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小升初典型奥数 容斥原理
1．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？
2．三年级一班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人？
3．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？
4．三（1）班参加跑步的有22人，参加跳绳的有26人，两项都参加的有10人，两项都没参加的有2人。三（1）班共有学生多少人？
5．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？
6．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？
7．阳光小学四（2）班的同学中有18人喜欢打乒乓球，15人喜欢打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？
8．全班有57人参加考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？
9．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？
10．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。
（1）两种语言都会讲的有多少人？
（2）只会讲中文的有多少人？
（3）只会讲英文的有多少人？
11．一只猴子摘了72个桃子，第一天吃了这堆桃子的，第二天吃了余下桃子的，第三天吃了余下桃子的，第四天吃了余下桃子的，第五天吃了余下桃子的一半，第六天这只猴子把余下的全部吃完了，第六天它吃了多少个桃子？
12．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？
13．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？
14．某学校的学生订阅报纸和杂志，订阅报纸的有152人，订阅杂志的有109人，两者都订阅的有30人，全校一共有多少人订阅报纸或杂志？
15．某矿业公司因市场调节需要，第二季度产量比第一季度减产二成五，第三季度计划增加产量3万吨，这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%，第一季度的产量是多少万吨？
16．为了提升道路交通安全意识，阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频，148名同学观看了“道路安全警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？
17．三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？
18．玲玲看一本书，第一天看了全书的20%．第二天看了余下页数的少10页，这时，已看的数与没看的页数的比是3：5．这本书有多少页？
19．小明对班上男生的体育爱好进行了调查，得到如图的数据。
根据如图给出的信息回答下面的问题：
一共调查了 　 　 人，喜欢足球的有 　 　 人，只喜欢篮球的有 　 　 人，两种球都喜欢的有 　 　 人。
20．订这两种报刊的同学共有多少人？
21．在一次测试中，三年一班有30人获得语文A，有32人获得数学A，其中语文、数学均获得A的有25人，三年一班共有多少名学生？
22．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？
23．三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人？
24．两根一样长的电线，第一根用去了18米，第二根用去了30米，第二根余下的米数正好是第一根余下米数的，这两根电线原来都长多少米？
25．六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？
26．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．
27．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？
28．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。
（1）至少选择其中一类课程的有多少人？
（2）这两类课程都没有选择的有多少人？
29．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？
30．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？
31．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？
32．有一个大西瓜，八戒吃了，剩下的西瓜沙僧吃了一半，另一半唐僧和悟空平均分着吃了．悟空吃了整个西瓜的几分之几？
33．如表是明明的课程表．明明这两天一共学习了几门课？
周一 周二 …
语文 数学 …
数学 语文
英语 科学
美术 音乐
体育 英语
34．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。
（1）请根据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。
（2）两种棋都会下的有多少人？
35．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发现：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位学生？
36．三一班有55名同学，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种．已知参加赛跑的有26人，参加跳绳的有38人，两项比赛都参加的有多少人？
