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高考数学高频易错押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠东县模拟）已知空间向量，满足﹣＝（1，2，3），+＝（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
2．（2025 温州模拟）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025 项城市模拟）若＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣2，x）是空间的一组基底，则（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
4．（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
5．（2023 新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量＝++，向量＝+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（　　）
A． B． C． D．或
6．（2023 五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平面向量的运算推广到n（n≥3）维向量，用有序数组（x1，x2，…，xn）表示n（n≥3）维向量，已知n维向量＝（﹣1，1，1，…，1），＝（1，1，1，…，1），则（　　）
A． B．
C． D．存在λ∈R使得
7．（2023 德阳模拟）已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（+） （+）的取值范围是（　　）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，+1] D．[1﹣，1+]
8．（2021 白银模拟）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：×＝（aybz﹣azby）+（azbx﹣axbz）+（axby﹣aybx）＝＝（，﹣，），其中行列式计算表示为，若向量，则＝（　　）
A．（﹣4，﹣8，﹣1） B．（﹣1，4，﹣8）
C．（﹣2，8，﹣1） D．（﹣1，﹣4，﹣8）
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湖南模拟）已知向量，，满足，|b|＝1，，，则（　　）
A．
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最大值为
（多选）10．（2024 高碑店市校级模拟）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
（多选）11．（2024 江宁区校级二模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，点P满足，则下列说法正确的是（　　）
A．若λ＝1，μ＝0，则三棱锥P﹣BEC外接球的表面积为
B．若，则异面直线CP与B1F所成角的余弦值为
C．若λ+μ＝1，则△PEF面积的最小值为
D．若存在实数x，y使得，则D1P的最小值为
（多选）12．（2024 船营区校级模拟）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组（x，y，z）叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．△PBC的重心坐标为
C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC
D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为
三．填空题（共4小题）
13．（2023 西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则x+y+z＝　 　．
14．（2021 仓山区校级模拟）17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示 　 　，过点P（1，﹣1，2）且法向量为的平面的方程是 　 　．
15．（2020 闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的 　 　．
16．（2018 静安区二模）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　 　．
四．解答题（共4小题）
17．（2022 湖北模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置．
18．（2022 象山区校级一模）如图，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，D为BC的中点，试用基底表示向量和．
19．（2020 安阳二模）已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC为等边三角形，平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥SD；
（Ⅱ）若点E是线段SA上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值．
