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2024-2025学年上海市向明中学高二下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知两条直线“”是“直线与直线的夹角为”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线在点处的切线斜率小于零
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数在处取得极大值
D. 函数在区间内至多有两个零点
3.双曲线和的离心率分别为和，若满足，则下列说法正确是( )
A. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
B. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
C. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较开阔
D. 的渐近线斜率的绝对值较大，的开口较狭窄
4.设曲线在点处的切线为则以下说法正确的个数是( )与曲线可能没有交点；与曲线一定只有一个交点；与曲线不可能有且仅有两个交点；与曲线可能有无穷多个交点
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
二、填空题：本题共12小题，共60分。
5.已知集合，，则 ．
6.已知全集，，，则 ．
7.不等式的解集为，则 ．
8.设函数的导函数为，若，则 ．
9.已知圆与圆内切，则 ．
10.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则 ．
11.若函数的导函数为，则 ．
12.双曲线以椭圆的焦点为焦点，它的离心率是椭圆离心率的倍，求该双曲线的方程为 ．
13.已知集合，记，，若在上为严格增函数，则实数的取值范围是 ．
14.探照灯，汽车灯等很多灯具的反光镜是抛物面其纵断面是抛物线的一部分，正是利用了抛物线的光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射之后沿对称轴方向射出．根据光路可逆图，在平面直角坐标系中，抛物线，一条光线经过点，与轴平行射到抛物线上，经过两次反射后经过点射出，则光线从点到点经过的总路程为 ．
15.已知函数，若函数只有一个零点，则实数的取值范围为 ．
16.已知满足方程，则的取值范围为 ．
三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知曲线．
求曲线在处的切线方程；
求的极值．
18.本小题分
已知圆，动直线过点．
当直线与圆相切时，求直线的方程
若直线与圆相交于两点，求中点的轨迹方程．
19.本小题分
已知函数
若是函数的驻点，求实数的值；
当时，求函数的单调区间；
20.本小题分
如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点、，它们距离城市中心的距离均为是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路，如图所示，道路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，其中道路起点到东西方向主干道的距离为，线路段上的任意一点到的距离都相等，以为原点，线段所在直线为轴建立平面直角坐标系．
求道路的曲线方程；
现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置即确定点的坐标并写出最短距离．
21.本小题分
已知椭圆，依次连接椭圆的四个顶点构成的四边形面积为．
若，求椭圆的标准方程；
当时，设直线与椭圆交于、两点，设的中点为为坐标原点，直线的斜率分别为、，求证：为定值；
在第小题的前提下，设点为椭圆的右焦点，，若与的交点、均不与点重合，直线的斜率分别为，若，求的周长．
参考答案
1.
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7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.【详解】由题意可知：，则
因为曲线在处的切线的斜率为，
又因为，
所以曲线在处的切线方程：，
化简可得：．
因为，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为．

18.【详解】当直线斜率不存在时，显然直线与圆相切且切点为，
所以，对于另一条切线，若切点为，则，又
所以，由图知，直线的倾斜角的补角与互余，
所以直线的斜率为，故另一条切线方程为，即，
综上，直线的方程为或．
由知直线与圆相交于两点，则斜率必存在，
设，则，
所以，整理得，
当直线与圆相切于点时，直线的斜率为，其方程为：
，由，得，即切点，
对于的轨迹方程，当时，，
所以，且，
综上，的轨迹方程为且，

19.【详解】因为，
则，依题意，即，解得；
函数的定义域为，
又，
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
当时恒成立且仅在处等于，所以在上单调递增；
当时，
由，解得或，所以在，上单调递增，
由，解得，所以在上单调递减；
综上可得，
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为；
当时的单调递增为，无单调递减区间；
当时的单调递增区间为，，单调递减区间为．

20.【详解】根据题意，线路段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多，
则线路所在的曲线在定点为左右焦点的双曲线的右支上，且，
所以，且道路起点到东西方向主干道的距离为，
则线路所在的曲线方程为，即，
又由线路段上的任意一点到的距离都相等，则线路所在的曲线为以为圆心，为半径的圆，
其方程为，
故道路曲线方程为段：，段：．
设，又，则，
当点在线路上，由知，则，
可得当时，有最小值，且，
当点在线路上，由知，则，
又，则当时，有最小值，且，
因为，所以有最小值为，此时，则，
则点的坐标为，此时到的距离最小，最小距离为．

21.【详解】由已知得椭圆四个顶点构成的四边形面积为，
即，
，，
椭圆的标准方程为；
设直线的方程为，，，的中点为，
将椭圆方程与直线方程联立可得，
，即，
，，
；
设直线的方程为，，，
则，，故，
则
，
当时椭圆的方程为，
将椭圆方程与直线方程联立可得，
，即，
，，
即
，
故或，此时均满足，
若，则直线的方程为，此时直线恒过，
若，则直线的方程为，此时直线恒过，与题意矛盾，
点为椭圆的左焦点，
故的周长为．

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