资源简介

高考数学高频易错押题预测 复数
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆模拟）已知复数z满足i z＝2+2i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A．2+2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
2．（2025 五华区模拟）在复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点之间的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
3．（2025 浙江模拟）已知，则＝（　　）
A．10 B． C．5 D．
4．（2025 南京模拟）复数z满足＝i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数＝（　　）
A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i
5．（2025 碑林区校级模拟）已知复数，则在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2025 沭阳县校级模拟）若复数z满足（1+i）（z+i）＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
7．（2025 保定校级模拟）已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
8．（2025 山海关区模拟）复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 深圳模拟）在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．
C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1 z2＝0
D．若|z1|＝|z2|，则
（多选）10．（2025 盐城一模）设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（　　）
A．|z1|+|z2|＝|z1+z2|
B．
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若，则z1为纯虚数
（多选）11．（2025 新余一模）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+i，则（　　）
A．z1＜z2
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
（多选）12．（2025 漳州模拟）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（　　）
A．若z＝z1+z2，则
B．若z1，z2均不为0，则
C．若，则|z1z2|＝|z1z|
D．若，则z1 z2＝0
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湖南模拟）复数的虚部为 　 　．
14．（2025 昌黎县校级模拟）已知复数，则＝　 　．
15．（2025 甘肃模拟）已知i为虚数单位，则＝ 　 　．
16．（2025 泉州模拟）已知复数，则|z|＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数：z＝a+bi与＝a﹣bi（a，b∈R），我们把它们互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）z+＝2a∈R
（2）z﹣＝2bi（当b≠0时，为纯虚数）
（3）z＝ z∈R
（4）＝z
（5）z ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设z≠i，|z|＝1．求证：是实数；
（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求的值；
（3）设z＝x+yi，其中x，y是实数，当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．
18．（2024 大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1 z2 … zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；
（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．
19．（2024 西山区模拟）我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程．
代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．
即，其中k，m∈N*，k1+k2+…+km＝n，α1，α2，…，αm为方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1．
（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；
（2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．
（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；
（ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0＝1．
20．（2024 蜀山区校级模拟）计算：
（1）÷（1+i）2；
（2）（）3．
高考数学高频易错押题预测 复数
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 重庆模拟）已知复数z满足i z＝2+2i（i为虚数单位），则z＝（　　）
A．2+2i B．2﹣2i C．﹣2+2i D．﹣2﹣2i
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】由复数除法即可求解．
【解答】解：由i z＝2+2i，得．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
2．（2025 五华区模拟）在复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点之间的距离为（　　）
A．1 B． C．4 D．5
【考点】复数对应复平面中的点；复数的加、减运算及其几何意义．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】结合复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解．
