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高考数学高频易错押题预测 二项式定理
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 平和县校级期末）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（　　）
A．8 B．﹣8 C．28 D．﹣28
2．（2025 单县校级一模）若n是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（　　）
A．240 B．90 C．12 D．5376
3．（2025 海淀区校级模拟）在的展开式中，常数项为（　　）
A．12 B．6 C．﹣6 D．﹣12
4．（2025 盐城一模）在的展开式中，系数为整数的项数是（　　）
A．9 B．4 C．3 D．2
5．（2025 甘肃模拟）（x+2y）5的展开式中含x2y3项的系数为（　　）
A．10 B．40 C．80 D．120
6．（2025 德阳模拟）已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展开式中x4的系数为17．则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
7．（2025 冀州区模拟）若正整数a，b满足等式20232025＝2024a+b且b＜2024，则b＝（　　）
A．1 B．2 C．2022 D．2023
8．（2025 安顺模拟）（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．60
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 曲靖一模）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（　　）
A．n＝5
B．展开式中只有第三项的二项式系数最大
C．展开式中x4项的系数为1960
D．展开式中系数为有理数的项共有2项
（多选）10．（2025 辽宁模拟）已知f（x）＝（3x﹣7）10＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a10（x﹣2）10，则（　　）
A．a0＝410
B．a1﹣a2+a3﹣…﹣a10＝1﹣410
C．a1+a3+a5+a7+a9＝﹣512×1023
D．2a2+6a3+12a4+20a5+30a6+42a7+56a8+72a9+90a10＝405×29
（多选）11．（2024 江苏模拟）已知a，n∈N*，二项式（2x+1）n的展开式中有且只有一个系数最大的项，设这个项为第a项．则下列说法中错误的有（　　）
A．若a＝5，则n的取值集合为{15，16}
B．若n≥5，则a＞3
C．若a＞1，则对任意a∈N*，n始终有两个取值
D．n的值可以是20242023
（多选）12．（2024 九江三模）已知二项式，则（　　）
A．展开式中x8y﹣2的系数为45
B．展开式中二项式系数最大的项是第5项
C．展开式中各项系数之和为1
D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浙江模拟）的展开式中x2项的系数为 　 　．
14．（2025 沭阳县校级模拟）的展开式中x2y6的系数为 　 　（用数字作答）．
15．（2025 南京模拟）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 　 　．（用数字作答）
16．（2025 天津模拟）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的x2系数为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 深圳一模）已知（x+）n的展开式中共有9项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x4的系数；
（3）求二项式系数最大的项．
18．（2024 高碑店市校级模拟）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N+），若（2x﹣1）n的展开式中，　 　．
（1）求n的值；
（2）求x2的系数；
（3）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
19．（2024 顺庆区校级模拟）已知数列{an}的首项为1，记．
（1）若数列{an}是公比为3的等比数列，求F（﹣1，2020）的值；
（2）若数列{an}是公差为2的等差数列，
①求证：k＝n；
②求证：F（x，2020）是关于x的一次多项式．
20．（2024 黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1）．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用．由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）．对于n次复系数多项式，其中an﹣1，an﹣2，…，a0∈C，若方程f（x）＝0有n个复根x1，x2，…，xn，则有如下的高阶韦达定理：
（1）在复数域内解方程x2+4＝0；
（2）若三次方程x3+ax2+bx+c＝0的三个根分别是x1＝1﹣i，x2＝1+i，x3＝2（i为虚数单位），求a，b，c的值；
