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高考数学高频易错押题预测 集合
一．选择题（共8小题）
1．（2025 浙江模拟）若集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x≥2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|2≤x≤4} B．{x|x≥2} C．{x|x≥0} D．{x|x≤4}
2．（2025 江西一模）设集合A＝{1，2，3，4，6，8}，B＝{x|2x∈A}，则 A（A∩B）＝（　　）
A．{6} B．{6，8} C．{4，6，8} D．{3，4，6，8}
3．（2025 保定校级模拟）设集合M＝{x|0＜|x|＜3}，N＝{﹣3，﹣2，1，4，6}，则集合M∩N的非空子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025 长春模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，1）∪（5，7）
C．[﹣1，7） D．（1，5]
5．（2025 海口一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{y|y＝x2﹣x}，则A∩B＝（　　）
A． B． C． D．
6．（2025 单县校级一模）设集合A＝{1，a}，B＝{0，1﹣a，2a﹣1}，若A B，则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．0
7．（2025 郫都区模拟）如图所示，集合A，B，C是全集U的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．（A∩B）∩C B．（A∩B）∪C
C．（A∩B）∩（ UC） D．（A∩B）∪（ UC）
8．（2025 上犹县校级一模）已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{x|x＝t2，t∈M}，则M∪N中所有元素之和为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 温州模拟）已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则（　　）
A．a＞b B．a＞﹣b C．a2＞b2 D．
（多选）10．（2025 温州模拟）给定n∈N+，若集合P {1，2，3， ，n}，且存在a，b，c，d∈P，满足a＜b≤c＜d，b﹣a＝d﹣c，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为|P|，则（　　）
A．{1，2，3}是“广义等差集合”
B．{1，3，4，6}是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当n＝8时，|P|的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若|P|的最大值为4，则n可以是13
（多选）11．（2025 张家口模拟）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义已知集合A＝{x|x2+x＝0}，B＝{x∈R|（x2+ax）（x2+ax+1）＝0}，则下面结论正确的是（　　）
A． a∈R，C（B）＝3
B．“A*B＝1”是“a＝0”的充分不必要条件
C． a∈R，C（B）≥2
D．若S＝{a∈R|A*B＝1}，则C（S）＝3
（多选）12．（2025 鹤壁一模）已知集合M＝{x|5x≥25}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}，则下列结论正确的是（　　）
A．M∩N＝M B．M∪N＝M
C．（ RN）∩M＝{x|2≤x≤3} D．（ RM）∩N＝
三．填空题（共4小题）
13．（2025 大庆模拟）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为 　 　．
14．（2025 辽宁模拟）已知集合I＝{x|x＜1}，A＝{x|x3＜x}，B＝{x|x2+mx+n≤0}，若A∩B＝ ，A∪B＝I，则m+n＝ 　 　．
15．（2020 宿迁模拟）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于　 　．
16．（2024 金山区校级三模）已知集合A＝（2，+∞），B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝ 　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 沭阳县校级模拟）已知an＞0，bn＝n2+n，函数fn（x）＝ex﹣x+lnan﹣an．
（1）若fn（x）≥0，求；
