【小升初典型奥数】容斥原理(含解析)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

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【小升初典型奥数】容斥原理(含解析)-2024-2025学年六年级下册数学人教版

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小升初典型奥数 容斥原理
1.在校运动会上,共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人,参加跳高的有22人,既参加跳远又参加跳高的有多少人?
2.三年级一班有12人参加了数学竞赛,有15人参加了语文竞赛,有4人两项竞赛都参加了,三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人?
3.三(1)班每人至少订一份杂志,订《现代少年报》有24人,订《中国少年报》的有28人,两种杂志都订的有13人。三(1)班一共有多少人?
4.三(1)班参加跑步的有22人,参加跳绳的有26人,两项都参加的有10人,两项都没参加的有2人。三(1)班共有学生多少人?
5.我们班参入调查了饭后吃水果情况:30人喜欢吃苹果,27人喜欢吃梨,10人两种都喜欢,问我们班有多少人?
6.某小学共有学生540人,在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中,共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中,有36人用文字进行了提问,25人用语音进行了提问,那么,既用文字又用语音提问的有多少人?
7.阳光小学四(2)班的同学中有18人喜欢打乒乓球,15人喜欢打羽毛球,9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人?
8.全班有57人参加考试,每人至少有一门课考100分,其中:语文考100分的有30人,数学考100分的有36人,英语考100分的有28人,两门都考100分的有52人.有多少人三门都考了100分?
9.学校艺术节比赛,三(1)班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图,参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人?
10.某科研小组的32名科学家来自世界各地,其中会讲中文的有16人,会讲英文的有28人,每个人至少会讲中文或英文中的一种。
(1)两种语言都会讲的有多少人?
(2)只会讲中文的有多少人?
(3)只会讲英文的有多少人?
11.一只猴子摘了72个桃子,第一天吃了这堆桃子的,第二天吃了余下桃子的,第三天吃了余下桃子的,第四天吃了余下桃子的,第五天吃了余下桃子的一半,第六天这只猴子把余下的全部吃完了,第六天它吃了多少个桃子?
12.参加某项活动的人员中有47人会说英语,有38人会说法语,两种都会的有22人,另外15人只会讲汉语.一共有多少人参加了活动?
13.劳动教育是新时代党对教育的新要求,是大中小学生必须参与的教育活动,光明小学组织“农田基地”劳动,40人参加“农田除杂草”劳动,25人参加“农田施肥”劳动,其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人?
14.某学校的学生订阅报纸和杂志,订阅报纸的有152人,订阅杂志的有109人,两者都订阅的有30人,全校一共有多少人订阅报纸或杂志?
15.某矿业公司因市场调节需要,第二季度产量比第一季度减产二成五,第三季度计划增加产量3万吨,这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%,第一季度的产量是多少万吨?
16.为了提升道路交通安全意识,阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示:有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频,148名同学观看了“道路安全警示”视频,而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频?
17.三(1)班有50人,每人至少参加一个小组,参加美术小组的有29人,参加书法小组的有27人,两个小组都参加的有多少人?
18.玲玲看一本书,第一天看了全书的20%.第二天看了余下页数的少10页,这时,已看的数与没看的页数的比是3:5.这本书有多少页?
19.小明对班上男生的体育爱好进行了调查,得到如图的数据。
根据如图给出的信息回答下面的问题:
一共调查了     人,喜欢足球的有     人,只喜欢篮球的有     人,两种球都喜欢的有     人。
20.订这两种报刊的同学共有多少人?
21.在一次测试中,三年一班有30人获得语文A,有32人获得数学A,其中语文、数学均获得A的有25人,三年一班共有多少名学生?
22.学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四(4)班共有40名同学,每人至少参加一个兴趣小组,有24人参加科技小组,17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组?
23.三年级一班有45人,参加体育课外小组的有27人,参加音乐课外小组的有31人,每人至少参加一个课外小组,三年级一班两个课外小组都参加的有多少人?
24.两根一样长的电线,第一根用去了18米,第二根用去了30米,第二根余下的米数正好是第一根余下米数的,这两根电线原来都长多少米?
25.六(1)班有45人,有的同学订了《小学生数学报》,有的同学订了《小学生语文学习》,两种报纸都订的至少有多少人?
26.四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.
27.三(1)班同学参加书画比赛,参加书法比赛的有28人,参加绘画比赛的有25人,两项都参加的有4人,参加书画比赛的有多少人?
28.学校为了丰富学生的校园生活,让学生的个性特长得到优质发展,本学期开设了多门选修课,五(3)班45名同学中,有26人选择了球类课程,有18人选择了舞蹈类课程,有10人这两类课程都选择了。
(1)至少选择其中一类课程的有多少人?
(2)这两类课程都没有选择的有多少人?
29.便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果,苹果和香蕉共39千克,其中有33千克不是苹果,有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉?
30.五年级课后兴趣班有36人,其中喜欢踢足球的有19人,喜欢打篮球的有21人,既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人,那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人?
31.三年级(1)班有52人,喜欢喝牛奶的有27人,喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人?
32.有一个大西瓜,八戒吃了,剩下的西瓜沙僧吃了一半,另一半唐僧和悟空平均分着吃了.悟空吃了整个西瓜的几分之几?
33.如表是明明的课程表.明明这两天一共学习了几门课?