37．有甲、乙两堆苹果，甲堆比乙堆少60千克，甲堆苹果卖出，乙堆苹果卖出，两堆苹果剩下的同样重，原来甲、乙两堆苹果各有多少千克？
38．张老师出了两道题，做对第一题的有15人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有9人，没有两题都做错的。这个班共有多少人？
39．两名小朋友一共订了几种报刊？
40．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？
41．101名学生去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？
42．四年级128名学生去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？
43．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
44．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？
45．学校文艺队有48人，每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人，既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人？
46．六（5）班有48人，其中的同学订阅了《英语辅导报》，的同学订阅了《数学报》，并且每人至少订阅了其中一种报纸．两种报纸都订阅的有多少人？
47．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？
48．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。
49．机床厂上半月完成生产计划的，下半月生产228台，结果超过计划的5%，计划生产多少台？
50．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．根据提供的材料你还能获取哪些信息？请补上一个问题，并解答．
51．甲，乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务，甲加工了总数的多30个，乙加工的零件数比总数的少15个，丙正好加工总数的一半．这批零件共有多少个？
52．五（2）班有60人，会打乒乓球的有30人，会踢足球的有20人，两种运动都不会的有15人，两种运动都会的有多少个人？
53．幸福社区举行端午节庆祝活动，参加包粽子大赛的有85人，参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人？
54．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？
55．摩托车越野赛的一段路程，前是平路，中间是上坡，后是下坡．甲车手由平路到上坡减速20%，由上坡到下坡加速20%，乙车手出发时的速度是甲车手平路速度的90%，一路速度不变．甲、乙两车手同时出发，谁先到达终点？
56．李文、张可、周凡、何思、王力、杨健6人跑步，王毅、张可，李明、王力、蔡英5人跳远。跑步和跳远的共有多少人？
57．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？
58．五（1）班一共有多少人？
59．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？
容斥原理
参考答案与试题解析
1．在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？
【答案】10人。
【分析】先用18加上22求出两者的和，这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次，然后减去总人数30就是既参加跳远又参加跳高的有多少人。
【解答】解：18+22﹣30
＝40﹣30
＝10（人）
答：既参加跳远又参加跳高的有10人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
2．三年级一班有12人参加了数学竞赛，有15人参加了语文竞赛，有4人两项竞赛都参加了，三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人？
【答案】23人。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝A+B﹣既A又B解答即可。
【解答】解：12+15﹣4
＝27﹣4
＝23（人）
答：三年级一班参加数学和语文竞赛的有23人。
【点评】本题考查了容斥原理，知识点是容斥原理一：总人数＝A+B﹣既A又B。
3．三（1）班每人至少订一份杂志，订《现代少年报》有24人，订《中国少年报》的有28人，两种杂志都订的有13人。三（1）班一共有多少人？
【答案】39人。
【分析】先用24加上28求出订《现代少年报》和订《中国少年报》的人数和，再减去两种杂志都订的13人（即重复计算的人数），就是三（1）班参加的总人数。
【解答】解：24+28﹣13
＝52﹣13
＝39（人）
答：三（1）班一共有39人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
4．三（1）班参加跑步的有22人，参加跳绳的有26人，两项都参加的有10人，两项都没参加的有2人。三（1）班共有学生多少人？
【答案】40人。
【分析】由题意，用（22+26）求出至少参加一项比赛的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是参加比赛的总人数，最后加上两项都没参加的人数；据此解答。
【解答】解：22+26﹣10+2
＝48﹣8
＝40（人）
答：三（1）班共有学生40人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B。
5．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？
【答案】47人。
【分析】先用30加上27求出两者的人数和，然后减去重叠的人数10即可。
【解答】解：30+27﹣10
＝57﹣10
＝47（人）