【解答】解：复平面内，复数z1＝2+i，z2＝3﹣i对应的两点分别为（2，1），（3，﹣1），
则两点之间的距离为．
故选：B．
【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用，属于基础题．
3．（2025 浙江模拟）已知，则＝（　　）
A．10 B． C．5 D．
【考点】复数的除法运算；共轭复数；复数的乘法及乘方运算．
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】A
【分析】由已知结合乘积的模等于模的乘积求解．
【解答】解：由，得z＝（1+i）（﹣2﹣i），
∴．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
4．（2025 南京模拟）复数z满足＝i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数＝（　　）
A．1﹣i B．﹣1﹣i C．1+i D．﹣1+i
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：由＝i，得＝1﹣i，
则复数z的共轭复数＝1+i．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
5．（2025 碑林区校级模拟）已知复数，则在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：，
则z＝＝，
故，
所以在复平面上对应的点（）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
6．（2025 沭阳县校级模拟）若复数z满足（1+i）（z+i）＝2，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则化简求解．
【解答】解：由（1+i）（z+i）＝2，
得z+i＝，
则z＝1﹣2i，其虚部为﹣2．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
7．（2025 保定校级模拟）已知复数，其中i为虚数单位，则z的虚部为（　　）
A．3 B．﹣3 C．4 D．﹣4
【考点】复数的除法运算；复数的实部与虚部．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】C
【分析】根据复数的运算可得z＝3+4i，进而可得．
【解答】解：＝＝3+4i，由复数的概念可得z的虚部为4．
故选：C．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
8．（2025 山海关区模拟）复数在复平面内对应的点所在的象限为（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数对应复平面中的点．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数在复平面内对应的点的坐标即可．
【解答】解：＝，
则复数在复平面内对应的点的坐标为（，），所在的象限为第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 深圳模拟）在复平面内，复数z1、z2对应的向量分别为、，则下列说法不正确的是（　　）
A．
B．
C．若|z1﹣z2|＝|z1+z2|，则z1 z2＝0
D．若|z1|＝|z2|，则
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；复数的模；复数的乘法及乘方运算．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】ACD
【分析】举例即可判断ACD；根据复数的几何意义即可判断B．
【解答】解：在复平面内，复数Z1、Z2对应的向量分别为、，
设z1＝c+di，z2＝e+fi（c，d，e，f∈R），则，，
对于A、当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，，
则，故A错误；
对于B，|z1﹣z2|＝|（c﹣e）+（d﹣f）i|＝，
，
∴，故B正确；
对于C，当z1＝1，z2＝i时，，，
满足|z1﹣z2|＝|z1+z2|，但z1 z2＝i≠0，故C错误；
对于D，当z1＝1+i，z2＝1﹣i时，|z1|＝|z2|，
而，故D错误．
故选：ACD．
【点评】本题主要考查复数的基本运算，考查计算能力，属于中档题．
（多选）10．（2025 盐城一模）设z1，z2为复数，则下列说法中正确的有（　　）
A．|z1|+|z2|＝|z1+z2|
B．
C．若|z1|＝|z2|，则
D．若，则z1为纯虚数
【考点】共轭复数；复数的模．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】由z1＝1+i，z2＝1﹣i判断A，由z1＝1，z2＝i判断C；令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D．
【解答】解：对于A：对于z1＝1+i，z2＝1﹣i，则|z1+z2|＝2，故A错误；
对于B，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，则，，
所以＝，故B正确；
对于C：对于z1＝1，z2＝i，满足|z1|＝|z2|，显然，故C错误；
对于D，令z1＝a+bi，z2＝m+ni，且a，b，m，n∈R，
，
则，可得，即z1为纯虚数，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查复数的运算，共轭复数，复数的模的求法，属于中档题．
（多选）11．（2025 新余一模）已知复数z1＝1﹣2i，z2＝3+i，则（　　）
A．z1＜z2
B．
C．
D．在复平面内对应的点位于第四象限
【考点】复数对应复平面中的点；共轭复数；复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】BD
【分析】结合虚数不能比较大小，复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：虚数不能比较大小，故A错误；
复数z1＝1﹣2i，z2＝3+i，
则z1+z2＝4﹣i，，故B正确；
，，故C不正确；
复数z1＝1﹣2i，z2＝3+i，
则，在复平面内对应的点为，在第四象限，
故D都正确．
故选：BD．
【点评】本题主要考查复数模公式，复数的几何意义，共轭复数的定义，是基础题．
（多选）12．（2025 漳州模拟）已知复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，O为坐标原点，则（　　）
A．若z＝z1+z2，则
B．若z1，z2均不为0，则
C．若，则|z1z2|＝|z1z|
D．若，则z1 z2＝0
【考点】复数的代数表示法及其几何意义；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】AC