20．（2024 安徽模拟）一般地，n元有序实数对（a1，a2， ，an）称为n维向量．对于两个n维向量＝（a1，a2…，an），＝（b1，b2， bn），定义两向量的数量积为 ＝aibi，向量的模||＝，且|﹣t|取最小值时，t称为在上的投影向量．
（1）求证：在上的投影向量为；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力（β1）、逻辑推理能力（β2）、动手操作能力（β3）进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量＝（β1，β2，β3）而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量”＝（a1，a2，a3）（a1≥0，a≠0）将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计 ＝（1，2，2）
技工 ＝（1，2，3）
推销员 ＝（4，2，0）
售后维修员 ＝（2，1，3）
（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为＝（6，7，8），试分析小明最适合哪个岗位．
（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位A的适合度分别为m1，m2，m3（mi＞0，i＝1，2，3）．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位A的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
高考数学高频易错押题预测 空间向量基本定理及坐标表示
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．（2025 惠东县模拟）已知空间向量，满足﹣＝（1，2，3），+＝（0，﹣2，1），则||2﹣||2＝（　　）
A．﹣2 B．1 C．0 D．﹣1
【考点】空间向量线性运算的坐标表示．
【专题】转化思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合空间向量的坐标运算法则，即可求解．
【解答】解：﹣＝（1，2，3），+＝（0，﹣2，1），
则||2﹣||2＝（）＝0﹣4+3＝﹣1．
故选：D．
【点评】本题主要考查空间向量的坐标运算法则，属于基础题．
2．（2025 温州模拟）已知空间向量，则下列向量可以与构成空间向量的一组基底的是（　　）
A． B． C． D．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；向量法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】B
【分析】由基底的定义对选项进行判定即可．
【解答】解：由基底定义可知，空间中三个不共面的向量可以作为空间向量的一组基底，
选项A，零向量与任一向量共线，故不能与构成空间向量的一组基底；
选项B，设，可得（0，0，1）＝x（1，0，0，）+y（0，1，0），此式无解，
故能与构成空间向量的一组基底；
选项C，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底；
选项D，显然，故，，共面，不能构成空间向量的一组基底．
故选：B．
【点评】本题考查基底的定义，考查空间向量共面定理，属基础题．
3．（2025 项城市模拟）若＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣2，x）是空间的一组基底，则（　　）
A．x≠﹣1 B．x≠0 C．x≠1 D．x≠2
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底；空间向量的共线与共面．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】B
【分析】直接利用共面向量基本定理的应用求出结果．
【解答】解：假设存在实数λ和μ，使，由于＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣2，x），
故，解得x＝0，
故要使＝（0，1，﹣1），＝（﹣1，0，2），＝（1，﹣2，x）是空间的基底，故x≠0．
故选：B．
【点评】本题考查的知识点：向量的基底的定义，共面向量基本定理，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
4．（2025 宿迁一模）若，，则等于（　　）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．7
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】计算题；对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】A
【分析】先求出，，再利用空间向量的数量积运算求解即可．
【解答】解：∵，，
∴＝（1，﹣2，0），＝（﹣3，1，2），
∴＝﹣3﹣2+0＝﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查空间向量的数量积运算，属于基础题．
5．（2023 新乡模拟）已知点O、A、B、C为空间不共面的四点，且向量＝++，向量＝+﹣，则与、不能构成空间基底的向量是（　　）
A． B． C． D．或
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】空间向量及应用．
【答案】C
【分析】利用空间向量的基底的意义即可得出．
