【高考押题卷】2025年高考数学高频易错考前冲刺 复数(含解析)

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【高考押题卷】2025年高考数学高频易错考前冲刺 复数(含解析)

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高考数学高频易错押题预测 复数
一.选择题(共8小题)
1.(2025 重庆模拟)已知复数z满足i z=2+2i(i为虚数单位),则z=(  )
A.2+2i B.2﹣2i C.﹣2+2i D.﹣2﹣2i
2.(2025 五华区模拟)在复平面内,复数z1=2+i,z2=3﹣i对应的两点之间的距离为(  )
A.1 B. C.4 D.5
3.(2025 浙江模拟)已知,则=(  )
A.10 B. C.5 D.
4.(2025 南京模拟)复数z满足=i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数=(  )
A.1﹣i B.﹣1﹣i C.1+i D.﹣1+i
5.(2025 碑林区校级模拟)已知复数,则在复平面上对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
6.(2025 沭阳县校级模拟)若复数z满足(1+i)(z+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为(  )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
7.(2025 保定校级模拟)已知复数,其中i为虚数单位,则z的虚部为(  )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
8.(2025 山海关区模拟)复数在复平面内对应的点所在的象限为(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2025 深圳模拟)在复平面内,复数z1、z2对应的向量分别为、,则下列说法不正确的是(  )
A.
B.
C.若|z1﹣z2|=|z1+z2|,则z1 z2=0
D.若|z1|=|z2|,则
(多选)10.(2025 盐城一模)设z1,z2为复数,则下列说法中正确的有(  )
A.|z1|+|z2|=|z1+z2|
B.
C.若|z1|=|z2|,则
D.若,则z1为纯虚数
(多选)11.(2025 新余一模)已知复数z1=1﹣2i,z2=3+i,则(  )
A.z1<z2
B.
C.
D.在复平面内对应的点位于第四象限
(多选)12.(2025 漳州模拟)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,则(  )
A.若z=z1+z2,则
B.若z1,z2均不为0,则
C.若,则|z1z2|=|z1z|
D.若,则z1 z2=0
三.填空题(共4小题)
13.(2025 湖南模拟)复数的虚部为    .
14.(2025 昌黎县校级模拟)已知复数,则=   .
15.(2025 甘肃模拟)已知i为虚数单位,则=    .
16.(2025 泉州模拟)已知复数,则|z|=    .
四.解答题(共4小题)
17.(2024 贵阳模拟)在复数集中有这样一类复数:z=a+bi与=a﹣bi(a,b∈R),我们把它们互称为共轭复数,b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称,这是共轭复数的特点.它们还有如下性质:
(1)z+=2a∈R
(2)z﹣=2bi(当b≠0时,为纯虚数)
(3)z= z∈R
(4)=z
(5)z .
(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共轭复数,分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商.
请根据所学复数知识,结合以上性质,完成下面问题:
(1)设z≠i,|z|=1.求证:是实数;
(2)已知|z1|=3,|z2|=5,|z1﹣z2|=7,求的值;
(3)设z=x+yi,其中x,y是实数,当|z|=1时,求|z2﹣z+1|的最大值和最小值.
18.(2024 大祥区校级模拟)高中教材必修第二册选学内容中指出:设复数z=a+bi对应复平面内的点Z,设∠XOZ=θ,|OZ|=r,则任何一个复数z=a+bi都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式,这种形式叫做复数三角形式,其中r是复数z的模,θ称为复数z的辐角,若0≤θ<2π,则θ称为复数z的辐角主值,记为argz.复数有以下三角形式的运算法则:若zi=ri(cosθi+isinθi),i=1,2,…n,则:z1 z2 … zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)],特别地,如果z1=z2=…zn=r(cosθ+isinθ),那么[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题:
(1)求复数z=1+cosθ+isinθ,θ∈(π,2π)的模|z|和辐角主值argz(用θ表示);
(2)设n≤2024,n∈N,若存在θ∈R满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的n有多少个?
