资源简介

高考数学高频易错押题预测 函数应用
一．选择题（共8小题）
1．（2025 山海关区模拟）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（x），则f（x）在（﹣2，2）上的零点个数至少为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2．（2025 巴中模拟）已知函数则方程f（f（x）﹣2）＝2实数根的个数为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
3．（2025 南充模拟）已知函数，f（x）＝k有5个不相等的实数根，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，则的取值范围为（　　）
A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
4．（2025 景德镇模拟）函数f（x）＝x2﹣sin（3πx）的零点个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．（2025 湖南一模）猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过n（n∈N，n≥1）年，则n＝（　　）
A．8 B．9 C．7 D．6
6．（2025 厦门模拟）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前该水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③y＝|x﹣1|；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
7．（2025 甘肃模拟）已知，x2+lgx2＝64，则x1+x2＝（　　）
A．40 B．32 C．72 D．64
8．（2025 安顺模拟）关于函数，下列说法正确的是（　　）
①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0；
②f（x）的图象关于原点对称；
③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是；
④f（x）在（﹣1，1）上单调递减．
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湖北模拟）记，已知函数f（x）＝min{sinx，cosx}，则（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的最大值为
C．f（x）在上单调递增
D．方程f（x）＝m（m∈R）在（0，2π）上最多有3个解
（多选）10．（2025 白银模拟）已知函数，则（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）在（0，1）上单调递减
C．g（x）的图象关于点（﹣2，3）对称
D．方程g（x）＝3的实根之和为﹣4
（多选）11．（2025 大庆模拟）广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（c为参数，e≈2.71828）．当c＝1时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（　　）
A． x∈R，[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1
B．当x≥0时，函数有最小值0
C． x＞0，f[g（x）]＞f（x）
D． x0∈（﹣1，0），g（x0+2）＝f（x0）
（多选）12．（2025 湖南一模）已知a＞1，函数，下列结论正确的是（　　）
A． x∈（a，+∞），f（x）＜1
B．当a＝2时，函数y＝f（x）﹣a有2个零点
C．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（1，2]
D．若f（x）的图象上不存在关于原点对称的点，则a的取值范围是
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湖北模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[2x+1]﹣x与的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 　 　．
14．（2025 安阳二模）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x+3）（x2+ax+b）（a，b∈R）关于直线x＝﹣2对称，则函数f（x）的所有零点之和为 　 　，f（x）的最小值为 　 　．
15．（2025 重庆模拟）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80mg认定为饮酒驾车，大于或者等于80mg认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 　 　个小时后才能驾驶？（结果取整数．参考数据：1g3≈0.48，1g7≈0.85）