【解答】解：∵＝（﹣）＝（++）﹣（+﹣），
∴与、不能构成空间基底；
故选：C．
【点评】本题考查了向量的基本定理及其意义，正确理解空间向量的基底的意义是解题的关键．
6．（2023 五华区校级模拟）《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四象生八卦”充分体现了中国古典哲学与现代数学的关系，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴（正半轴和负半轴），进而到平面直角坐标系中的四个象限和空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程．现将平面向量的运算推广到n（n≥3）维向量，用有序数组（x1，x2，…，xn）表示n（n≥3）维向量，已知n维向量＝（﹣1，1，1，…，1），＝（1，1，1，…，1），则（　　）
A． B．
C． D．存在λ∈R使得
【考点】空间向量基底表示空间向量．
【专题】计算题；转化思想；综合法；推理和证明；运算求解；新文化类．
【答案】C
【分析】类比平面向量的运算，计算可判断每个选项的正确性．
【解答】解：类比平面向量的运算，+＝（0，2，2，…，2），∴|+|＝＝2，故A错误；
＝1×（﹣1）+1×1×（n﹣1）＝n﹣2，故B错误；
||＝||＝，∴cos＜，＞＝＝，故C正确；
假设存在λ∈R，使得，则有1＝﹣λ且1＝λ，此时无解．
故选：C．
【点评】本题考查类比推理，考查运算求解能力，属中档题．
7．（2023 德阳模拟）已知，，表示共面的三个单位向量，⊥，那么（+） （+）的取值范围是（　　）
A．[﹣3，3] B．[﹣2，2] C．[﹣1，+1] D．[1﹣，1+]
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【答案】D
【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，及向量模的公式，和向量数量积的定义，结合余弦函数的值域，即可计算得到．
【解答】解：由⊥，则＝0，
又，为单位向量，则||＝＝，
则（+） （+）＝+（）+
＝（）+1＝||cos＜＞+1＝cos＜＞+1，
由﹣1≤cos＜＞≤1，
则（+） （+）的取值范围是[1﹣，1]．
故选：D．
【点评】本题考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量垂直的条件，考查余弦函数的值域，考查运算能力，属于中档题．
8．（2021 白银模拟）已知向量，，是空间中的一个单位正交基底．规定向量积的行列式计算：×＝（aybz﹣azby）+（azbx﹣axbz）+（axby﹣aybx）＝＝（，﹣，），其中行列式计算表示为，若向量，则＝（　　）
A．（﹣4，﹣8，﹣1） B．（﹣1，4，﹣8）
C．（﹣2，8，﹣1） D．（﹣1，﹣4，﹣8）
【考点】空间向量单位正交基底及其表示空间向量．
【专题】对应思想；转化法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标公式代入计算即可得出．
【解答】解：由题意得：＝（1×2﹣4×1）+（4×3﹣2×2）+（2×1﹣1×3）＝﹣2+8﹣＝（﹣2，8，﹣1），
故选：C．
【点评】熟练掌握向量的坐标运算是解题的关键．
二．多选题（共4小题）
（多选）9．（2025 湖南模拟）已知向量，，满足，|b|＝1，，，则（　　）
A．
B．的最大值为
C．的最小值为
D．的最大值为
【考点】空间向量数量积的坐标表示．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据向量的模长及夹角，不妨设，，，通过，可求出是以原点为起点，终点在以P为圆心，为半径的圆上的向量．根据向量模长的坐标运算可判断A项；根据圆上一点到圆上一点距离的最大值为直径可判断B项，根据圆内一点A到圆P上一点距离的范围为[r﹣|AP|，r+|AP|]可判断C，D项．
【解答】解：向量，，满足，|b|＝1，，，
根据题意设，，，
则，，
∴，
化简得，记为圆P，
即是以原点为起点，终点在以P为圆心，为半径的圆上的向量．
对于A，，∴，故A错误；
对于B，表示原点（0，0）到圆P上一点的距离，
∵原点（0，0）在圆P上，∴的最大值为圆P的直径，即，故B正确；
对于C，D，表示点A到圆P上一点的距离，
∵点A在圆P内，∴的最小值为，
的最大值为，故C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查空间向量数量积的坐标表示、圆、向量模长的坐标运算、点到圆的距离的范围等基础知识，是中档题．
（多选）10．（2024 高碑店市校级模拟）已知是空间中不共面的三个向量，则下列向量能构成空间的一个基底的是（　　）
A． B．
C． D．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理；空间向量的共线与共面．
【专题】方程思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】BC
【分析】根据空间向量的基底向量的定义结合共面向量的定义逐项分析判断．
【解答】解：对于选项A：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故A错误；
因为是空间中不共面的三个向量，
对于选项B：设，显然不存在实数x，y使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故B正确；
对于选项C：设，
则，方程无解，即不存在实数x，y使得该式成立，
所以不共面，可以作为基底向量，故C正确．
对于选项D：因为，