（2）设．记M为f1（x），f2（x），…，fn（x）的所有零点组成的集合，X，Y为M的子集，它们各有n个元素，且X∩Y＝ ．设xi∈X，yi∈Y，i＝1，2，…，n，且x1＜x2＜…＜xn，y1＞y2＞…＞yn．证明：
（ⅰ）＜n；
（ⅱ）．
18．（2025 冀州区模拟）对于函数y＝f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））＝x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点；依此类推，可以定义函数f（x）的n阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．
（1）若（x＞0），证明：集合A＝{x|f（x）＝x]中有且仅有一个元素：
（2）已知f（x）＝（a+1）x﹣（a＞﹣1），
（i）若m≥0且函数F（x）在区间[m，n]的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数的“完美区间”．试问函数f（x）是否存在“完美区间”，若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由；
（ⅱ）讨论集合B的子集的个数．
19．（2025 安溪县校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，集合B＝{x|a﹣5＜x＜3a}．
（1）当a＝1时，求 BA；（ BA＝{x|x∈B但x A}）
（2）若（A∪B） A，求实数a的取值范围．
20．（2025 浙江模拟）定义：A\x为在集合A中去掉一个元素x后得到的集合；S（A）为集合A中的所有元素之和．已知由n个正整数组成的集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），若对于 ai∈A（i＝1，2，…，n），都存在两个集合B，C，使得A\ai＝B∪C，B∩C＝ ，且S（B）＝S（C），就称集合A为“完美集”．
（Ⅰ）若A＝{1，2，3，5，6}，判断A是否为“完美集”，并说明理由；
（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“完美集”，证明：n是奇数；
（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“完美集”，且A中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称A为“等差完美集”．已知集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“等差完美集”，求n的最小值．
高考数学高频易错押题预测 集合
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 浙江模拟）若集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x≥2}，则A∪B＝（　　）
A．{x|2≤x≤4} B．{x|x≥2} C．{x|x≥0} D．{x|x≤4}
【考点】求集合的并集．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据并集的定义即可求解．
【解答】解：合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{x|x≥2}，
由题意可得A∪B＝{x|x≥0}．
故选：C．
【点评】本题主要考查了集合并集运算，属于基础题．
2．（2025 江西一模）设集合A＝{1，2，3，4，6，8}，B＝{x|2x∈A}，则 A（A∩B）＝（　　）
A．{6} B．{6，8} C．{4，6，8} D．{3，4，6，8}
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先求出集合B，然后结合集合的交集及补集运算即可求解．
【解答】解：集合A＝{1，2，3，4，6，8}，B＝{x|2x∈A}＝{，1，，2，3，4}，
所以A∩B＝{1，2，3，4}，
则 A（A∩B）＝{6，8}．
故选：B．
【点评】本题主要考查了集合的交集及补集运算，属于基础题．
3．（2025 保定校级模拟）设集合M＝{x|0＜|x|＜3}，N＝{﹣3，﹣2，1，4，6}，则集合M∩N的非空子集的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【考点】子集的个数．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】由交集确定元素个数，即可求解；
【解答】解：因为N＝{﹣3，﹣2，1，4，6}，M＝{x|0＜|x|＜3}，
故M∩N＝{﹣2，1}，含有两个元素，故其非空子集的个数为22﹣1＝3．
故选：C．
【点评】本题主要考查子集个数的求解，属于基础题．
4．（2025 长春模拟）已知集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，1）∪（5，7）