16．（2025 福州模拟）已知a∈R，动直线l与函数f（x）＝x3﹣3x2+ax的图象交于A，B，C三点，且点A在y轴的左侧，M为线段BC的中点，则点M的横坐标的取值范围为 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 惠东县模拟）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n2﹣n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
18．（2025 苏州模拟）设函数y＝f（x）的定义域为D，其导函数为f′（x），区间I是D的一个非空子集．若对区间I内的任意实数x，存在实数t，使得x+t∈D，且使得f（x+t）≥（t+1） f′（x）成立，则称函数y＝f（x）为区间I上的“M（t）函数”．
（1）判断函数f（x）＝cosx是否为[0，π]上的“函数”，并说明理由；
（2）若函数g（x）＝x2﹣ax是[0，2]上的“M（2）函数”．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明： x∈[1，2]，g（x+2）≥6（lnx﹣1）．
19．（2025 安溪县校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2 ，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2， ，n，n≥1，n∈N*），则称g（xi）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）试判断g（x）＝|x|是否为f（x）＝x2﹣1的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若g为f（x）＝log2的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．h（x）＝ax﹣[ax]，x∈[0，2），若h（x）为f（x）＝（其中sinx≠﹣1）的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围．
20．（2025 泰州模拟）已知函数f（x）＝x3+ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数有三个零点，求a的取值范围；
（3）若a≠﹣1，点P在y＝f（x）的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求OQ的最小值．
高考数学高频易错押题预测 函数应用
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 山海关区模拟）若定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）＝f（x），则f（x）在（﹣2，2）上的零点个数至少为（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】由题意可知f（0）＝0，用赋值法可得f（﹣1）＝f（1）＝0，，，有，，即可得答案．
【解答】解：因为由f（x）是定义域为R的奇函数，
所以f（0）＝0，
又因为f（x+1）＝f（x），
所以f（﹣1）＝f（0）＝f（1）＝0，
在f（x+1）＝f（x）中，
取，
得，
所以，，
令x＝，则有f（）＝f（），
所以，，
所以f（x）在（﹣2，2）上的零点个数至少为7．
故选：C．
【点评】本题考查了奇函数的性质、赋值法的应用，属于中档题．
2．（2025 巴中模拟）已知函数则方程f（f（x）﹣2）＝2实数根的个数为（　　）
A．6 B．7 C．10 D．11
【考点】函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】令f（x）﹣2＝t，则有f（t）＝2，解得t1＝﹣2，t2＝0，t3＝e﹣2，t4＝e2，再结合函数的图象，分别求出f（x）＝2+ti（i＝1，2，3，4）的解的个数，即可得答案．
【解答】解：作出函数＝f（x）的图象，如图所示：
令f（x）﹣2＝t，
则有f（t）＝2，
易得此时有4个解，分别为t1＝﹣2，t2＝0，t3＝e﹣2，t4＝e2，
结合图象可得：
当t＝﹣2时，即f（x）＝0，此时有1个解；
当t＝0，即f（x）＝2时，有4个解；
当t＝e﹣2，即f（x）＝2+e﹣2有3个解；
当t＝e2，即f（x）＝2+e2有3个解；
所以原方程共有1+4+3+3＝11个解．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
3．（2025 南充模拟）已知函数，f（x）＝k有5个不相等的实数根，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，x5，则的取值范围为（　　）
A．（0，4） B．（0，2） C．（﹣2，0） D．（﹣4，0）
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】利用导数可得函数在（﹣∞，0]上的单调性及极值，作出函数的图象，由图象可得0＜k＜4，再由对数函数的性质可得x4x5＝1，结合x1，x2，x3是方程x3+6x2+9x+k＝0的三个根，可得x1x2x3＝﹣k，即可求得答案．