答：我们班有47人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
6．某小学共有学生540人，在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中，共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问，那么，既用文字又用语音提问的有多少人？
【答案】11人。
【分析】根据“提问的人中，有36人用文字进行了提问，25人用语音进行了提问”，可得两者的总人数：36+25＝61（人），再减去总人数50就是重复计算的人数，也就是既用文字又用语音提问的人数。
【解答】解：36+25﹣50
＝61﹣50
＝11（人）
答：既用文字又用语音提问的有11人。
【点评】本题是典型的容斥原理问题，关键是熟练掌握容斥原理的解题规律：既A又B＝（A+B）﹣总人数。
7．阳光小学四（2）班的同学中有18人喜欢打乒乓球，15人喜欢打羽毛球，9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人？
【答案】24人。
【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。
【解答】解：18+15﹣9
＝33﹣9
＝24（人）
答：全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有24人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
8．全班有57人参加考试，每人至少有一门课考100分，其中：语文考100分的有30人，数学考100分的有36人，英语考100分的有28人，两门都考100分的有52人．有多少人三门都考了100分？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥原理公式：A∩B∩C＝A∪B∪C﹣（A+B+C）﹣（A∩B+B∩C+A∩C），代入数据解答即可．
【解答】解：（30+36+28）﹣57﹣52
＝109﹣57﹣52
＝5（人）
答：有5人三门都考了100分．
【点评】本题考查了容斥原理2：三量重叠问题，即A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数．
9．学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？
【答案】16人。
【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。
【解答】解：12+9﹣5
＝21﹣5
＝16（人）
答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
10．某科研小组的32名科学家来自世界各地，其中会讲中文的有16人，会讲英文的有28人，每个人至少会讲中文或英文中的一种。
（1）两种语言都会讲的有多少人？
（2）只会讲中文的有多少人？
（3）只会讲英文的有多少人？
【答案】（1）12人；（2）4人；（3）16人。
【分析】（1）根据“既A又B＝A+B”﹣总数量解答即可。
（2）求只会讲中文的有多少人，用会讲中文的人数减去两种语言都会讲的人数。
（3）求只会讲英文的有多少人，用会讲英文的人数减去两种语言都会讲的人数。
【解答】解：（1）16+28﹣32
＝44﹣32
＝12（人）
答：两种语言都会讲的有12人。
（2）16﹣12＝4（人）
答：只会讲中文的有4人。
（3）28﹣12＝16（人）
答：只会讲英文的有16人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
11．一只猴子摘了72个桃子，第一天吃了这堆桃子的，第二天吃了余下桃子的，第三天吃了余下桃子的，第四天吃了余下桃子的，第五天吃了余下桃子的一半，第六天这只猴子把余下的全部吃完了，第六天它吃了多少个桃子？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，把猴子摘的桃子总数看作单位“1”，则第一天后剩余个数为：72﹣7260（个），然后第二天后剩余个数为：60﹣6048（个），第三天后剩余个数为：48﹣4836（个），第四天后剩余个数为：36﹣3624（个），第五天后剩余个数（即第六天吃的个数）：24﹣2412（个）．
【解答】解：第一天后剩余个数为：
72﹣72
＝72
＝60（个）
然后第二天后剩余个数为：
60﹣60
＝60
＝48（个）
第三天后剩余个数为：
48﹣48
＝48
＝36（个）
第四天后剩余个数为：
36﹣36
＝36
＝24（个）
第五天后剩余个数为（即第六天吃的个数）：
24﹣24
＝24
＝12（个）
答：第六天它吃了12个桃子．
【点评】本题主要考查分数的实际应用，关键根据题意，求出每天吃的个数及剩余个数．
12．参加某项活动的人员中有47人会说英语，有38人会说法语，两种都会的有22人，另外15人只会讲汉语．一共有多少人参加了活动？
【答案】见试题解答内容
【分析】用47加上38求出它们的和，这样两种都会的多算了一次，然后减去22就是至少会一种的英语和法语，然后再加上15即可．
【解答】解：47+38﹣22+15
＝63+15
＝78（人）
答：一共有78人参加了活动．
【点评】本题为基本的容斥原理题目，其公式为：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
13．劳动教育是新时代党对教育的新要求，是大中小学生必须参与的教育活动，光明小学组织“农田基地”劳动，40人参加“农田除杂草”劳动，25人参加“农田施肥”劳动，其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人？
【答案】55人。
【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和，减去两项都参加的10人即得总人数。
【解答】解：40+25﹣10
＝65﹣10
＝55（人）
答：参加这两项劳动的学生一共有55人。
【点评】解答依据是：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
