷量为q，不计粒子受到的重力以及粒
子间的相互作用。下列说法正确的是 (　　)
A.粒子在磁场中运动的最长时间为
B.若粒子恰好从圆弧边界离开磁场，则粒子的速度大小为
C.若粒子恰好从O点正上方的P点离开磁场，则粒子的速度大小为
D.选择合适的速度，粒子可能从M点离开磁场
√
√
[解析]　当粒子的速度较小时，粒子从MN边界离开磁场，其轨迹对应的圆心角为300°，此时粒子在磁场中运动的时间最长，最长时间t=×=，故A正确；如图所示，当粒子做圆周运动的轨迹与半圆形磁场边界相切时(切点为Q)，粒子恰好从圆弧边界射出，根据几何知识可知，此时粒子的轨迹半径r1=，设粒子的速度大小为v1，由洛伦兹力提供向心力有qv1B=m，解得v1=，故B错误；
当粒子恰好从P点离开磁场时，设粒子的轨迹半
径为r2，根据几何关系有r2cos 30°=，设粒子
的速度大小为v2，有qv2B=m，解得v2=，故C正确；当粒子的速度大于时，粒子从Q点右侧离开磁场，当粒子的速度小于时，粒子从MN边界离开磁场，即粒子不可能从M点离开磁场，故D错误。
2.(多选)如图所示，磁感应强度为B的匀强磁场方向垂直纸面向里，图中虚线为磁场的边界，其中bc段是半径为R的四分之一圆弧，ab、cd的延长线通过圆弧的圆心，Ob长为R。一束质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子，在纸面内以不同的速率从O点
垂直ab射入磁场，已知所有粒子均从圆弧边
界射出，其中M、N是圆弧边界上的两点，
不计粒子间的相互作用和重力。则下列分析
中正确的是 (　　)
针对训练
A.从M点射出的粒子的速率一定小于从N点射出的粒子的速率
B.从M点射出的粒子在磁场中运动的时间一定小于从N点射出的粒子所用时间
C.所有粒子所用最短时间为
D.所有粒子所用最短时间为
√
√
解析：粒子运动轨迹如图所示，可以看出，
粒子落在b点到c点的过程中，运动半径越来越
大，则由r=可知，速度越来越大，所以从M
点射出的粒子的速率一定小于从N点射出的粒子的速率。因为粒子在磁场中的运动时间和圆心角成正比，且由几何关系知，弦切角等于圆心角的一半，所以当弦切角最小时对应粒子的运动时间最短，如图所示，
当弦与bc圆弧相切时，弦切角最小，因为Ob长为R，所以由几何关系知，此时弦切角为θ=60°，圆心角为α=120°，所以最短运动时间为tmin=×=，而M点与N点具体位置未知，则从M点射出的粒子在磁场中运动的时间与从N点射出的粒子所用时间大小不能确定。故选A、D。
适用 条件
模型(三)　“旋转圆”模型
续表
圆心共圆
界定方法
[例3]　(多选)如图所示，在荧光板MN的上方分布着水平方向的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直纸面向里。距荧光板为d处有一粒子源S，能够在纸面内不断均匀地向各个方向发射速度大小为v=、电荷量为q、质量为m的带正电粒子，
不计粒子的重力，已知粒子源发射粒子的总
个数为N，则(　　)
A.粒子能打到板上的区域长度为2d
B.打到板上的粒子数为N
C.从粒子源出发到打到板上的最短时间为
D.同一时刻发射的粒子打到板上的最大时间差为
√
√
[解析]　粒子受到的洛伦兹力提供向心力，粒子运动的半径R==d，粒子运动到荧光板的两种临界情况如图甲所示，设SC垂直于MN交于C点，由几何关系可知，左侧最远处与S之间的距离恰好是轨迹圆的直径，则左侧最远处A离C点的距离为d，右侧最远处D离C点的距离为d，所以粒子能打在板上的区域长度是(+1)d，A错误；