(3)求和:S=cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°.
19.(2024 西山区模拟)我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn=0(其中an≠0,n∈N*)称为一元n次多项式方程.
代数基本定理:任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程(即a0,a1,a2,…,an为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算).
那么我们由代数基本定理可知:任何复系数一元n(n∈N*)次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.
即,其中k,m∈N*,k1+k2+…+km=n,α1,α2,…,αm为方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0的根.
进一步可以推出:在实系数范围内(即a0,a1,a2,…,an为实数),方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0的有实数根,则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式.例如:观察可知,x=1是方程x3﹣1=0的一个根,则(x﹣1)一定是多项式x3﹣1的一个因式,即x3﹣1=(x﹣1)(ax2+bx+c),由待定系数法可知,a=b=c=1.
(1)解方程:x3﹣2x+1=0;
(2)设f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,其中a0,a1,a2,a3∈R+,且a0+a1+a2+a3=1.
(i)分解因式:x﹣(a0+a1x+a2x2+a3x3);
(ii)记点P(x0,y0)是y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证:当a1+2a2+3a3≤1时,x0=1.
20.(2024 蜀山区校级模拟)计算:
(1)÷(1+i)2;
(2)()3.
高考数学高频易错押题预测 复数
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2025 重庆模拟)已知复数z满足i z=2+2i(i为虚数单位),则z=(  )
A.2+2i B.2﹣2i C.﹣2+2i D.﹣2﹣2i
【考点】复数的除法运算.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】B
【分析】由复数除法即可求解.
【解答】解:由i z=2+2i,得.
故选:B.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.
2.(2025 五华区模拟)在复平面内,复数z1=2+i,z2=3﹣i对应的两点之间的距离为(  )
A.1 B. C.4 D.5
【考点】复数对应复平面中的点;复数的加、减运算及其几何意义.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】B
【分析】结合复数的几何意义及两点间的距离公式即可求解.
【解答】解:复平面内,复数z1=2+i,z2=3﹣i对应的两点分别为(2,1),(3,﹣1),
则两点之间的距离为.
故选:B.
【点评】本题主要考查了复数的几何意义的应用,属于基础题.
3.(2025 浙江模拟)已知,则=(  )
A.10 B. C.5 D.
【考点】复数的除法运算;共轭复数;复数的乘法及乘方运算.
【专题】对应思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】A
【分析】由已知结合乘积的模等于模的乘积求解.
【解答】解:由,得z=(1+i)(﹣2﹣i),
∴.
故选:A.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.
4.(2025 南京模拟)复数z满足=i(i为虚数单位),则复数z的共轭复数=(  )
A.1﹣i B.﹣1﹣i C.1+i D.﹣1+i
【考点】复数的除法运算;共轭复数.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】C
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【解答】解:由=i,得=1﹣i,
则复数z的共轭复数=1+i.
故选:C.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
5.(2025 碑林区校级模拟)已知复数,则在复平面上对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义;共轭复数;复数的运算.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】C
【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,共轭复数的定义,以及复数的几何意义,即可求解.
【解答】解:,
则z==,
故,
所以在复平面上对应的点()位于第三象限.
故选:C.
【点评】本题主要考查复数的四则运算,共轭复数的定义,以及复数的几何意义,属于基础题.
6.(2025 沭阳县校级模拟)若复数z满足(1+i)(z+i)=2,其中i为虚数单位,则z的虚部为(  )
A.﹣1 B.1 C.﹣2 D.2
【考点】复数的除法运算.
【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】C
【分析】根据复数的运算法则化简求解.
【解答】解:由(1+i)(z+i)=2,
得z+i=,
则z=1﹣2i,其虚部为﹣2.
故选:C.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
7.(2025 保定校级模拟)已知复数,其中i为虚数单位,则z的虚部为(  )
A.3 B.﹣3 C.4 D.﹣4
【考点】复数的除法运算;复数的实部与虚部.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】C
【分析】根据复数的运算可得z=3+4i,进而可得.