14．某学校的学生订阅报纸和杂志，订阅报纸的有152人，订阅杂志的有109人，两者都订阅的有30人，全校一共有多少人订阅报纸或杂志？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，订阅报纸志以及订阅杂志的共有152+109＝261（人），又因为两者都订阅的有30人，因此，用261减去30即为所求．
【解答】解：152+109﹣30＝231（人）
答：全校一共有231人订阅报纸或杂志．
【点评】属于容斥原理的问题，即重叠问题，用总数减去重叠部分，即可解决问题．
15．某矿业公司因市场调节需要，第二季度产量比第一季度减产二成五，第三季度计划增加产量3万吨，这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%，第一季度的产量是多少万吨？
【答案】见试题解答内容
【分析】把第一季度的产量看成单位“1”，第二季度产量比第一季度减产二成五，那么第二季度的产量就是第一季度的1﹣25%＝75%，第三季度产量比第一季度增长﹣20%，也就是第三季度的产量是第一季度的1﹣20%＝80%，第三季度比第二季度增产了第一季度的（80%﹣75%），它对应的数量是3万吨，根据分数除法的意义，用3万吨除以这个分率即可求出第一季度的产量是多少万吨．
【解答】解：1﹣25%＝75%
1﹣20%＝80%
3÷（80%﹣75%）
＝3÷5%
＝60（万吨）
答：第一季度的产量是60万吨．
【点评】本题的关键是找出单位“1”，并找出数量对应了单位“1”的百分之几，用除法就可以求出单位“1”的量．
16．为了提升道路交通安全意识，阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示：有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频，148名同学观看了“道路安全警示”视频，而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频？
【答案】200名。
【分析】用观看了“一盔一带安全教育”视频的学生人数加上观看了“道路安全警示”视频的人数，然后再减去重叠部分的人数，也就是减去两个视频都观看的同学人数即可解题。
【解答】解：根据分析可得：
164+148﹣112
＝312﹣112
＝200（名）
答：本次活动一共有200名同学观看了视频。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
17．三（1）班有50人，每人至少参加一个小组，参加美术小组的有29人，参加书法小组的有27人，两个小组都参加的有多少人？
【答案】6人。
【分析】用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数，求出两者的总人数，这里面把两个小组都参加的人数多算了一次，所以再减去50，即可求出两个小组都参加的人数。
【解答】解：29+27﹣50
＝56﹣50
＝6（人）
答：两个小组都参加的有6人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
18．玲玲看一本书，第一天看了全书的20%．第二天看了余下页数的少10页，这时，已看的数与没看的页数的比是3：5．这本书有多少页？
【答案】见试题解答内容
【分析】把总页数看成单位“1”，第一天看了全书的20%，则余下了全书的（1﹣20%），第二天看了余下页数的少10页，
即第二天看的比全书的（1﹣20%）的少10页，若第二天多看10页，则两天就看了全书的20%+（1﹣20%），而实际已看的数与没看的页数的比是3：5，即实际看了全书的，这样10页就占全书的，用除法可求得这本书有多少页．
【解答】解：20%+（1﹣20%）
＝20%
10÷（）
＝10÷（）
＝10
＝80（页）
答：这本书有80页．
【点评】本题关键是找出单位“1”，并找出已知数量占单位“1”的几分之几，用除法就可以求出单位“1”的量．
19．小明对班上男生的体育爱好进行了调查，得到如图的数据。
根据如图给出的信息回答下面的问题：
一共调查了 　31　 人，喜欢足球的有 　25　 人，只喜欢篮球的有 　6　 人，两种球都喜欢的有 　8　 人。
【答案】31，25，6，8。
【分析】根据图示可得：喜欢足球的有25人，两项都喜欢的有8人，用喜欢篮球的人数减去两项都喜欢的人数就是只喜欢篮球的人数，然后把三项的人数相加，就是一共调查的人数。
【解答】解：两项都喜欢的有8人；
25﹣8＝17（人）
14﹣8＝6（人）
8+17+6＝31（人）
答：一共调查了31人，喜欢足球的有25人，只喜欢篮球的有6人，两种球都喜欢的有8人。
故答案为：31，25，6，8。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
20．订这两种报刊的同学共有多少人？
【答案】48人。
【分析】因为有8人两种刊物都订阅了，是重叠部分的人数，所以根据容斥原理求出参加订阅的人数是：32+24﹣8＝48（人），由此得出答案即可。
【解答】解：32+24﹣8＝48（人）
答：订这两种报刊的同学共有48人。
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
21．在一次测试中，三年一班有30人获得语文A，有32人获得数学A，其中语文、数学均获得A的有25人，三年一班共有多少名学生？
【答案】37名。
【分析】用获得语文A的人数加上获得数学A的人数，再减去语文、数学均获得A的人数，即可求出三年一班的学生人数。
【解答】解：30+32﹣25
＝62﹣25
＝37（名）
答：三年一班共有37名学生。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
22．学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四（4）班共有40名同学，每人至少参加一个兴趣小组，有24人参加科技小组，17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组？
【答案】1人。
【分析】根据容斥原理，参加科技小组的人数+参加书法小组的人数﹣总人数＝参加书法小组的人数。