所以三个向量共面，
故不能构成空间的一个基底，故D错误．
故选：BC．
【点评】本题主要考查空间向量基本定理的应用，属于基础题．
（多选）11．（2024 江宁区校级二模）在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为AB、BC的中点，点P满足，则下列说法正确的是（　　）
A．若λ＝1，μ＝0，则三棱锥P﹣BEC外接球的表面积为
B．若，则异面直线CP与B1F所成角的余弦值为
C．若λ+μ＝1，则△PEF面积的最小值为
D．若存在实数x，y使得，则D1P的最小值为
【考点】空间向量线性运算的坐标表示；球的表面积．
【专题】对应思想；定义法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AD
【分析】根据长方体的外接球即可求解A，建立空间直角坐标系，即可根据向量的坐标运算，结合模长公式以及夹角公式即可求解BD，根据线面垂直的性质可得P在线段B1D1上运动，PE＝PF，即可根据面积公式求解．
【解答】解：对于A：由题意，P与B1重合，
故三棱锥P﹣BEC的外接球与以BB1，BE，BC为长宽高的长方体的外接球相同，
故半径，表面积为，故A对；
对于B：以D为原点建系，C（0，1，0），D1（0，0，1），A1（1，0，1），B1（1，1，1），，，
由，所以，
，，
cos＜＞＝，故B错；
对于D：由
得P（1﹣μ，λ，1），，，，
由可得，
所以，，，
当时，，故D正确；
对于C：由λ+μ＝1得，P在线段B1D1上运动，设P在底面ABCD的投影为Q，连接QE，QF，
由于QE＝QF，所以，故PE＝PF，
连接EF，BD相交于M，连接MP，
，当Q，M重合时取等号，故C错．
故选：AD．
【点评】本题考查长方体的外接球，据向量的坐标运算，线面垂直的性质等相关知识，属于中档题．
（多选）12．（2024 船营区校级模拟）设三个向量不共面，那么对任意一个空间向量，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得：成立．我们把叫做基底，把有序实数组（x，y，z）叫做基底下向量的斜坐标．已知三棱锥．以A为坐标原点，以为x轴正方向，以为y轴正方向，以为z轴正方向，以同方向上的单位向量为基底，建立斜坐标系，则下列结论正确的是（　　）
A．
B．△PBC的重心坐标为
C．若Q（1，1，1），则AQ⊥BC
D．异面直线AP与BC所成角的余弦值为
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理；异面直线及其所成的角．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；空间向量及应用；运算求解．
【答案】AB
【分析】根据新定义求出向量的坐标，从而判断出A项的正误；求出P、A、C三点的坐标，结合重心的坐标公式判断出B项的正误，根据向量的数量积是否等于0，判断出C项的正误；根据向量的夹角公式加以计算，判断出D项的正误．
【解答】解：对于A，根据PA＝2，AB＝1，可得，
所以，故A项正确；
对于B，根据PA＝2，AB＝AC＝1，可得，，
所以P（0，0，2），B（1，0，0），C（0，1，0），
△PBC的重心为，即，故B项正确；
对于C，因为，，
所以 ＝（++） （﹣）＝||2﹣||2+ ﹣ ＝1﹣1+﹣≠0，
因此，AQ⊥BC不成立，故C项错误；
对于D，根据PA＝2，AB＝AC＝1，可得，，
设异面直线AP与BC所成角的为α，由异面直线所成角的定义，
可知cosα＝|cos＜，＞|＝||＝||＝||＝，故D项错误．
故选：AB．
【点评】本题主要考查空间向量的数量积及其运算性质、向量加减法的坐标表示、向量的夹角公式等知识，属于中档题．
三．填空题（共4小题）
13．（2023 西安模拟）空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，若向量满足，则x+y+z＝　　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间向量及应用；逻辑思维；运算求解．
【答案】．
【分析】直接利用向量的线性运算求出结果．
【解答】解：空间四边形ABCD中，AC与BD是四边形的两条对角线，M，N分别为线段AB，CD上的两点，且满足，，若点G在线段MN上，且满足，
如图所示：
由于，故，整理得＝＝＝＝，
所以，
故，，z＝，
所以．
故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：空间向量的线性运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于基础题．
14．（2021 仓山区校级模拟）17世纪，笛卡尔在《几何学》中，通过建立坐标系，引入点的坐标的概念，将代数对象与几何对象建立关系，从而实现了代数问题与几何问题的转化，打开了数学发展的新局面，创立了新分支——解析几何．我们知道，方程x＝1在一维空间中，表示一个点；在二维空间中，它表示一条直线，那么在三维空间中，它表示 　平面　，过点P（1，﹣1，2）且法向量为的平面的方程是 　x+2y+3z＝5　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；空间向量及应用；运算求解．
【答案】平面；x+2y+3z＝5．
【分析】设平面上任意一点的坐标为Q（x，y，z），由得，化简整理得平面方程．
【解答】解：在三维空间中，x＝1表示过（1，0，0）且与yOz平面平行的平面．
设平面上任意一点的坐标为Q（x，y，z），则．
由得，整理得x+2y+3z＝5．
故答案为：平面；x+2y+3z＝5．
【点评】本题考查空间直角坐标系中垂直关系的应用，属于基础题．