【解答】解:==3+4i,由复数的概念可得z的虚部为4.
故选:C.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,是基础题.
8.(2025 山海关区模拟)复数在复平面内对应的点所在的象限为(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【考点】复数对应复平面中的点.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】B
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,求出复数在复平面内对应的点的坐标即可.
【解答】解:=,
则复数在复平面内对应的点的坐标为(,),所在的象限为第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2025 深圳模拟)在复平面内,复数z1、z2对应的向量分别为、,则下列说法不正确的是(  )
A.
B.
C.若|z1﹣z2|=|z1+z2|,则z1 z2=0
D.若|z1|=|z2|,则
【考点】复数的代数表示法及其几何意义;复数的模;复数的乘法及乘方运算.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】ACD
【分析】举例即可判断ACD;根据复数的几何意义即可判断B.
【解答】解:在复平面内,复数Z1、Z2对应的向量分别为、,
设z1=c+di,z2=e+fi(c,d,e,f∈R),则,,
对于A、当z1=1+i,z2=1﹣i时,,
则,故A错误;
对于B,|z1﹣z2|=|(c﹣e)+(d﹣f)i|=,

∴,故B正确;
对于C,当z1=1,z2=i时,,,
满足|z1﹣z2|=|z1+z2|,但z1 z2=i≠0,故C错误;
对于D,当z1=1+i,z2=1﹣i时,|z1|=|z2|,
而,故D错误.
故选:ACD.
【点评】本题主要考查复数的基本运算,考查计算能力,属于中档题.
(多选)10.(2025 盐城一模)设z1,z2为复数,则下列说法中正确的有(  )
A.|z1|+|z2|=|z1+z2|
B.
C.若|z1|=|z2|,则
D.若,则z1为纯虚数
【考点】共轭复数;复数的模.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】BD
【分析】由z1=1+i,z2=1﹣i判断A,由z1=1,z2=i判断C;令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,结合复数的相关概念及其加法、乘方运算判断B、D.
【解答】解:对于A:对于z1=1+i,z2=1﹣i,则|z1+z2|=2,故A错误;
对于B,令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,则,,
所以=,故B正确;
对于C:对于z1=1,z2=i,满足|z1|=|z2|,显然,故C错误;
对于D,令z1=a+bi,z2=m+ni,且a,b,m,n∈R,

则,可得,即z1为纯虚数,故D正确.
故选:BD.
【点评】本题考查复数的运算,共轭复数,复数的模的求法,属于中档题.
(多选)11.(2025 新余一模)已知复数z1=1﹣2i,z2=3+i,则(  )
A.z1<z2
B.
C.
D.在复平面内对应的点位于第四象限
【考点】复数对应复平面中的点;共轭复数;复数的模.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】BD
【分析】结合虚数不能比较大小,复数模公式,复数的几何意义,共轭复数的定义,即可求解.
【解答】解:虚数不能比较大小,故A错误;
复数z1=1﹣2i,z2=3+i,
则z1+z2=4﹣i,,故B正确;
,,故C不正确;
复数z1=1﹣2i,z2=3+i,
则,在复平面内对应的点为,在第四象限,
故D都正确.
故选:BD.
【点评】本题主要考查复数模公式,复数的几何意义,共轭复数的定义,是基础题.
(多选)12.(2025 漳州模拟)已知复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,则(  )
A.若z=z1+z2,则
B.若z1,z2均不为0,则
C.若,则|z1z2|=|z1z|
D.若,则z1 z2=0
【考点】复数的代数表示法及其几何意义;共轭复数.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】AC
【分析】根据已知条件,结合复数的四则运算,向量的坐标运算,以及向量模公式,即可求解.
【解答】解:设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则,,
对于A,z=z1+z2=(a+c)+(b+d)i,,
则,即,所以A选项正确;
对于B,z1z2=(ac﹣bd)+(bc+ad)i,
,,则,
则不一定恒成立,所以B选项不正确;
对于C,
=,
即,即|z1z2|=|z1z|,所以C选项正确;
对于D,若,
即,z1 z2不一定为0,所以D选项不正确.