【解答】解：24+17﹣40
＝41﹣40
＝1（人）
答：有1人参加了两个兴趣小组。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
23．三年级一班有45人，参加体育课外小组的有27人，参加音乐课外小组的有31人，每人至少参加一个课外小组，三年级一班两个课外小组都参加的有多少人？
【答案】13人。
【分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数＝两个课外小组都参加的人数。
【解答】解：27+31﹣45
＝58﹣45
＝13（人）
答：三年一班两个课外小组都参加的有13人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
24．两根一样长的电线，第一根用去了18米，第二根用去了30米，第二根余下的米数正好是第一根余下米数的，这两根电线原来都长多少米？
【答案】见试题解答内容
【分析】现在2根电线的长度差是30﹣18＝12米，第二根余下的米数正好是第一根余下米数的，即两者的比是2：3，那么一份的长度是12÷（3﹣2）＝12米，则第二根余下的米数是12×2＝24米，再加上30米即可．
【解答】解：（30﹣18）÷（3﹣2）
＝12÷1
＝12（米）
12×2+30
＝24+30
＝54（米）
答：这两根电线原来都长54米．
【点评】本题考查了比较复杂分数除法应用题，关键是求出第二根余下的米数；本题也可以求出第一根余下米数：（30﹣18）÷（1）＝36（米），再进一步解答．
25．六（1）班有45人，有的同学订了《小学生数学报》，有的同学订了《小学生语文学习》，两种报纸都订的至少有多少人？
【答案】7人。
【分析】先用总人数分别乘分率，求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知，订《小学生数学报》的人数+订《小学生语文学习》的人数﹣总人数＝两种报纸都订的人数。
【解答】解：4525（人）
4527（人）
25+27﹣45
＝52﹣45
＝7（人）
答：两种报纸都订的至少有7人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
26．四年级一班有46名学生参加3项课外活动．其中有24人参加了数学小组，20人参加了语文小组，参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍，又是3项活动都参加人数的7倍，既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍，既参加数学小组又参加语文小组的有10人．求参加文艺小组的人数．
【答案】见试题解答内容
【分析】设3项活动都参加的有x人，由题意可得下图：
由图可知，只参加数学的有24﹣10﹣x＝14﹣x人，只参加语文的有10﹣x人，只参加文艺的有4x人，数学+英语的有10﹣x人，数学+文艺的有x人，语文+文艺的有x人，语文+数学+文艺的有x人，根据他们的总人数是46列方程解答即可．
【解答】解：设3项活动都参加的有x人，由题意可得：
14﹣x+10﹣x+4x+10﹣x+x+x+x＝46
34﹣2x+4x+2x＝46
34+4x＝46
4x＝12
x＝3
3×7＝21（人）
答：参加文艺小组的有21人．
【点评】解答此题关键是把总人数分为三类：只参加1项的、参加2项的和参加3项的．
27．三（1）班同学参加书画比赛，参加书法比赛的有28人，参加绘画比赛的有25人，两项都参加的有4人，参加书画比赛的有多少人？
【答案】49人。
【分析】根据容斥原理，参加书法比赛的+参加绘画比赛的﹣两项都参加的＝参加书画比赛的人数。据此计算即可。
【解答】解：28+25﹣4
＝53﹣4
＝49（人）
答：参加书画比赛的有49人。
【点评】此题主要考查了二集合容斥原理，要熟练掌握。
28．学校为了丰富学生的校园生活，让学生的个性特长得到优质发展，本学期开设了多门选修课，五（3）班45名同学中，有26人选择了球类课程，有18人选择了舞蹈类课程，有10人这两类课程都选择了。
（1）至少选择其中一类课程的有多少人？
（2）这两类课程都没有选择的有多少人？
【答案】（1）34人；
（2）11人。
【分析】（1）至少选择其中一类课程的人数＝选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数；
（2）两类课程都没有选择的人数＝班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数，据此解答。
【解答】解：
（1）26+18﹣10
＝44﹣10
＝34（人）
答：至少选择其中一类课程的有34人。
（2）45﹣34＝11（人）
答：这两类课程都没有选择的有11人。
【点评】本题主要考查集合问题，分析清楚每个集合中包含与排除的关系是解答题目的关键。
29．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？
【答案】15千克。
【分析】由题意得香蕉的重量+梨的重量＝33千克，苹果的重量+梨的重量＝42千克，用（42﹣33）求出苹果比香蕉重9千克。已知苹果的重量+香蕉的重量＝39千克，据此计算出香蕉的重量即可。
【解答】解：42﹣33＝9（千克）
（39﹣9）÷2
＝30÷2
＝15（千克）
答：水果架上有15千克香蕉。
【点评】此题的关键是明确三种水果的重量关系，然后再进一步解答。
30．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？
【答案】8人。
【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。
【解答】解：19+21﹣36+4
＝40﹣36+4
＝8（人）
答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
31．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？
【答案】11人。
【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。