周一 周二 …
语文 数学 …
数学 语文
英语 科学
美术 音乐
体育 英语
34.四(1)班有30人会下棋,会下象棋的有16人,会下围棋的有19人。
(1)请根据以上信息,把如图中各部分的人数填在括号里。
(2)两种棋都会下的有多少人?
35.杨老师给1801班的同学出了两道思考题,批改后发现:全班每人至少做对一题,第1题做对的有28人,第2题做对的有35人,两道题都做对的有15人,1801班一共有多少位学生?
36.三一班有55名同学,每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种.已知参加赛跑的有26人,参加跳绳的有38人,两项比赛都参加的有多少人?
37.有甲、乙两堆苹果,甲堆比乙堆少60千克,甲堆苹果卖出,乙堆苹果卖出,两堆苹果剩下的同样重,原来甲、乙两堆苹果各有多少千克?
38.张老师出了两道题,做对第一题的有15人,做对第二题的有24人,两道题都做对的有9人,没有两题都做错的。这个班共有多少人?
39.两名小朋友一共订了几种报刊?
40.三年级(1)班有45名学生参加团体比赛,其中参加接力赛的有25人,参加拔河赛的有35人,既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人?
41.101名学生去春游,带矿泉水的有70人,带水果的有50人,每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人?
42.四年级128名学生去铁道游击队影视城研学,带矿泉水的有68人,带水果的有88人,每人至少带一样,既带矿泉水又带水果的有多少人?
43.三年级有108个小朋友去秋游,带矿泉水的有68人,带水果的有87人,每人至少带一种,三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人?
44.三(1)班订《数学报》的人数有27人,订《语文报》的人数有32人,两份都订的有15人,全班每人至少订一种报纸。三(1)班共有多少人?
45.学校文艺队有48人,每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人,既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人?
46.六(5)班有48人,其中的同学订阅了《英语辅导报》,的同学订阅了《数学报》,并且每人至少订阅了其中一种报纸.两种报纸都订阅的有多少人?
47.同学们到动物园游玩,参观金丝猴馆的有50人,参观大象馆的有38人,两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人?
48.学校的社团活动,三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人,参加绘画的有30人,两种活动都参加的有16人,三一班有多少人?算一算,填一填。
49.机床厂上半月完成生产计划的,下半月生产228台,结果超过计划的5%,计划生产多少台?
50.杭城某小区共有143户住户,据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下:订阅《都市快报》的有80户,订阅《钱江晚报》的有75户,两种报纸都订的有25户.根据提供的材料你还能获取哪些信息?请补上一个问题,并解答.
51.甲,乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务,甲加工了总数的多30个,乙加工的零件数比总数的少15个,丙正好加工总数的一半.这批零件共有多少个?
52.五(2)班有60人,会打乒乓球的有30人,会踢足球的有20人,两种运动都不会的有15人,两种运动都会的有多少个人?
53.幸福社区举行端午节庆祝活动,参加包粽子大赛的有85人,参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人?
54.五年级一班共48人,一次数学测试中做对第一题的有36人,做对第二题的有30人,每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人?
55.摩托车越野赛的一段路程,前是平路,中间是上坡,后是下坡.甲车手由平路到上坡减速20%,由上坡到下坡加速20%,乙车手出发时的速度是甲车手平路速度的90%,一路速度不变.甲、乙两车手同时出发,谁先到达终点?
56.李文、张可、周凡、何思、王力、杨健6人跑步,王毅、张可,李明、王力、蔡英5人跳远。跑步和跳远的共有多少人?
57.同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆.参观老虎馆的有70人,参观熊猫馆的有65人,两个馆都参加的有40人.去动物园的一共有多少人?
58.五(1)班一共有多少人?
59.四(1)班有40名学生,喜欢诵读古诗词的有28名,喜欢读数学故事的有25名,且每人至少喜欢其中的一种.既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人?
容斥原理
参考答案与试题解析
1.在校运动会上,共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人,参加跳高的有22人,既参加跳远又参加跳高的有多少人?
【答案】10人。
【分析】先用18加上22求出两者的和,这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次,然后减去总人数30就是既参加跳远又参加跳高的有多少人。
【解答】解:18+22﹣30
=40﹣30
=10(人)
答:既参加跳远又参加跳高的有10人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
2.三年级一班有12人参加了数学竞赛,有15人参加了语文竞赛,有4人两项竞赛都参加了,三年级一班参加数学和语文竞赛的有多人?
【答案】23人。
【分析】根据容斥原理公式:总人数=A+B﹣既A又B解答即可。
【解答】解:12+15﹣4
=27﹣4
=23(人)
答:三年级一班参加数学和语文竞赛的有23人。
【点评】本题考查了容斥原理,知识点是容斥原理一:总人数=A+B﹣既A又B。
3.三(1)班每人至少订一份杂志,订《现代少年报》有24人,订《中国少年报》的有28人,两种杂志都订的有13人。三(1)班一共有多少人?
【答案】39人。
【分析】先用24加上28求出订《现代少年报》和订《中国少年报》的人数和,再减去两种杂志都订的13人(即重复计算的人数),就是三(1)班参加的总人数。
【解答】解:24+28﹣13
=52﹣13
=39(人)
答:三(1)班一共有39人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可以借助图形解决问题。
4.三(1)班参加跑步的有22人,参加跳绳的有26人,两项都参加的有10人,两项都没参加的有2人。三(1)班共有学生多少人?