当粒子的发射速度方向是沿着SC的反方向即垂直MN向上时，其轨迹在SC左侧与MN相切，当发射速度方向是垂直MN向下时，其轨迹在SC右侧与MN相切，发射速度方向在这两速度方向之间的粒子都能打在荧光板上，角度范围为180°，所以有一半的粒子能打到荧光板上，粒子源发射粒子的总个数为N，则打到板上的粒子数为N，故B正确；能打到荧光板的粒子运动时间最长和最短的运动轨迹示意图如图乙所示，粒子做整个圆周运动的周期T==，
由几何关系可知最短时间t2=T=，最长时间t1=T=，
所以Δt=t1-t2=，C正确，D错误。
3.如图，x轴上的P(l，0)点处有一正离子源，在xOy平面内向第一象限各个方向发射速率相同的同种离子。当离子沿与x轴正方向成θ=30°角方向射入第一象限内的匀强磁场时，将从y轴上的D点(未画出)离开磁场，在所有离子轨迹与y轴的交点中，D点
距离O点最远。若θ= 90°，离子将从C点(未画出)
离开磁场。不计离子重力及离子间的相互作用，
DC的长为 (　　)
针对训练
A.(2-)l B.(-1)l C.(-1)l D.(2-)l
解析：当离子沿与x轴正方向成θ=30°角方向射入第一象限内的匀强磁场时，运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子做圆周运动的半径为R=l，OD=l；若θ=90°，离子将从C点
离开磁场，根据动态圆法，可知OC=l(等于粒子
在磁场中做圆周运动的半径)，则DC=OD-OC=
(-1)l，故选B。
√
临界极值问题的四个重要结论
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速率v一定时，弧长(或劣弧的弦长)越长，则圆心角越大，带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
思维建模
(3)当速率v变化时，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于磁场区域圆半径，且入射点和出射点为磁场直径的两个端点时，轨迹对应的偏转角最大(所有的弦中直径最长)。
(二)　磁聚焦和磁发散问题
电性相同的带电粒子平行射入圆形有界匀强磁场，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子从磁场边界上同一点射出，该点切线与入射方向平行，其轨迹如图所示。
模型(一)　磁聚焦
[例1]　如图所示，有一圆形区域匀强磁场，半
径为R，方向垂直纸面向外，磁感应强度大小为B1，
在其右侧有一与其右端相切的正方形磁场区域，正方形磁场的边长足够长，方向垂直纸面向里，磁感应强度大小为B2。有一簇质量为m、电荷量为+q的粒子，以相同的速度v0=
沿图示方向平行射入磁场，不计粒子的重力
及粒子之间的相互作用，则粒子在正方形磁
场区域中可能经过的面积为(　　)
A.S=R2 B.S=R2
C.S=(π+1)R2 D.S=R2
[解析]　由v0=，则知粒子在圆形磁场区域经历磁聚焦，聚于两区域相切点，而后进入正方形区域，图形如图，图中阴影部分面积
√
即为所求面积，则r==R，空白区域面积S白=2×=r2，空白加阴影的总面积
S总=π(2r)2+πr2=πr2，则S阴=S总-S白=(π+1)R2，
故选C。
1.带电粒子流的磁聚焦是薄膜材料制备的关键技术之一。磁聚焦原理如图，真空中半径为r的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场，一束宽度为2r、沿x轴正方向运动的电子流射入该磁场后聚焦于坐标原点O。已知电子的质量为m、电荷量为
e、进入磁场的速度为v，不计电子重力及
电子间的相互作用，则磁感应强度的大小
为 (　　)