15．（2020 闵行区校级模拟）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，若点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，则点P可以是正方体表面上的 　线段AB1，B1C，AC上的点．　．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；分析法；空间向量及应用；逻辑思维．
【答案】见试题解答内容
【分析】因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，只需要找到平面AMN与正方体表面的交线即可．
【解答】解：因为点P满足＝m+n+k，其中m、n、k∈R，且m+n+k＝1，所以点A，M，N三点共面，
又因为M和N分别是矩形ABCD和BB1C1C的中心，所以CN＝B1N，AM＝MC，
连接MN，AB1，则MN∥AB1，所以△AB1C即为经过A，M，N三点的平面与正方体的截面，
故P点可以是正方体表面上线段AB1，B1C，AC上的点．
故答案为：线段AB1，B1C，AC上的点．
【点评】本题考查空间向量基本定理及推论，同时考查了学生的直观想象、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．
16．（2018 静安区二模）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标为　（﹣4，﹣3，2）　．
【考点】空间向量运算的坐标表示．
【专题】计算题；数形结合；向量法；空间向量及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】推导出DA＝4，AB＝3，DD1＝2，从而B（4，3，0），D1（0，0，2），由此能求出的坐标．
【解答】解：以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，
过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，
∵的坐标为（4，3，2），∴DA＝4，AB＝3，DD1＝2，
∴B（4，3，0），D1（0，0，2），
∴的坐标为（﹣4，﹣3，2）．
故答案为：（﹣4，﹣3，2）．
【点评】本题考查向量的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
四．解答题（共4小题）
17．（2022 湖北模拟）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝AB，E，F分别为线段PB，BC上的动点．
（1）若E为线段PB的中点，证明：平面AEF⊥平面PBC；
（2）若BE＝BF，且平面AEF与平面PBC所成角的余弦值为，试确定点F的位置．
【考点】空间向量运算的坐标表示；平面与平面垂直．
【专题】综合题；转化思想；综合法；空间角；逻辑思维；运算求解．
【答案】（1）证明见解答；（2）F为BC的三等分点处．
【分析】（1）可证BC⊥平面PAB，从而BC⊥AE，AE⊥PB，AE⊥平面PBC，进而可证平面AEF⊥平面PBC；
（2）以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，＝λ，求平面AEF与平面PBC的法向量，利用向量法求λ的值，可知定点F的位置．
【解答】（1）证明：由PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BC，又在正方形ABCD中，BC⊥AB，
且PA∩AB＝A，则BC⊥平面PAB，有BC⊥AE，
由PA＝AB，E为线段PB的中点，可得AE⊥PB，
又PB∩BC＝B，则AE⊥平面PBC，从而平面AEF⊥平面PBC；
（2）解：以A为坐标原点，AB，AD，AP分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设AB＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），
由（1）可知＝（，0，）为平面PBC的法向量，
由BE＝BF，可知EF∥PC，设＝λ，＝λ，则＝λ（0，1，0），＝λ（﹣1，0，1），
可得＝+＝（1，λ，0），＝+＝（1﹣λ，0，λ），
设平面AEF的一个法向量为＝（x，y，z），
则，即，令y＝1，则x＝﹣λ，z＝1﹣λ，
∴平面AEF的一个法向量为＝（﹣λ，1，1﹣λ），
∴|cos＜，＞|＝＝＝，
解得λ＝或λ＝，即F为BC的三等分点处．
【点评】本题考查面面垂直的证明，以及利用面面角确定点的位置，属中档题．
18．（2022 象山区校级一模）如图，在空间四边形OABC中，G，H分别是△ABC，△OBC的重心，D为BC的中点，试用基底表示向量和．
【考点】空间向量基本定理、正交分解及坐标表示；平面向量的基本定理．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；运算求解．
【答案】．
【分析】根据向量的加，减，数乘公式，结合几何图形，即可用基底表示．
【解答】解：
＝
＝；
所以，
＝，
所以．
【点评】本题考查了平面向量基本定理，属于基础题．
19．（2020 安阳二模）已知四棱锥S﹣ABCD中，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC为等边三角形，平面SBC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥SD；
（Ⅱ）若点E是线段SA上靠近S的三等分点，求直线DE与平面SAB所成角的正弦值．