【解答】解：因为当x≤0时，f（x）＝﹣x（x+3）2＝﹣x3﹣6x2﹣9x，
所以f'（x）＝﹣3x2﹣12x﹣9＝﹣3（x+3）（x+1），
所以当x∈（﹣∞，﹣3）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（﹣3，﹣1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（﹣1，0）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
所以f（x）极小值＝f（﹣3）＝0，所以f（x）极大值＝f（﹣1）＝4，
当x＞0时，f（x）＝|lnx|＝，
所以函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
作出函数的图象，如图所示：
由此可得0＜k＜4，
当x≤0时，
令﹣x（x+3）2＝4，解得x＝﹣4或x＝﹣1，
所以﹣4＜x1＜﹣3＜x2＜﹣1＜x3＜0＜x4＜1＜x5＜e4，
又因为|lnx4|＝|lnx5|，
所以lnx4+lnx5＝lnx4x5＝0，
所以x4x5＝1；
由题意可得x1，x2，x3是方程k＝﹣x3﹣6x2﹣9x，即x3+6x2+9x+k＝0的三个根，
所以x3+6x2+9x﹣k＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3），
即x3+6x2+9x+k＝x3﹣（x1+x2+x3）x2+（x1x2+x1x3+x2x3）x﹣x1x2x3，
所以k＝﹣x1x2x3，
即x1x2x3＝﹣k∈（﹣4，0），
所以＝x1x2x3＝﹣k∈（﹣4，0）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数与方程思想、数形结合思想及转化思想，属于中档题．
4．（2025 景德镇模拟）函数f（x）＝x2﹣sin（3πx）的零点个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【考点】判定函数零点的存在性．
【专题】函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】将问题转化为求y＝x2与y＝sin（3πx）图象的交点个数，作出两函数的图象，结合图象求解即可．
【解答】解：令f（x）＝x2﹣sin（3πx）＝0，则有x2＝sin（3πx），
则原问题转化为求y＝x2与y＝sin（3πx）图象的交点个数，
作出两函数的图象，如图所示：
由此可得函数y＝x2与y＝sin（3πx）图象有6个交点，
所以函数y＝f（x）的零点个数为6．
故选：B．
【点评】本题考查了转化思想、数形结合思想，考查了二次函数、正弦函数的性质，属于基础题．
5．（2025 湖南一模）猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年10%的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过n（n∈N，n≥1）年，则n＝（　　）
A．8 B．9 C．7 D．6
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意列出不等式，然后通过对数运算求解不等式得到取值．
【解答】解：由题意可知，经过n年后，猪血木的数列为1000×（1+10%）n，
该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过n年，
所以可列出不等式1000×（1+10%）n＞2000，
即1.1n＞2，两边同时取对数，则nlg1.1＞lg2，
所以n＞≈7.5，
又n∈N*，所以n＝8．
故选：A．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
6．（2025 厦门模拟）长江流域水库群的修建和联合调度，极大地降低了洪涝灾害风险，发挥了重要的防洪减灾效益．每年洪水来临之际，为保证防洪需要、降低防洪风险，水利部门需要在原有蓄水量的基础上联合调度，统一蓄水，用蓄满指数（蓄满指数＝）来衡量每座水库的水位情况．假设某次联合调度要求如下：
（ⅰ）调度后每座水库的蓄满指数仍属于区间[0，100]；
（ⅱ）调度后每座水库的蓄满指数都不能降低；
（ⅲ）调度前后，各水库之间的蓄满指数排名不变．
记x为调度前该水库的蓄满指数，y为调度后该水库的蓄满指数，给出下面四个y关于x的函数解析式：
①；②；③y＝|x﹣1|；④．
则满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是（　　）
A．②④ B．①④ C．②③ D．③④
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】根据题意可得满足条件的函数需满足四个条件：（1）自变量的取值范围是[0，100]；（2）函数值域为[0，100]的子集；（3）该函数在[0，100]上恒有y≥x；（4）该函数在[0，100]上为增函数．逐一对照分析即可求解．
【解答】解：根据题意可得满足条件的函数需满足四个条件：
（1）自变量的取值范围是[0，100]；
（2）函数值域为[0，100]的子集；
（3）该函数在[0，100]上恒有y≥x；
（4）该函数在[0，100]上为增函数．逐一分析4个函数如下：
函数的对称轴为，
所以，超出了范围，不符合题意；