针对训练
A.　　 B. C. D.
解析：由题可知，从左侧任选一束电子流A，经磁场偏转后通过坐标原点O，如图所示，由于电子沿水平方向射入磁场，半径O1O与速度方向垂直，可知AO2∥O1O，由几何关系可知，平行四边形AO2OO1为菱形，因此电子在磁场中运动的
轨道半径R=r，又由于evB=，解得磁感
应强度的大小为B=，故选C。
√
电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入，如果轨迹半径与磁场半径相等，则粒子出射方向与入射点的切线方向平行，其轨迹如图所示。
模型(二)　磁发散
[例2]　(多选)如图所示，在xOy坐标系的第一象限中有一半径为r=0.1 m的圆形磁场区域，磁感应强度为B=1 T，方向垂直纸面向里，该区域同时与x轴、y轴相切，切点分别为C、A。现有大量质量为1×10-18 kg(重力不计)、电荷量大小为2×10-10 C、
速率均为2×107 m/s的带负电的粒子从A处垂直磁
场进入第一象限，速度方向与y轴正方向夹角为θ，
且0<θ<180°，则下列说法正确的是 (　　)
A.粒子的轨迹圆和磁场圆的半径相等
B.这些粒子轨迹圆的圆心构成的圆和磁场圆的半径相等
C.部分粒子可以穿越坐标系进入第二象限
D.粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆
√
√
√
[解析]　粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，根据qvB=m，解得R=0.1 m=r，故A正确；由题意得，粒子的轨迹相当于把半径R=
0.1 m的圆以A点为轴转动，粒子轨迹圆心构成的圆的圆心在A点，半径与磁场的半径相等，且粒子的轨迹可以覆盖整个磁场圆，故B、D正确；由于粒子做圆周运动的半径与磁场的半径相等，符合磁发散的条件，根据磁发散的特点，粒子离开磁场后速度都竖直向下，不可能进入到第二象限，故C错误。
2.(多选)如图所示，一圆形区域的圆心为O，半径为R，P为边界上的一点，区域内有垂直于纸面的匀强磁场(图中未画出)，磁感应强度大小为B。电荷量为q、质量为m的相同带电粒子a、b(不计重力)从P点先后以大小相等的速度v=射入磁场，粒子a正对圆
心射入，粒子b射入磁场时的速度方向与粒子a射入
磁场时的速度方向成θ角，已知粒子a与粒子b在磁场
中运动的时间之比为3∶4，下列说法正确的是(　　)
针对训练
A.粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=R
B.θ=60°
C.θ=30°
D.a、b粒子离开磁场时的速度方向也成θ角
解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径r=，代入v=，解得r=R ，A正确；因a正对圆心射入，又r=R，故a粒子在磁场中的
√
√
运动时间为T，运动轨迹的圆心角为90°，两粒子在磁场中运动的周期相等，均为T=，运动时间之比为3∶4，故b粒子在磁场中的运动时间为T，即运动轨迹的圆心角为120°，运动轨迹的圆心、O、P三点的连线构成等边三角形，故θ=30°，B错误，C正确；由“磁发散”模型可知，a、b粒子离开磁场时速度方向平行，D错误。
课时跟踪检测
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一、单项选择题
1.(2025·郑州高三模拟)如图所示，正方形区域abcd内存在匀强磁场，磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中
点M以速度v垂直于ad边射入磁场，并恰好从ab边
的中点N射出磁场。不计粒子的重力，下列说法
正确的是(　　)
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√
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从a点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子将从b点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为2v，粒子在磁场中的运动时间将变短
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解析：根据左手定则可知粒子带正电，故A错误；根据qvB=m，解得r=，设正方形边长为L，粒子以速度v和速度2v进入磁场，有=，r'==L，轨迹如图所示，可知若粒子射入磁场的速度增大为2v，射出的位置在Nb之间，故B、C错误；根据以上分析可知，
若粒子射入磁场的速度增大为2v，则在磁场中运动的轨
迹所对应的圆心角θ将变小，由t=T，又T=，粒子
在磁场中的运动时间将变短，故D正确。
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2.如图所示，半径为R的圆形区域内存在匀强磁场，方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源，可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子，粒子速度大小
均为v0。不计粒子重力以及粒子间的相互作用，所
有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与
AB平行，AB、CD为互相垂直的直径，则 (　　)