【解答】解：27+36﹣52
＝63﹣52
＝11（人）
答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。
32．有一个大西瓜，八戒吃了，剩下的西瓜沙僧吃了一半，另一半唐僧和悟空平均分着吃了．悟空吃了整个西瓜的几分之几？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这个西瓜的总量看作单位“1”，先求出八戒吃了后，剩余的西瓜的量，再求出剩下的西瓜沙僧吃了一半后，剩余的西瓜的量，最后除以2即可解答．
【解答】解：（1）
答：悟空吃了整个西瓜的．
【点评】本题的重点是确定单位“1”，根据求一个数的几分之几是多少解答．
33．如表是明明的课程表．明明这两天一共学习了几门课？
周一 周二 …
语文 数学 …
数学 语文
英语 科学
美术 音乐
体育 英语
【答案】见试题解答内容
【分析】周一共有5种，周二共有5种，其中语文、数学、英语三科重复，用5+5求出两周科目的和，再减去重复的3种即可．
【解答】解：5+5﹣3＝7（门）
答：明明这两天一共学习了7门课．
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B．
34．四（1）班有30人会下棋，会下象棋的有16人，会下围棋的有19人。
（1）请根据以上信息，把如图中各部分的人数填在括号里。
（2）两种棋都会下的有多少人？
【答案】（1）；（2）5人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数，求出两种棋都会下的有多少人，然后填写上边的图即可。
【解答】解：（1）如图所示：
（2）16+19﹣30
＝35﹣30
＝5（人）
答：两种棋都会下的有5人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
35．杨老师给1801班的同学出了两道思考题，批改后发现：全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有35人，两道题都做对的有15人，1801班一共有多少位学生？
【答案】48位。
【分析】根据容斥原理可知，第1题做对的人数+第2题做对的人数﹣两道题都做对的人数＝总人数。
【解答】解：28+35﹣15
＝63﹣15
＝48（位）
答：1801班一共有48位学生。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
36．三一班有55名同学，每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种．已知参加赛跑的有26人，参加跳绳的有38人，两项比赛都参加的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参加赛跑的人数+参加跳绳的人数﹣全班人数＝两项比赛都参加的人数，把数代入计算得：26+38﹣55＝9（人）．
【解答】解：26+38﹣55
＝64﹣55
＝9（人）
答：两项比赛都参加的有9人．
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，关键找对参加比赛的人和全班人数的关系．
37．有甲、乙两堆苹果，甲堆比乙堆少60千克，甲堆苹果卖出，乙堆苹果卖出，两堆苹果剩下的同样重，原来甲、乙两堆苹果各有多少千克？
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲堆有x千克，则乙甲堆有（x+60）千克，然后根据等量关系式：甲堆苹果原来的质量×（1）＝乙堆苹果原来的质量×（1），列方程解答即可．
【解答】解：设甲堆有x千克，则乙甲堆有（x+60）千克，
（1）x＝（x+60）×（1）
xx
x
x＝150
150+60＝210（千克）
答：原来甲、乙两堆苹果分别有150千克、210千克．
【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出基本数量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题．
38．张老师出了两道题，做对第一题的有15人，做对第二题的有24人，两道题都做对的有9人，没有两题都做错的。这个班共有多少人？
【答案】30人。
【分析】根据题干及题干中的分析，做对第一题的15个人里，有9个人也做对第二题，那么做对第二题的24个人里这9个人就又重复数了一次，因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数合起来，再减去重复数的这9个人；由此即可解决问题。
【解答】解：15+24﹣9
＝39﹣9
＝30（人）
答：这个班一共有30人。
故答案为：30人。
【点评】此题是一个典型的容斥问题，利用容斥原理解答即可．A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
39．两名小朋友一共订了几种报刊？
【答案】4种。
【分析】小强订了3种报刊，小丽订了3种报刊，其中重复了2种报刊，然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解：3+3﹣2＝4（种）
答：两名小朋友一共订了4种报刊。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B（两种情况）。
40．三年级（1）班有45名学生参加团体比赛，其中参加接力赛的有25人，参加拔河赛的有35人，既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人？
【答案】15人。
【分析】根据容斥原理，参加接力赛的人数+参加拔河赛的人数﹣总人数＝既参加接力赛又参加拔河赛的人数。
【解答】解：25+35﹣45
＝60﹣45
＝15（人）
答：既参加接力赛又参加拔河赛的有15人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
41．101名学生去春游，带矿泉水的有70人，带水果的有50人，每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人？