，x∈[0，100]时，y∈[50，100]，
且在[0，100]上单调递增，
，即y≥x，符合题意；
函数y＝|x﹣1|在[0，1]上单调递减，在[1，100]上单调递增，故不符合题意；
函数为增函数，且x∈[0，100]时，y∈[50，100]，
，则，即y≥x，符合题意．
故满足此次联合调度要求的函数解析式的序号是②④．
故选：A．
【点评】本题考查函数的实际应用，属中档题．
7．（2025 甘肃模拟）已知，x2+lgx2＝64，则x1+x2＝（　　）
A．40 B．32 C．72 D．64
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】D
【分析】由题意可得x1为函数y＝10x与y＝64﹣x的交点，x2为函数y＝lgx与y＝64﹣x的交点，由同底的指数函数与对数函数关于直线y＝x对称及直线直线y＝64﹣x也关于直线y＝x对称，可得两交点（x1，64﹣x1）与（x2，64﹣x2）关于直线y＝x对称，即可得解．
【解答】解：由，可得，
由x2+lgx2＝64，可得lgx2＝64﹣x2，
所以x1为函数y＝10x与y＝64﹣x的交点，
x2为函数y＝lgx与y＝64﹣x的交点，
又因为y＝10x与y＝lgx关于直线y＝x对称，
直线y＝64﹣x也关于直线y＝x对称，
所以两交点（x1，64﹣x1）与（x2，64﹣x2）关于直线y＝x对称，
所以x1＝64﹣x2，
所以x1+x2＝64．
故选：D．
【点评】本题考查指数函数与对数函数的关系，考查了转化思想，属于中档题．
8．（2025 安顺模拟）关于函数，下列说法正确的是（　　）
①曲线y＝f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为8x﹣2y﹣25＝0；
②f（x）的图象关于原点对称；
③若y＝f（x）﹣m有三个不同零点，则实数m的范围是；
④f（x）在（﹣1，1）上单调递减．
A．①④ B．②④ C．①②③ D．①③④
【考点】由函数的零点求解函数或参数；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；运算求解．
【答案】D
【分析】求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义求出切线方程判断①；取值计算判断②；求出函数的极值，结合零点的意义判断③；确定单调性判断④即可得解．
【解答】解：函数，求导得f′（x）＝x2﹣x﹣2＝（x+1）（x﹣2），
对于①，f′（3）＝4，而，则切线方程为，即8x﹣2y﹣25＝0，①正确；
对于②，，则f（x）的图象关于原点不对称，②错误；
对于③，当x＜﹣1或x＞2时，f′（x）＞0；当﹣1＜x＜2时，f′（x）＜0，
即函数f（x）在（﹣∞，﹣1），（2，+∞）上单调递增，在（﹣1，2）上单调递减，
因此函数f（x）在x＝﹣1处取得极大值，在x＝2处取得极小值，
函数y＝f（x）﹣m的零点，即直线y＝m与函数y＝f（x）图象交点的横坐标，
因此当直线y＝m与函数y＝f（x）图象有3个交点时，，③正确；
对于④，f（x）在（﹣1，1）上单调递减，④正确．
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数与导数的综合应用，属于中档题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湖北模拟）记，已知函数f（x）＝min{sinx，cosx}，则（　　）
A．f（x）的图象关于直线对称
B．f（x）的最大值为
C．f（x）在上单调递增
D．方程f（x）＝m（m∈R）在（0，2π）上最多有3个解
【考点】函数与方程的综合运用；分段函数的应用；余弦函数的图象．
【专题】新定义；对应思想；综合法；定义法；三角函数的图象与性质；运算求解．
【答案】BC
【分析】结合新定义，化简函数解析式，作函数图象，结合图象逐项判断结论即可．
【解答】解：当时，cosx≤sinx；
当时，sinx≤cosx；
则，
由此可得f（x）的部分图象，如图所示：
对于A，由图象可知，函数f（x）不关于直线对称，故A错误；
对于B，由图象可知，f（x）的最大值为，故B正确；
对于C，由图象可知，f（x）在上单调递增，故C正确；
对于D，当时，方程f（x）＝m（m 为常数）在（0，2π）上有4个解，
所以方程f（x）＝m（m∈R）在（0，2π）上最多有4个解，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题属于新概念题，考查了三角函数的性质及数形结合思想，属于中档题．
（多选）10．（2025 白银模拟）已知函数，则（　　）
A．f（x）为奇函数
B．f（x）在（0，1）上单调递减
C．g（x）的图象关于点（﹣2，3）对称
D．方程g（x）＝3的实根之和为﹣4
【考点】函数的零点与方程根的关系；奇函数偶函数的判断；函数周期性的判断与求解．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】ACD
【分析】由奇偶性的概念可判断A；
通过导数可判断B；
由对称性的概念可判断C；
由C可得g（x）﹣3＝f（x+2），结合f（x）的零点可判断D．
【解答】解：对于A，因为f（x）＝﹣﹣的定义域为{x|x≠0，x≠±1}，关于原点对称，
且，
所以f（x）为奇函数，故A正确；