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A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B.磁感应强度大小为
C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
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√
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解析：由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径，根据磁发散原理和左手定则可知，所有带正电粒子均平行AB向上射出，故A错误；根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，所以B=，故B错误；若粒子经过圆心O，则其轨迹对应圆心角等于120°，所以粒子在磁场中运动的时间为t=T=·=，故C错误；若粒子沿着CO方向射入磁场，其轨迹对应圆心角等于90°，所以粒子在磁场中运动的时间为t'=T= ·=，故D正确。
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3.如图所示，在平面直角坐标系xOy内，存在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出)，磁感应强度大小B=0.2 T，原点O有一粒子源，能向纸面内各个方向释放出比荷为4×108 C/kg的正粒子，粒子初速度为v0=8×
106 m/s，不计粒子重力以及粒子间的相互作用。有
一与x轴成45°角倾斜放置的足够长挡板跨越第一、
三、四象限，P是挡板与x轴的交点，OP=16 cm，
则挡板上被粒子打中的区域长度为(　　)
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A.24 cm B.16 cm C.20 cm D.32 cm
解析：粒子源到挡板的距离h=16sin 45°cm=16 cm，粒子在磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m，解得R=10 cm如图所示，则有xAC==12 cm，xBC=
=8 cm，则挡板上被粒子打中的
区域长度L=xAC+xBC=20 cm，故选C。
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4.如图所示，在xOy平面直角坐标系内，OA与x轴的夹角为37°，OA足够长，OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B=，在OA上分布着足够多的粒子源，可以向磁场中发射速度大小为v0、方向垂直于OA的带电粒子，带电粒子
的质量为m、电荷量为+q，则带电粒子
能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为(　　)
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A.3L0 B.4L0 C.5L0 D.6L0
解析：带电粒子在磁场中运动过程中洛伦兹力
提供向心力，有qv0B=，将磁感应强度B=
代入解得r=3L0，OA上的粒子源向外发射的所有带
电粒子在磁场中运动的轨迹为平移圆，如图(a)所示，
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根据几何关系可得当粒子轨迹半径O1P与OA垂直时，打到x轴上的P点距坐标原点最远，根据几何关系得OP===5L0。
另外要注意本题中带电粒子打到最远的距离不是轨迹
与x轴相切时，如果相切时作出轨迹图如图(b)所示，
根据几何关系有OQ== =4L0，所以Q点
不是距离坐标原点最远的点。故选C。
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二、多项选择题
5.(2025·西安高三质检)如图所示，在竖直面内有一半径为R的能吸收带电粒子的半圆形装置，在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，边界ab为过圆心O的一水平直线。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以不同的速率从A点竖直向上进入磁场，AO的长度为R。粒子重力和粒子间的相互作用不计，
sin 37°=，下列说法正确的是(　　)
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A.能够被装置吸收的粒子的最大速度为
B.能够被装置吸收的粒子的最小速度为
C.能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子速度大小为
D.能够被装置吸收的粒子中，运动时间最短的粒子运动时间为
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√
√
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解析：粒子从A点进入磁场，洛伦兹力提供向心力，有qvB=m，解得v=，运动轨迹半径最大时有最大速度，当粒子从半圆形装置最右侧被该装置吸收时，其轨迹半径最大，其速度最大，设最大轨迹半径为rmax，由几何关系可知，2rmax=R+R，故最大速度vmax=，故A错误；