C．[﹣1，7） D．（1，5]
【考点】交集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】由不等式的解法化简集合，再求交集．
【解答】解：集合A＝{x|1＜x＜7}，B＝{x|x2﹣4x﹣5≤0}＝{x|﹣1≤x≤5}，
则A∩B＝（1，5]．
故选：D．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
5．（2025 海口一模）已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{y|y＝x2﹣x}，则A∩B＝（　　）
A． B． C． D．
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】B
【分析】先由一元二次函数性质求出集合B，再由交集定义计算即可得解．
【解答】解：A＝（﹣2，1），因为，
所以B＝，
所以．
故选：B．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
6．（2025 单县校级一模）设集合A＝{1，a}，B＝{0，1﹣a，2a﹣1}，若A B，则a＝（　　）
A．﹣1 B．1 C． D．0
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】D
【分析】利用子集的概念计算可求a的值．
【解答】解：因为A B，
所以a＝0或a＝1﹣a或a＝2a﹣1，解得a＝0或或a＝1，
当a＝0时，A＝{1，0}，B＝{0，1，﹣1}，符合集合元素的互异性，
当时，，不符合集合元素的互异性，故舍去，
当a＝1时，A＝{1，1}，与集合元素的互异性矛盾，故舍去．
故a＝0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了集合包含关系的应用，属于基础题．
7．（2025 郫都区模拟）如图所示，集合A，B，C是全集U的三个真子集，则图中阴影部分表示的集合是（　　）
A．（A∩B）∩C B．（A∩B）∪C
C．（A∩B）∩（ UC） D．（A∩B）∪（ UC）
【考点】Venn图表示交并补混合运算．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】由韦恩图写出阴影部分的对应集合即可．
【解答】解：由韦恩图知：阴影部分所表示的集合是（A∩B）∩（ UC）．
故选：C．
【点评】本题主要考查韦恩图的应用，属于基础题．
8．（2025 上犹县校级一模）已知集合M＝{﹣1，1，2，4}，N＝{x|x＝t2，t∈M}，则M∪N中所有元素之和为（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【考点】求集合的并集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合并集的定义，即可求解．
【解答】解：因为N＝{1，4，16}，M＝{﹣1，1，2，4}，
则M∪N＝{﹣1，1，2，4，16}，
该集合中所有元素之和为22．
故选：C．
【点评】本题主要考查集合的运算，属于基础题．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 温州模拟）已知实数a，b满足a＞|b|＞0，则（　　）
A．a＞b B．a＞﹣b C．a2＞b2 D．
【考点】判断两个集合的包含关系．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；运算求解．
【答案】ABC
【分析】利用不等式的性质求解．
【解答】解：因为实数a，b满足a＞|b|＞0，
所以a＞|b|≥b，
则a＞b，a＞﹣b，故A、B正确；
因为|a|＞|b|，所以a2＞b2，故C正确；
对于D，举反例，取a＝2，b＝1，则，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题．
（多选）10．（2025 温州模拟）给定n∈N+，若集合P {1，2，3， ，n}，且存在a，b，c，d∈P，满足a＜b≤c＜d，b﹣a＝d﹣c，则称P为“广义等差集合”．记P的元素个数为|P|，则（　　）
A．{1，2，3}是“广义等差集合”
B．{1，3，4，6}是“广义等差集合”
C．若P不是“广义等差集合”，当n＝8时，|P|的最大值为4
D．若P不是“广义等差集合”，若|P|的最大值为4，则n可以是13
【考点】判断元素与集合的属于关系．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】ABC
【分析】根据“广义等差集合”的定义逐项判断即可．
【解答】解：对于A，a＝1，b＝c＝2，d＝3，满足a＜b≤c＜d，b﹣a＝d﹣c，故A正确；
对于B，a＝1，b＝3，c＝4，d＝6，满足a＜b≤c＜d，b﹣a＝d﹣c，故B正确；
对于C，当|P|＝4时，取P＝{1，2，4，8}，