对于B，因为，
所以f（x）在（0，1）上单调递增，故B错误；
对于C，因为，
即g（x）＝f（x+2）+3，
又因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
将y＝f（x）的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位即可得y＝g（x）的图象，
所以g（x）的图象关于点（﹣2，3）对称，故C正确；
对于D，又当x＞1时，f（x）＜0，
则f（x）在（1，+∞）上无零点；
当0＜x＜1时，若x→0，则f（x）→﹣∞；若x→1，则f（x）→+∞，
则f（x）在（0，1）上仅有一个零点 x1，
根据对称性，f（x）在（﹣∞，﹣1）上无零点，在（﹣1，0）上仅有一个零点x2，
由此f（x）仅有两个零点x1和x2，且x1+x2＝0．
而g（x）﹣3＝f（x+2），
将f（x）的图象左移2个单位长度，即得函数f（x+2）的图象，
所以f（x+2）仅有两个零点x1﹣2，x2﹣2，
且这两个零点之和为（x1﹣2）+（x2﹣2）＝（x1+x2）﹣4＝﹣4，则D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了函数与方程思想、函数的零点、奇函数的定义及性质，考查了函数的对称性及图象的平移，属于中档题．
（多选）11．（2025 大庆模拟）广东汕头海湾大桥被誉为“中国第一座大跨度现代悬索桥”，悬索的形状是平面几何中的悬链线，其方程为（c为参数，e≈2.71828）．当c＝1时，该方程是双曲余弦函数，类似的函数还有双曲正弦函数，则下列说法正确的是（　　）
A． x∈R，[g（x）]2﹣[f（x）]2＝1
B．当x≥0时，函数有最小值0
C． x＞0，f[g（x）]＞f（x）
D． x0∈（﹣1，0），g（x0+2）＝f（x0）
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；新定义；转化思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用；运算求解；新定义类．
【答案】BCD
【分析】A．将函数解析式代入求解；
B．代入后根据不等式性质求解；
C．构造函数解决恒成立问题；
D．构造函数解决存在性问题．
【解答】解：对于A选项．[g（x）]2﹣[f（x）]2＝[g（x）+f（x）] [g（x）﹣f（x）]＝，故A错误．
对于B选项.，
当x≥0时，e2x≥1，∴，∴，
∴y有最小值0．故B正确．
对于C选项．设，
∴，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴h（x）＞h（0）＝0．即g（x）＞x，又，
当x＞0时，，
∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f[g（x）]＞f（x），故C正确．
对于D选项．当x∈（﹣1，0）时，x+2∈（1，2），∴g（x+2）在（﹣1，0）上单调递增，，
在x∈（﹣1，0）时f'（x）＜0，即f（x）在（﹣1，0）上单调递减．
∴设F（x）＝g（x+2）﹣f（x），可知F（x）在（﹣1，0）上单调递增，
∵，，
∴F（﹣1） F（0）＜0，所以 x0∈（﹣1，0）使F（x0）＝0，即 x0∈（﹣1，0）使g（x0+2）＝f（x0）．故D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查函数新定义与函数方程的综合应用，属于较难题．
（多选）12．（2025 湖南一模）已知a＞1，函数，下列结论正确的是（　　）
A． x∈（a，+∞），f（x）＜1
B．当a＝2时，函数y＝f（x）﹣a有2个零点
C．若f（x）在（0，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（1，2]
D．若f（x）的图象上不存在关于原点对称的点，则a的取值范围是
【考点】分段函数的应用；由函数的单调性求解函数或参数；函数的零点与方程根的关系．
【专题】数形结合；定义法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】BCD
【分析】选项A中，说明f（x）＞1即可；
选项B，说明函数f（x）﹣2有2个零点即可；
选项C，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，求出a的取值范围即可；
选项D，根据题意求出f（x）的图象上不存在关于原点对称的点时a的取值范围即可．
【解答】解：对于A，因为a＞1，函数y＝logax在（a，+∞）上单调递增，
所以当x∈（0，+∞）时，f（x）＝logax＞f（a）＝logaa＝1，选项A错误；
对于B，当a＝2时，函数f（x）＝，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，且f（﹣）＝2，f（4）＝2，
直线y＝2与函数y＝f（x）有两个交点，则方程f（x）＝2有两个解，所以函数f（x）﹣2有2个零点，选项B正确；
对于C，由f（x）在（0，+∞）上单调递增，所以，解得1＜a≤2，选项C正确；
对于D，因为函数y＝x2﹣3的图象与函数y＝﹣x2+3的图象关于原点对称，作出函数的图象，如图所示：
要使f（x）的图象上不存在关于原点对称的点，则，即，解得≤a＜，