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，即可求解．
【解答】解：设z1＝a+bi（a，b∈R），z2＝c+di（c，d∈R），则，，
对于A，z＝z1+z2＝（a+c）+（b+d）i，，
则，即，所以A选项正确；
对于B，z1z2＝（ac﹣bd）+（bc+ad）i，
，，则，
则不一定恒成立，所以B选项不正确；
对于C，
＝，
即，即|z1z2|＝|z1z|，所以C选项正确；
对于D，若，
即，z1 z2不一定为0，所以D选项不正确．
故选：AC．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，向量的坐标运算，以及向量模公式，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湖南模拟）复数的虚部为 　　．
【考点】复数的除法运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据复数运算法则求z的代数形式，结合虚部定义求结论．
【解答】解：＝＝＝，
所以复数z的虚部为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的概念，属于基础题．
14．（2025 昌黎县校级模拟）已知复数，则＝　　．
【考点】复数的除法运算；共轭复数．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】先化简求出复数z，从而可求出其共轭复数．
【解答】解：因为，
所以．
故答案为：．
【点评】本题主要考查复数的运算，以及共轭复数的定义，属于基础题．
15．（2025 甘肃模拟）已知i为虚数单位，则＝ 　1+i　．
【考点】复数的除法运算．
【专题】对应思想；分析法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】1+i．
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可．
【解答】解：＝．
故答案为：1+i．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
16．（2025 泉州模拟）已知复数，则|z|＝ 　　．
【考点】复数的除法运算；复数的模．
【专题】对应思想；定义法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】．
【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解．
【解答】解：∵
＝，
∴|z|＝，
故答案为：．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2024 贵阳模拟）在复数集中有这样一类复数：z＝a+bi与＝a﹣bi（a，b∈R），我们把它们互称为共轭复数，b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质：
（1）z+＝2a∈R
（2）z﹣＝2bi（当b≠0时，为纯虚数）
（3）z＝ z∈R
（4）＝z
（5）z ．
（6）两个复数和、差、积、商（分母非零）的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
（1）设z≠i，|z|＝1．求证：是实数；
（2）已知|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，求的值；
（3）设z＝x+yi，其中x，y是实数，当|z|＝1时，求|z2﹣z+1|的最大值和最小值．
【考点】复数的运算；共轭复数；复数的模．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；
（2）＝﹣±i；
（3）|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．
【分析】（1）设z＝a+bi（a，b∈R），利用z ＝1，z+＝2a∈R，可证得是实数；
（2）设＝p+qi（p，q∈R），结合题意，可得关于p，q的方程组，解之即可；
（3）设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，依题意，可得|z2﹣z+1|＝|2cosθ﹣1|，从而可求得|z2﹣z+1|的最大值和最小值．
【解答】解：（1）证明：设z＝a+bi（a，b∈R），∵z≠i，|z|＝1，
∴z ＝1，z+＝2a∈R，
∴＝＝是实数；
（2）设＝p+qi（p，q∈R），
则z1＝（p+qi）z2，
∵|z1|＝3，|z2|＝5，|z1﹣z2|＝7，
∴3＝|z1|＝|（p+qi）||z2|＝5
∴p2+q2＝①；
又7＝|z1﹣z2|＝|（p+qi）z2﹣z2|＝|z2||（p﹣1）+qi|＝5，
∴（p﹣1）2+q2＝②；
联立①②，解得p＝﹣，q＝±，
∴＝﹣±i；
（3）∵|z|＝1，设z＝cosθ+isinθ，θ∈R，
则|z2﹣z+1|＝|z2﹣z+z |＝|z（z+﹣1）|＝|z||z+﹣1|＝|2cosθ﹣1|，
∵﹣1≤cosθ≤1，
∴﹣3≤2cosθ﹣1≤1，
∴|z2﹣z+1|max＝3，|z2﹣z+1|min＝0．
【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用，考查转化与化归思想及方程思想的综合运用，属于中档题．
18．（2024 大祥区校级模拟）高中教材必修第二册选学内容中指出：设复数z＝a+bi对应复平面内的点Z，设∠XOZ＝θ，|OZ|＝r，则任何一个复数z＝a+bi都可以表示成：z＝r（cosθ+isinθ）的形式，这种形式叫做复数三角形式，其中r是复数z的模，θ称为复数z的辐角，若0≤θ＜2π，则θ称为复数z的辐角主值，记为argz．复数有以下三角形式的运算法则：若zi＝ri（cosθi+isinθi），i＝1，2，…n，则：z1 z2 … zn＝r1r2…rn[cos（θ1+θ2+…+θn）+isin（θ1+θ2+…+θn）]，特别地，如果z1＝z2＝…zn＝r（cosθ+isinθ），那么[r（cosθ+isinθ）]n＝rn（cosnθ+isinnθ），这个结论叫做棣莫弗定理．请运用上述知识和结论解答下面的问题：
（1）求复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π）的模|z|和辐角主值argz（用θ表示）；
（2）设n≤2024，n∈N，若存在θ∈R满足（sinθ+icosθ）n＝sinnθ+icosnθ，那么这样的n有多少个？
（3）求和：S＝cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°．
【考点】复数的相等．
【专题】转化思想；综合法；数系的扩充和复数；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）|z|＝﹣2cos；argz＝．
（2）506．
（3）1017．
【分析】（1）根据给定条件，利用复数模及辐角主值的定义，结合三角变换求解即得．
（2）利用给定定理，结合诱导公式计算，再借助正余弦函数的周期性求解即可．
