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河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．以为渐近线的双曲线可以是（ ）
A． B．
C． D．
3．已知平面向量，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．某实验室的6名成员分别参加物理、化学、生物学科的学术研讨会，要求每个学科都有人参会，每人只能选择一科参会，物理学科至少2人参会，则不同的参会方案共有（ ）
A．630种 B．360种 C．240种 D．180种
6．某次跳水比赛甲、乙、丙、丁、戊5名跳水运动员进入跳水比赛决赛，现采用抽签法决定决赛跳水顺序，在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，函数，在上没有零点，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．记数列的前项和为，若，则的值不可能为（ ）
A．96 B．98 C．100 D．102
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量，则
B．测量重力加速度大小实验中所测g的值服从正态分布，则越大时，测得的g在间的概率越大
C．某次考试中有三道题，小黄同学做对每道题的概率均为，则他做对的题数的期望为2
D．已知某10个数据的平均值为7，方差为1.1，则加入一个数据7后方差变为1
10．在三棱锥中，已知为的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．长度的取值范围是
B．直线与平面所成的角为
C．若，则，所成的角为
D．若，则三棱锥外接球的表面积为
11．已知函数，则（ ）
A．
B．对任意实数
C．
D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则
三、填空题
12．已知实数满足，且，则 .
13．在的二项展开式中，常数项为 ．（用数字作答）
14．已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点（在第一象限），以为直径的圆与抛物线的准线相切于点.若为坐标原点，则的面积为 .
四、解答题
15．游泳是一种高效的锻炼方法，坚持游泳可以增强体质，提高免疫力．某游泳馆为了了解是否喜欢游泳与性别有关联，随机在某小区调查了200人，得到的数据如表所示：
性别 游泳 合计
喜欢 不喜欢
男 80 40 120
女 32 48 80
合计 112 88 200
(1)依据小概率值的独立性检验，能否认为是否喜欢游泳与性别有关联？
(2)为分析喜欢游泳的原因，在喜欢游泳的人中采用分层抽样的方法随机抽取7人，再从这7人中随机抽取3人进行调查，记随机变量X为这3人中女性的人数，求X的分布列与数学期望．
附：，其中．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
16．已知是等差数列的前n项和，且，.
(1)求；
(2)若数列满足，求数列前n项和，并证明.
17．如图，在圆锥中，平面是轴截面，为底面圆周上一点（与不重合），为的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的大小．
18．已知函数.
(1)当时，求的单调区间与极值；
(2)若恒成立，求的值；
(3)求证：.
19．已知椭圆的长轴长为，左、右焦点分别为，直线与交于P，Q两点，且满足（为坐标原点），当变化时，面积的最大值为．
(1)求的方程；
(2)证明：；
(3)过点和线段PQ的中点作一条直线与交于R，S两点，求四边形PRQS面积的取值范围．
河南省安鹤新联盟2024-2025学年高二下学期5月联考数学试卷参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B D B B A B D CD BD
题号 11
答案 ACD
1．C
【详解】由题意可得，
则.
故选：C.
2．B
【详解】对于A，由得渐近线方程为，故A错误；
对于B，由得渐近线方程为，故B正确；
对于C，由得渐近线方程为，故C错误；
对于D，由得渐近线方程为，故D错误.
故选：B.
3．D
【详解】.
故选：D.
4．B
【详解】由，得，即，
由，得，故，
则.
故选：B.
5．B
【详解】根据题意，物理学科2人参会，则化学和生物分别有1人和3人，各2人或3人和1人参会，
有种，
物理学科3人参会，则化学和生物分别有1人和2人，或2人和1人参会，
有种，
物理学科4人参会，则化学和生物分别有1人参会，
有种，
所以共有种不同的参会方案.