即a的取值范围是[，），选项D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查了分段函数图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 湖北模拟）[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣3.5]＝﹣4，[2.1]＝2．已知函数f（x）＝[2x+1]﹣x与的图象恰有两个公共点，则实数k的取值范围是 　　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】新定义；函数思想；转化思想；数形结合法；综合法；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】．
【分析】先根据[x]的定义化简f（x）＝[2x+1]﹣x的解析式，然后根据两图象恰有两个公共点，转化为对应方程恰有两个解，对方程进行换元变形转化为相对熟悉的两个函数，一个一次函数可确定所过定点，一个分段函数，然后数形结合，因为这两个函数图像恰有两个交点，确定直线的斜率取值范围，解不等式求出k的取值范围．
【解答】解：f（x）＝[2x+1]﹣x＝[2x]+1﹣x，
又因为f（x）＝g（x），
即[2x]+1﹣x＝（k+1）x+，
可得＝，
令t＝2x，则f（x）＝g（x），即为，
又因为直线过定点A（﹣1，1），斜率为．
y＝t﹣[t]＝t﹣n，t∈[n，n+1），n∈Z，
作出函数y＝t﹣[t]和的图象，如图所示：
其中O（0，0），B（1，0），C（﹣4，0），D（﹣5，0），
kAO＝﹣1，kAB＝＝，kAC＝＝，，
依题意，或，
所以或，
解得或1＜k≤2，
即实数k的取值范围是．
故答案为：．
【点评】本题属于新概念题，考查了函数与方程思想、转化思想及数形结合思想，属于中档题．
14．（2025 安阳二模）已知函数f（x）＝（x﹣1）（x+3）（x2+ax+b）（a，b∈R）关于直线x＝﹣2对称，则函数f（x）的所有零点之和为 　﹣8　，f（x）的最小值为 　﹣16　．
【考点】求解函数零点所在区间．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】﹣8，﹣16．
【分析】由已知结合f（x）的图象的对称性求得函数的另外两个零点，即可得到函数f（x）的所有零点之和；利用配方法即可求解f（x）的最小值．
【解答】解：由f（x）＝（x﹣1）（x+3）（x2+ax+b）＝0，
得x＝1或x＝﹣3或x2+ax+b＝0，
∵f（x）的图象关于直线x＝﹣2对称，
∴方程x2+ax+b＝0的两个分别为﹣1，﹣5，
可得函数f（x）的所有零点之和为1﹣3﹣1﹣5＝﹣8；
可得f（x）＝（x﹣1）（x+3）（x+1）（x+5）＝（x2+4x﹣1）2﹣16．
∴当x2+4x﹣1＝0时，f（x）的最小值为﹣16．
故答案为：﹣8，﹣16．
【点评】本题考查函数零点的判定及应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
15．（2025 重庆模拟）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100ml血液中酒精含量大于或者等于20mg且小于80mg认定为饮酒驾车，大于或者等于80mg认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/ml．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过 　4　个小时后才能驾驶？（结果取整数．参考数据：1g3≈0.48，1g7≈0.85）
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】4．
【分析】设出未知数，得到不等式0.7x＜0.2，两边取对数，求出答案．
【解答】解：设至少经过x小时后才能驾驶，
则60（1﹣30%）x＜20．
化简得：0.7x＜，
则lg0.7x＜lg，
即xlg0.7＜lg，
因为lg0.7＜0，
所以＝≈3.2，
所以他至少要经过4小时后才能驾驶．
故答案为：4．
【点评】本题考查了函数解析式的求法，重点考查了对数的运算及阅读理解能力，属中档题．
16．（2025 福州模拟）已知a∈R，动直线l与函数f（x）＝x3﹣3x2+ax的图象交于A，B，C三点，且点A在y轴的左侧，M为线段BC的中点，则点M的横坐标的取值范围为 　　．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；方程思想；综合法；函数的性质及应用；直线与圆；运算求解．
【答案】．
【分析】通过设出函数图象上的点坐标，利用函数值关系，进而确定中点横坐标的取值范围．
【解答】解：因为直线l与f（x）的图象交于A，B，C三点，且点A在y轴的左侧，
设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1＜x2＜x3，
又因为M为线段BC的中点，
已知，
因为A，B，C在直线l上，
所以，
即，
展开并化简可得：
，
所以﹣+x1x2﹣x1x3﹣3x2+3x3＝0，
（x2﹣x3）（x2+x3）+x1（x2﹣x3）﹣3（x2﹣x3）＝0，
即（x2﹣x3）（x2+x3+x1﹣3）＝0，
因为x2≠x3，
所以x1+x2+x3＝3．