【考点】空间向量运算的坐标表示；直线与平面垂直．
【专题】证明题；数形结合；综合法；立体几何；运算求解．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）取BC的中点F，连接BD、DF和SF，证明BC⊥平面SDF即可；
（Ⅱ）证明SF、BC、DF两两垂直，由此建立空间直角坐标系F﹣xyz，求出平面SAB的一个法向量，再求直线DE与平面SAB所成角的正弦值．
【解答】证明：（Ⅰ）取BC的中点F，连接BD、DF和SF，
因为△SBC为等边三角形，所以SF⊥BC；
又四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，
所以△BCD为等边三角形，所以DF⊥BC；
又SF∩DF＝F，SF 平面SDF，DF 平面SDF，
所以BC⊥平面SDF，又SD 平面SDF，
所以BC⊥SD；
（Ⅱ）解：因为平面SBC⊥平面ABCD，平面SBC∩平面ABCD＝BC，
SF⊥BC，SF 平面SBC，所以SF⊥平面ABCD；
又DF⊥BC，所以SF、BC、DF两两垂直；
以点F为坐标原点，FC、FD、FS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz，如图所示；
不妨设AB＝2，则A（﹣2，，0），B（﹣1，0，0），S（0，0，）；
所以＝（1，﹣，0），＝（2，﹣，）；
设平面SAB的一个法向量为＝（x，y，z），
由，得，
令y＝1，得＝（，1，﹣1），
又＝＝（﹣，，﹣），所以E（﹣，，），
又D（0，，0），所以＝（﹣，﹣，），
设直线DE与平面SAB所成的角为θ，
则sinθ＝＝＝．
【点评】本题考查了空间中线面的位置关系应用问题，也考查了利用向量法求空间角的应用问题，是中档题．
20．（2024 安徽模拟）一般地，n元有序实数对（a1，a2， ，an）称为n维向量．对于两个n维向量＝（a1，a2…，an），＝（b1，b2， bn），定义两向量的数量积为 ＝aibi，向量的模||＝，且|﹣t|取最小值时，t称为在上的投影向量．
（1）求证：在上的投影向量为；
（2）某公司招聘时对应聘者的语言表达能力（β1）、逻辑推理能力（β2）、动手操作能力（β3）进行测评，每门总分均为10分，测评结果记为一个三维向量＝（β1，β2，β3）而不同岗位对于各个能力需求的比重各不相同，对于每个岗位均有一个事先确定的“能力需求向量”＝（a1，a2，a3）（a1≥0，a≠0）将在上的投影向量的模称为该应聘者在该岗位的“适合度”．其中四个岗位的“能力需求向量”如下：
岗位 能力需求向量
会计 ＝（1，2，2）
技工 ＝（1，2，3）
推销员 ＝（4，2，0）
售后维修员 ＝（2，1，3）
（Ⅰ）应聘者小明的测评结果为＝（6，7，8），试分析小明最适合哪个岗位．
（Ⅱ）已知小红在会计、技工和某岗位A的适合度分别为m1，m2，m3（mi＞0，i＝1，2，3）．若能根据这三个适合度求出小红的测评结果，求证：会计、技工和岗位A的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
【考点】空间向量基本定理及空间向量的基底．
【专题】转化思想；综合法；空间向量及应用；运算求解．
【答案】（Ⅰ）证明过程见解答；
（2）（i）小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
（ii）证明过程见解答．
【分析】（Ⅰ）由已知得取最小值时，为在上的投影向量，由定义得，根据二次函数最小值即可求得t，进而证明；
（Ⅱ）（i）分别求得小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求量”上的投影向量的模，根据定义即可求解；
（ii）设岗位A的“能力需求向量”为＝（a，b，c），小红的测评结果为（x，y，z），列出方程组，分析方程组解的情况即可证明．
【解答】解：（Ⅰ）证明：|﹣t|取最小值时，t为在上的投影向量，
∵（）2＝＝（﹣2taibi+t2）＝﹣t+，
∴（a﹣tb）2是关于t的二次函数，且二次项系数大于0，结合二次函数的性质，
∴当且仅当t＝时，（a﹣tb）2取最小值，
∴a在b上的投影向量为．
（2）（i）设小明在会计、技工、推销员、售后维修员的“能力需求向量”上的投影向量分别为，，，，
则||＝，
||＝，
||＝，
||＝，
∴小明在会计岗位上的“适合度”最高，即小明最适合会计岗位；
（ii）证明：由题意，设岗位A的“能力需求向量”为＝（a，b，c），
小红的测评结果为（x，y，z），
则，
则求出小红的测评结果的充分必要条件是这个关于（x，y，z）的三元一次方程组有唯一解，
记＝＝（a′，b′，c′），则∥，
设3m1＝n1，＝n2，m3＝n3，
则方程组变形为，
②﹣①得z＝n2﹣n1，
则方程组化简为，
消去x，化简得（b′﹣2a′）y＝（c′﹣3a′）n1+（2a′﹣c′）n2+n3⑥，
若（c′﹣3a′）n1+（2a′﹣c′）n2+n3≠0，
则此时关于y的方程要么无解要么有无穷多解，与题意不符，
∴（c′﹣3a′）n1+（2a′﹣c′）n2+n3≠0，
又方程有且仅有一解，∴b′﹣2a′≠0，即b′≠2a′，
若，由向量的共线定理得 λ∈R，
使得＝＝，
则b′＝2a′，与假设矛盾，∥不成立，故与不共线，同理可知与不共线，
∴，，可以作为空间中的一组基底，
即会计、技工和岗位A的“能力需求向量”能作为空间中的一组基底．
【点评】本题考查向量基本定理及空间向量的基底、投影向量、二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．
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