【答案】40人。
【分析】由题意,用(22+26)求出至少参加一项比赛的同学的总人数,再减去两项都参加的人数就是参加比赛的总人数,最后加上两项都没参加的人数;据此解答。
【解答】解:22+26﹣10+2
=48﹣8
=40(人)
答:三(1)班共有学生40人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:总数量=A+B﹣既A又B。
5.我们班参入调查了饭后吃水果情况:30人喜欢吃苹果,27人喜欢吃梨,10人两种都喜欢,问我们班有多少人?
【答案】47人。
【分析】先用30加上27求出两者的人数和,然后减去重叠的人数10即可。
【解答】解:30+27﹣10
=57﹣10
=47(人)
答:我们班有47人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
6.某小学共有学生540人,在一次自愿参加的线上心理辅导讲座活动中,共有50人向辅导老师进行了提问。提问的人中,有36人用文字进行了提问,25人用语音进行了提问,那么,既用文字又用语音提问的有多少人?
【答案】11人。
【分析】根据“提问的人中,有36人用文字进行了提问,25人用语音进行了提问”,可得两者的总人数:36+25=61(人),再减去总人数50就是重复计算的人数,也就是既用文字又用语音提问的人数。
【解答】解:36+25﹣50
=61﹣50
=11(人)
答:既用文字又用语音提问的有11人。
【点评】本题是典型的容斥原理问题,关键是熟练掌握容斥原理的解题规律:既A又B=(A+B)﹣总人数。
7.阳光小学四(2)班的同学中有18人喜欢打乒乓球,15人喜欢打羽毛球,9人既爱打乒乓球又爱打羽毛球。全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有多少人?
【答案】24人。
【分析】根据容斥原理公式:总人数=(A+B)﹣既A又B解答即可。
【解答】解:18+15﹣9
=33﹣9
=24(人)
答:全班喜欢打乒乓球和羽毛球的一共有24人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
8.全班有57人参加考试,每人至少有一门课考100分,其中:语文考100分的有30人,数学考100分的有36人,英语考100分的有28人,两门都考100分的有52人.有多少人三门都考了100分?
【答案】见试题解答内容
【分析】根据容斥原理公式:A∩B∩C=A∪B∪C﹣(A+B+C)﹣(A∩B+B∩C+A∩C),代入数据解答即可.
【解答】解:(30+36+28)﹣57﹣52
=109﹣57﹣52
=5(人)
答:有5人三门都考了100分.
【点评】本题考查了容斥原理2:三量重叠问题,即A类、B类与C类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数.
9.学校艺术节比赛,三(1)班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图,参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人?
【答案】16人。
【分析】根据容斥原理,把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加,再减去两项都参加的人数就是总人数。
【解答】解:12+9﹣5
=21﹣5
=16(人)
答:参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
10.某科研小组的32名科学家来自世界各地,其中会讲中文的有16人,会讲英文的有28人,每个人至少会讲中文或英文中的一种。
(1)两种语言都会讲的有多少人?
(2)只会讲中文的有多少人?
(3)只会讲英文的有多少人?
【答案】(1)12人;(2)4人;(3)16人。
【分析】(1)根据“既A又B=A+B”﹣总数量解答即可。
(2)求只会讲中文的有多少人,用会讲中文的人数减去两种语言都会讲的人数。
(3)求只会讲英文的有多少人,用会讲英文的人数减去两种语言都会讲的人数。
【解答】解:(1)16+28﹣32
=44﹣32
=12(人)
答:两种语言都会讲的有12人。
(2)16﹣12=4(人)
答:只会讲中文的有4人。
(3)28﹣12=16(人)
答:只会讲英文的有16人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
11.一只猴子摘了72个桃子,第一天吃了这堆桃子的,第二天吃了余下桃子的,第三天吃了余下桃子的,第四天吃了余下桃子的,第五天吃了余下桃子的一半,第六天这只猴子把余下的全部吃完了,第六天它吃了多少个桃子?
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意,把猴子摘的桃子总数看作单位“1”,则第一天后剩余个数为:72﹣7260(个),然后第二天后剩余个数为:60﹣6048(个),第三天后剩余个数为:48﹣4836(个),第四天后剩余个数为:36﹣3624(个),第五天后剩余个数(即第六天吃的个数):24﹣2412(个).
【解答】解:第一天后剩余个数为:
72﹣72
=72
=60(个)
然后第二天后剩余个数为:
60﹣60
=60
=48(个)
第三天后剩余个数为:
48﹣48
=48
=36(个)
第四天后剩余个数为:
36﹣36
=36
=24(个)
第五天后剩余个数为(即第六天吃的个数):
24﹣24
=24
=12(个)
答:第六天它吃了12个桃子.
【点评】本题主要考查分数的实际应用,关键根据题意,求出每天吃的个数及剩余个数.
12.参加某项活动的人员中有47人会说英语,有38人会说法语,两种都会的有22人,另外15人只会讲汉语.一共有多少人参加了活动?
【答案】见试题解答内容
【分析】用47加上38求出它们的和,这样两种都会的多算了一次,然后减去22就是至少会一种的英语和法语,然后再加上15即可.
【解答】解:47+38﹣22+15
=63+15
=78(人)
答:一共有78人参加了活动.
【点评】本题为基本的容斥原理题目,其公式为:A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数.