当运动轨迹半径最小时，粒子的速度最小，当粒子从装置最左侧被吸收
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时其轨迹半径最小，由几何关系有2rmin=R-R，结合以上分析可知，有vmin=，故B正确；运动时间最短的粒子，其轨迹对应的圆心角最小，根据圆心角等于2倍弦切角可知，运动轨迹圆的弦切角需最小，如图所示，此时轨迹圆的弦AC与半圆装置相切，由几何关系可知∠OAC=37°，AC=R，圆心角为θ=53°×2=106°，
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根据几何关系得2r1sin 53°=R，其中r1=，
解得v1=，最短时间为t1=·=，
故C错误，D正确。
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6.(2025·河北衡水模拟)如图，空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出)，M是垂直于x轴的荧光屏，O点到屏M的距离为R。O点有一粒子源，从O点沿Oy方向发射出
一束速度不同、比荷相同的带正电粒子，经磁场
偏转后均能水平向右垂直打在屏M上，已知粒子
以最大速度v0在磁场中运动的轨迹如图所示，
则 (　　)
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A.磁场方向垂直于纸面向里
B.带电粒子的比荷为
C.磁场区域最小面积为
D.磁场区域最小面积为
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解析：根据左手定则可知，磁场方向垂直于纸面向外，故A错误；根据R=，可知比荷为=，故B正确；速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M上，所以磁场边界是45°斜线，
如图所示，则磁场区域最小面积为阴影部分面积
Smin=-R2=，故C错误，D正确。
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7.如图所示，在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场，在y轴上S处有一粒子源，它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子，所有粒子射出磁场时离S最远的位置
是x轴上的P点。已知OP=OS=d，粒子带
负电，粒子所受重力及粒子间的相互作用均
不计，则(　　)
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A.粒子的速度大小为
B.从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为3∶2
C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为d
D.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
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√
√
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解析：根据几何关系可得SP==2d，所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点，可知粒子做圆周运动的半径满足2r= SP=2d，解得r=d，根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m，解得v=，故A正确；从x轴射出磁场的粒子中，沿y轴正方向射入的粒子在磁场中运动的时间最长，从O点射出的粒子运动时间最短，运动轨迹如图所示，根据几何关系，粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为α=，θ=，
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从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为===，故B错误；沿平行x轴正方向射入的粒子，其轨迹圆心在O点，离开磁场时的位置到O点的距离为d，故C错误；从O点射出的粒子轨迹如图所示，对应的圆心角为θ=，从O点
射出的粒子在磁场中的运动时间为t=T=，
故D正确。
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三、计算题
8.(10分)如图所示，在半径R=4 m的圆形区域内分布着磁感应强度B=2×10-3 T的匀强磁场，圆周上M处有一个粒子源，能平行于纸面向四周发射速率大小v=1×105 m/s的同种粒子，已
知在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远且
∠MON=120°，不计粒子的重力及粒子间的相
互作用。求：(结果保留两位有效数字)
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(1)粒子的比荷；(6分)