所以，
又因为A在y轴的左侧，所以x1＜0．
所以，
所以M的横坐标的取值范围．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数与方程思想，考查了中点坐标公式，属于中档题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 惠东县模拟）甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a万元，由于经营方式不同，甲超市前n年的总销售额为（n2﹣n+2）万元，乙超市第n年的销售额比前一年销售额多万元．
（Ⅰ）求甲、乙两超市第n年销售额的表达式；
（Ⅱ）若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】应用题；等差数列与等比数列．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）利用Sn＝（n2﹣n+2），即an＝Sn﹣Sn﹣1，可求an的表达式；n≥2时，bn﹣bn﹣1＝，利用bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1），可求bn的表达式；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中an，bn的表达式，代入求解，计算可得第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．
【解答】解：（Ⅰ）假设甲超市前n年总销售额为Sn，第n年销售额为an则Sn＝（n2﹣n+2）（n≥2），因为n＝1时，a1＝a，则n≥2时，
an＝Sn﹣Sn﹣1＝（n2﹣n+2）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）+2]＝a（n﹣1），
故an＝；
设乙超市第n年销售额为bn，
又b1＝a，n≥2时，bn﹣bn﹣1＝
故bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+…+（bn﹣bn﹣1）＝[3﹣2 （）n﹣1]a．
显然n＝1也适合，故bn＝[3﹣2 （）n﹣1]a（n∈N*）．
（Ⅱ）当n＝2时，a2＝a，b2＝a，有a2＞b2；当n＝3时，a3＝2a，b3＝a，有a3＞b3；
当n≥4时，an≥3a，而bn＜3a，故乙超市有可能被收购．
当n≥4时，令an＞bn，则（n﹣1）a＞[3﹣2 （）n﹣1]a，∴n﹣1＞6﹣4 （）n﹣1，即n＞7﹣4 （）n﹣1．
又当n≥7时，0＜4 （）n﹣1＜1，故当n∈N*且n≥7时，必有n＞7﹣4 （）n﹣1．
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购
【点评】本题考查数列的通项，考查叠加法，考查利用数列知识解决实际问题，确定数列的通项是关键．
18．（2025 苏州模拟）设函数y＝f（x）的定义域为D，其导函数为f′（x），区间I是D的一个非空子集．若对区间I内的任意实数x，存在实数t，使得x+t∈D，且使得f（x+t）≥（t+1） f′（x）成立，则称函数y＝f（x）为区间I上的“M（t）函数”．
（1）判断函数f（x）＝cosx是否为[0，π]上的“函数”，并说明理由；
（2）若函数g（x）＝x2﹣ax是[0，2]上的“M（2）函数”．
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）证明： x∈[1，2]，g（x+2）≥6（lnx﹣1）．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑思维；新定义类．
【答案】（1）f（x）＝cosx是[0，π]上的“函数”，理由见解析．
（2）（ⅰ）﹣4≤a≤4；
（ⅱ）证明见解析．
【分析】（1）求出f′（x），结合题中定义验证即可；
（2）（ⅰ）分析可知，a（x﹣1）≤（x﹣1）2+3任意的x∈[0，2]恒成立．x＝1时，可得a∈R，0≤x＜1时，可得出，1＜x≤2时，可得出，利用导数分析函数在区间[0，1）、（1，2]上的单调性，综合可得出实数a的取值范围；
（ii）由题意可得 x∈[1，2]，g（x+2）≥3g′（x）＝3（2x﹣a）≥3（2x﹣4）．利用导数先证明： x∈[1，2]，3（2x﹣4）≥6（lnx﹣1），即证x﹣1﹣lnx≥0，构造函数G（x）＝x﹣1﹣lnx，利用导数分析函数G（x）在区间[1，2]上的单调性，求其最小值，即可证得结论成立．
【解答】解：（1）因为f（x）＝cosx，则f′（x）＝﹣sinx，
因为，．
又x∈[0，π]，所以sinx≥0，
所以对于任意x∈[0，π]恒成立．
故f（x）＝cosx是[0，π]上的“函数”．
（2）（ⅰ）g′（x）＝2x﹣a，
由条件得（x+2）2﹣a（x+2）≥3（2x﹣a）对任意的x∈[0，2]恒成立，
即a（x﹣1）≤（x﹣1）2+3任意的x∈[0，2]恒成立．
①当x＝1时，对一切a∈R成立．
②当0≤x＜1时，恒成立．
设，则对任意的x∈[0，1）恒成立，
所以F（x）在[0，1）上单调递减，可得a≥F（x）max＝F（0）＝﹣4．
③当1＜x≤2时，由恒成立．
设，则，所以F（x）在（1，2]上单调递减，
可得a≤F（x）min＝F（2）＝4．