13.劳动教育是新时代党对教育的新要求,是大中小学生必须参与的教育活动,光明小学组织“农田基地”劳动,40人参加“农田除杂草”劳动,25人参加“农田施肥”劳动,其中两项都参加的有10人。参加这两项劳动的学生一共有多少人?
【答案】55人。
【分析】用参加“农田除杂草”劳动的40人加参加“农田施肥”劳动的25人的和,减去两项都参加的10人即得总人数。
【解答】解:40+25﹣10
=65﹣10
=55(人)
答:参加这两项劳动的学生一共有55人。
【点评】解答依据是:A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素的个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
14.某学校的学生订阅报纸和杂志,订阅报纸的有152人,订阅杂志的有109人,两者都订阅的有30人,全校一共有多少人订阅报纸或杂志?
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意,订阅报纸志以及订阅杂志的共有152+109=261(人),又因为两者都订阅的有30人,因此,用261减去30即为所求.
【解答】解:152+109﹣30=231(人)
答:全校一共有231人订阅报纸或杂志.
【点评】属于容斥原理的问题,即重叠问题,用总数减去重叠部分,即可解决问题.
15.某矿业公司因市场调节需要,第二季度产量比第一季度减产二成五,第三季度计划增加产量3万吨,这样第三季度产量比第一季度增长﹣20%,第一季度的产量是多少万吨?
【答案】见试题解答内容
【分析】把第一季度的产量看成单位“1”,第二季度产量比第一季度减产二成五,那么第二季度的产量就是第一季度的1﹣25%=75%,第三季度产量比第一季度增长﹣20%,也就是第三季度的产量是第一季度的1﹣20%=80%,第三季度比第二季度增产了第一季度的(80%﹣75%),它对应的数量是3万吨,根据分数除法的意义,用3万吨除以这个分率即可求出第一季度的产量是多少万吨.
【解答】解:1﹣25%=75%
1﹣20%=80%
3÷(80%﹣75%)
=3÷5%
=60(万吨)
答:第一季度的产量是60万吨.
【点评】本题的关键是找出单位“1”,并找出数量对应了单位“1”的百分之几,用除法就可以求出单位“1”的量.
16.为了提升道路交通安全意识,阳光小学对观看“一盔一带安全教育”与“道路安全警示”视频的情况进行了调查。调查结果显示:有164名同学观看了“一盔一带安全教育”视频,148名同学观看了“道路安全警示”视频,而两个视频都观看的同学达到了112名。本次活动一共有多少名同学观看了视频?
【答案】200名。
【分析】用观看了“一盔一带安全教育”视频的学生人数加上观看了“道路安全警示”视频的人数,然后再减去重叠部分的人数,也就是减去两个视频都观看的同学人数即可解题。
【解答】解:根据分析可得:
164+148﹣112
=312﹣112
=200(名)
答:本次活动一共有200名同学观看了视频。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
17.三(1)班有50人,每人至少参加一个小组,参加美术小组的有29人,参加书法小组的有27人,两个小组都参加的有多少人?
【答案】6人。
【分析】用参加美术小组的人数加上参加书法小组的人数,求出两者的总人数,这里面把两个小组都参加的人数多算了一次,所以再减去50,即可求出两个小组都参加的人数。
【解答】解:29+27﹣50
=56﹣50
=6(人)
答:两个小组都参加的有6人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
18.玲玲看一本书,第一天看了全书的20%.第二天看了余下页数的少10页,这时,已看的数与没看的页数的比是3:5.这本书有多少页?
【答案】见试题解答内容
【分析】把总页数看成单位“1”,第一天看了全书的20%,则余下了全书的(1﹣20%),第二天看了余下页数的少10页,
即第二天看的比全书的(1﹣20%)的少10页,若第二天多看10页,则两天就看了全书的20%+(1﹣20%),而实际已看的数与没看的页数的比是3:5,即实际看了全书的,这样10页就占全书的,用除法可求得这本书有多少页.
【解答】解:20%+(1﹣20%)
=20%
10÷()
=10÷()
=10
=80(页)
答:这本书有80页.
【点评】本题关键是找出单位“1”,并找出已知数量占单位“1”的几分之几,用除法就可以求出单位“1”的量.
19.小明对班上男生的体育爱好进行了调查,得到如图的数据。
根据如图给出的信息回答下面的问题:
一共调查了  31  人,喜欢足球的有  25  人,只喜欢篮球的有  6  人,两种球都喜欢的有  8  人。
【答案】31,25,6,8。
【分析】根据图示可得:喜欢足球的有25人,两项都喜欢的有8人,用喜欢篮球的人数减去两项都喜欢的人数就是只喜欢篮球的人数,然后把三项的人数相加,就是一共调查的人数。
【解答】解:两项都喜欢的有8人;
25﹣8=17(人)
14﹣8=6(人)
8+17+6=31(人)
答:一共调查了31人,喜欢足球的有25人,只喜欢篮球的有6人,两种球都喜欢的有8人。
故答案为:31,25,6,8。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
20.订这两种报刊的同学共有多少人?
【答案】48人。
【分析】因为有8人两种刊物都订阅了,是重叠部分的人数,所以根据容斥原理求出参加订阅的人数是:32+24﹣8=48(人),由此得出答案即可。
【解答】解:32+24﹣8=48(人)
答:订这两种报刊的同学共有48人。
【点评】本题依据了容斥原理公式之一:A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
21.在一次测试中,三年一班有30人获得语文A,有32人获得数学A,其中语文、数学均获得A的有25人,三年一班共有多少名学生?