答案：8.3×106 C/kg　
解析：根据几何关系可知，MN距离为=2Rsin 60°=12 m
在粒子离开磁场的所有位置中，N距M最远，说明MN为粒子做圆周运动的轨迹圆的直径，则轨迹圆半径r==6 m
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力，即qvB=m
解得粒子的比荷==×107 C/kg≈8.3×106 C/kg。
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(2)从N处离开磁场的粒子，在磁场中运动的时间。(4分)
答案：1.9×10-4 s
解析：根据圆周运动规律可知周期T=
从N处离开磁场的粒子运动时间t=T
联立解得t≈1.9×10-4 s。
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9.(15分)如图甲所示，一半径为d的圆形磁场，其圆心位于xOy平面的坐标原点，磁场左侧水平放置两块长度均为2d的平行金属板P、Q，两板间距为d，x轴过平行金属板的中心轴线。平行金属板间加上如图乙所示周期性变化的电压，在紧靠P板左侧有一粒子源S，从t=0时刻开始连续射出初速度大小为v0、方向平行于金属板的相同带电粒子，t=0时刻射出的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场。
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已知电场变化周期T=，粒子的质量为m、电荷量为+q，磁感应强度B=，进入磁场的粒子均能从y轴上的M点离开磁场，粒子打到金属板上会被吸收，不计粒子重力及相互间的作用力，求：
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(1)t=0时刻射出的粒子在磁场中运动的时间；(4分)
答案：
解析： t=0时刻射出的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场，穿过电场的时间t==T，故粒子以速度v0沿平行极板方向离开电场。
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粒子平行于x轴射入圆形磁场区域，由Bqv0=，解得r=d，
运动轨迹如图甲所示，根据几何关系，轨迹对
应的圆心角为120°，则粒子在磁场中运动时间t'=
T'，又T'=，解得t'=。
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(2)粒子从M点离开磁场时与x轴正方向的夹角范围；(6分)
答案：~
解析：由第(1)问得，t=0时刻进入极板的粒子从下极板边缘射入磁场，从M点射出时速度方向的偏转角为，即与x轴正方向的夹角为。
若粒子在t=T时刻进入电场，粒子将从上极板的边缘射入磁场，
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运动轨迹如图乙所示，根据几何关系，轨迹对应圆
心角为，从M点射出时速度方向的偏转角为，即
与x轴正方向的夹角为，所以粒子从M点离开磁场
时与x轴正方向的夹角范围为~。
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(3)到达M点的粒子占粒子源发射粒子总数的百分比。(5分)
答案：25%
解析：在一个电场变化周期内，在0~ 内
进入电场的粒子都可以平行x轴以速度v0进入
磁场，最终聚焦于M点，如图丙所示
到达M点的粒子占粒子源发射粒子总数
的百分比η=×100%=×100%=25%。
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4课时跟踪检测(五十五)　动态圆、磁聚焦和磁发散问题
一、单项选择题
1.(2025·郑州高三模拟)如图所示,正方形区域abcd内存在匀强磁场,磁场方向垂直纸面向里。一带电粒子从ad边的中点M以速度v垂直于ad边射入磁场,并恰好从ab边的中点N射出磁场。不计粒子的重力,下列说法正确的是 (　　)
A.粒子带负电
B.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从a点射出
C.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子将从b点射出
D.若粒子射入磁场的速度增大为2v,粒子在磁场中的运动时间将变短
2.如图所示,半径为R的圆形区域内存在匀强磁场,方向垂直于纸面向里。边界上C点有一粒子源,可平行于纸面向磁场内任意方向发射质量为m、电荷量为q的带正电粒子,粒子速度大小均为v0。不计粒子重力以及粒子间的相互作用,所有粒子运动半径均为R且离开磁场时速度方向均与AB平行,AB、CD为互相垂直的直径,则 (　　)
A.粒子离开磁场时速度方向平行AB向下
B.磁感应强度大小为
C.经过圆心O的粒子在磁场中运动的时间为
D.沿着CO方向射入的粒子在磁场中运动的时间为
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy内,存在垂直纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小B=0.2 T,原点O有一粒子源,能向纸面内各个方向释放出比荷为4×108 C/kg的正粒子,粒子初速度为v0=8×106 m/s,不计粒子重力以及粒子间的相互作用。有一与x轴成45°角倾斜放置的足够长挡板跨越第一、三、四象限,P是挡板与x轴的交点,OP=16 cm,则挡板上被粒子打中的区域长度为 (　　)