（3）在n≥4的多项式中，已知an﹣1＝﹣1，，a0＝a，a为非零实数，且方程f（x）＝0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n的式子表示）．
高考数学高频易错押题预测 二项式定理
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2024秋 平和县校级期末）在的二项展开式中，第3项的二项式系数是（　　）
A．8 B．﹣8 C．28 D．﹣28
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用二项式系数公式求解．
【解答】解：在的二项展开式中，第3项的二项式系数是．
故选：C．
【点评】本题考查二项式系数的求法，是基础题．
2．（2025 单县校级一模）若n是数据3，1，2，2，3，9，10，3的第75百分位数，则二项式的展开式的常数项是（　　）
A．240 B．90 C．12 D．5376
【考点】二项式定理的应用；百分位数．
【专题】对应思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】求数据中的第75百分位数得n＝6，利用二项式展开式通项求常数项即可．
【解答】解：将3，1，2，2，3，9，10，3按从小到大顺序排列得1，2，2，3，3，3，9，10，
由题设8×75%＝6，
则该组数据的第75百分位数为．
所以展开式通项为，
令，得r＝2，
则，
即二项式的展开式的常数项为240．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理相关知识，属于中档题．
3．（2025 海淀区校级模拟）在的展开式中，常数项为（　　）
A．12 B．6 C．﹣6 D．﹣12
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】直接利用二项式的展开式求出结果．
【解答】解：的展开式的通项Tr+1＝ x4﹣r （﹣）r＝（﹣）r x4﹣2r（r＝0，1，2，3，4），
令4﹣2r＝0，得r＝2，
所以展开式中的常数项为（﹣）2 ＝12．
故选：A．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
4．（2025 盐城一模）在的展开式中，系数为整数的项数是（　　）
A．9 B．4 C．3 D．2
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据二项式展开式的通项，即可求解．
【解答】解：二项式展开式的通项公式为：
，
因为，
所以k＝0，3，6，
所以系数为整数的项为：1，4，7，
故有3项．
故选：C．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，重点考查了二项式展开式的通项公式，属中档题．
5．（2025 甘肃模拟）（x+2y）5的展开式中含x2y3项的系数为（　　）
A．10 B．40 C．80 D．120
【考点】二项式定理．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】C
【分析】根据二项式定理运算即可．
【解答】解：由题意，（x+2y）5的展开式中含x2y3的项为x2（2y）3＝80x2y3．
故选：C．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
6．（2025 德阳模拟）已知（1+ax）（2﹣x）4（a∈R）的展开式中x4的系数为17．则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】二项展开式的通项与项的系数．
【专题】方程思想；定义法；二项式定理；运算求解．
【答案】A
【分析】先找到（2﹣x）4的展开式通项为，再由乘法分配律得展开式中x4的系数为1﹣8a，即可得解．
【解答】解：二项式（2﹣x）4的展开式的通项公式为，r＝0，1，2，3，4，
所以（1+ax）（2﹣x）4的展开式中x4为：，
则1﹣8a＝17，解得a＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
7．（2025 冀州区模拟）若正整数a，b满足等式20232025＝2024a+b且b＜2024，则b＝（　　）
A．1 B．2 C．2022 D．2023
【考点】二项式定理的应用．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】D
【分析】根据20232025＝（2024﹣1）2025，再结合二项式定理即可求解结论．
【解答】解：20232025＝（2024﹣1）2025
＝ 20242025﹣ 20242024+...+ 20242 （﹣1）2023+ 2024 （﹣1）2024+ （﹣1）2025
＝2024[ 20242024﹣ 20242023+...+ 20241 （﹣1）2023+ （﹣1）2024]﹣1
＝2024[ 20242024﹣ 20242023+...+ 20241 （﹣1）2023+ （﹣1）2024]﹣2024+2023
＝2024a+b，
故b＝2023．
故选：D．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．
8．（2025 安顺模拟）（x2+x+y）5的展开式中，x3y3的系数为（　　）
A．10 B．20 C．30 D．60
【考点】二项式定理．