【答案】37名。
【分析】用获得语文A的人数加上获得数学A的人数,再减去语文、数学均获得A的人数,即可求出三年一班的学生人数。
【解答】解:30+32﹣25
=62﹣25
=37(名)
答:三年一班共有37名学生。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
22.学校成立了科技和书法两个兴趣小组。四(4)班共有40名同学,每人至少参加一个兴趣小组,有24人参加科技小组,17人参加书法小组。有多少人参加了两个兴趣小组?
【答案】1人。
【分析】根据容斥原理,参加科技小组的人数+参加书法小组的人数﹣总人数=参加书法小组的人数。
【解答】解:24+17﹣40
=41﹣40
=1(人)
答:有1人参加了两个兴趣小组。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
23.三年级一班有45人,参加体育课外小组的有27人,参加音乐课外小组的有31人,每人至少参加一个课外小组,三年级一班两个课外小组都参加的有多少人?
【答案】13人。
【分析】参加体育课外小组的人数+参加音乐课外小组的人数﹣总人数=两个课外小组都参加的人数。
【解答】解:27+31﹣45
=58﹣45
=13(人)
答:三年一班两个课外小组都参加的有13人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
24.两根一样长的电线,第一根用去了18米,第二根用去了30米,第二根余下的米数正好是第一根余下米数的,这两根电线原来都长多少米?
【答案】见试题解答内容
【分析】现在2根电线的长度差是30﹣18=12米,第二根余下的米数正好是第一根余下米数的,即两者的比是2:3,那么一份的长度是12÷(3﹣2)=12米,则第二根余下的米数是12×2=24米,再加上30米即可.
【解答】解:(30﹣18)÷(3﹣2)
=12÷1
=12(米)
12×2+30
=24+30
=54(米)
答:这两根电线原来都长54米.
【点评】本题考查了比较复杂分数除法应用题,关键是求出第二根余下的米数;本题也可以求出第一根余下米数:(30﹣18)÷(1)=36(米),再进一步解答.
25.六(1)班有45人,有的同学订了《小学生数学报》,有的同学订了《小学生语文学习》,两种报纸都订的至少有多少人?
【答案】7人。
【分析】先用总人数分别乘分率,求出订两种报纸的分别有多少人。根据容斥原理可知,订《小学生数学报》的人数+订《小学生语文学习》的人数﹣总人数=两种报纸都订的人数。
【解答】解:4525(人)
4527(人)
25+27﹣45
=52﹣45
=7(人)
答:两种报纸都订的至少有7人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
26.四年级一班有46名学生参加3项课外活动.其中有24人参加了数学小组,20人参加了语文小组,参加文艺小组的人数是既参加数学小组又参加文艺小组人数的3.5倍,又是3项活动都参加人数的7倍,既参加文艺小组也参加语文小组的人数相当于3项都参加的人数的2倍,既参加数学小组又参加语文小组的有10人.求参加文艺小组的人数.
【答案】见试题解答内容
【分析】设3项活动都参加的有x人,由题意可得下图:
由图可知,只参加数学的有24﹣10﹣x=14﹣x人,只参加语文的有10﹣x人,只参加文艺的有4x人,数学+英语的有10﹣x人,数学+文艺的有x人,语文+文艺的有x人,语文+数学+文艺的有x人,根据他们的总人数是46列方程解答即可.
【解答】解:设3项活动都参加的有x人,由题意可得:
14﹣x+10﹣x+4x+10﹣x+x+x+x=46
34﹣2x+4x+2x=46
34+4x=46
4x=12
x=3
3×7=21(人)
答:参加文艺小组的有21人.
【点评】解答此题关键是把总人数分为三类:只参加1项的、参加2项的和参加3项的.
27.三(1)班同学参加书画比赛,参加书法比赛的有28人,参加绘画比赛的有25人,两项都参加的有4人,参加书画比赛的有多少人?
【答案】49人。
【分析】根据容斥原理,参加书法比赛的+参加绘画比赛的﹣两项都参加的=参加书画比赛的人数。据此计算即可。
【解答】解:28+25﹣4
=53﹣4
=49(人)
答:参加书画比赛的有49人。
【点评】此题主要考查了二集合容斥原理,要熟练掌握。
28.学校为了丰富学生的校园生活,让学生的个性特长得到优质发展,本学期开设了多门选修课,五(3)班45名同学中,有26人选择了球类课程,有18人选择了舞蹈类课程,有10人这两类课程都选择了。
(1)至少选择其中一类课程的有多少人?
(2)这两类课程都没有选择的有多少人?
【答案】(1)34人;
(2)11人。
【分析】(1)至少选择其中一类课程的人数=选择球类课程的人数+选择舞蹈类课程的人数﹣两类课程都选择的人数;
(2)两类课程都没有选择的人数=班级总人数﹣至少选择其中一类课程的人数,据此解答。
【解答】解:
(1)26+18﹣10
=44﹣10
=34(人)
答:至少选择其中一类课程的有34人。
(2)45﹣34=11(人)
答:这两类课程都没有选择的有11人。
【点评】本题主要考查集合问题,分析清楚每个集合中包含与排除的关系是解答题目的关键。
29.便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果,苹果和香蕉共39千克,其中有33千克不是苹果,有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉?