当|P|≥5时，设P＝{a1，a2，a3，a4，a5}，由题意可知，a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，a5﹣a4两两不同，
则a5﹣a1＝（a5﹣a4）+（a4﹣a3）+（a3﹣a2）+（a2﹣a1）≥1+2+3+4＝10，矛盾，故C正确；
选项D：当n＝13时，取P＝{1，2，4，8，13}，与|P|max＝4矛盾，故D错误．
故选：ABC．
【点评】本题主要考查了元素与集合的关系，属于基础题．
（多选）11．（2025 张家口模拟）用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义已知集合A＝{x|x2+x＝0}，B＝{x∈R|（x2+ax）（x2+ax+1）＝0}，则下面结论正确的是（　　）
A． a∈R，C（B）＝3
B．“A*B＝1”是“a＝0”的充分不必要条件
C． a∈R，C（B）≥2
D．若S＝{a∈R|A*B＝1}，则C（S）＝3
【考点】元素与集合关系的判断．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】AD
【分析】根据集合新定义，结合逻辑知识和一元二次方程逐个分析即可．
【解答】解：对于A，当a＝2时，B＝{x∈R|（x2+ax）（x2+ax+1）＝0}＝{0，﹣2，﹣1}，此时C（B）＝3，故A正确；
对于B，当a＝0时，B＝{0}，所以C（B）＝1，A＝{0，﹣1}，所以C（A）＝2，
所以A*B＝1；
当A*B＝1时，因为C（A）＝2，所以C（B）＝1或3，
若C（B）＝1，满足，解得a＝0；
若C（B）＝3，因为方程x2+ax＝0的两个根x1＝0，x2＝﹣a都不是方程x2+ax+1＝0的根，所以需满足，解得a＝±2，
所以“A*B＝1”是“a＝0”的必要不充分条件，故B错误；
对于C，当a＝0时，B＝{0}，此时C（B）＝1，不满足C（B）≥2，故C错误；
对于D，因为C（A）＝2，要得A*B＝1，所以C（B）＝1或3，由C可知：a＝0或a＝±2，
所以S＝{0，2，﹣2}，所以C（S）＝3，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了元素与集合关系的应用，属于中档题．
（多选）12．（2025 鹤壁一模）已知集合M＝{x|5x≥25}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}，则下列结论正确的是（　　）
A．M∩N＝M B．M∪N＝M
C．（ RN）∩M＝{x|2≤x≤3} D．（ RM）∩N＝
【考点】集合的交并补混合运算；指、对数不等式的解法；求对数型复合函数的定义域．
【专题】整体思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】BCD
【分析】根据指数以及对数的性质化简集合M，N，即可根据集合的交并补的定义，结合选项逐一求解．
【解答】解：由M＝{x|5x≥25}＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln（2x﹣6）}＝{x|x＞3}，
M∩N＝{x|x＞3}＝N，A错误，
M∪N＝{x|x≥2}＝M，B正确，
RM＝{x|x＜2}， RN＝{x|x≤3}，
（ RN）∩M＝{x|x≤3}∩{x|x≥2}＝{x|2≤x≤3}，C正确，
（ RM）∩N＝{x|x＜2}∩{x|x＞3}＝ ，D正确．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
三．填空题（共4小题）
13．（2025 大庆模拟）已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{y|y＝2x，x∈A}，则A∪B的所有元素之和为 　　．
【考点】求集合的并集．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解．
【答案】．
【分析】先求出集合B，再由并集定义求出A∪B，由此能求出A∪B的所有元素之和．
【解答】解：∵集合A＝{﹣1，0，1}，
∴B＝{y|y＝2x，x∈A}＝{，1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，0，}，
则A∪B的所有元素之和为﹣1+0+＝．
故答案为：．
【点评】本题考查集合的运算，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2025 辽宁模拟）已知集合I＝{x|x＜1}，A＝{x|x3＜x}，B＝{x|x2+mx+n≤0}，若A∩B＝ ，A∪B＝I，则m+n＝ 　1　．
【考点】集合的交并补混合运算．
【专题】转化思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】1．
【分析】化简集合，根据A∩B＝ 和A∪B＝I，可得B＝{x|﹣1≤x≤0}，进而结合韦达定理即可求出结果．
【解答】解：解不等式可得：A＝{x|x3＜x}＝{x|x＜﹣1或0＜x＜1}，