A.24 cm B.16 cm
C.20 cm D.32 cm
4.如图所示,在xOy平面直角坐标系内,OA与x轴的夹角为37°,OA足够长,OA与x轴之间存在垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B=,在OA上分布着足够多的粒子源,可以向磁场中发射速度大小为v0、方向垂直于OA的带电粒子,带电粒子的质量为m、电荷量为+q,则带电粒子能打到x轴距坐标原点最远位置的横坐标为 (　　)
A.3L0 B.4L0
C.5L0 D.6L0
二、多项选择题
5.(2025·西安高三质检)如图所示,在竖直面内有一半径为R的能吸收带电粒子的半圆形装置,在装置外有垂直纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B,边界ab为过圆心O的一水平直线。一群质量为m、电荷量为q的带正电粒子以不同的速率从A点竖直向上进入磁场,AO的长度为R。粒子重力和粒子间的相互作用不计,sin 37°=,下列说法正确的是 (　　)
A.能够被装置吸收的粒子的最大速度为
B.能够被装置吸收的粒子的最小速度为
C.能够被装置吸收的粒子中,运动时间最短的粒子速度大小为
D.能够被装置吸收的粒子中,运动时间最短的粒子运动时间为
6.(2025·河北衡水模拟)如图,空间存在着垂直于纸面、磁感应强度为B的匀强磁场(图中未画出),M是垂直于x轴的荧光屏,O点到屏M的距离为R。O点有一粒子源,从O点沿Oy方向发射出一束速度不同、比荷相同的带正电粒子,经磁场偏转后均能水平向右垂直打在屏M上,已知粒子以最大速度v0在磁场中运动的轨迹如图所示,则 (　　)
A.磁场方向垂直于纸面向里
B.带电粒子的比荷为
C.磁场区域最小面积为
D.磁场区域最小面积为
7.如图所示,在直角坐标系xOy的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场,在y轴上S处有一粒子源,它可向右侧纸面内各个方向射出速率相等的质量均为m、电荷量均为q的同种带电粒子,所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点。已知OP=OS=d,粒子带负电,粒子所受重力及粒子间的相互作用均不计,则 (　　)
A.粒子的速度大小为
B.从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为3∶2
C.沿平行x轴正方向射入的粒子离开磁场时的位置到O点的距离为d
D.从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为
三、计算题
8.(10分)如图所示,在半径R=4 m的圆形区域内分布着磁感应强度B=2×10-3 T的匀强磁场,圆周上M处有一个粒子源,能平行于纸面向四周发射速率大小v=1×105 m/s的同种粒子,已知在粒子离开磁场的所有位置中,N距M最远且∠MON=120°,不计粒子的重力及粒子间的相互作用。求:(结果保留两位有效数字)
(1)粒子的比荷;(6分)
(2)从N处离开磁场的粒子,在磁场中运动的时间。(4分)
9.(15分)如图甲所示,一半径为d的圆形磁场,其圆心位于xOy平面的坐标原点,磁场左侧水平放置两块长度均为2d的平行金属板P、Q,两板间距为d,x轴过平行金属板的中心轴线。平行金属板间加上如图乙所示周期性变化的电压,在紧靠P板左侧有一粒子源S,从t=0时刻开始连续射出初速度大小为v0、方向平行于金属板的相同带电粒子,t=0时刻射出的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场。已知电场变化周期T=,粒子的质量为m、电荷量为+q,磁感应强度B=,进入磁场的粒子均能从y轴上的M点离开磁场,粒子打到金属板上会被吸收,不计粒子重力及相互间的作用力,求:
(1)t=0时刻射出的粒子在磁场中运动的时间;(4分)
(2)粒子从M点离开磁场时与x轴正方向的夹角范围;(6分)
(3)到达M点的粒子占粒子源发射粒子总数的百分比。(5分)
课时跟踪检测(五十五)
1.选D　根据左手定则可知粒子带正电,故A错误;根据qvB=m,解得r=,设正方形边长为L,粒子以速度v和速度2v进入磁场,有=,r'==L,轨迹如图所示,
可知若粒子射入磁场的速度增大为2v,射出的位置在Nb之间,故B、C错误;根据以上分析可知,若粒子射入磁场的速度增大为2v,则在磁场中运动的轨迹所对应的圆心角θ将变小,由t=T,又T=,粒子在磁场中的运动时间将变短,故D正确。
2.选D　由于粒子做圆周运动的半径等于磁场圆的半径,根据磁发散原理和左手定则可知,所有带正电粒子均平行AB向上射出,故A错误;根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,所以B=,故B错误;若粒子经过圆心O,则其轨迹对应圆心角等于120°,所以粒子在磁场中运动的时间为t=T=·=,故C错误;若粒子沿着CO方向射入磁场,其轨迹对应圆心角等于90°,所以粒子在磁场中运动的时间为t'=T=·=,故D正确。
3.选C　
粒子源到挡板的距离h=16sin 45° cm=16 cm,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,解得R=10 cm4.