【答案】15千克。
【分析】由题意得香蕉的重量+梨的重量=33千克,苹果的重量+梨的重量=42千克,用(42﹣33)求出苹果比香蕉重9千克。已知苹果的重量+香蕉的重量=39千克,据此计算出香蕉的重量即可。
【解答】解:42﹣33=9(千克)
(39﹣9)÷2
=30÷2
=15(千克)
答:水果架上有15千克香蕉。
【点评】此题的关键是明确三种水果的重量关系,然后再进一步解答。
30.五年级课后兴趣班有36人,其中喜欢踢足球的有19人,喜欢打篮球的有21人,既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人,那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人?
【答案】8人。
【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数=喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。
【解答】解:19+21﹣36+4
=40﹣36+4
=8(人)
答:既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
31.三年级(1)班有52人,喜欢喝牛奶的有27人,喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人?
【答案】11人。
【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和,再减去三年级(1)班的总人数52就是重复计算的人数,也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。
【解答】解:27+36﹣52
=63﹣52
=11(人)
答:既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可以借助图形解决问题。
32.有一个大西瓜,八戒吃了,剩下的西瓜沙僧吃了一半,另一半唐僧和悟空平均分着吃了.悟空吃了整个西瓜的几分之几?
【答案】见试题解答内容
【分析】把这个西瓜的总量看作单位“1”,先求出八戒吃了后,剩余的西瓜的量,再求出剩下的西瓜沙僧吃了一半后,剩余的西瓜的量,最后除以2即可解答.
【解答】解:(1)
答:悟空吃了整个西瓜的.
【点评】本题的重点是确定单位“1”,根据求一个数的几分之几是多少解答.
33.如表是明明的课程表.明明这两天一共学习了几门课?
周一 周二 …
语文 数学 …
数学 语文
英语 科学
美术 音乐
体育 英语
【答案】见试题解答内容
【分析】周一共有5种,周二共有5种,其中语文、数学、英语三科重复,用5+5求出两周科目的和,再减去重复的3种即可.
【解答】解:5+5﹣3=7(门)
答:明明这两天一共学习了7门课.
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:总数量=A+B﹣既A又B.
34.四(1)班有30人会下棋,会下象棋的有16人,会下围棋的有19人。
(1)请根据以上信息,把如图中各部分的人数填在括号里。
(2)两种棋都会下的有多少人?
【答案】(1);(2)5人。
【分析】根据容斥原理公式:既A又B=(A+B)﹣总人数,求出两种棋都会下的有多少人,然后填写上边的图即可。
【解答】解:(1)如图所示:
(2)16+19﹣30
=35﹣30
=5(人)
答:两种棋都会下的有5人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
35.杨老师给1801班的同学出了两道思考题,批改后发现:全班每人至少做对一题,第1题做对的有28人,第2题做对的有35人,两道题都做对的有15人,1801班一共有多少位学生?
【答案】48位。
【分析】根据容斥原理可知,第1题做对的人数+第2题做对的人数﹣两道题都做对的人数=总人数。
【解答】解:28+35﹣15
=63﹣15
=48(位)
答:1801班一共有48位学生。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
36.三一班有55名同学,每人至少参加赛跑和跳绳比赛中的一种.已知参加赛跑的有26人,参加跳绳的有38人,两项比赛都参加的有多少人?
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意,利用容斥问题原理,有关系式:参加赛跑的人数+参加跳绳的人数﹣全班人数=两项比赛都参加的人数,把数代入计算得:26+38﹣55=9(人).
【解答】解:26+38﹣55
=64﹣55
=9(人)
答:两项比赛都参加的有9人.
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,关键找对参加比赛的人和全班人数的关系.
37.有甲、乙两堆苹果,甲堆比乙堆少60千克,甲堆苹果卖出,乙堆苹果卖出,两堆苹果剩下的同样重,原来甲、乙两堆苹果各有多少千克?
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲堆有x千克,则乙甲堆有(x+60)千克,然后根据等量关系式:甲堆苹果原来的质量×(1)=乙堆苹果原来的质量×(1),列方程解答即可.
【解答】解:设甲堆有x千克,则乙甲堆有(x+60)千克,
(1)x=(x+60)×(1)
xx
x
x=150
150+60=210(千克)
答:原来甲、乙两堆苹果分别有150千克、210千克.
【点评】此题考查列方程解应用题,关键是根据题意找出基本数量关系,设未知数为x,由此列方程解决问题.
38.张老师出了两道题,做对第一题的有15人,做对第二题的有24人,两道题都做对的有9人,没有两题都做错的。这个班共有多少人?
【答案】30人。
【分析】根据题干及题干中的分析,做对第一题的15个人里,有9个人也做对第二题,那么做对第二题的24个人里这9个人就又重复数了一次,因此把做对第一题的人数和做对第二题的人数合起来,再减去重复数的这9个人;由此即可解决问题。
【解答】解:15+24﹣9
=39﹣9
=30(人)
答:这个班一共有30人。
故答案为:30人。
【点评】此题是一个典型的容斥问题,利用容斥原理解答即可.A类与B类元素个数的总和=A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。
39.两名小朋友一共订了几种报刊?
【答案】4种。
【分析】小强订了3种报刊,小丽订了3种报刊,其中重复了2种报刊,然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解:3+3﹣2=4(种)
答:两名小朋友一共订了4种报刊。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:总数量=A+B﹣既A又B(两种情况)。
40.三年级(1)班有45名学生参加团体比赛,其中参加接力赛的有25人,参加拔河赛的有35人,既参加接力赛又参加拔河赛的有多少人?