故选:AC.
【点评】本题主要考查复数的四则运算,向量的坐标运算,以及向量模公式,属于基础题.
三.填空题(共4小题)
13.(2025 湖南模拟)复数的虚部为   .
【考点】复数的除法运算.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】见试题解答内容
【分析】根据复数运算法则求z的代数形式,结合虚部定义求结论.
【解答】解:===,
所以复数z的虚部为.
故答案为:.
【点评】本题主要考查复数的四则运算,以及虚部的概念,属于基础题.
14.(2025 昌黎县校级模拟)已知复数,则=  .
【考点】复数的除法运算;共轭复数.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】.
【分析】先化简求出复数z,从而可求出其共轭复数.
【解答】解:因为,
所以.
故答案为:.
【点评】本题主要考查复数的运算,以及共轭复数的定义,属于基础题.
15.(2025 甘肃模拟)已知i为虚数单位,则=  1+i .
【考点】复数的除法运算.
【专题】对应思想;分析法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】1+i.
【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简即可.
【解答】解:=.
故答案为:1+i.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,是基础题.
16.(2025 泉州模拟)已知复数,则|z|=   .
【考点】复数的除法运算;复数的模.
【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】.
【分析】由复数的乘除运算结合模长公式即可求解.
【解答】解:∵
=,
∴|z|=,
故答案为:.
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数模的求法,是基础题.
四.解答题(共4小题)
17.(2024 贵阳模拟)在复数集中有这样一类复数:z=a+bi与=a﹣bi(a,b∈R),我们把它们互称为共轭复数,b≠0时它们在复平面内的对应点关于实轴对称,这是共轭复数的特点.它们还有如下性质:
(1)z+=2a∈R
(2)z﹣=2bi(当b≠0时,为纯虚数)
(3)z= z∈R
(4)=z
(5)z .
(6)两个复数和、差、积、商(分母非零)的共轭复数,分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商.
请根据所学复数知识,结合以上性质,完成下面问题:
(1)设z≠i,|z|=1.求证:是实数;
(2)已知|z1|=3,|z2|=5,|z1﹣z2|=7,求的值;
(3)设z=x+yi,其中x,y是实数,当|z|=1时,求|z2﹣z+1|的最大值和最小值.
【考点】复数的运算;共轭复数;复数的模.
【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】(1)证明见解答;
(2)=﹣±i;
(3)|z2﹣z+1|max=3,|z2﹣z+1|min=0.
【分析】(1)设z=a+bi(a,b∈R),利用z =1,z+=2a∈R,可证得是实数;
(2)设=p+qi(p,q∈R),结合题意,可得关于p,q的方程组,解之即可;
(3)设z=cosθ+isinθ,θ∈R,依题意,可得|z2﹣z+1|=|2cosθ﹣1|,从而可求得|z2﹣z+1|的最大值和最小值.
【解答】解:(1)证明:设z=a+bi(a,b∈R),∵z≠i,|z|=1,
∴z =1,z+=2a∈R,
∴==是实数;
(2)设=p+qi(p,q∈R),
则z1=(p+qi)z2,
∵|z1|=3,|z2|=5,|z1﹣z2|=7,
∴3=|z1|=|(p+qi)||z2|=5
∴p2+q2=①;
又7=|z1﹣z2|=|(p+qi)z2﹣z2|=|z2||(p﹣1)+qi|=5,
∴(p﹣1)2+q2=②;
联立①②,解得p=﹣,q=±,
∴=﹣±i;
(3)∵|z|=1,设z=cosθ+isinθ,θ∈R,
则|z2﹣z+1|=|z2﹣z+z |=|z(z+﹣1)|=|z||z+﹣1|=|2cosθ﹣1|,
∵﹣1≤cosθ≤1,
∴﹣3≤2cosθ﹣1≤1,
∴|z2﹣z+1|max=3,|z2﹣z+1|min=0.