综上所述，a的范围是[﹣4，4]．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知，﹣4≤a≤4．
对 x∈[1，2]，g（x+2）≥3g′（x）＝3（2x﹣a）≥3（2x﹣4）．
下面证： x∈[1，2]，3（2x﹣4）≥6（lnx﹣1），
即证 x∈[1，2]，x﹣1﹣lnx≥0．
设G（x）＝x﹣1﹣lnx，则，所以G（x）在[1，2]上单调递增，
又G（1）＝0，所以G（x）≥0成立．
所以x∈[1，2]时，不等式3（2x﹣4）≥6（lnx﹣1）成立．
所以 x∈[1，2]，g（x+2）≥6（lnx﹣1）成立．
【点评】本题考查函数与方程的综合应用，属于中档题．
19．（2025 安溪县校级模拟）已知函数f（x）和g（x）的定义域分别为D1和D2，若对任意x0∈D1，恰好存在n个不同的实数x1，x2 ，xn∈D2，使得g（xi）＝f（x0）（其中i＝1，2， ，n，n≥1，n∈N*），则称g（xi）为f（x）的“n重覆盖函数”．
（1）试判断g（x）＝|x|是否为f（x）＝x2﹣1的“2重覆盖函数”？请说明理由；
（2）若g为f（x）＝log2的“3重覆盖函数”，求实数a的取值范围；
（3）函数[x]表示不超过x的最大整数，如[1.2]＝1，[2]＝2，[﹣1.2]＝﹣2．h（x）＝ax﹣[ax]，x∈[0，2），若h（x）为f（x）＝（其中sinx≠﹣1）的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围．
【考点】函数与方程的综合运用．
【专题】计算题；新定义；转化思想；函数的性质及应用；逻辑思维；运算求解；新定义类．
【答案】（1）不是；答案见解析；（2）（0，]∪（﹣∞，﹣2]；（3）．
【分析】（1）直接利用定义性函数求出结果；
（2）利用函数的定义和不等式组的解法求出结果；
（3）利用取整问题和分段函数的应用求出结果．
【解答】解：（1）对于f（x）＝x2﹣1，有f（0）＝﹣1，而g（x）＝|x|≥0，
所以g（x）不是f（x）的“2重覆盖函数”．
（2），
由题意可得， m∈（0，1）， x1，x2∈（﹣∞，1]（x1≠x2），f（x1）＝f（x2）＝m，
因为g（0）＝1，或，解得；
故a的取值范围为（0，]∪（﹣∞，﹣2]．
（3）f（x）＝，
则对于任意要有2024个根．
故
作出函数的图象（部分），如图：要使h（x）＝m，x∈[0，2）有2024个根，
则，又a＞0，则，
故正实数a的取值范围．
【点评】本题考查的知识点：定义性函数的应用，分段函数的应用，不等式组的解法，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
20．（2025 泰州模拟）已知函数f（x）＝x3+ax的图象与x轴的三个交点为A，O，B（O为坐标原点）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数有三个零点，求a的取值范围；
（3）若a≠﹣1，点P在y＝f（x）的图象上，且异于A，O，B，点Q满足，，求OQ的最小值．
【考点】由函数零点所在区间求解函数或参数．
【专题】分类讨论；函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）在和上单调递增；在上单调递减；
（2）（∞，﹣4）；
（3）．
【分析】（1）由题意可得a＜0，利用导数求解即可；
（2）先判断出函数g（x）为（﹣1，1）的奇函数，从而可得g（x）在（0，1）有且仅有一个零点，利用导数求解即可；
（3）设A（x1，0），B（x2，0），P（m，n），Q（x，y），由题意可得x＝﹣m，y＝，结合两点间的距离公式及基本不等式的性质求解即可．
【解答】解：（1）由已知得，f（x）＝0有三个根，
令x3+ax＝0，得x＝0或x2+a＝0，
所以x2+a＝0有两个不同的解，
所以a＜0，
令f'（x）＝3x2+a＞0，
得或，
令f′（x）＜0，得，
所以f（x）在和上单调递增；在上单调递减；
（2）令，得﹣1＜x＜1，
令，
因为，
所以g（x）为奇函数，
因为g（0）＝0，
所以0是g（x）的一个零点，
要使有三个零点，
只需要g（x）在（0，1）有且仅有一个零点，
在（0，1）上单调递增，g'（0）＝a+4，
当a+4≥0，即a≥﹣4时，g'（x）≥0，
所以g（x）在（0，1）上单调递增，
由g（0）＝0，得g（x）在（0，1）上无零点，不合题意，舍去；
当a+4＜0，即a＜﹣4时，
，
所以存在x0∈（0，1），使得g'（x0）＝0，
当0＜x＜x0时，g'（x）＜0，
所以g（x）在（0，x0）上单调递减；
当x0＜x＜1时，g'（x）＞0，
所以g（x）在（x0，1）上单调递增，
当x∈（0，x0）时，g（x）＜g（0）＝0，且g（x0）＜0，
当x∈（x0，1）时，，
令，解得，
所以，
所以g（x）在（x0，1）上存在唯一的零点．
综上a＜﹣4，
所以实数a的取值范围为（∞，﹣4）；
（3）设A（x1，0），B（x2，0），且，
P（m，n），Q（x，y），
因为点P异于A，O，B，
所以m≠0，且m≠，
由，，
得，
解得x＝﹣m，y＝，
所以，
当且仅当，即m＝±1时，等号成立，
所以|OQ|的最小值为．
【点评】本题考查了导数的综合运用、分类讨论思想及基本不等式的应用，属于中档题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