【专题】方程思想；转化思想；排列组合．
【答案】B
【分析】利用二项式定理的通项公式即可得出．
【解答】解：（x2+x+y）5的展开式中，通项公式Tr+1＝y5﹣r（x2+x）r，
令5﹣r＝3，解得r＝2．
（x2+x）2＝x4+2x3+x2，
∴x3y3的系数为2×＝20，
故选：B．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 曲靖一模）若的展开式的各二项式系数之和为32，则（　　）
A．n＝5
B．展开式中只有第三项的二项式系数最大
C．展开式中x4项的系数为1960
D．展开式中系数为有理数的项共有2项
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】AC
【分析】直接利用二项式的展开式以及组合数的应用求出结果．
【解答】解：对于A：若的展开式的各二项式系数之和为32，故2n＝32，解得n＝5；故A正确；
对于B：由于n＝5，故展开式有6项，第3项和第4项的二项式的系数最大，故B错误；
对于C：由于二项式的展开式为（r＝0，1，2，3，4，5，6），令r＝4，故x4项的系数为1960，故C正确；
对于D：二项式的展开式中系数为有理数的项对应的r为偶数，共有3项，故D错误．
故选：AC．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 辽宁模拟）已知f（x）＝（3x﹣7）10＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a10（x﹣2）10，则（　　）
A．a0＝410
B．a1﹣a2+a3﹣…﹣a10＝1﹣410
C．a1+a3+a5+a7+a9＝﹣512×1023
D．2a2+6a3+12a4+20a5+30a6+42a7+56a8+72a9+90a10＝405×29
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】BCD
【分析】直接利用二项式的展开式和赋值法的应用求出结果．
【解答】解：由于f（x）＝（3x﹣7）10＝a0+a1（x﹣2）+a2（x﹣2）2+…+a10（x﹣2）10，
对于A：令x＝2，故（6﹣7）10＝a0＝1，故A错误；
对于B：令x＝1，故410＝a0﹣a1+a2+...+a10，①，整理得，故B正确；
对于C：令x＝3时，210＝a0+a1+...+a10，②，②﹣①得：，故C正确；
对于D：函数f（x）的两边求导得：10×3×（3x﹣7）9＝a1+2a2（x﹣2）+...+，
二次求导得：10×3×9×3（3x﹣7）8＝2a2+6a3（x﹣2）+...+90，
令x﹣2＝t＝1，故2a2+6a3+...+90a10＝405×29，故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，赋值法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
（多选）11．（2024 江苏模拟）已知a，n∈N*，二项式（2x+1）n的展开式中有且只有一个系数最大的项，设这个项为第a项．则下列说法中错误的有（　　）
A．若a＝5，则n的取值集合为{15，16}
B．若n≥5，则a＞3
C．若a＞1，则对任意a∈N*，n始终有两个取值
D．n的值可以是20242023
【考点】二项式定理．
【专题】函数思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】ABD
【分析】先列出不等式组，对二项式展开项中系数最大项，找到a和n的对应关系，从而对问题进行求解．
【解答】解：由已知得，，解得≤a≤，n∈N*，
因为展开式中有且只有一个系数最大的项，所以[，]（n∈N*）内有且只有一个整数，
若n＝3k，k∈N*，则[，]化为[k+，k+]，此时a＝k+1；
若n＝3k+1，k∈N，则[，]化为[k+，k+]，此时a＝k+1；
若n＝3k+2，k∈N，则[，]化为[k+1，k+2]，此时a＝k+1或k+2，不合题意，舍去；
对于A，a＝5时，由前述分析知，n＝12或13，故A错误；
对于B，n≥5时，n可取6或7，此时a＝3，故B错误；
对于C，由前述分析知，对任意的a＝k+1，n＝3k或3k+1，k∈N*，故C正确；
对于D，20242023＝（3×675﹣1）2023，故20242023被3除余2，由前述分析知不合题意，故D错误．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查二项式展开项中系数最大项的问题，属于中档题．
（多选）12．（2024 九江三模）已知二项式，则（　　）
A．展开式中x8y﹣2的系数为45
B．展开式中二项式系数最大的项是第5项
C．展开式中各项系数之和为1
D．展开式中系数最大的项是第5项或第7项
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】AD
【分析】由已知结合二项展开式式系数及系数的性质检验各选项即可判断．
【解答】解：因为Tr+1＝＝（﹣1）r×x10﹣ry﹣r，
A：令10﹣r＝8，即r＝2，展开式中x8y﹣2的系数为＝45，正确；
B：展开式共11项，故二项式系数最大的项为第6项，错误；
C：令x＝y＝1，则展开式各项系数和为0，错误；
D：当r为奇数时，系数为负，当r为偶数时，系数为正，
故展开式中，r＝4或r＝6系数最大项为第5或第7项，正确．
故选：AD．