选C　带电粒子在磁场中运动过程中洛伦兹力提供向心力,有qv0B=,将磁感应强度B=代入解得r=3L0,OA上的粒子源向外发射的所有带电粒子在磁场中运动的轨迹为平移圆,如图(a)所示,根据几何关系可得当粒子轨迹半径O1P与OA垂直时,打到x轴上的P点距坐标原点最远,根据几何关系得OP===5L0。
另外要注意本题中带电粒子打到最远的距离不是轨迹与x轴相切时,如果相切时作出轨迹图如图(b)所示,根据几何关系有OQ===4L0,所以Q点不是距离坐标原点最远的点。故选C。
5.选BD　粒子从A点进入磁场,洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v=,运动轨迹半径最大时有最大速度,当粒子从半圆形装置最右侧被该装置吸收时,其轨迹半径最大,其速度最大,设最大轨迹半径为rmax,由几何关系可知,2rmax=R+R,故最大速度vmax=,故A错误;当运动轨迹半径最小时,粒子的速度最小,当粒子从装置最左侧被吸收时其轨迹半径最小,由几何关系有2rmin=R-R,结合以上分析可知,有vmin=,故B正确;
运动时间最短的粒子,其轨迹对应的圆心角最小,根据圆心角等于2倍弦切角可知,运动轨迹圆的弦切角需最小,如图所示,此时轨迹圆的弦AC与半圆装置相切,由几何关系可知∠OAC=37°,AC=R,圆心角为θ=53°×2=106°,根据几何关系得2r1sin 53°=R,其中r1=,解得v1=,最短时间为t1=·=,故C错误,D正确。
6.选BD　
根据左手定则可知,磁场方向垂直于纸面向外,故A错误;根据R=,可知比荷为=,故B正确;速度小于v0的粒子也能水平向右垂直打在屏M上,所以磁场边界是45°斜线,如图所示,则磁场区域最小面积为阴影部分面积Smin=-R2=,故C错误,D正确。
7.选AD　根据几何关系可得SP==2d,
所有粒子射出磁场时离S最远的位置是x轴上的P点,可知粒子做圆周运动的半径满足2r=SP=2d,解得r=d,根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得v=,故A正确;从x轴射出磁场的粒子中,沿y轴正方向射入的粒子在磁场中运动的时间最长,从O点射出的粒子运动时间最短,运动轨迹如图所示,根据几何关系,粒子在磁场中做圆周运动的圆心角分别为α=,θ=,从x轴射出磁场的粒子在磁场中运动的最长时间与最短时间之比为===,故B错误;沿平行x轴正方向射入的粒子,其轨迹圆心在O点,离开磁场时的位置到O点的距离为d,故C错误;从O点射出的粒子轨迹如图所示,对应的圆心角为θ=,从O点射出的粒子在磁场中的运动时间为t=T=,故D正确。
8.解析:(1)根据几何关系可知,MN距离为=2Rsin 60°=12 m
在粒子离开磁场的所有位置中,N距M最远,说明MN为粒子做圆周运动的轨迹圆的直径,则轨迹圆半径r==6 m
洛伦兹力提供粒子做圆周运动的向心力,即qvB=m
解得粒子的比荷==×107 C/kg≈8.3×106 C/kg。
(2)根据圆周运动规律可知周期T=
从N处离开磁场的粒子运动时间t=T
联立解得t≈1.9×10-4 s。
答案:(1)8.3×106 C/kg　(2)1.9×10-4 s
9.解析:(1)t=0时刻射出的粒子恰好从Q板右侧边缘离开电场,穿过电场的时间t==T,故粒子以速度v0沿平行极板方向离开电场。
粒子平行于x轴射入圆形磁场区域,由Bqv0=,解得r=d,
运动轨迹如图甲所示,根据几何关系,轨迹对应的圆心角为120°,则粒子在磁场中运动时间t'=T',又T'=,解得t'=。
(2)
由第(1)问得,t=0时刻进入极板的粒子从下极板边缘射入磁场,从M点射出时速度方向的偏转角为,即与x轴正方向的夹角为。
若粒子在t=T时刻进入电场,粒子将从上极板的边缘射入磁场,运动轨迹如图乙所示,
根据几何关系,轨迹对应圆心角为,从M点射出时速度方向的偏转角为,即与x轴正方向的夹角为,
所以粒子从M点离开磁场时与x轴正方向的夹角范围为~。
(3)在一个电场变化周期内,
在0~ 内进入电场的粒子都可以平行x轴以速度v0进入磁场,最终聚焦于M点,如图丙所示
到达M点的粒子占粒子源发射粒子总数的百分比η=×100%=×100%=25%。
答案:(1)　(2)~　(3)25%
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