【答案】15人。
【分析】根据容斥原理,参加接力赛的人数+参加拔河赛的人数﹣总人数=既参加接力赛又参加拔河赛的人数。
【解答】解:25+35﹣45
=60﹣45
=15(人)
答:既参加接力赛又参加拔河赛的有15人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
41.101名学生去春游,带矿泉水的有70人,带水果的有50人,每人至少带一样。既带矿泉水又带水果的有多少人?
【答案】19人。
【分析】根据容斥原理公式:既A又B=A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解:70+50﹣101
=120﹣101
=19(人)
答:既带矿泉水又带水果的有19人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
42.四年级128名学生去铁道游击队影视城研学,带矿泉水的有68人,带水果的有88人,每人至少带一样,既带矿泉水又带水果的有多少人?
【答案】28人。
【分析】根据容斥原理公式:既A又B=A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解:68+88﹣128
=156﹣128
=28(人)
答:既带矿泉水又带水果的有28人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
43.三年级有108个小朋友去秋游,带矿泉水的有68人,带水果的有87人,每人至少带一种,三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有多少人?
【答案】47人。
【分析】根据题意可知,带矿泉水的人数+带水果的人数﹣去秋游的总人数=既带矿泉水又带水果的人数,依此列式并计算即可。
【解答】解:68+87﹣108
=155﹣108
=47(人)
答:三年级既带矿泉水又带水果的小朋友有47人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
44.三(1)班订《数学报》的人数有27人,订《语文报》的人数有32人,两份都订的有15人,全班每人至少订一种报纸。三(1)班共有多少人?
【答案】44人。
【分析】订《数学报》的人数+订《语文报》的人数﹣两份都订的人数=总人数,据此计算即可。
【解答】解:27+32﹣15
=59﹣15
=44(人)
答:三(1)班共有44人。
【点评】此题主要考查了容斥原理的应用,要熟练掌握。
45.学校文艺队有48人,每个同学在唱歌和跳舞方面至少有一项擅长。擅长唱歌的有30人,既擅长唱歌又擅长跳舞的有9人。擅长跳舞的有多少人?
【答案】27人。
【分析】先用48减去30人求出只擅长跳舞的人数,然后再加上擅长唱歌又擅长跳舞的9人,就是擅长跳舞的有多少人。
【解答】解:48﹣30+9
=18+9
=27(人)
答:擅长跳舞的有27人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
46.六(5)班有48人,其中的同学订阅了《英语辅导报》,的同学订阅了《数学报》,并且每人至少订阅了其中一种报纸.两种报纸都订阅的有多少人?
【答案】见试题解答内容
【分析】把班级总人数看作单位“1”,用订了《英语辅导报》的占总人数的分率加订了《数学报》的占总人数的分率,再减去1,就是两种都订的人数至少占了总人数的几分之几,用48乘上这个分率即得两种报纸都订的有多少人.
【解答】解:48×(1)
=48
=16(人)
答:两种报纸都订阅的有16人.
【点评】本题考查了分数四则复合应用题,已知一个数求它的几分之几是多少,用乘法计算.
47.同学们到动物园游玩,参观金丝猴馆的有50人,参观大象馆的有38人,两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人?
【答案】68人。
【分析】先用50加38求出参观金丝猴馆和参观大象馆的共有的人数,然后去掉重复计算的人数即两个馆都参观的人数,就是去动物园的一共的人数;据此解答即可。
【解答】解:50+38﹣20
=88﹣20
=68(人)
答:去动物园的一共有68人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
48.学校的社团活动,三一班每个人都参加了书法或绘画活动。参加书法的有25人,参加绘画的有30人,两种活动都参加的有16人,三一班有多少人?算一算,填一填。
【答案】;39人。
【分析】先用25减去16求出只参加书法的人数,同理求出只参加绘画的人数,然后填图,再把三部分的人数相加即可。
【解答】解:25﹣16=9(人)
30﹣16=14(人)
9+14+16=39(人)
答:三一班有39人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
49.机床厂上半月完成生产计划的,下半月生产228台,结果超过计划的5%,计划生产多少台?
【答案】见试题解答内容
【分析】把计划产量看作单位“1”,结果超过计划的5%,那么实际产量相当于计划产量的(1+5%),已知上半月完成计划的,下半月生产了228台.由此得:228台占计划产量的(1+5%),根据已知一个数的几分之几是多少,求这个数,用除法解答.
【解答】解:228÷(1+5%)
=228
=360(台)
答:这个月计划生产360台.
【点评】本题考查了分数除法应用题,关键是确定单位“1”,找到具体数量对应的分率;解答依据是:已知一个数的几分之几是多少,求这个数用除法计算.
50.杭城某小区共有143户住户,据统计订阅《都市快报》和《钱江晚报》这两种报纸情况如下:订阅《都市快报》的有80户,订阅《钱江晚报》的有75户,两种报纸都订的有25户.根据提供的材料你还能获取哪些信息?请补上一个问题,并解答.
【答案】见试题解答内容
【分析】因为两种报纸都订的有25户是重叠部分的户数,所以根据容斥原理求出订阅的户数是:80+75﹣25=130(户),而杭城某小区共有143户住户,则相差的143﹣130=13(户)就是没有订报纸的户数,由此得出提出问题并解答即可.