【点评】本题主要考查了二项展开式系数及展开式系数的性质的应用，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 浙江模拟）的展开式中x2项的系数为 　80　．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】80．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2项的系数．
【解答】解：的展开式的通项公式为 Tr+1＝ （﹣1）r 25﹣r ，
令5﹣＝2，求得r＝2，可得展开式中x2项的系数为 23＝80，
故答案为：80．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．
14．（2025 沭阳县校级模拟）的展开式中x2y6的系数为 　﹣28　（用数字作答）．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】化简已知关系式为：，然后根据二项式定理求出展开式中含x2y6的项，由此即可求解．
【解答】解：由已知可得，
所以由二项式定理可得多项式的展开式中含x2y6的项为，
的展开式中x2y6的系数为﹣28．
故答案为：﹣28．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
15．（2025 南京模拟）在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中x的系数为 　7　．（用数字作答）
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】整体思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】7．
【分析】先由二项式定理求出n，然后结合二项式展开式的通项公式求解．
【解答】解：在二项式的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，
则n＝8，
则的展开式中，x的系数为＝7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了二项式定理，重点考查了二项式展开式的通项公式，属基础题．
16．（2025 天津模拟）在（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，则该展开式的x2系数为　18　．
【考点】二项式定理的应用．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】18．
【分析】依题意利用赋值法令x＝1，可求得a＝1，再利用二项展开式即可求得x2系数．
【解答】解：（ax﹣1）（2x﹣1）3的展开式中，若各项系数的和为0，
令x＝1，即（a﹣1）（2﹣1）3＝0，解得a＝1；
因此（x﹣1）（2x﹣1）3的展开式中含有x2的项为．
故答案为：18．
【点评】本题考查的知识点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 深圳一模）已知（x+）n的展开式中共有9项．
（1）求n的值；
（2）求展开式中x4的系数；
（3）求二项式系数最大的项．
【考点】二项式系数的性质；二项展开式的通项与项的系数．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；运算求解．
【答案】（1）8；
（2）112；
（3）1120．
【分析】（1）根据二项展开式的性质即可求解；
（2）根据通项公式即可求解结论；
（3）根据二项式系数的性质即可求解结论．
【解答】解：（1）由题意得n十1＝9，解得n＝8．
（2）由（1）可知（x+）8展开式的通项为 Tr+1＝ x8﹣r （）r ＝2r x8﹣2r，
令8﹣2r＝4，解得r＝2，
则T3＝22x4 ＝112x4．
故展开式中x4的系数为112．
（3）根据题意可得二项式系数最大的项为T5 ＝24x0＝1120．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
18．（2024 高碑店市校级模拟）在①只有第6项的二项式系数最大；②第4项与第8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为210，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
已知（2x﹣1）n＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+anxn（n∈N+），若（2x﹣1）n的展开式中，　①或②或③　．
（1）求n的值；
（2）求x2的系数；
（3）求|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【考点】二项式系数与二项式系数的和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；运算求解；结构不良题．
【答案】（1）10；
（2）180；
（3）59048．
【分析】（1）根据二项式系数的性质算出n的值；
（2）利用二项式展开式的通项公式列式，算出x2的系数；
（3）利用赋值法，取x＝0算出a0的值，然后取x＝﹣1代入计算，求得|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|的值．
【解答】解：（1）若选①，只有第6项的二项式系数最大，则展开式中有11项，即n＝10，