【点评】本题考查复数的运算及其性质的应用,考查转化与化归思想及方程思想的综合运用,属于中档题.
18.(2024 大祥区校级模拟)高中教材必修第二册选学内容中指出:设复数z=a+bi对应复平面内的点Z,设∠XOZ=θ,|OZ|=r,则任何一个复数z=a+bi都可以表示成:z=r(cosθ+isinθ)的形式,这种形式叫做复数三角形式,其中r是复数z的模,θ称为复数z的辐角,若0≤θ<2π,则θ称为复数z的辐角主值,记为argz.复数有以下三角形式的运算法则:若zi=ri(cosθi+isinθi),i=1,2,…n,则:z1 z2 … zn=r1r2…rn[cos(θ1+θ2+…+θn)+isin(θ1+θ2+…+θn)],特别地,如果z1=z2=…zn=r(cosθ+isinθ),那么[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ),这个结论叫做棣莫弗定理.请运用上述知识和结论解答下面的问题:
(1)求复数z=1+cosθ+isinθ,θ∈(π,2π)的模|z|和辐角主值argz(用θ表示);
(2)设n≤2024,n∈N,若存在θ∈R满足(sinθ+icosθ)n=sinnθ+icosnθ,那么这样的n有多少个?
(3)求和:S=cos20°+2cos40°+3cos60°+…+2034cos2034×20°.
【考点】复数的相等.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;逻辑思维;运算求解.
【答案】(1)|z|=﹣2cos;argz=.
(2)506.
(3)1017.
【分析】(1)根据给定条件,利用复数模及辐角主值的定义,结合三角变换求解即得.
(2)利用给定定理,结合诱导公式计算,再借助正余弦函数的周期性求解即可.
(3)令T=sin20°+2sin40°+3sin60°+ +2034sin(2034×20°),利用等比数列及错位相减法求出S+iT,再利用复数相等即可得解.
【解答】解:(1)由复数z=1+cosθ+isinθ,θ∈(π,2π),∈(,π),
得|z|====﹣2cos,
∵1+cosθ>0,sinθ<0,∴,tan(argz)===tan,
∵∈(,π),∈(),∴argz=.
(2)由(sinθ+icosθ)n=[cos()+isin(﹣θ)]n=cos()+isin(﹣nθ),
∴cos(﹣nθ)+isin()=sinnθ+icosnθ,
∴,
∴,k∈Z,解得n=4k+1,
∵n≤2024,n∈N,∴0≤4k+1≤2024,∴0≤k≤505,k∈Z,
∴符合条件的k有506个,
∴这样的n有506个.
(3)令ω=cos20°+isin20°,而2034×20°=113×360°,则ω2034=1,
令T=sin20°+2sin40°+3sin60°+ +2034sin(2034×20°),
则s+iT=ω+2ω2+3ω3+ +2034ω2035,
两边同乘ω,得:
ω(S+iT)=ω2+2ω3+3ω4+ +ω2034﹣2034ω2035
=﹣2034ω2034 ω=﹣2034ω,
∴S+iT=﹣,
==
==﹣i,
∴S+iT=﹣2034(﹣+),
∴S=1017.
【点评】本题考查复数模、辐角主值的定义、三角变换、诱导公式、正余弦函数的周期性、等比数列、错位相减法、复数相等等基础知识,考查运算求解能力,是难题.
19.(2024 西山区模拟)我们把a0+a1x+a2x2+…+anxn=0(其中an≠0,n∈N*)称为一元n次多项式方程.
代数基本定理:任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程(即a0,a1,a2,…,an为实数)在复数集内至少有一个复数根;由此推得,任何复系数一元n(n∈N*)次多项式方程在复数集内有且仅有n个复数根(重根按重数计算).
那么我们由代数基本定理可知:任何复系数一元n(n∈N*)次多项式在复数集内一定可以分解因式,转化为n个一元一次多项式的积.