（3）令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+ +2034sin（2034×20°），利用等比数列及错位相减法求出S+iT，再利用复数相等即可得解．
【解答】解：（1）由复数z＝1+cosθ+isinθ，θ∈（π，2π），∈（，π），
得|z|＝＝＝＝﹣2cos，
∵1+cosθ＞0，sinθ＜0，∴，tan（argz）＝＝＝tan，
∵∈（，π），∈（），∴argz＝．
（2）由（sinθ+icosθ）n＝[cos（）+isin（﹣θ）]n＝cos（）+isin（﹣nθ），
∴cos（﹣nθ）+isin（）＝sinnθ+icosnθ，
∴，
∴，k∈Z，解得n＝4k+1，
∵n≤2024，n∈N，∴0≤4k+1≤2024，∴0≤k≤505，k∈Z，
∴符合条件的k有506个，
∴这样的n有506个．
（3）令ω＝cos20°+isin20°，而2034×20°＝113×360°，则ω2034＝1，
令T＝sin20°+2sin40°+3sin60°+ +2034sin（2034×20°），
则s+iT＝ω+2ω2+3ω3+ +2034ω2035，
两边同乘ω，得：
ω（S+iT）＝ω2+2ω3+3ω4+ +ω2034﹣2034ω2035
＝﹣2034ω2034 ω＝﹣2034ω，
∴S+iT＝﹣，
＝＝
＝＝﹣i，
∴S+iT＝﹣2034（﹣+），
∴S＝1017．
【点评】本题考查复数模、辐角主值的定义、三角变换、诱导公式、正余弦函数的周期性、等比数列、错位相减法、复数相等等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
19．（2024 西山区模拟）我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0（其中an≠0，n∈N*）称为一元n次多项式方程．
代数基本定理：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程（即a0，a1，a2，…，an为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何复系数一元n（n∈N*）次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根（重根按重数计算）．
那么我们由代数基本定理可知：任何复系数一元n（n∈N*）次多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为n个一元一次多项式的积．
即，其中k，m∈N*，k1+k2+…+km＝n，α1，α2，…，αm为方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的根．
进一步可以推出：在实系数范围内（即a0，a1，a2，…，an为实数），方程a0+a1x+a2x2+…+anxn＝0的有实数根，则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式．例如：观察可知，x＝1是方程x3﹣1＝0的一个根，则（x﹣1）一定是多项式x3﹣1的一个因式，即x3﹣1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），由待定系数法可知，a＝b＝c＝1．
（1）解方程：x3﹣2x+1＝0；
（2）设f（x）＝a0+a1x+a2x2+a3x3，其中a0，a1，a2，a3∈R+，且a0+a1+a2+a3＝1．
（i）分解因式：x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）；
（ii）记点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点．求证：当a1+2a2+3a3≤1时，x0＝1．
【考点】复数的代数形式与三角形式互化．
【答案】（1）x1＝1，，；
（2）（i）x﹣（a0+a1x+a2x2+a3x3）＝；
（ii）证明过程见解析．
【分析】（1）观察可知x＝1是方程x3﹣2x+1＝0的一个根，所以设x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c），对照可得a＝1，b＝1，c＝﹣1，得到（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即可求出方程的根；
（2）（i）x＝1是方程的一个根，所以设，对照可得a＝﹣a3，b＝（a0+a1）﹣1，c＝a0，从而可得出答案；
（ii）令f（x）﹣x＝0，故x0是方程的最小正实根，由（i）知，设，根据g（x）开口方向，结合g（0）＝﹣a0＜0，则g（x）一定有一正一负两个实根，设正实根为t，结合a1+2a2+3a3≤1时，g（1）≤0，故t≥1，得到x0＝1．
【解答】解：（1）观察可知：（x﹣1）是方程x3﹣2x+1＝0的一个根；…………1分
所以：x3﹣2x+1＝（x﹣1）（ax2+bx+c）＝ax3+（b﹣a）x2+（c﹣b）x﹣c，
由待定系数法可知，a＝1，b＝1，c＝﹣1；
所以（x﹣1）（x2+x﹣1）＝0，即x＝1或x2+x﹣1＝0，
则方程的根为x1＝1，，；…………4分
（2）（i）由a0+a1+a2+a3＝1可知：（x﹣1）是方程的一个根，
所以：，
由待定系数法可知，a＝﹣a3，b＝﹣（a2+a3）＝（a0+a1）﹣1，c＝a0，
所以＝；………………8分
（ii）令f（x）﹣x＝0，即，
点P（x0，y0）是y＝f（x）的图象与直线y＝x在第一象限内离原点最近的交点，
等价于x0是方程的最小正实根；……………10分
由（i）知：（x﹣1）是方程的一个正实根，
且，……12分
设，由a0，a1，a2，可知g（x）为开口向上的二次函数，
又因为g（0）＝﹣a0＜0，则g（x）一定有一正一负两个实根，设正实根为t，
又a0+a1+a2+a3＝1，可得a0＝1﹣（a1+a2+a3），
所以g（1）＝a3+（a2+a3）﹣a0＝3a3+2a2+a1﹣1，
当a1+2a2+3a3≤1时，g（1）≤0，
由二次函数单调性可知t≥1，即x＝1是方程的最小正实根．……………………17分
【点评】本题考查三次函数，解题关键是需要求解出三次函数的零点，可以先求出一个零点后将三次函数转化为二次函数再进行解题．
20．（2024 蜀山区校级模拟）计算：
（1）÷（1+i）2；
（2）（）3．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；运算求解．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
（2）根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：（1）÷（1+i）2＝
＝＝
＝
＝．
（2）＝＝＝．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
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