若选②，第4项与第8项的二项式系数相等，即，可得n＝3+7＝10，
若选③，所有二项式系数的和为210，即2n＝210，可得n＝10．
综上所述，不论取三个条件中哪个条件，n的值都为10；
（2）根据题意，可得（2x﹣1）n＝（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10，
设第r+1项为，其中r＝0，1， ，10，
取r＝8，得，故x2的系数a2＝180；
（3）由题意得（2x﹣1）10＝a0+a1x1+a2x2+a3x3+…+a10x10，
其中偶次方项系数为正数，奇次方项系数为负数，令x＝0，可得a0＝1，
再令x＝﹣1，可得310＝a0﹣a1+a2﹣a3+…+a10＝1+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|，
因此，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|＝＝59048．
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质、赋值法求多项式的系数和及其应用，属于基础题．
19．（2024 顺庆区校级模拟）已知数列{an}的首项为1，记．
（1）若数列{an}是公比为3的等比数列，求F（﹣1，2020）的值；
（2）若数列{an}是公差为2的等差数列，
①求证：k＝n；
②求证：F（x，2020）是关于x的一次多项式．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；证明题；转化思想；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）等比数列结合二项式定理可解决该问题；
（2）①利用组合数公式解决；
②利用二项式定理和①结论解决．
【解答】解：（1）由题意an＝3n﹣1，∴F（x，n）＝（1﹣x）n+（3x）（1﹣x）n﹣1+（3x）2（1﹣x）n﹣2+…+（3x）n＝（1+2x）n，
∴F（﹣1，2020）＝（1﹣2）2020＝1；
（2）①证明：k＝k＝n＝n；
②证明：∵数列{an}是公差为2的等差数列，∴an＝2n﹣1．则
F（x，n）＝a1（1﹣x）n+a2x（1﹣x）n﹣1+…+anxn﹣1 （1﹣x）+an+1xn
＝（1﹣x）n+（1+2）x（1﹣x）n﹣1+（1+4x2（1﹣x）n﹣2+…+（1+2n）xn
＝（1﹣x）n+x（1﹣x）n﹣1+x2（1﹣x）n﹣2+…+xn]+[2x（1﹣x）n﹣1+2x2（1﹣x）n﹣2+…+xn]
由二项式定理知，（1﹣x）n+x（1﹣x）n﹣1+x2（1﹣x）n﹣2+…+xn＝[（1﹣x）+x]n＝1．
又∵k＝n，∴x（1﹣x）n﹣1+x2（1﹣x）n﹣2+…+nxn
＝nx（1﹣x）n﹣1+nx2（1﹣x）n﹣2+…+nxn
＝nx[ （1﹣x）n﹣1+x（1﹣x）n﹣2+…+xn﹣1]
＝nx[（1﹣x）+x]n﹣1＝nx，
所以F（x，n）＝1+2nx，∴F（x，2020）＝1+4040x是关于x的一次多项式．
【点评】本题考查二项式定理、等差等比数列、组合数公式、一次函数、转化思想，考查数学运算能力及推理能力，属于难题．
20．（2024 黔南州二模）1799年，哥廷根大学的高斯在其博士论文中证明了如下定理：任何复系数一元n次多项式方程在复数域上至少有一根（n≥1）．此定理被称为代数基本定理，在代数乃至整个数学中起着基础作用．由此定理还可以推出以下重要结论：n次复系数多项式方程在复数域内有且只有n个根（重根按重数计算）．对于n次复系数多项式，其中an﹣1，an﹣2，…，a0∈C，若方程f（x）＝0有n个复根x1，x2，…，xn，则有如下的高阶韦达定理：
（1）在复数域内解方程x2+4＝0；
（2）若三次方程x3+ax2+bx+c＝0的三个根分别是x1＝1﹣i，x2＝1+i，x3＝2（i为虚数单位），求a，b，c的值；
（3）在n≥4的多项式中，已知an﹣1＝﹣1，，a0＝a，a为非零实数，且方程f（x）＝0的根恰好全是正实数，求出该方程的所有根（用含n的式子表示）．
【考点】二项式定理；类比推理；复数的运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；数系的扩充和复数；二项式定理；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）x＝±2i；
（2）a＝4，b＝6，c＝﹣4；
（3）．
【分析】（1）根据题意直接解方程即可；
（2）根据题意结合韦达定理分析运算求解；
（3）根据题意结合韦达定理可得x1+x2+ +xn＝1，结合不等式可得，由可得，结合不等式成立条件分析求解．
【解答】解：（1）由x2+4＝0，可得x2＝﹣4，解得x＝±2i．
（2）由题意可知：，
将x1＝1﹣i，x2＝1+i，x3＝2代入可得，
所以a＝4，b＝6，c＝﹣4．
（3）设，，
a1，a2，…an，b1，b2，…，bn＞0，
因为，当且仅当∥时，等号成立，
可得，
即，当且仅当时，等号成立，
因为方程的根恰好全是正实数，
设这n个正根分别为x1，x2，…，xn且an﹣1＝﹣1，，a0＝a，
由题意可知：，
因为x1+x2+ +xn＝1，且x1，x2，…，xn均为正数，
则
，
当且仅当时，等号成立，
又因为＝++…+＝＝n2，
即，
所以．
【点评】本题主要考查二项式定理，复数的运算，考查运算求解能力，属于难题．
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