故选：B
6．A
【详解】“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”可分为甲最后一个出场或甲在中间出场，
方法数为，
在“运动员甲不是第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”的前提下，“运动员丙第一个出场”，
即“运动员丙第一个出场，运动员乙不是最后一个出场”，方法数为，
因此所求概率为．
故选：A．
7．B
【详解】当时，，若无解，则或；
当时，，若无解，则.
综上，实数的取值范围是.
故选：B.
8．D
【详解】当时，，设，
当时，，则，
即，所以，
时取等，故D错误；
若，，且，，，
此时；
若，，且，，，
此时.
故A，B，C正确.
故选：D.
9．CD
【详解】对于A，，，故A错误；
对于B，当为定值时，正态密度曲线的峰值与成反比，越大，峰值越低，测得的g越分散，即在间的概率越低，故B错误；
对于C，做对的题数X服从二项分布，故，故C正确；
对于D，，故D正确.
故选：CD.
10．BD
【详解】对于A，因为，为的中点，
所以，所以，所以，故A错误；
对于B，由题，易得，又平面，所以平面，
所以与平面所成的角为，故B正确；
对于C，因为，所以，所以，
又因为平面，所以平面，所以，故C错误；
对于D，如图，取的中点为F，连接，则，
由图形的对称性得，三棱锥外接球的球心必在的延长线上，
设，由，分别由勾股定理得，
所以，所以外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，故D正确．
故选：BD.
11．ACD
【详解】对A，，故A正确；
对B，，而，故B错误；
对C，，故C正确；
对D，，令，得，
当时，单调递增；当时，单调递减.
所以在处取得极小值1，
当时，；当时，.
恒成立，所以在上单调递增，
当；当.
所以函数的大致图象如图所示，

不妨设，由为偶函数可得，
直线与和的图象有三个交点，显然，
令，整理得，
解得或（舍去），
所以，即，
又因为，所以，故D正确.
故选：ACD.
12．
【详解】由可知，
所以，即，所以.
故答案为：.
13．
【详解】通项为，
故当时，常数项为.
故答案为：
14．
【详解】
依题意，得，则抛物线的方程为.
由题意可知与抛物线的准线垂直，
在中，，则，
则直线的方程为.
由消去并化简整理得：
易得，则，
又原点到直线的距离为，
故.
故答案为：.
15．(1)认为是否喜欢游泳与性别有关联
(2)分布列见解析，
【详解】（1）零假设为：是否喜欢游泳与性别无关联．
根据列联表中的数据，计算得到，
所以根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为是否喜欢游泳与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001．
（2）由题意可知抽取的男性有人，女性有人，
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，
且，，.
所以X的分布列为：
X 0 1 2
P
所以．
16．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）设等差数列的公差为d，则由题意得：
，即，解得，
故，故.
（2），
所以
，
因为，所以.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在圆锥中，平面，平面,所以，
因为为的中点，，所以，
因为，平面，所以平面．
（2）在平面内，过作交于点，分别以直线为轴建立空间直角坐标系，如图．
因为，所以，
由（1）知平面的一个法向量为．
又，所以．
设平面的法向量为，
则取，则．
所以，
所以平面与平面的夹角为．
18．(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）当时，，
则，
当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为，
在处取得极小值0，无极大值.
（2）由题意得，
①当时，，所以在上单调递增，
所以当时，，与矛盾；
②当时，当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以，
因为恒成立，所以.
记，
当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以.
又，所以，所以.
（3）先证，设，则，
所以在区间上单调递减，所以，即.
所以，再证.
由（2）可知，当时等号成立，
令，则，
即，
所以，
累加可得，
所以.
19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【详解】（1）设的半焦距为．
依题意得，所以，解得，
所以的方程为．
（2）设，
由消去得，
则，
，
因为，所以，
化简得，此时成立，证毕．
（3）设PQ的中点为，因为直线RS经过点和点，
所以不妨设，则．
．
由，得点的坐标为，
又，
所以代入的方程得，
化简得，则．
所以，
即四边形PRQS面积的取值范围为．

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