因为A∩B＝ ，A∪B＝I，所以B＝{x|﹣1≤x≤0}，
则﹣1和0是方程x2+mx+n＝0的根，
则由韦达定理可得：﹣1+0＝﹣m，﹣1×0＝n，解得m＝1，n＝0，所以m+n＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查集合的运算，不等式的求解，属于基础题．
15．（2020 宿迁模拟）已知集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，则A∩B等于　{1，2}　．
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；数学模型法；集合．
【答案】见试题解答内容
【分析】直接由交集的运算性质得答案．
【解答】解：由集合A＝{x|x＞0}，B＝{﹣1，0，1，2}，
则A∩B＝{x|x＞0}∩{﹣1，0，1，2}＝{1，2}．
故答案为：{1，2}．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
16．（2024 金山区校级三模）已知集合A＝（2，+∞），B＝{1，2，3，4，5}，则A∩B＝ 　{3，4，5}　．
【考点】求集合的交集．
【专题】转化思想；转化法；集合；运算求解．
【答案】{3，4，5}．
【分析】结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝（2，+∞），B＝{1，2，3，4，5}，
则A∩B＝ {3，4，5}．
故答案为：{3，4，5}．
【点评】本题主要考查交集的定义，属于基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2025 沭阳县校级模拟）已知an＞0，bn＝n2+n，函数fn（x）＝ex﹣x+lnan﹣an．
（1）若fn（x）≥0，求；
（2）设．记M为f1（x），f2（x），…，fn（x）的所有零点组成的集合，X，Y为M的子集，它们各有n个元素，且X∩Y＝ ．设xi∈X，yi∈Y，i＝1，2，…，n，且x1＜x2＜…＜xn，y1＞y2＞…＞yn．证明：
（ⅰ）＜n；
（ⅱ）．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；运算求解．
【答案】（1）；
（2）（i）证明见解答；（ⅱ）证明见解答．
【分析】（1）先根据已知条件得到an＝1，再根据bn的定义求和；
（2）（i）构造恰当的函数，并利用导数工具证明fi（x）的两个零点之和小于零；
（ⅱ）先说明的取值X，Y的选取无关，再利用函数证明相应的不等式．
【解答】解：（1）根据题意有，
当x＜0时，fn'（x）＜0，fn（x）单调递减，当x＞0时，fn'（x）＞0，fn（x）单调递增，
故fn（x）≥fn（0）＝1+lnan﹣an，
设φ（x）＝1+lnx﹣x，则，
当0＜x＜1时，φ'（x）＞0，φ（x）单调递增，
当x＞1时，φ'（x）＜0，φ（x）单调递减，
φ（an）≤φ（1）＝0，故若fn（x）≥0，则an＝1，
所以．
（2）证明：（i）由题设可知an＞1，由（1）可知，fi（0）＝1+lnai﹣ai＜0（i＝1，2， ，n），
且fi（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）分别单调，若fi（x）有两个零点xi1，xi2，则正、负各一个，
故f1（x），f2（x）， ，fn（x）共有2n个零点，即M为2n个元素，且n个是正数，n个是负数，
又因为X，Y各有n个元素，且X∩Y＝ ，故M的所有元素要么属于X，要么属于Y，
若xi＞0且yi＞0，则且，
故至少有n+1个零点是正数，这与恰有n个零点是正数矛盾，
同理，xi，yi也不能同为负数，故xi与yi异号，，
由上不妨设xi1＜0＜xi2，则﹣xi1＞0，，
设h（x）＝e﹣x﹣ex+2x，则h'（x）＝﹣e﹣x﹣ex+2≤0，h（x）单调递减，
故h（xi1）＞h（0）＝0，即f（﹣xi1）＞f（xi1）＝f（xi2），故0＜xi2＜﹣xi1，xi1+xi2＜0，
所有．
（ⅱ）将M的2n个元素按照从小到大的顺序排列得到数列x1'，x2′， ，xn′，其中
x1′，x2'， ，xn'均为负数，xn+1′，xn+2′， ，x2n′均为正数．
因为x1＜x2＜ ＜xn，y1＞y2＞ ＞yn，故，
且，故max{xi，yi}至少大于M中的n个元素，
max{xi，yi}为xn+1′，xn+2′， ，x2n′中的某一项；同理可知，min{xi，yi}为x1′，x2′， ，xn′中的某一项，
因为|xi﹣yi|＝max{xi，yi}﹣min{xi，yi}，
故，
，设g（x）＝e1﹣x﹣1+lnx（x＞1），则，
设Φ（x）＝﹣xe1﹣x+1，则Φ′（x）＝（x﹣1）e1﹣x，当x＞1时，Φ′（x）＞0，Φ（x）单调递增，
Φ（x）＞Φ（1）＝0，，g（x）单调递增，f（1﹣ai）＝g（ai）＞g（1）＝0，
故由（i）可知，1﹣ai＜xi1＜0，且0＜xi2＜﹣xi1＜ai﹣1，