【答案】19人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解：70+50﹣101
＝120﹣101
＝19（人）
答：既带矿泉水又带水果的有19人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
42．四年级128名学生去铁道游击队影视城研学，带矿泉水的有68人，带水果的有88人，每人至少带一样，既带矿泉水又带水果的有多少人？
【答案】28人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解：68+88﹣128
＝156﹣128
＝28（人）
答：既带矿泉水又带水果的有28人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
43．三年级有108个小朋友去秋游，带矿泉水的有68人，带水果的有87人，每人至少带一种，三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人？
【答案】47人。
【分析】根据题意可知，带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数＝既带矿泉水又带水果的人数，依此列式并计算即可。
【解答】解：68+87﹣108
＝155﹣108
＝47（人）
答：三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
44．三（1）班订《数学报》的人数有27人，订《语文报》的人数有32人，两份都订的有15人，全班每人至少订一种报纸。三（1）班共有多少人？
【答案】44人。
【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数＝总人数，据此计算即可。
【解答】解：27+32﹣15
＝59﹣15
＝44（人）
答：三（1）班共有44人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。
45．学校文艺队有48人，每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人，既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人？
【答案】27人。
【分析】先用48减去30人求出只擅长跳舞的人数，然后再加上擅长唱歌又擅长跳舞的9人，就是擅长跳舞的有多少人。
【解答】解：48﹣30+9
＝18+9
＝27（人）
答：擅长跳舞的有27人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
46．六（5）班有48人，其中的同学订阅了《英语辅导报》，的同学订阅了《数学报》，并且每人至少订阅了其中一种报纸．两种报纸都订阅的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】把班级总人数看作单位“1”，用订了《英语辅导报》的占总人数的分率加订了《数学报》的占总人数的分率，再减去1，就是两种都订的人数至少占了总人数的几分之几，用48乘上这个分率即得两种报纸都订的有多少人．
【解答】解：48×（1）
＝48
＝16（人）
答：两种报纸都订阅的有16人．
【点评】本题考查了分数四则复合应用题，已知一个数求它的几分之几是多少，用乘法计算．
47．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？
【答案】68人。
【分析】先用50加38求出参观金丝猴馆和参观大象馆的共有的人数，然后去掉重复计算的人数即两个馆都参观的人数，就是去动物园的一共的人数；据此解答即可。
【解答】解：50+38﹣20
＝88﹣20
＝68（人）
答：去动物园的一共有68人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
48．学校的社团活动，三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人，参加绘画的有30人，两种活动都参加的有16人，三一班有多少人？算一算，填一填。
【答案】；39人。
【分析】先用25减去16求出只参加书法的人数，同理求出只参加绘画的人数，然后填图，再把三部分的人数相加即可。
【解答】解：25﹣16＝9（人）
30﹣16＝14（人）
9+14+16＝39（人）
答：三一班有39人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
49．机床厂上半月完成生产计划的，下半月生产228台，结果超过计划的5%，计划生产多少台？
【答案】见试题解答内容
【分析】把计划产量看作单位“1”，结果超过计划的5%，那么实际产量相当于计划产量的（1+5%），已知上半月完成计划的，下半月生产了228台．由此得：228台占计划产量的（1+5%），根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法解答．
【解答】解：228÷（1+5%）
＝228
＝360（台）
答：这个月计划生产360台．
【点评】本题考查了分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算．
50．杭城某小区共有143户住户，据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下：订阅《都市快报》的有80户，订阅《钱江晚报》的有75户，两种报纸都订的有25户．根据提供的材料你还能获取哪些信息？请补上一个问题，并解答．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为两种报纸都订的有25户是重叠部分的户数，所以根据容斥原理求出订阅的户数是：80+75﹣25＝130（户），而杭城某小区共有143户住户，则相差的143﹣130＝13（户）就是没有订报纸的户数，由此得出提出问题并解答即可．
【解答】解：可提出问题：没有订报纸的一共有多少户？
80+75﹣25＝130（户）
143﹣130＝13（户）