即,其中k,m∈N*,k1+k2+…+km=n,α1,α2,…,αm为方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0的根.
进一步可以推出:在实系数范围内(即a0,a1,a2,…,an为实数),方程a0+a1x+a2x2+…+anxn=0的有实数根,则多项式a0+a1x+a2x2+…+anxn必可分解因式.例如:观察可知,x=1是方程x3﹣1=0的一个根,则(x﹣1)一定是多项式x3﹣1的一个因式,即x3﹣1=(x﹣1)(ax2+bx+c),由待定系数法可知,a=b=c=1.
(1)解方程:x3﹣2x+1=0;
(2)设f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3,其中a0,a1,a2,a3∈R+,且a0+a1+a2+a3=1.
(i)分解因式:x﹣(a0+a1x+a2x2+a3x3);
(ii)记点P(x0,y0)是y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点.求证:当a1+2a2+3a3≤1时,x0=1.
【考点】复数的代数形式与三角形式互化.
【答案】(1)x1=1,,;
(2)(i)x﹣(a0+a1x+a2x2+a3x3)=;
(ii)证明过程见解析.
【分析】(1)观察可知x=1是方程x3﹣2x+1=0的一个根,所以设x3﹣2x+1=(x﹣1)(ax2+bx+c),对照可得a=1,b=1,c=﹣1,得到(x﹣1)(x2+x﹣1)=0,即可求出方程的根;
(2)(i)x=1是方程的一个根,所以设,对照可得a=﹣a3,b=(a0+a1)﹣1,c=a0,从而可得出答案;
(ii)令f(x)﹣x=0,故x0是方程的最小正实根,由(i)知,设,根据g(x)开口方向,结合g(0)=﹣a0<0,则g(x)一定有一正一负两个实根,设正实根为t,结合a1+2a2+3a3≤1时,g(1)≤0,故t≥1,得到x0=1.
【解答】解:(1)观察可知:(x﹣1)是方程x3﹣2x+1=0的一个根;…………1分
所以:x3﹣2x+1=(x﹣1)(ax2+bx+c)=ax3+(b﹣a)x2+(c﹣b)x﹣c,
由待定系数法可知,a=1,b=1,c=﹣1;
所以(x﹣1)(x2+x﹣1)=0,即x=1或x2+x﹣1=0,
则方程的根为x1=1,,;…………4分
(2)(i)由a0+a1+a2+a3=1可知:(x﹣1)是方程的一个根,
所以:,
由待定系数法可知,a=﹣a3,b=﹣(a2+a3)=(a0+a1)﹣1,c=a0,
所以=;………………8分
(ii)令f(x)﹣x=0,即,
点P(x0,y0)是y=f(x)的图象与直线y=x在第一象限内离原点最近的交点,
等价于x0是方程的最小正实根;……………10分
由(i)知:(x﹣1)是方程的一个正实根,
且,……12分
设,由a0,a1,a2,可知g(x)为开口向上的二次函数,
又因为g(0)=﹣a0<0,则g(x)一定有一正一负两个实根,设正实根为t,
又a0+a1+a2+a3=1,可得a0=1﹣(a1+a2+a3),
所以g(1)=a3+(a2+a3)﹣a0=3a3+2a2+a1﹣1,
当a1+2a2+3a3≤1时,g(1)≤0,
由二次函数单调性可知t≥1,即x=1是方程的最小正实根.……………………17分
【点评】本题考查三次函数,解题关键是需要求解出三次函数的零点,可以先求出一个零点后将三次函数转化为二次函数再进行解题.
20.(2024 蜀山区校级模拟)计算:
(1)÷(1+i)2;
(2)()3.
【考点】复数的运算.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;运算求解.
【答案】(1);(2).
【分析】(1)根据已知条件,结合复数的运算法则,即可求解.
(2)根据已知条件,结合复数的运算法则,即可求解.
【解答】解:(1)÷(1+i)2=
==

=.
(2)===.
【点评】本题主要考查复数的运算法则,属于基础题.
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