故由上可知，，
，设，则，
当0＜x＜1时，，
且由上可知，，故t′（x）＞0，t（x）单调递增，故，
同上有，故，
综上，．
【点评】本题的关键在于构造恰当的函数，利用导数证明相应的不等式．
18．（2025 冀州区模拟）对于函数y＝f（x），x∈I，若存在x0∈I，使得f（x0）＝x0，则称x0为函数f（x）的一阶不动点；若存在x0∈I，使得f（f（x0））＝x0，则称x0为函数f（x）的二阶不动点；依此类推，可以定义函数f（x）的n阶不动点．其中一阶不动点简称为“不动点”，二阶不动点简称为“稳定点”，函数f（x）的“不动点”和“稳定点”构成的集合分别记为A和B，即A＝{x|f（x）＝x}，B＝{x|f（f（x））＝x}．
（1）若（x＞0），证明：集合A＝{x|f（x）＝x]中有且仅有一个元素：
（2）已知f（x）＝（a+1）x﹣（a＞﹣1），
（i）若m≥0且函数F（x）在区间[m，n]的值域为[m，n]，则称区间[m，n]是函数的“完美区间”．试问函数f（x）是否存在“完美区间”，若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，说明理由；
（ⅱ）讨论集合B的子集的个数．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】分类讨论；转化思想；构造法；定义法；导数的综合应用；运算求解；新定义类．
【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）a∈（﹣，0）时，函数f（x）存在“完美区间”．
（ⅱ）a≥0时或时，集合B的子集有2个；
时，集合B的子集有1个；
时，集合B的子集有4个．
【分析】（1）构造函数m（x）＝f（x）﹣x，求导判断函数的单调性，证明即可．
（2）（i）假设f（x）存在“完美区间”为[m，n]，根据题意得出关于a的方程有2个不同的实数根，构造函数求解即可．
（ⅱ）根据题意，研究的不动点，即可得出集合B的子集个数．
【解答】（1）证明：设m（x）＝f（x）﹣x，则m（x）＝﹣x，求导得m′（x）＝﹣1，
令m（x）＝0，可得x＝e，
当x∈（﹣∞，e）时，m'（x）＜0，当x∈（e，+∞）时，m'（x）＞0，
所以m（x）min＝m（e）＝0，所以m（x）有唯一零点，
所以集合A＝{x|f（x）＝x}中有且仅有一个元素；
（2）（i）假设f（x）存在“完美区间”为[m，n]，则f（m）＝m，f（n）＝n，即方程f（x）＝0在（0，+∞）上有两个不等的实数根，
即（a+1）x﹣+＝x在（0，+∞）上有两个不等的实数根，即a＝﹣，设t＝，则t＞0，
a＝t2+tlnt，t＞0有2个不同的实数根，设g（t）＝t2+tlnt，t＞0；则g′（t）＝2t+（1+lnt），t＞0；
设h（t）＝2t+（1+lnt），t＞0；则h′（t）＝2+＞0，所以h（t）在（0，+∞）上单调递增；
由h（）＝+（1+ln）＝0，所以t∈（0，）时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，t∈（，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）单调递增；
当t→0时，g（t）→0，当t→+∞时，g（t）→+∞，g（t）min＝g（）＝﹣；
所以当﹣＜a＜0时，方程a＝t2+tlnt，t＞0有2个不同的实数根，
所以当a∈（﹣，0）时，函数f（x）存在“完美区间”．
（ⅱ）当a＞﹣1时，因为函数f（x）＝（a+1）x﹣+，其中x＞0，所以f′（x）＝a+1++＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
由反函数的性质，函数f（x）的稳定点在原函数与反函数的交点上，
即f（x）稳定点与f（x）的不动点等价，
所以考虑的不动点即可；
令，
所以F（x）＝+a+，所以F′（x）在（0，+∞）上单调递减．
①当a＞0时，F′（x）＞0恒成立，即F（x）在（0，+∞）上单调递增，
当x无限接近于0时，F（x）趋向于负无穷小，且，
故存在唯一的，使得F（x）＝0，
即f（x）＝x有唯一解，所以此时f（x）有唯一不动点；
②当a＜0时，即﹣1＜a＜0时，，
当x趋向无穷大时，趋近于0，
此时F（x1）＜0，
存在唯一x1∈（0，+∞），使得，
此时f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x，+∞）上单调递减，
故，
当x趋近于0时，F（x）趋向于负无穷大，当x向正无穷大时，F（x）趋向负无穷大时，
设，则h（x）在（0，+∞）上单调递增，
且，
又在x1∈（0，+∞）时单调递增，
故（a）当时，即，此时，方程F（x）＝0有一个解，
即f（x）有唯一不动点，所以集合B的子集有2个；
（b）当即，此时，方程F（x）＝0无解，
即f（x）无不动点，所以集合B的子集有1个；
（c）当时，即，此时，方程F（x）＝0有两个解，
即f（x）有两个不动点，所以集合B的子集有4个；
综上，当a≥0时或时，集合B的子集有2个；
当时，集合B的子集有1个；