答：没有订报纸的一共有13户．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数．
51．甲，乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务，甲加工了总数的多30个，乙加工的零件数比总数的少15个，丙正好加工总数的一半．这批零件共有多少个？
【答案】见试题解答内容
【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”，那么根据已知条件，甲少加工30个，乙多加工15，那么就剩下（30﹣15）个零件，则它对应的分率是（1），由此根据分数除法的意义解答即可．
【解答】解：（30﹣15）÷（1）
＝15
＝300（个）
答：这批零件共有300个．
【点评】本题考查了比较复杂的分数除法应用题，关键是确定单位“1”，找到具体数量对应的分率；解答依据是：已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算．
52．五（2）班有60人，会打乒乓球的有30人，会踢足球的有20人，两种运动都不会的有15人，两种运动都会的有多少个人？
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出会打乒乓球球的人数与会游泳的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种运动都会的人数，所以再减去总人数，就是两种运动都会的人数．
【解答】解：30+20+15﹣60
＝65﹣60
＝5（人）
答：两种运动都会的有5个人．
【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数．
53．幸福社区举行端午节庆祝活动，参加包粽子大赛的有85人，参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人？
【答案】10人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解：60+85﹣135
＝145﹣135
＝10（人）
答：两项都参加的有10人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
54．五年级一班共48人，一次数学测试中做对第一题的有36人，做对第二题的有30人，每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人？
【答案】18人。
【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解：36+30﹣48
＝66﹣48
＝18（人）
答：两道题都做对的有18人。
【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。
55．摩托车越野赛的一段路程，前是平路，中间是上坡，后是下坡．甲车手由平路到上坡减速20%，由上坡到下坡加速20%，乙车手出发时的速度是甲车手平路速度的90%，一路速度不变．甲、乙两车手同时出发，谁先到达终点？
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲全程平路的时间为单位“1”，那么前面的平路，甲用时间为，甲车手由平路到上坡减速20%，上坡降速为平路的，即时间为平路的，就是的，即，由上坡到下坡加速20%，下坡为平路的，即时间为平路的，也就是的，即，全程为，乙的速度为甲平路的90%．即，那所需要时间是甲平路全程的，也就是所以甲用的时间少，乙用的时间多，甲先到．
【解答】解：甲时间：
（1﹣20%）（1+20%）
；
乙时间
1÷90%，
因为，
所以甲先到终点．
答：甲先到终点．
【点评】本题考查了分数百分数应用题，关键是设甲全程平路的时间为单位“1”，得出平路时甲用时间为，再得出上坡、下坡的时间与平路所用时间的关系．
56．李文、张可、周凡、何思、王力、杨健6人跑步，王毅、张可，李明、王力、蔡英5人跳远。跑步和跳远的共有多少人？
列式：　6+5﹣2＝9（人）　
【答案】6+5﹣2＝9（人）。
【分析】用6加5求出跑步和跳远的数量和，再减去重复计算的2人（张可、王力）即可。
【解答】解：6+5﹣2＝9（人）
答：步和跳远的共有9人。
故答案为：6+5﹣2＝9（人）。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
【答案】7种。
【分析】昨天进的货有5种，今天进的货有5种，相同的部分有3种，然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解：5+5﹣3
＝10﹣3
＝7（种）
答：两天一共进了7种货。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
57．同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参加的有40人．去动物园的一共有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可．
【解答】解：70+65﹣40
＝135﹣40
＝95（人）
答：去动物园的一共有95人．
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．
58．五（1）班一共有多少人？
【答案】48人。
【分析】根据容斥原理公式“总人数＝A+B﹣既A又B”解答即可。
【解答】解：32+24﹣8
＝56﹣8
＝48（人）
答：五（1）班一共有48人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。
59．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数．
【解答】解：28+25﹣40
＝53﹣40
＝13（人）
答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人．
【点评】本题题考查了容斥原理；知识点是：既A又B的人数＝（A+B）﹣总人数．
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