【解答】解:可提出问题:没有订报纸的一共有多少户?
80+75﹣25=130(户)
143﹣130=13(户)
答:没有订报纸的一共有13户.
【点评】本题依据了容斥原理公式之一:A类B类元素个数总和=属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数.
51.甲,乙、丙三个车间共同完成一批零件的加工任务,甲加工了总数的多30个,乙加工的零件数比总数的少15个,丙正好加工总数的一半.这批零件共有多少个?
【答案】见试题解答内容
【分析】把这批零件的总个数看作单位“1”,那么根据已知条件,甲少加工30个,乙多加工15,那么就剩下(30﹣15)个零件,则它对应的分率是(1),由此根据分数除法的意义解答即可.
【解答】解:(30﹣15)÷(1)
=15
=300(个)
答:这批零件共有300个.
【点评】本题考查了比较复杂的分数除法应用题,关键是确定单位“1”,找到具体数量对应的分率;解答依据是:已知一个数的几分之几是多少,求这个数用除法计算.
52.五(2)班有60人,会打乒乓球的有30人,会踢足球的有20人,两种运动都不会的有15人,两种运动都会的有多少个人?
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出会打乒乓球球的人数与会游泳的人数和,再加上两样都不会的人数,这样就比全班的总人数多算了一次两种运动都会的人数,所以再减去总人数,就是两种运动都会的人数.
【解答】解:30+20+15﹣60
=65﹣60
=5(人)
答:两种运动都会的有5个人.
【点评】本题依据了容斥原理公式之一:既是A类又是B类的元素个数=属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数.
53.幸福社区举行端午节庆祝活动,参加包粽子大赛的有85人,参加划龙舟比赛的有60人。参加这两项活动的一共有135人。两项都参加的有多少人?
【答案】10人。
【分析】根据容斥原理公式:既A又B=A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解:60+85﹣135
=145﹣135
=10(人)
答:两项都参加的有10人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
54.五年级一班共48人,一次数学测试中做对第一题的有36人,做对第二题的有30人,每人至少做对一道题。两道题都做对的有多少人?
【答案】18人。
【分析】根据容斥原理公式:既A又B=A+B﹣总人数解答即可。
【解答】解:36+30﹣48
=66﹣48
=18(人)
答:两道题都做对的有18人。
【点评】本题是典型的容斥问题,解答规律是:既A又B=A+B﹣总数量(两种情况)。
55.摩托车越野赛的一段路程,前是平路,中间是上坡,后是下坡.甲车手由平路到上坡减速20%,由上坡到下坡加速20%,乙车手出发时的速度是甲车手平路速度的90%,一路速度不变.甲、乙两车手同时出发,谁先到达终点?
【答案】见试题解答内容
【分析】设甲全程平路的时间为单位“1”,那么前面的平路,甲用时间为,甲车手由平路到上坡减速20%,上坡降速为平路的,即时间为平路的,就是的,即,由上坡到下坡加速20%,下坡为平路的,即时间为平路的,也就是的,即,全程为,乙的速度为甲平路的90%.即,那所需要时间是甲平路全程的,也就是所以甲用的时间少,乙用的时间多,甲先到.
【解答】解:甲时间:
(1﹣20%)(1+20%)

乙时间
1÷90%,
因为,
所以甲先到终点.
答:甲先到终点.
【点评】本题考查了分数百分数应用题,关键是设甲全程平路的时间为单位“1”,得出平路时甲用时间为,再得出上坡、下坡的时间与平路所用时间的关系.
56.李文、张可、周凡、何思、王力、杨健6人跑步,王毅、张可,李明、王力、蔡英5人跳远。跑步和跳远的共有多少人?
列式: 6+5﹣2=9(人) 
【答案】6+5﹣2=9(人)。
【分析】用6加5求出跑步和跳远的数量和,再减去重复计算的2人(张可、王力)即可。
【解答】解:6+5﹣2=9(人)
答:步和跳远的共有9人。
故答案为:6+5﹣2=9(人)。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
【答案】7种。
【分析】昨天进的货有5种,今天进的货有5种,相同的部分有3种,然后根据容斥原理解答即可。
【解答】解:5+5﹣3
=10﹣3
=7(种)
答:两天一共进了7种货。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
57.同学们要到动物园去参观老虎馆和熊猫馆.参观老虎馆的有70人,参观熊猫馆的有65人,两个馆都参加的有40人.去动物园的一共有多少人?
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意,利用容斥问题原理,有关系式:参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数=去参观的总人数.把数代入计算即可.
【解答】解:70+65﹣40
=135﹣40
=95(人)
答:去动物园的一共有95人.
【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用.
58.五(1)班一共有多少人?
【答案】48人。
【分析】根据容斥原理公式“总人数=A+B﹣既A又B”解答即可。
【解答】解:32+24﹣8
=56﹣8
=48(人)
答:五(1)班一共有48人。
【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用,可借助图形解决问题。
59.四(1)班有40名学生,喜欢诵读古诗词的有28名,喜欢读数学故事的有25名,且每人至少喜欢其中的一种.既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人?
【答案】见试题解答内容
【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和,再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数.
【解答】解:28+25﹣40
=53﹣40
=13(人)
答:既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人.
【点评】本题题考查了容斥原理;知识点是:既A又B的人数=(A+B)﹣总人数.
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