当时，集合B的子集有4个．
【点评】本题考查了导数的综合应用问题，也考查了新定义的应用问题，也考查了运算求解能力，是难题．
19．（2025 安溪县校级模拟）已知集合A＝{x|x2﹣3x＜0}，集合B＝{x|a﹣5＜x＜3a}．
（1）当a＝1时，求 BA；（ BA＝{x|x∈B但x A}）
（2）若（A∪B） A，求实数a的取值范围．
【考点】集合的包含关系的应用；求集合的补集．
【专题】集合思想；综合法；集合；运算求解．
【答案】（1）＝{x|﹣4＜x≤0}；
（2）{a|}．
【分析】（1）根据补集的定义和运算直接得出结果；
（2）根据集合间的关系可得B A，结合集合间的包含关系计算即可求解．
【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣3x＜0}＝{x|0＜x＜3}，
当a＝1时，B＝{x|﹣4＜x＜3}，
故 BA＝{x|﹣4＜x≤0}；
（2）因为A （A∪B） A，
故A∪B＝A，故B A，
当B＝ 时，则a﹣5≥3a，
解得，
当B≠ 时，则，
无解，
综上所述，a的取值范围为{a|}．
【点评】本题主要考查了集合的基本运算，考查了集合间的包含关系，属于基础题．
20．（2025 浙江模拟）定义：A\x为在集合A中去掉一个元素x后得到的集合；S（A）为集合A中的所有元素之和．已知由n个正整数组成的集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3），若对于 ai∈A（i＝1，2，…，n），都存在两个集合B，C，使得A\ai＝B∪C，B∩C＝ ，且S（B）＝S（C），就称集合A为“完美集”．
（Ⅰ）若A＝{1，2，3，5，6}，判断A是否为“完美集”，并说明理由；
（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“完美集”，证明：n是奇数；
（Ⅲ）若集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“完美集”，且A中所有元素从小到大排序后能构成一个等差数列，则称A为“等差完美集”．已知集合A＝{a1，a2，…，an}（n∈N*，n≥3）是“等差完美集”，求n的最小值．
【考点】元素与集合的属于关系的应用．
【专题】集合思想；定义法；集合；运算求解；新定义类．
【答案】（Ⅰ）不是“完美集”，理由见解析；
（Ⅱ）证明见解析；
（Ⅲ）n最小值是7．
【分析】（Ⅰ）根据“完美集”的定义即可判断；
（Ⅱ）由S（A）﹣ai＝S（B）+S（C）＝2S（B）是偶数，所以S（A）与ai必定同奇同偶．再分奇数偶数讨论；
（Ⅲ）先假设最小值为n＝3，n＝5，推出矛盾，再求当n＝7时成立即可．
【解答】解：（Ⅰ）{1，2，3，5，6}不是“完美集”，因为去掉2时，{1，3，5，6}所有元素和为15，无法拆分为两个和相等的集合；
（Ⅱ）证明：记S（A）为集合A中的所有元素之和，S（A）﹣ai＝S（B）+S（C）＝2S（B）是偶数，所以S（A）与ai必定同奇同偶．
当S（A）为奇数时，ai也是奇数，S（A）是奇数个奇数相加，所以n是奇数：
当S（A）为偶数时，ai也是偶数，设ai＝2bi，则{b1，b2，…，bn}也是“完美集”，重复上述操作有限次，便可得各项均为奇数的“完美集”，此时集合元素个数是奇数；
（Ⅲ）n最小值是7．设{an}是等差数列，A＝{a1，a2， ，an}，
当n＝3时，去掉a1时，a2≠a3，不成立；
当n＝5时，A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，不妨设a1＜a2＜a3＜a4＜a5，去掉a2，假设{a1，a3，a4，a5}可以拆分成两个交集为空集且和相等的集合，
则有两种情况：①a1+a5＝a3+a4，因为a1+a5＝a2+a4＝2a3．所以a2＝a3，这与a2＜a3矛盾；
②a1+a3+a4＝a5，因为a2+a5＝a3+a4，所以a2＝﹣a1，这与an均为正整数矛盾，所以假设不成立；
即n≥7，下证n的最小值为7．
当n＝7时，构造A＝{1，3，5，7，9，11，13}（写出一个即可），S（A）＝49．
去掉1，S（B）＝（49﹣1）÷2＝24，B＝{3，5，7，9}，C＝{11，13}；
去掉3，S（B）＝（49﹣3）÷2＝23，B＝{1，9，13}，C＝{5，7，11}；
去掉5，S（B）＝（49﹣5）÷2＝22，B＝{1，3，7，11}，C＝{9，13}；
去掉7，S（B）＝（49﹣7）÷2＝21，B＝{1，9，11}，C＝{3，5，13}；
同理去掉9，S（B）＝20，B＝{1，3，5，11}，C＝{7，13}；
去掉11，S（B）＝19，B＝{1，5，13}，C＝{3，7，9}；
去掉13，S（B）＝18，B＝{1，3，5，9}，C＝{7，11}；
所以，A＝{1，3，5，7，9，11，13}是“等差完美集”．
综上所述，n的最小值为7．
【点评】本题考查了集合的定义与应用问题，也考查了推理与运算能力，是难题．
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